精品解析：江苏省南京市金陵中学河西分校2024—2025学年下学期七年级数学期中检测卷

2024~2025学年度第二学期期中调研七年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页．全卷满分100分.考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面是4个 “神器”，文字上方的图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面各式中，运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，不能使用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：______． 8. 樱花花粉直径主要集中在左右，其中用科学记数法可表示为_____． 9. ______． 10. 已知、满足方程组，则______． 11. 如果是一个完全平方式，则______． 12. 二元一次方程3x＋y＝7的正整数解为________. 13. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 14. 如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则______． 15. 已知，则________． 16. 如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是______． 三、解答题（本大题共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，，． 18. （1）解方程组； （2）直接写出方程组的解是______． 19. 列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 20. 用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 21. 如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 22. （1）已知，，求的值； （2）已知，则_______． 23. 已知是一个正整数，且除以3余1，请说明能被9整除． 24. 如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． （1）若，则______． （2）如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． （3）如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） （4）某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 25. 用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若，，则_____，_____； （2）如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． （3）如图2，若的长度为6，的长度为． ①当_____，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 26. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）试说明：； （2）如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值． ②若，将绕点B旋转，当为何值时，的一边与平行，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中调研七年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共4页．全卷满分100分.考试时间为100分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下面是4个 “神器”，文字上方的图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意， 故选：B． 2. 下面各式中，运算结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的运算法则进行计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意． 故选：C． 3. 下列各式中，不能使用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能熟记公式是解题的关键，；根据平方差公式判断即可． 【详解】A、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； 故选：D 4. 如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识．根据旋转的性质、角平分线得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是由绕点旋转而得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B 5. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问木长多少尺．现设绳长尺，木长尺，则可列二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题的等量关系是：绳长木长；木长绳长，据此可列方程组求解． 【详解】解：设绳长尺，长木为尺， 依题意得， 故选：B． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 6. 将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理、翻折变换等知识，先由平行线的性质得到，由折叠性质可得，，求出，得到，即可得到． 【详解】解：∵，， ∴； 由折叠性质可得： ，， ∴； ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 8. 樱花花粉直径主要集中在左右，其中用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法表示表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．据此即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 9. ______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了积的乘方的逆用，把原式变形为进行计算即可． 【详解】解： 故答案为： 10. 已知、满足方程组，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，把方程组中的两个方程相加即可． 【详解】解： 得：， 故答案为：6． 11. 如果是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式的特点列出关于的等式，即可求出的值． 【详解】解：， ， 解得． 12. 二元一次方程3x＋y＝7的正整数解为________. 【答案】, 【解析】 【分析】求方程的正整数解，必须保证x和y都是正整数，所以采用排除法可以找到合适的答案. 【详解】二元一次方程3x＋y＝7的解有很多，先保证x为正整数，带入方程中求出y值，观查，从中找出正整数解只有, 故答案为, 【点睛】此题重点考查学生对二元一次方程的解的理解，抓住正整数解是解答本题的关键. 13. 如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为4， 的周长的最小值为， 故答案为：7． 14. 如图，已知绕点顺时针方向旋转到，且点、、共线，交于点，若，时，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得到，因此，即可求解． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ∴， ∴ ． 故答案为：4 15. 已知，则________． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式、代数式求值，先根据已知求得，再根据多项式乘多项式运算法则，结合乘法交换律化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：48． 16. 如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键． 设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值； 【详解】解：设；整理得：； 将左右两边同时乘以， 则； 则 ； 要求最大值， 所以为正整数， ∵ ∴当时， 解得：； 当时 （舍去） 当时， 解得：(舍去）， 当时， 解得：， 故最大为； 故答案为： 三、解答题（本大题共68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． （3）先化简，再求值：，其中，，． 【答案】（1）4 （2） （3），4 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，幂的混合运算，整式的混合运算以及求值等知识，按照各自的运算法则一一计算即可． （1）先计算平方，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可． （2）先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂的除法，最后合并同类项即可． （3）先利用平方差以及完全平方公式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 当，时， 原式． 18. （1）解方程组； （2）直接写出方程组的解是______． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）求出，把代入②得，从而得方程组的解； （2）将方程组整理为，再运用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）， 得， 解得，， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； （2）把方程组整理为 得， 解得，， 把代入②得，， 解得， ∴方程组的解为； 故答案为： 19. 列二元一次方程组解下面问题 鸡兔同笼，鸡和兔一共有56条腿，如果把鸡和兔的数量互换，一共有64条腿，那么原来有几只鸡，几只兔呢？ 【答案】原来有12只鸡，8只兔 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设原来有x只鸡，y只兔，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． 【详解】解：设原来有x只鸡，y只兔， 根据题意有：， 解得：， 则原来有12只鸡，8只兔 20. 用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点顺时针旋转90度得到，画出； （3）第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作平移图，旋转图等知识，掌握平移以及旋转的定义和性质画出图形即可， （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用网格根据旋转的性质作图即可； （3）连接，，两线相交点即其旋转中心O． 【小问1详解】 解：如下图所示： 【小问2详解】 解：如下图所示： 【小问3详解】 解：旋转中心如下图所示： 21. 如图，在直角三角形纸片中，，E，F分别是，上的点，将沿折叠得到．若于点O，猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据，得到，利用平行线性质，得到，从而得到，得到结果． 【详解】解：． 理由如下： ，． ． ． ． 由折叠可得． ． ． 22. （1）已知，，求的值； （2）已知，则_______． 【答案】（1）；（2）11或 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据已知条件得出，可求出的值； （2）根据可求出，从而可求出的值． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，或 故答案为：11或 23. 已知是一个正整数，且除以3余1，请说明能被9整除． 【答案】说明见解析 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算．利用完全平方公式和整式加减进行计算即可证明结论． 【详解】解：是一个正整数，且除以3余1， 设（是非负整数） 是正整数 能被9整除. 24. 如图1是光的反射示意图，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，点叫入射点，已知反射角等于入射角，法线． （1）若，则______． （2）如图2，在空心圆柱口放置一面平面镜，与水平线的夹角，入射光线经平面镜反射后反射光线为（点，，，，，，在同一竖直平面内），若要使反射光线恰好垂直于圆柱底面射出，则入射光线与水平线的夹角的度数为______． （3）如图3，点处有一个光源，入射光线经过镜面反射后，恰好经过点，请用无刻度直尺和圆规作出入射点，并画出光线（不写作法，保留作图痕迹，用铅笔加黑加粗） （4）某台球桌为如图4所示的长方形，，小球从沿角击出，恰好经过5次碰撞后到达处．则______． 【答案】（1）40 （2）46 （3）见详解 （4）2.5 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出，，进而可得． （2）由题意可得，由平角的定义求出，再由计算即可得解． （3）以作垂直平分线的方法结合（1）作图即可． （4）先根据题意画出图形，根据图形得出5次碰撞后是2个半以为边长的正方形，进而可求出的值． 【小问1详解】 解：根据题意可知：， ∵， 则， ∴， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， ∴． 故答案为：46． 【小问3详解】 解：以点A为圆心，适当半径为弧，交l与点C与点D，分别以点C，点D为圆心，以大于为半径画弧交点G，连接交l与点E，再以点E为圆心，为半径画弧交与点，连接交l与点O，点O即为所求． 【小问4详解】 解：如下图： 小球从长方形的点A沿射出，到的点E，． 从E点沿与成射出，到边的F点，， 从F点沿与成射出，到边的G点，， 从G沿与成射出，到边的H点， 从H点沿与成射出，到边的M点， 从M点沿与成射出，到B点， 由（1）中的结论以及轴对称的性质可知： ，，． 根据图可知5次碰撞后是2个半以为边长的正方形， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了实际问题中的角度计算，作已知线段垂直平分线，轴对称性质等知识，掌握这些性质以及作图的方法是解题的关键． 25. 用若干块如左图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． （1）如图1，若，，则_____，_____； （2）如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为26，，求的值． （3）如图2，若的长度为6，的长度为． ①当_____，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】（1）4，3 （2） （3）①4，12；②， 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与a、b之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）根据图（1）长方形的边长组成列方程即可解答； （2）由图（1）中空白部分面积＝大长方形面积－阴影部分面积＝5个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （3）由长方形的长和宽可列出关于a、b的方程组，解关于a、b即可解答． 【小问1详解】 解：由图得， 解得：； 【小问2详解】 由图可得：5个小长方形面积＝长方形的面积－阴影部分的面积， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为26， ∴， ∴ ∴，又， ∴； 【小问3详解】 由图（2）得： ， 由①得，③ 将③代入②得， ∴， ∴当 时，a，b的解有无数组； 即时，a，b的值有无数组； 当时，方程组无解， 即时，a，b的值不存在 故答案为：①4，12；②，． 26. 如图1，，的平分线交于点G，． （1）试说明：； （2）如图2，线段上有点P，满足，过点C作． ①若在直线上取一点M，使，求的值． ②若，将绕点B旋转，当为何值时，的一边与平行，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵， ， 平分， ； （2）①5或 ②当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明． （2）①有两种情况： I）当在的下方时，如图5，设，先根据已知计算，，根据平行线的性质得：，根据角的和与差计算，的度数，可得结论； II）当在的上方时，如图6，同理可得结论． ②当时，当，分别分顺时针与逆时针旋转，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①有两种情况： I）当在的下方时，如图5， 设， ， ，， ∵， ， ， ， ， ， ； II）当在的上方时，如图6， 同理得：， ， ． 综上，的值是5或． ②将绕点B旋转后， 当时，如图， I）当逆时针旋转时， ∵ 又∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 由（1）知： ∴ ∴； II）当顺时针旋转时， ∵， ∴ ∴ ∴； 当，如图， I）当逆时针旋转时， ∵， ∴，， 同理， ∴ II）当顺时针旋转时， ∴； 综上，将绕点B旋转，当逆时针旋转时，或，当顺时针旋转时，或，的一边与平行． 【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $