上海市四校联考（松二、复兴、控江、嘉一）2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知双曲线，其渐近线方程为________． 2. 已知数据0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的75%分位数为________． 3. 曲线在处的切线方程为________． 4. 一个不透明的盒子里装有分别标有数字1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，从中随机一次性取出2个小球，求取出的2个小球上数字之和为偶数的概率是________． 5. 在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的大小为________． 6. 学校组织文艺汇演，有3个舞蹈节目、2个歌唱节目和1个魔术节目，要求3个舞蹈节目必须连续表演，那么这6个节目的表演顺序共有________种． 7. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则________． 8. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为________． 9. 已知函数．若在只有一个零点，则的值为__________ 10. 已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是________． 11. 圆锥底面圆的圆心为，是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为，，在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是________． 12. 如图，已知是圆锥的轴截面，，分别为，的中点，过点且与直线垂直的平面截圆锥，截口曲线是抛物线的一部分．若在上，则的取值范围是________． 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 13. 设函数在点处可导，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 14. “冰雪同梦，亚洲同心”，2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，彰显了中国冰雪运动的蓬勃发展和举办大型赛事的实力.在运动会的某比赛日，某人欲在冰壶（●）、冰球（●）、短道速滑（○）、速度滑冰（○）、花样滑冰（○）这5个项目中随机选择2个比赛项目现场观赛（注：比赛项目后括号内为“●”表示当天不决出奖牌的比赛，“○”表示当天会决出奖牌的比赛），则所选择的2个观赛项目中最多只有1项当天会决出奖牌的概率为（ ） A. B. C. D. 15. 在直平行六面体中，，，点在侧面内，且，则点轨迹的长度为（ ） A. B. C. D. 16. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. 四叶图上的点到点的距离的最大值为 C. 动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 D. 四叶图的面积小于32 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 17. 如图所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中点． （1）证明； （2）求点B到平面的距离． 18. 某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动. （1）求甲最后没有得奖的概率； （2）已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 19. 半程马拉松是一项长跑比赛项目，长度为21.0975公里，为全程马拉松距离的一半．20世纪50年代，一些赛事组织者设立了半程马拉松，自那时起，半程马拉松的受欢迎程度大幅提升．某调研机构为了了解人们对“半程马拉松”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄的人举办了一次“半程马拉松”知识竞赛，将参与知识竞赛者按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计参与知识竞赛者的平均年龄（结论精确到个位）； （2）现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“半程马拉松”宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选为宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选为组长的概率； （3）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计年龄在内的所有参与知识竞赛者的年龄的平均数和方差． 20. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且. （1）求椭圆的方程； （2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线，的斜率之积为，求证：为定值； （3）直线l过点且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由. 21. 已知，． （1）当时，求函数的极小值； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （3）若当时，函数，有最小值，证明：． 上海2024-2025学年第二学期高二年级数学期中 （松二、复兴、控江、嘉一四校联考） 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】3.5## 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】##0.4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】144 【7题答案】 【答案】##0.96 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】## 【12题答案】 【答案】 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】D 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（14+14+14+18+18共78分） 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 如图、连接BD， ∵，，∴， ∴，∴． ∵平面ABCD，∴， 又，∴平面， ∵平面，∴． （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1）32 （2） （3）平均数为38，方差为． 【20题答案】 【答案】（1）； （2）20； （3），. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $