第19章 一次函数 专题4 一次函数中直角三角形存在性问题 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题4   一次函数中直角三角形存在性问题

一、解决直角三角形存在性问题必备知识点

1、勾股定理

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（C为斜边最长，c＞a，c＞b ）

               

3.距离公式

两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：

4.垂直直线

若直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2垂直，那么

5.比例系数k的求法

若A(x1,y1),B(x2,y2),则kAB=

二、直角三角形存在性问题处理思路

1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论．

2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解）

即：如图：已知，两点是定点，找一点构成

方法：两线一圆

具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

                         

②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外）

③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外）

4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标．

【几何法】两线一圆得坐标

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C；

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角）

【代数法】勾股定理+距离公式

第一步：设点，利用距离公式分别表示出三边的平方

设点C坐标为（m，0）

则AC2=（m-1）2+（0-1）2，BC2=（m-4）2+（0-3）2，AB2=（1-4）2+（1-3）2

第二步：分类讨论

①若AB为斜边，则AB2=AC2+BC2；

②若BC为斜边，则BC2=AB2+AC2；

③若AC为斜边，则AC2=AB2+BC2；

第三步：带入数据，进行求值

例题1：（2023秋•泰和县期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P

在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 　                  　 ．

例题2：（2024秋•北碚区校级期末）如图，直线l1与坐标轴交于A、B两点，直线l2：y＝﹣x+2与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点E（1，n），2OB＝OC．

（1）用待定系数法求直线l1的解析式；

（2）F是直线l1上一点，若S△CDF＝2S△ABC，求点F的坐标；

（3）点P是直线BC上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得△QBE是以BE为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由

 

 

 

 

1．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B．

（1）求点B的坐标；

（2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由；

（3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围．

 

 

 

2．（2024秋•嘉兴期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，3）和点B（2，m）．

（1）用含k的代数式表示m．

（2）若m＞3，求k的取值范围．

（3）已知m＝0，C为x轴上一点．当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标．