精品解析：上海市四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知双曲线，其渐近线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程直接求解其渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 即. 故答案为： 2. 已知数据0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%分位数为________． 【答案】3.5## 【解析】 【分析】先对这8个按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这8个数按从小到大的顺序排列为 ， 因为， 所以这组数据的75%分位数为. 故答案为： 3. 曲线在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义结合直线的点斜式方程即可求得答案. 【详解】由题意得，当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即， 故答案为：. 4. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从五个球中任取两个， 共有种取法， 其中1，3；1，5；2，4；3，5四种取法数字之和为偶数， 利用古典概型可得取出的小球标注的数字之和为偶数的概率是， 故答案为：. 5. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】若为的中点，连接，易得异面直线与所成角，即为直线与所成角，根据已知及余弦定理求角的大小. 【详解】若为的中点，连接，又为的中点， 根据长方体的结构特征易知为平行四边形，则， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成角， 由题设，在中，且， 则，故. 故答案为： 6. 学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 【答案】144 【解析】 【分析】利用捆绑法即可求得答案. 【详解】将3个舞蹈节目捆绑，再与其他3个节目全排列可得, 所以共有144种表演顺序， 故答案为：144. 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 【答案】##0.96 【解析】 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【详解】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 故答案为：. 8. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为则，而，则直线的斜率为. 故答案为：． 9. 已知函数．若在只有一个零点，则的值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意得在只有一个零点，由题意可知，求导得，从而可求得在单调递减，在单调递增，则，分类讨论即可求出答案． 【详解】解：设， ∴在只有一个零点当且仅当在只有一个零点， （1）当时，，没有零点； （2）当时，， 当时，；当时，； ∴在单调递减，在单调递增， 故是在的最小值， ①若，即，在没有零点； ②若，即，在只有一个零点； ③若，即，由，在有一个零点， 易得当时，，则， 故在有一个零点，因此在有两个零点， 综上，在只有一个零点时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力与推理能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论思想，属于难题． 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】 如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 11. 圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用相似求圆锥内切球的半径，进而得出正方体外接球半径，可得出正方体边长最后计算正方体体积即可. 【详解】 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为，正方体的外接球的直径为 ， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是. 故答案为： 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股得到，从而得到，然后根据截面得到截面，根据勾股得到当范围，，再结合截面得到的范围，从而得到的最大值. 【详解】 过点作，交底面圆于两点，连接，，， 设，则， 由圆锥的性质得底面， 因为底面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为分别是的中点，所以，则， 因为，平面，所以平面， 则平面为截面， 因为为中点，所以，所以平面， 因为平面，所以，所以， 如图为截面的平面图， 以为原点，为轴，过点垂直向上的方向为轴正方向建系， ，，，则抛物线方程为， 设，，则， 所以， 则，所以. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求范围. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设函数在点处可导，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故选：B. 14. “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出恰有1项当天会决出奖牌、2项都不会当天决出奖牌、5个项目中随机选择2个项目的种类数，再利用古典概型求概率即可. 【详解】恰有1项当天会决出奖牌有种选择，2项都不会当天决出奖牌有种选择， 5个项目中随机选择2个项目有种选择， 则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为. 故选：D 15. 在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，结合已知得，再结合平面几何知识即可求解. 【详解】如图所示，过点作，过点作， 因为四棱柱是直四棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为直线平面， 所以， 因为，， 所以， 又因为，所以， 因为点在侧面内，所以在平面直角坐标系中来研究点轨迹的长度，如图所示： 点的运动轨迹为以点为圆心、半径为2的圆在正方形内部的弧， 显然，，所以， 所以. 故选：C. 16. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D. 四叶图的面积小于32 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，可求得逆时针旋转的抛物线方程判断A；与的交点到原点的距离最大，计算可判断B；分别求出抛物线与抛物线斜率为1的切线方程，再求出它们的距离即可判断C；.求出抛物线在点处的切线，求出该切线与x轴及直线所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证. 【详解】对于A，若，则抛物线， 若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为， 即，开口向上，故A正确； 对于B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称， 可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点， 解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为，故B正确； 对于C，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由， 得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合， 所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C错误. 对于D，抛物线，求导得， 则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于， 所以四叶图的面积小于，故D正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 【答案】（1）证明如下： 如图、连接BD， ∵，，∴， ∴，∴． ∵平面ABCD，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，利用线面垂直证明线线垂直即可； （2）利用等体积法求解店面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BM，． 由已知可得，，， ∴，∴． 设点B到平面的距离为h， 由（1）知BC⊥平面， ∴三棱锥的体积， 即， 解得，即点B到平面的距离为． 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. （1）求甲最后没有得奖的概率； （2）已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可； （2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可. 【小问1详解】 记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件， 则，，， 故. 【小问2详解】 记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件， 则，. 因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖， 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为. 19. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； （2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 【答案】（1）32 （2） （3）平均数为38，方差为． 【解析】 【分析】（1）根据平均数的定义结合频率分布直方图求解即可； （2）先根据分层抽样的定义求出从第四组和第五组所抽取的人数，然后利用列举法结合古典概型的概率公式求解； （3）根据平均数和方差的定义结合已知条件求解即可. 【小问1详解】 （岁）． 【小问2详解】 由题意得，第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组应抽取人，记为（乙），，对应的样本空间为： ， ， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则， 所以． 【小问3详解】 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为， 则， ， 据此估计第四组和第五组所有人的年龄的平均数为38，方差为． 20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值； （3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）20； （3），. 【解析】 【分析】(1)由点T在椭圆上且，可得，求得，点代入椭圆方程可求得b，从而得到椭圆的标准方程；(2) 设直线：，联立方程组 ，求出，同理求出由此能证明为定值；(3) 当直线l与x轴不垂直时，设l：，由得，推出，当l与x轴垂直时，l：，，，从而. 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， ∴椭圆的方程为. （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得 故而，为定值； （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得 又， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，，又，有， 综上，，. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，求直线与椭圆的交点坐标，韦达定理，涉及向量的数量积运算，考查学生的逻辑推理能力，计算能力，属于难题. 21. 已知，． （1）当时，求函数的极小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）若当时，函数，有最小值，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明如下： 由题可知，， 令，，则， 因为，，所以， 所以在上单调递增， 又，， 所以存在唯一的，使得，即，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 令，则在上恒成立， 则在上单调递减，得到，即， 即，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性，进而得到极值即可. （2）将函数单调问题转化为导函数恒成立问题，再利用分离参数法求解即可. （3）利用隐零点代换得到，将化为一元函数，再求解其值域，进而证明不等式即可. 【小问1详解】 由题可知，定义域，， 令，可得，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为． 【小问2详解】 由题意得在上单调递增， 即在时恒成立，即在时恒成立． 令，，则， 可得当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，且， 又时，，所以， 得到，即实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知双曲线，其渐近线方程为________． 2. 已知数据0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%分位数为________． 3. 曲线在处的切线方程为________． 4. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 5. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 6. 学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 8. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 9. 已知函数．若在只有一个零点，则的值为__________ 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 11. 圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设函数在点处可导，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 14. “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D. 四叶图的面积小于32 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. （1）求甲最后没有得奖的概率； （2）已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 19. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； （2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值； （3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知，． （1）当时，求函数的极小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）若当时，函数，有最小值，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $