精品解析：天津市静海区第六中学2024-2025学年高一下学期第二次阶段性检测(期中)数学试题

2024-2025年度第二次阶段性检测—数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题50分） 一、单项选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. i是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 故选：A． 2. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断. 【详解】因为，， 则，，故A错误，B正确； 又因，所以与不共线，故C错误； 又因，，所以，故D错误， 故选：B. 3. 已知向量，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用垂直的坐标表示，得到，再利用坐标的线性运算及模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，又，则，解得， 所以，则， 故选：B. 4. 已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【详解】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 5. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意得到所以圆台上、下底面半径分别为6和7，再画出图形，利用勾股定理求解即可. 【详解】设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R， 由题意可知：，解得， 如图可得：， 满足关系式，即，求得， 即两底面之间的距离为. 故选：D. 6. 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（ ） A. l∥a B. l与a异面 C. l与a相交 D. l与a没有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】由线面位置关系结合异面直线的概念可直接得到答案. 【详解】若直线平面α，直线，则或l与a异面，故l与a没有公共点. 故选：D 7. 已知正四面体的所有棱长均为，且其体积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作面于，连接，利用正四面体的性质知，是底面的中心，进而可得，再利用体积公式，即可求解. 【详解】如图，过作面于，连接，由题知，是底面的中心， 则，，又， 所以，解得， 故选：D. 8. 在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解. 【详解】因为，， 所以 即， ，解得， ， ， ， . 故选：. 9. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据圆柱的侧面展开图为长方形求出圆柱的侧面积，再根据圆柱的侧面展开图为扇形求出圆锥的侧面积，进而得到蒙古包的侧面积. 【详解】依题意得， 圆柱的侧面积， ，， 在中，， 圆锥的侧面积， 该蒙古包的侧面积， 故选：D. 第Ⅱ卷（非选择题100分） 二、填空题： 本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法法则计算出答案. 【详解】. 故答案为： 11. 正方体的表面积是96，则该正方体的体积为________. 【答案】64 【解析】 【分析】根据正方体表面积公式得到边长，进而得到体积公式. 【详解】正方体的表面积是96，设边长为a,则表面积为，则该正方体的体积为 故答案为64. 【点睛】这个题目考查了正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题. 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 【答案】 【解析】 详解】由正弦定理，得，结合可得，则. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 13. 向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的投影向量的概念求解. 【详解】由得， 设与的夹角为在上的投影向量为： 故答案为：． 14. 已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知：该球的半径即为等边三角形的内切圆半径，进而可得半径和体积. 【详解】由题意可知：该球的半径即为等边三角形的内切圆半径， 则，所以此球的体积为. 故答案为：. 15. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知是虚数单位，复数 （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用复数的分类，得到，即可求解； （3）根据条件，利用复数的几何意义，得到，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则. 【小问2详解】 因为是纯虚数，则，解得. 【小问3详解】 因为对应点为， 由题知，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 计算题 （1）已知i 是虚数单位，化简； （2）已知向量，若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围； （3）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，求角B. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法运算求解即可； （2）分析可知，且与不共线，结合向量的坐标运算求解； （3）利用正弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：. 【小问2详解】 若与的夹角是钝角，可知，且与不共线， 则，解得且， 所以实数k的取值范围为. 【小问3详解】 由正弦定理可得， 且，所以. 18. 求下列几何体的体积或表面积 （1）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积； （2）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和； （3）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少? 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）可知外接球直径即为长方体的体对角线，即可得半径和表面积； （2）作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果； （3）利用正棱柱外接球的性质，结合正弦定理与勾股定理，球的表面积与体积公式即可得解. 【小问1详解】 设外接球的半径为， 可知外接球直径即为长方体的体对角线，则， 所以球的表面积为. 【小问2详解】 如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得， 则，可得，， 因为，则，可得， 又因为，则， 可得，则， 所以这两个圆锥的体积之和为. 【小问3详解】 根据题意条件可知三棱柱是棱长都为2的正三棱柱， 上下底面中心连线的中点就是球心，如图： 则的外接圆的半径为， 所以其外接球的半径为， 所以球的表面积为. 19. 在中，点D为AC的中点，点 E满足，记. （1）用表示； （2）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合向量的线性运算求解； （2）根据垂直整理可得，利用基本不等式结合夹角公式运算求解. 【小问1详解】 因为点D为AC的中点，， 所以. 【小问2详解】 因为， 若，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 可得， 且，则， 所以的最大值为. 20. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度第二次阶段性检测—数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 第Ⅰ卷（选择题50分） 一、单项选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1. i是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知 则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 若直线l∥平面α，直线a⊂α，则（ ） A. l∥a B. l与a异面 C l与a相交 D. l与a没有公共点 7. 已知正四面体所有棱长均为，且其体积为，则（ ） A B. C. D. 8. 在中，角的对边分别为，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 第Ⅱ卷（非选择题100分） 二、填空题： 本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 是虚数单位，复数________． 11. 正方体的表面积是96，则该正方体的体积为________. 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 13. 向量在向量上的投影向量为______．（写出坐标） 14. 已知一个圆锥PO的轴截面PAB中，，底面半径为3，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为_________. 15. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知是虚数单位，复数 （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 17. 计算题 （1）已知i 是虚数单位，化简； （2）已知向量，若与夹角是钝角，求实数k的取值范围； （3）中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ，求角B. 18. 求下列几何体的体积或表面积 （1）长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，求该球的表面积； （2）两个圆锥底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，求这两个圆锥的体积之和； （3）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为2，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为多少? 19. 在中，点D为AC的中点，点 E满足，记. （1）用表示； （2）若，求的最大值. 20. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$