精品解析：2025年福建省泉州市泉港区中考一模数学试题

泉港区2025年初中毕业（升学）质量检测数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（每小题4分，共40分）． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 7. 一块截面为四边形的玉片，已测得两组对边分别平行，再测量得下列条件，仍不能判定这块玉片的截面为长方形的是（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ） A. B. C. D. 9. 烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 计算：__________． 12. 分解因式： _______. 13. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖概率是______________． 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 15. 如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____． 16. 矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________．     三、解答题（共86分）． 17. 解不等式组： 18. 如图，点E是的中点，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 小张在网上销售两款机器人配件，对近6个月甲、乙配件的每个月份销量进行统计，并绘制成如图所示的月销量折线统计图． （1）要评价这两款配件近6个月的月销量平均水平，应选择下列哪个统计量？试求出这个统计量．（统计量：A．中位数；B．众数；C．平均数；D．方差；E．极差．） （2）已知销售甲配件每件获利80元，乙配件每件获利100元，结合（1）中统计量与折线统计图，请你对小张接下来的进货情况提出一条合理的建议． 21. 综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地． 问题解决】 （1）试用含，代数式表示图中空地的面积； （2）请你设计出一种广场花圃的方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 22. 如图，在中，．点在的延长线上，连结． （1）尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； （2）在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 23. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． （1）若，，，试求的值； （2）若，求证：的值是“黄金比”． 24. 如图，点A、E在上，与的夹角为，连结，过A点作的切线． （1）试求的度数（用含有n的代数式表示）； （2）在的延长线上取一点D，以线段为一边作矩形，点C在射线上． ①当时，在n的变化过程中，探究线段与、之间是否存在某固定的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由； ②连结，当时，试求出的值． 25. 如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． （1）若直线为抛物线的准切线，试求的值； （2）已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泉港区2025年初中毕业（升学）质量检测数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（每小题4分，共40分）． 1. 下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意； 选项，是无理数，选项正确，符合题意； 选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意； 选项，是有理数，不属于无理数，选项错误，不符合题意． 故选：． 2. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确； D．，故不正确； 故选C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）. A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方数的非负性判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】∵ ∴ ∴点所在的象限是第二象限． 故选：B． 【点睛】此题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题关键． 4. 石墨烯是由石墨烯纤维纺织而成的，是目前已知世界上最薄、最坚硬，同时也是导热性和导电性最好的纳米材料．其厚度约为厘米．将数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，掌握其一般形式是解题的关键．用科学记数法可以表示绝对值小于1的数，一般形式为，其中，为正整数，与较大数的科学记数法不同的是其使用的是负指数幂，指数由原数左边第一个不为零的数字前面的的个数决定，据此即可获得答案． 【详解】解：数据可以用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，对每个选项进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 6. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由实物图可知，从从正面看到的图形是， 故选：． 7. 一块截面为四边形的玉片，已测得两组对边分别平行，再测量得下列条件，仍不能判定这块玉片的截面为长方形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和菱形的判定，由已知可得四边形是平行四边形，进而根据矩形和菱形的判定方法逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形， 、当时，平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时，平行四边形是矩形，该选项不合题意； 、当时，平行四边形是菱形，该选项符合题意； 故选：． 8. 不透明的盒子放有三张大小、形状及质地相同的卡片，卡片上分别写有李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗，小明从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】可利用画树状图得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设李白《峨眉山月歌》，李白《渡荆门送别》和王维《寄荆州张丞相》三首诗分别为A、B、C， 画树状图为： 由图知，一共有6种等可能的结果，其中从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的有2种， ∴从盒子中随机抽取两张卡片，卡片上诗的作者都是李白的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 9. 烷烃是由碳、氢元素组成的有机化合物质，碳原子个数为~，依次用甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示．如甲烷、乙烷、丙烷的化学式分别为、、，分子结构如图所示，则癸烷的分子结构中氢原子的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是图形类的规律探索，解题关键是根据题中所给图形归纳出变化规律． 根据题目中的图形，可以发现氢原子的个数的变化特点，然后即可写出癸烷的分子结构中氢原子的个数． 【详解】解：由图可得：甲烷分子结构中氢原子的个数是个， 乙烷分子结构中氢原子的个数是个， 丙烷分子结构中氢原子的个数是个， 丁烷分子结构中氢原子的个数是个， …… 癸烷的分子结构中氢原子的个数是个． 故答案为：． 10. 如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，所以，然后在中利用正弦定义计算出的长． 【详解】连接，如图， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”是解题的关键. 二、填空题（每小题4分，共24分）． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平方差公式，解题关键是熟练掌握平方差公式． 根据平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 分解因式： _______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解：． 故答案为. 13. 一年级1班共有学生36人，在庆祝“六一节”时进行抽奖，随机抽取一等奖1名，二等奖3名，三等奖5名．则该班每一位学生获奖的概率是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用概率公式进行求解是解题的关键；因此此题可根据概率公式进行求解即可． 【详解】解：由题意得： 该班每一位学生获奖概率是； 故答案． 14. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 15. 如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”：当AC＝6，BC＝8时，则阴影部分的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出三个半圆的面积和△ABC的面积，两小半圆与直角三角形的和减去大半圆即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ACB中∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， 由勾股定理得：AB＝＝＝10， 阴影部分的面积， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查勾股定理和圆有关的不规则图形的阴影面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是这类题型的关键．勾股定理是解决三角形中线段问题最有效的方法之一． 16. 矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，证明是解题的关键． 作，，证明，推出，当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于，于，     ∵是的平分线， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴A、D、G、E四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长， ∵，，矩形， ∴，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（共86分）． 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”即可求得不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 在同一数轴上画出不等式组的解集如下： ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，点E是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证明． 【详解】证明：点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键；因此此题可先对分式进行化简，然后再代值求解即可． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝； 当时， 原式． 20. 小张在网上销售两款机器人配件，对近6个月甲、乙配件的每个月份销量进行统计，并绘制成如图所示的月销量折线统计图． （1）要评价这两款配件近6个月的月销量平均水平，应选择下列哪个统计量？试求出这个统计量．（统计量：A．中位数；B．众数；C．平均数；D．方差；E．极差．） （2）已知销售甲配件每件获利80元，乙配件每件获利100元，结合（1）中统计量与折线统计图，请你对小张接下来的进货情况提出一条合理的建议． 【答案】（1）C．平均数，（件），（件） （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、中位数、众数、平均数及方差，熟练掌握折线统计图、中位数、众数、平均数及方差是解题的关键； （1）根据折线统计图可分别求出甲、乙两人的平均数，然后问题可求解； （2）分别得出甲、乙两人月平均利润，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知：应选择C．平均数， ∴（件）； （件）； 【小问2详解】 解：甲的月平均利润：（元）； 乙的月平均利润：（元）； 甲配件月平均利润高于乙配件，且由折线统计图可知，甲配件在近6个月销量稳步上升，因此可以增加甲配件进货量，减少乙配件进货量． 21. 综合与实践：如何设计广场花圃，优化绿化面积（计算结果保留）． 素材：学校欲将一个长为、宽为的矩形场地设计成广场花圃，其中． 素材：如图是小明的设计方案，中间个半径相等的圆形花圃，其余部分是空地． 素材：小颖准备设计成块直径均为的半圆花圃，其余部分是空地． 【问题解决】 （1）试用含，的代数式表示图中空地的面积； （2）请你设计出一种广场花圃方案，并画出示意图， 要满足以下个条件： ①四个半圆的花圃都要使用，且形状不变（保持半圆的形状）； ②花圃可相切，不可以出现重叠； ③设计图要呈现对称美，中间应预留空地作为通道． 【答案】（1）图中空地的面积表示为； （2）示意图见解析． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是列代数式、设计轴对称图案，解题关键是熟练掌握列代数式． （1）根据空地面积等于长方形面积减去三个圆的面积进行求解即可； （2）根据题意设计出方案，符合题意即可． 【小问1详解】 解：由题意得，空地面积为：， ； 【小问2详解】 解：（答案不唯一）如下图： 22. 如图，在中，．点在的延长线上，连结． （1）尺规作图：过点A求作的平行线，与、的交点分别为、； （2）在（1）的条件下，若点是的中点，．试求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握角的尺规作图、平行四边形的性质与判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，然后再以点A为圆心，根据角的尺规作图进行作图即可； （2）由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：为所求作的线，所作图形如下： 【小问2详解】 证明：， 四边形是平行四边形， ， ∵， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ． 23. 把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连结． （1）若，，，试求的值； （2）若，求证：的值是“黄金比”． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得出点坐标、反比例函数解析式，再将点坐标代入解析式即可求出； （2）证明，由相似三角形的性质可得，设，其中，则，推得，，，，由点、在图象上可得，配方法解一元二次方程求出的值即可得证． 【小问1详解】 解：当时，得， ，， 点， 点在的图象上， ， ， ， ，(舍去)， ． 【小问2详解】 证明：过点作轴于点， 又轴， ， ， ， ， ， 设，其中，则， ，，，， 点、在图象上， ， ， ， ， ，（舍去）， 即， 的值是“黄金比”． 【点睛】本题考查的知识点是反比例的函数图象与性质、配方法解一元二次方程、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握反比例的函数图象与性质． 24. 如图，点A、E在上，与的夹角为，连结，过A点作的切线． （1）试求的度数（用含有n的代数式表示）； （2）在的延长线上取一点D，以线段为一边作矩形，点C在射线上． ①当时，在n的变化过程中，探究线段与、之间是否存在某固定的数量关系？若存在，试求出它们的数量关系；若不存在，请说明理由； ②连结，当时，试求出的值． 【答案】（1） （2）①存在，；② 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后根据切线的性质可进行求解； （2）①连结交于点，由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； ②连结，由题意先得到点在线段上，过作，垂足为，则，，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①存在，； 连结交于点， 在矩形中，，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； ②连结， ∵， ∴不妨设，则，，， ， 又， ， 点在线段上； 过作，垂足为，则，， 方法一： 又矩形中，， ， ， ，， ， ， ， 在矩形中，，， ； 方法二： ，， ， ， 设，则， ， 在中，， 在中，， ， 解得， ，， 在矩形中，， ． 【点睛】本题主要考查切线性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 25. 如果直线经过抛物线的顶点，那么称直线为抛物线的准切线．如，直线经过抛物线的顶点，所以直线是抛物线的准切线． （1）若直线为抛物线的准切线，试求的值； （2）已知直线是抛物线（）的准切线，将直线向下平移个单位，得到新直线恰好也是抛物线的准切线． ①请求出直线的解析式； ②若当时，的最小值为，试求出的值． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键； （1）根据题意，求得顶点为，进而求解； （2）①根据题意，求得顶点为，进而求得的解析式，进而求得，进而求解；②根据题意，可得抛物线的表达式为，分当时，当，当时，分别求解即可； 【小问1详解】 解：， 顶点为， 直线为抛物线的准切线， ， 解得，； 【小问2详解】 ①， 顶点为， 直线向下平移个单位，得到直线：， 直线、都是抛物线的准切线， ∴方程解是， 即， ∵ 即直线的解析式为：， ②顶点为在直线：上， ∴， ， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， ∵，顶点为， i）当，即时，在，取得最小值， ∴， 解得，或（舍去）， ii）当，即时，在顶点处，取得最小值， ∴ ， iii）当，即时，在，取得最小值， ∴， 方程无解， 综上所述，或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$