精品解析：上海市四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知双曲线，其渐近线方程为________． 2. 已知数据0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%分位数为________． 3. 曲线在处的切线方程为________． 4. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 5. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 6. 学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 8. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 9. 已知函数．若在只有一个零点，则的值为__________ 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 11. 圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设函数在点处可导，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 14. “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D. 四叶图的面积小于32 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. （1）求甲最后没有得奖的概率； （2）已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 19. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； （2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值； （3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知，． （1）当时，求函数的极小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）若当时，函数，有最小值，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知双曲线，其渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求解其渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 即. 故答案为： 2. 已知数据0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%分位数为________． 【答案】3.5## 【解析】 【分析】先对这8个按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这8个数按从小到大的顺序排列为 ， 因为， 所以这组数据的75%分位数为. 故答案为： 3. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 4. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，3；1，5；2，4；3，5四种取法数字之和为偶数， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：. 5. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】若为的中点，连接，易得异面直线与所成角，即为直线与所成角，根据已知及余弦定理求角的大小. 【详解】若为的中点，连接，又为的中点， 根据长方体的结构特征易知为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设，在中，且， 则，故. 故答案为： 6. 学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 8. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为则，而，则直线的斜率为. 故答案为：． 9. 已知函数．若在只有一个零点，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得在只有一个零点，由题意可知，求导得，从而可求得在单调递减，在单调递增，则，分类讨论即可求出答案． 【详解】解：设， ∴在只有一个零点当且仅当在只有一个零点， （1）当时，，没有零点； （2）当时，， 当时，；当时，； ∴在单调递减，在单调递增， 故是在的最小值， ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由，在有一个零点， 易得当时，，则， 故在有一个零点，因此在有两个零点， 综上，在只有一个零点时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力与推理能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，属于难题． 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】 如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 11. 圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，进而得出正方体外接球半径，可得出正方体边长最后计算正方体体积即可. 【详解】 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为 ， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是. 故答案为： 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股得到，从而得到，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当范围，，再结合截面得到的范围，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求范围. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设函数在点处可导，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故选：B. 14. “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出恰有1项当天会决出奖牌、2项都不会当天决出奖牌、5个项目中随机选择2个项目的种类数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】恰有1项当天会决出奖牌有种选择，2项都不会当天决出奖牌有种选择， 5个项目中随机选择2个项目有种选择， 则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为. 故选：D 15. 在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解. 【详解】如图所示，过点作，过点作， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，， 所以， 又因为，所以， 因为点在侧面内，所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故选：C. 16. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D. 四叶图的面积小于32 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；与的交点到原点的距离最大，计算可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；.求出抛物线在点处的切线，求出该切线与x轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证. 【详解】对于A，若，则抛物线， 若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为， 即，开口向上，故A正确； 对于B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称， 可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点， 解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为，故B正确； 对于C，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C错误. 对于D，抛物线，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于， 所以四叶图的面积小于，故D正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 如图、连接BD， ∵，，∴， ∴，∴． ∵平面ABCD，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）利用等体积法求解店面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BM，． 由已知可得，，， ∴，∴． 设点B到平面的距离为h， 由（1）知BC⊥平面， ∴三棱锥的体积， 即， 解得，即点B到平面的距离为． 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. （1）求甲最后没有得奖的概率； （2）已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可； （2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可. 【小问1详解】 记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件， 则，，， 故. 【小问2详解】 记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件， 则，. 因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为. 19. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； （2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】（1）32 （2） （3）平均数为38，方差为． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【小问1详解】 （岁）． 【小问2详解】 由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． 【小问3详解】 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值； （3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）20； （3），. 【解析】 【分析】(1)由点T在椭圆上且，可得，求得，点代入椭圆方程可求得b，从而得到椭圆的标准方程；(2) 设直线：，联立方程组 ，求出，同理求出由此能证明为定值；(3) 当直线l与x轴不垂直时，设l：，由得，推出，当l与x轴垂直时，l：，，，从而. 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， ∴椭圆的方程为. （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得 故而，为定值； （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得 又， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，，又，有， 综上，，. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，求直线与椭圆的交点坐标，韦达定理，涉及向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理能力，计算能力，属于难题. 21. 已知，． （1）当时，求函数的极小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）若当时，函数，有最小值，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，进而得到极值即可. （2）将函数单调问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. （3）利用隐零点代换得到，将化为一元函数，再求解其值域，进而证明不等式即可. 【小问1详解】 由题可知，定义域，， 令，可得，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为． 【小问2详解】 由题意得在上单调递增， 即在时恒成立，即在时恒成立． 令，，则， 可得当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又时，，所以， 得到，即实数的取值范围是． 【小问3详解】 由题可知，， 令，，则， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，得到，即， 即，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $