第19章 一次函数 专题4 一次函数中直角三角形存在性问题 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

专题4 一次函数中直角三角形存在性问题 一、解决直角三角形存在性问题必备知识点 1、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，即三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（C为斜边最长，c＞a，c＞b ） 3.距离公式 两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为： 4.垂直直线 若直线l1：y1=k1x+b1与直线l2：y2=k2x+b2垂直，那么 5.比例系数k的求法 若A(x1,y1),B(x2,y2),则kAB= 二、直角三角形存在性问题处理思路 1.无图需分类讨论——经典运用：已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论． 2.“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知，两点是定点，找一点构成 方法：两线一圆 具体图解：①当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ②当时，过点作的垂线，点在该垂线上（除外） ③当时，以为直径作圆，点在该圆上（，除外） 4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（4，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标． 【几何法】两线一圆得坐标 （1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C； （3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C．（直径所对的圆周角为直角） 【代数法】勾股定理+距离公式 第一步：设点，利用距离公式分别表示出三边的平方 设点C坐标为（m，0） 则AC2=（m-1）2+（0-1）2，BC2=（m-4）2+（0-3）2，AB2=（1-4）2+（1-3）2 第二步：分类讨论 ①若AB为斜边，则AB2=AC2+BC2； ②若BC为斜边，则BC2=AB2+AC2； ③若AC为斜边，则AC2=AB2+BC2； 第三步：带入数据，进行求值 ( 典型例题 ) 例题1：（2023秋•泰和县期末）在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点P 在一次函数y＝x的图象上，则当△ABP为直角三角形时，点P的坐标是 　 　 ． 例题2：（2024秋•北碚区校级期末）如图，直线l1与坐标轴交于A、B两点，直线l2：y＝﹣x+2与坐标轴交于C、D两点，l1与l2交于点E（1，n），2OB＝OC． （1）用待定系数法求直线l1的解析式； （2）F是直线l1上一点，若S△CDF＝2S△ABC，求点F的坐标； （3）点P是直线BC上一点，将点P沿直线l2翻折得到点Q．问：是否存在点Q使得△QBE是以BE为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的Q点坐标，若不存在，请说明理由 ( 巩固练习 ) 1．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点，点A向上平移5个单位长度得到点B． （1）求点B的坐标； （2）在直线y＝﹣x﹣2上是否存在一点C，使得△ABC是直角三角形，若存在，求出C点坐标；若不存在，说明理由； （3）若一次函数y＝kx﹣2图象与线段AB存在公共点D，直接写出k的取值范围． 2．（2024秋•嘉兴期末）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，3）和点B（2，m）． （1）用含k的代数式表示m． （2）若m＞3，求k的取值范围． （3）已知m＝0，C为x轴上一点．当△ABC为直角三角形时，求点C的坐标． 3．（2024秋•镇海区校级期末）如图，直线y＝kx+6分别交x轴、y轴于点A、B，已知． （1）求A点坐标和直线AB的解析式； （2）已知点P为直线AB上一动点，将点P绕点C（1，0）顺时针旋转60°得到点Q，连结CQ、PQ、AQ． ①求∠CAQ的度数． ②当△APQ为直角三角形时，请直接写出点Q的坐标． 4．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）． （1）关于x、y的方程组的解为　　 ． （2）求△ABD的面积； （3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024秋•南岸区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与函数y＝﹣kx﹣1的图象交于点A（2，1）． （1）求k，b的值； （2）若函数y＝﹣kx﹣1的图象与y轴交于点B，函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C，求线段BC，AB的长； （3）在x坐标轴上存在点P，使△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求满足条件的点P坐标． 6．（2024秋•电白区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C（2，0）． （1）求直线AB和AC的表达式． （2）点P是y轴上一点，当PA+PC最小时，求点P的坐标． （3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标． 7．如图，一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）． （1）点A的坐标为　　；点B的坐标为　　； （2）求直线y＝kx+b的表达式； （3）在x轴上有一动点M（t，0），过点M做x轴的垂线与直线y＝x+2交于点E，与直线y＝kx+b交于点F，若EF＝OB，求t的值． （4）当点M（t，0）在x轴上移动时，是否存在t的值使得△CEF是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，直接答不存在． 8．（2024秋•江北区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，长方形OCBA的顶点C，A分别在x轴和y轴上，B（10，﹣8），P为边OC上一点，且CP：OP＝2：3，点Q（不与点A，P重合）为长方形OCBA边上一动点，作A关于直线PQ的对称点A′． （1）当Q在O点时，A′点的坐标为　　 ； （2）当A′P⊥AP时，求直线PQ的解析式； （3）当△A′BC是以BC为直角边的直角三角形时，请求出Q点的坐标． 9．（2024春•临泽县校级期中）我们曾探究过“函数y＝2x﹣5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式2x﹣5＞0的解集是y＝2x﹣5图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：kx+b＞0（或kx+b＜0）的解集，是函数y＝kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： （1）如图1，观察图象，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P（3，2），则不等式kx+b＜2的解集是 　 　 ． （2）如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为 　 　 ，不等式2x﹣1＞x+1的解集是 　 　 ． 【拓展延伸】： （3）如图3，一次函数y1＝﹣x+1和y2x﹣2的图象相交于点A，分别与x轴相交于点B和点C． ①结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是 　 　 ． ②若x轴上有一动点P（a，0），是否存在点P，使得△ABP为直角三角形，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2024秋•建湖县月考）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B． （1）求直线l2的函数表达式； （2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标； （3）在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024春•银州区校级月考）已知直线l1经过点（5，6），交x轴于点A（﹣3，0），直线l2：y＝3x交直线l1于点B． （1）求直线l1的解析式和点B的坐标． （2）求△AOB的面积． （3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2023秋•长兴县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝2x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线 CD：yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E，求△BDE面积； （3）如图2，在（2）的条件下，点F为线段AC上一动点，将△EFC沿直线EF翻折得到△EFN，EN交x轴于点M．当△MNF为直角三角形时，求点N的坐标． 13．（2023秋•连平县期末）如图1，已知直线与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A（1，2），两直线与x轴分别交于点B和点C． （1）求直线AB和AC的函数表达式； （2）求四边形AFOC的面积； （3）如图2，点P为线段BC上一动点，将△ABP沿直线AP翻折得到△APD，线段AD交x轴于点E．当△DPE为直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 14．（2024秋•温江区校级期末）如图1．函数与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A与点C关于y轴对称．设点P是直线AB上的一个动点（P不与B重合），过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，交x轴于点M． （1）若△PQB的面积为2，求点P的坐标； （2）是否存在点P，使∠POA＝∠BCA，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接BM，在点P的运动过程中是否存在点M，使△BMQ为直角三角形，若存在，请直接写出此时∠BMP与∠BAC的数量关系，若不存在，请说明理由． 15．（2024秋•平顶山期中）如图，已知直线l1：y＝kx+3（k≠0）经过点（4，6），交x轴于点A，交y轴于点C，直线交直线l1于点B，点B到y轴的距离为2． （1）求直线l1的函数表达式和点A、点B的坐标； （2）求△AOC的面积； （3）在x轴上是否存在点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2024春•湘桥区期末）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+4的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，与函数的图象交于点C（﹣2，m）． （1）求m和b的值； （2）函数的图象与x轴交于点D，点E从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点E的运动时间为t秒． ①当△ACE的面积为6时，求t的值； ②在点E运动过程中，是否存在t的值，使△ACE为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 17．（2024秋•兴宁市校级期中）已知如图，AE∥x轴，OA平分∠EOC，点A（2，2），点B（0，﹣2），AB交x轴于点D，AC⊥AB交x轴于点C，且AB＝AC． （1）求线段AB所在直线解析式； （2）点P为折线B﹣O﹣C上一动点，点P由点B出发向终点C以一个单位每秒的速度运动，设运动时间为t，△ACP的面积为S，用含t的式子表示面积S，并直接写出t的取值范围； （3）在②的条件下，是否存在时间t使得△OAP为直角三角形？若存在请求出t值，若不存在请说明理由． 18．（2024秋•历城区校级月考）已知：直线y6与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求出A、B两点的坐标； （2）求出OC的长； （3）点E是坐标轴上一点，若△ABE是直角三角形，求点E坐标． 19．（2024秋•从江县校级期中）已知函数y＝x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y＝kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y＝x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为（1，n）． （1）求k，b，n的值． （2）求四边形AOCD的面积． （3）在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 参考答案 例题1：解：∵一次函数y＝x+4的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∴AB2＝42+42＝32， 设点P的坐标为（x，y）， ∵点P在一次函数y＝x的图象上， ∴点P的坐标为（x，x）， 分三种情况： ①当∠APB＝90°时，如图， ∵△ABP为直角三角形， ∴AP2+BP2＝AB2， ∴（x+4）2+x2+x2+（4﹣x）2＝32， ∴x＝0， ∴点P的坐标是（0，0）； ②当∠PAB＝90°时，如图， ∵△ABP为直角三角形， ∴AP2+AB2＝PB2， ∴（x+4）2+x2+32＝x2+（4﹣x）2， ∴x＝﹣2， ∴点P的坐标是（﹣2，﹣2）； ③当∠PBA＝90°时，如图， ∵△ABP为直角三角形， ∴AB2+BP2＝AP2， ∴x2+（4﹣x）2+32＝（x+4）2+x2， ∴x＝2， ∴点P的坐标是（2，2）． 综上，点P的坐标是（0，0）或（﹣2，﹣2）或（2，2）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查勾股定理、一次函数的性质等，解决问题的关键是分类思想的运用． 例题2：解：（1）将点E（1，n）代入y＝﹣x+2得， n＝﹣1+2＝1， ∴E（1，1）， 当y＝0时，0＝﹣x+2， ∴x＝2， ∴C（2，0）， ∴2OB＝OC＝2， ∴OB＝1， ∴B（0，﹣1）， 设直线l1的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y＝2x﹣1； （2）如图1， 作FG⊥x轴于G，交CD于H， 设F（m，2m﹣1），则H（m，﹣m+2）， ∴FH＝|（2m﹣1）﹣（﹣m+2）|＝|3m﹣3|， 当y＝0时，0＝2x﹣1， ∴x， ∴OA， ∴AC＝OC﹣OA＝2， ∴S△ABC， ∴S△CDF＝2S△ABC， ∴， ∴|3m﹣3|•（xC﹣xD）＝3， ∴2|3m﹣3|＝3， ∴m或m， ∴2或， ∴F（）或（）； （3）如图2﹣1， ∵B（0，﹣1），C（2，0）， ∴直线BC的解析式为：y， 设P（t，）， 作PG∥x轴，交CD于G，连接QG，作PH∥y轴，交CD于H，连接QG，HQ， ∴PG＝QG，∠PGE＝∠QCE，∠HPG＝90°， ∵OD＝OC＝2，∠COD＝90°， ∴∠QCE＝∠PGE＝∠OCD＝45°， ∴∠PGO＝90°， ∵yG＝yP， ∴﹣x+2， ∴x＝3， ∴xQ＝xG＝3， 同理可得， ∠PHQ＝90°， ∴H（t，2﹣t）， ∴Q（3）， 当∠BEQ＝90°时， 由kEQ•kBE＝﹣1得， 2•kEQ＝﹣1， ∴kEQ， ∴直线EQ的解析式为：y， 将点Q（3）代入得， 2﹣t， ∴t， ∴Q（，）， 如图2﹣2， 当∠EBQ＝90°时， ∵，B（（0，﹣1）， ∴直线BQ的解析式为：y， 将Q（3）代入得， 2﹣t， ∴t， ∴3，2， ∴Q（）， 综上所述：Q（，）或（）． 【点评】本题考查了求一次函数的新教师及相关求值问题，两直线垂直的条件等知识，解决问题的关键是较强计算能力． 1.解：（1）∵点A（1，m）是直线y＝﹣x﹣2上一点， ∴m＝﹣1﹣2＝﹣3． ∴点A的坐标为（1，﹣3）， ∴点A向上平移5个单位长度得到点B的坐标为（1，2）； （2）存在， ①当∠B＝90°时，如图， ∵B（1，2），C点在y＝﹣x﹣2上， ∴2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣4， ∴C（﹣4，2）， ∴BC＝5， ∵点A向上平移5个单位长度得到点B， ∴AB＝BC＝5， ∴∠CAB＝45°， ②当∠ACB＝90°时，作CG⊥AB于G， ∵∠CAB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴G为AB中点， ∵点A的坐标为（1，﹣3），点B的坐标为（1，2）， ∴G（1，﹣0.5） ∵点C在y＝﹣x﹣2上， ∴﹣0.5＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣1.5， ∴C（﹣1.5，﹣0.5）． 综上，存在一点C，使得△ABC是直角三角形，C点坐标为（﹣4，2）或（﹣1.5，﹣0.5）； （3）当直线y＝kx﹣2过点A（1，﹣3）时， 得﹣3＝k﹣2，解得k＝﹣1． 当直线y＝kx﹣2过点B（1，2）时， 得2＝k﹣2，解得k＝4． 2.如图，若一次函数y＝kx﹣2与线段AB有公共点，则k的取值范围是﹣1≤k≤4且k≠0． 解：（1）由题意得：， 整理得：k； （2）∵m＞3， 故k0； （3）当m＝0时，一次函数的表达式为：yx，B（2，0），设点C（x，0）， 由点A、B、C的坐标得，AB2＝25，AC2＝（x+2）2+9，BC2＝（x﹣2）2， 当AB为斜边时，则25＝（x+2）2+9+（x﹣2）2， 则x＝2（舍去）或﹣2，即点C（﹣2，0）； 当AC或BC为斜边时，（x+2）2+9＝（x﹣2）2+25或25+（x+2）2+9＝（x﹣2）2， 解得：x＝2（舍去）或，即点C（，0）， 综上，点C（﹣2，0）或（，0）． 【点评】本题为一次函数综合题，涉及到直角三角形的性质、解不等式等，分类求解是解题的关键． 3.解：（1）当x＝0时，y＝6， ∴OB＝6， ∵， ∴， ∴OA＝2， ∴A（2）， ∴2， ∴k， ∴y； （2）①如图1， 在AB上截取AD＝AC，连接CD，作QE⊥x轴于点E， ∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝6， ∴AB4， ∴OA， ∴∠ABO＝30°， ∴∠CAD＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴CD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°， ∵点P绕点C（1，0）顺时针旋转60°得到点Q， ∴∠PCQ＝60°，CP＝CQ， ∴∠PCQ＝∠ACD， ∴∠PCQ﹣∠DCQ＝∠ACD﹣∠DCQ， ∴∠PCD＝∠CAQ， ∴△PCQ≌△QCA（SAS）， ∴∠CAQ＝∠PDC＝180°﹣∠ADC＝120°； ②如图1， 当∠AQC＝90°时， ∵∠CAQ＝120°，∠APQ＝60°， ∴∠ACP＝360°﹣120°﹣60°﹣90°＝90°， ∵C（1，0）， ∴当x＝﹣1时，y6， ∴CQ＝PC＝6， ∵∠PCQ＝60°， ∴∠QCE＝90°﹣∠PCQ＝30°， ∴QECQ，CE， ∴OE＝OC+CE＝1， ∴Q（）， 如图2， 当∠APQ＝90°， 同理可得， ∠ACQ＝90°，∠AQC＝30°， ∴CQ， ∴Q（1，）， 综上所述：Q（）或（1，）． 【点评】本题考查了求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 4.解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4）， ∴关于x、y的方程组的解是， ∴关于x、y的方程组的解是， 故答案为：； （2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4， 解得：b＝4， ∴B（0，4）， ∵A（0，﹣2）， ∴AB＝4﹣（﹣2）＝6， ∴S△ABD＝＝6； （3）存在， 如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴E（﹣2，0）； 当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E； 当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F， 设E（t，0）， 当y＝0时，4x+4＝0， ∴x＝﹣1， ∴C（﹣1，0）， ∵F（﹣2，0）， ∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t， ∵D（﹣2，﹣4）， ∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1， 在Rt△DEF中， DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20， 在Rt△CDF中， CD2＝12+42＝17， 在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2， ∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17， 解得t＝﹣18， ∴E（﹣18，0）， 综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）． 5.解：（1）在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b（k≠0）与函数y＝﹣kx﹣1的图象交于点A（2，1），把点A的坐标代入y＝﹣kx﹣1得： 1＝﹣2k﹣1， 解得：k＝﹣1， ∴y＝﹣x+b， 把点A的坐标代入y＝﹣x+b得： 1＝﹣2+b， 解得：b＝3； （2）由（1）可知两个函数解析式分别为y＝x﹣1和y＝﹣x+3； 对于y＝x﹣1，令x＝0，得y＝﹣1， ∴B（0，﹣1）； 对于y＝﹣x+3，令x＝0，得y＝3， ∴C（0，3）， ∴BC＝3﹣（﹣1）＝4； ∴； （3）若点P在x轴上，令P（t，0）， 根据勾股定理得：BP2＝t2+1，AP2＝1+（2﹣t）2， 当BP是直角三角形ABP的斜边，由勾股定理得：BP2＝AP2+AB2， ∴， 解得t＝3， ∴点P（3，0）； 当AP是直角三角形ABP的斜边，由勾股定理得：AP2＝BP2+AB2， ∴， 解得t＝﹣1， ∴点P（﹣1，0）， 综上所述，满足条件的点P（3，0）或（﹣1，0）． 【点评】本题属于一次函数综合题，考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 6.解：（1）把B（﹣3，0）代入y＝kx， ∴﹣3k0， ∴k， ∴直线AB的函数表达式为：yx， 把点C（2，0）代入y＝﹣2x+b， ∴﹣4+b＝0， ∴b＝4， ∴直线AC的函数表达式为：y＝﹣2x+4； （2）作A关于y轴的对称点A′，连接A′C与y轴的交点即为P点， 如图： 当﹣2x+4x时， 解得x＝1， 将x＝1，代入y＝﹣2x+4， 解得：y＝2． 所以A的坐标为：A（1，2） 作A关于y轴的对称点A′，则A′坐标为：A′（﹣1，2）， ∵A′（﹣1，2），C（2，0）； ∴设A′C所在直线解析式为：y＝mx+n，将A′，C代入得： ， 解得：， 即解析式为：yx， 令x＝0，y， 即P点坐标为：P（0，）． （3）△DEF为直角三角形，分两种情况讨论： ①当∠EDF＝90°时， 如图，由对折可得，∠ADB＝∠ADE135°， ∴∠ADO＝135°﹣90°＝45°， 过点A作AG⊥BC于G， ∴AG＝DG＝2， ∵OG＝1， ∴OD＝1， ∴D（﹣1，0）； ②当∠DFE＝90°时，如图所示： 由图可知：BG＝OB+OG＝4，AF＝2，F（1，0），OG＝1， 由对折得，AE＝AB＝2，BD＝DE， ∴EF＝AE﹣AF＝22， 设DF＝a，BD＝4﹣a，则DE＝4﹣a， 由勾股定理可知： DF2+EF2＝DE2， a2（4﹣a）2， 解得：a1， ∴BD＝4﹣（1）＝5， ∴OD＝OB﹣BD＝3﹣（5）2， ∵D在x轴负半轴， ∴D（2，0）． 综上所述：D点坐标为：（﹣1，0）或（2，0）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 7.解：（1）∵一次函数y＝x+2的图象与x轴和y轴分别交于点A和B， ∴令y＝0，则x＝﹣3；令x＝0，则y＝2， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，2）， 故答案为：（﹣3，0），（0，2） （2）∵直线y＝kx+b经过点B与点C（2，0）． ∴ 解得： ∴直线y＝kx+b的表达式为y＝﹣x+2． （3）∵ME⊥x轴， ∴点M、E、F的横坐标都是t， ∴点E（t，t+2），点F（t，﹣t+2） ∴EF＝|t|， ∵EF＝OB＝2， ∴2＝|t| ∴t＝± （4）当点M在点C左边时，点E与点A重合时， ∴∠CEF＝90°， ∴△CEF是直角三角形， ∴t＝﹣3； 当点M在点C右边，且∠ECF＝90°时， ∵∠ECF＝90°， ∴∠ECM+∠FCM＝90°，且∠ECM+∠CEF＝90°， ∴∠CEF＝∠FCM，且∠CMF＝∠CME＝90°， ∴△CME∽△FMC， ∴， ∴（t﹣2）2＝（t+2）（t﹣2） ∴t＝2（不合题意舍去），t＝12 综上所述：t＝﹣3或t＝12时，△CEF是直角三角形． 8.解：（1）∵B（10，﹣8）， ∴A（0，﹣8），C（10，0）， ∵作A关于直线PQ的对称点A′，当Q在O点时，则点A′与点A关于原点对称， ∴A′（0，8）， 故答案为：（0，8）； （2）∵A（0，﹣8），C（10，0），CP：OP＝2：3， ∴OP＝6， ∴P（6，0）， ∴， 当点A′在第四象限时，作A′G⊥x轴于点G，连接AA′交PQ于点E，如图1， 由对称的性质知PA′＝PA＝10，EA′＝EA， ∵A′P⊥AP， ∴∠AOA′＝∠A′GP＝∠AOP＝90°， ∴∠GPA′＝90°﹣∠OPA＝∠OAP， 在△GPA′和△OAP中， ， ∴△GPA′≌△OAP（AAS）， ∴A′G＝OP＝6，PG＝OA＝8， ∴OG＝6+8＝14， ∴A′（14，6）， ∴E（7，﹣7）， 设直线PQ的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴直线PQ的解析式为y＝﹣7x+42； 当点A′在第二象限时，作A′G⊥x轴于点G，连接AA′交PQ于点E，如图2， 由对称的性质知PA′＝PA＝10，EA′＝EA， ∵A′P⊥AP， ∴∠AOA′＝∠A′GP＝∠AOP＝90°， ∴∠GPA′＝90°﹣∠OPA＝∠OAP， ∴△GPA′≌△OAP（AAS）， ∴A′G＝OP＝6，PG＝OA＝8， ∴OG＝8﹣6＝2， ∴A′（﹣2，6）， ∴E（﹣1，﹣1）， 同理，直线PQ的解析式为； 综上，直线PQ的解析式为或y＝﹣7x+42； （3）当点A′在AB的延长线上时，此时∠A′BC＝90°，如图3， 显然PQ⊥x轴， ∴Q点的坐标为（6，﹣8）； 当点A′在CO的延长线上时，此时∠A'CB＝90°，如图4，连接AA′交PQ于点E， 由对称的性质知PA′＝PA＝10， ∴A′（﹣4，0）， ∴E（﹣2，﹣4）， 同理直线PQ的解析式为， 当x＝0时，y＝﹣3， ∴Q点的坐标为（0，﹣3）； 当点A′在OC的延长线上时，此时∠A'CB＝90°，如图5，连接AA′交PQ于点E， 由对称的性质知PA′＝PA＝10， ∴A′（16，0）， ∴E（8，﹣4）， 同理直线PQ的解析式为y＝﹣2x+12， 当x＝10时，y＝﹣8， ∴Q点的坐标为（10，﹣8）； 综上，Q点的坐标为（10，﹣8）或（0，﹣3）或（6，﹣8）． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了轴对称的性质，勾股定理，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 9.解：（1）观察图象知，不等式kx+b＜2的解集是x＞3， 故答案为：x＞3； （2）观察函数图象知，两直线的交点坐标为：（2，3），不等式2x﹣1＞x+1的解是x＜2， 故答案为：（2，3），x＞2； （3）①观察函数图象知，符合条件的点在点A、C之间， 联立两个一次函数得：﹣x+1x﹣2， 解得：x＝2，即点A（2，﹣1）， 令0x﹣2，则x＝4，即点C（4，0）； 故不等式组的解集为2＜x＜4， 故答案为：2＜x＜4； ②存在，理由： 由点A、B、P的坐标得，AB2＝2，AP2＝（a﹣2）2+1，BP2＝（a﹣1）2， 当AB为斜边时，AP垂直x轴，P（2、0）， 则10＝（a﹣2）2+9+（a﹣1）2， 解得：a＝1（舍去）或2， 即点P（2，0）； 当AP或BP为斜边时， 则（a﹣2）2+1＝（a﹣1）2+2或2+（a﹣2）2+1＝（a﹣1）2， 解得：a＝1（舍去）或3， 即点P（3，0）； 综上，P（2，0）或（3，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、解不等式，数形结合和分类求解是解题的关键． 10.解：（1）把x＝1代入y＝x+3得，y＝4， ∴C（1，4）， 设直线l2的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6； （2）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3， ∴B（﹣3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣3）＝6， 设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6）， MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6， 解得a＝3或a＝﹣1， ∴M（3，6）或（﹣1，2）． （3）存在，理由如下： 设点D为（m，0），A（3，0），C（1，4）， ∴AC2＝22+42＝20，CD2＝（1﹣m）2+42＝m2﹣2m+17，AD2＝（m﹣3）2＝m2﹣6m+9， 由题意可得△ACD是直角三角形需分两种情况讨论： ①∠ADC＝90°，此时点D的坐标为（1，0）； ②∠ACD＝90°，AC2+CD2＝AD2， 即20+m2﹣2m+17＝m2﹣6m+9，解得：m＝﹣7， 此时点D的坐标为（﹣7，0）； 综上所述，存在满足条件的点D的坐标为（1，0）或（﹣7，0）． 【点评】本题考查的是一次函数综合运用，考查了一次函数的性质，勾股定理的运用，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 11.解：（1）已知直线l1经过点（5，6），交x轴于点A（﹣3，0），设直线l1的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（5，6）及点A的坐标代入得： ， 解得， ∴直线l1的函数表达式为． 联立， 解得：， ∴点B的坐标为（1，3）； （2）∵A（﹣3，0），B（1，3）， ∴； （3）在x轴上存在点P，使得△PAB是直角三角形；理由如下： ∵点P在x轴上， ∴∠BAP≠90°， ∴当△PAB是直角三角形时，需分∠APB＝90°和∠ABP＝90°两种情况． ①当∠APB＝90°时，点P在图中P1的位置： ∵点A和点P1均在x轴上， ∴BP1⊥x轴． ∵B（1，3）， ∴P1（1，0）； ②当∠ABP＝90°时，点P在图中P2的位置： 设P2（m，0），（m＞0） ∵A（﹣3，0），B（1，3），P1（1，0）， ∴AP1＝4，BP1＝3，P1P2＝m﹣1，AP2＝m+3， ∴． 在Rt△ABP2中，由勾股定理得：， 在Rt△BP1P2中，由勾股定理得：， ∴， 即（m+3）2﹣52＝32+（m﹣1）2， 解得， ∴． 综上可知，在x轴上存在点P，使得△PAB是直角三角形，点P的坐标为（1，0）或． 【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 12.解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+b得﹣4+b＝0，， ∴b＝4， ∴直线AB：y＝2x+4； （2）∵直线AB：y＝2x+4， ∴点B的坐标为（0，4）， ∵直线 CD：yx与x轴、y轴、直线AB分别交于点C、D、E， 当x＝0时，y，当y＝0时，0x，解得x＝3， ∴C（3，0）、D（0，）， 联立yx与y＝2x+4得，解得， ∴E（﹣1，2）， ∴BD＝4， ∴S△BDEBD×11， ∴△BDE的面积为； （3）如图2，当∠MFN＝90°时，过点E作EH⊥x轴于H， 由翻折得∠EFC＝∠EFN（360°﹣90°）＝135°， ∴∠EFO＝135°﹣90°＝45°， ∵E（﹣1，2）， ∴EH＝2，OH＝1， ∴EH＝FH＝2， ∴OF＝FH﹣OH＝2﹣1＝1， ∵C（3，0）， ∴CF＝OC﹣OF＝3﹣1＝2， 由翻折得FN＝CF＝2， ∴点N的坐标为（1，﹣2）； 如图3，当∠FMN＝90°时， 由翻折得EN＝EC， ∵E（﹣1，2），C（3，0）， ∴EM＝2，EC2， ∴MN＝EN﹣EM＝22， ∴点N的坐标为（﹣1，2﹣2）； 综上，点N的坐标为（1，﹣2）或（﹣1，2﹣2）． 【点评】此题为一次函数的综合题，考查了待定系数法，两直线的交点，勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，解题的关键是数形结合以及分类思想的运用． 13.解：（1）将点A的坐标分别代入两个函数表达式得： ，解得：， 则直线AB的表达式为：yx，则点B（﹣3，0）， 直线CA的表达式为：y＝﹣2x+4，则点C（2，0）； （2）四边形AFOC的面积＝S△ABC﹣S△OBF53； （3）△DEP为直角三角形，分两种情况讨论： ①当∠EPD＝90°时， 如图，由对折可得，∠APB＝∠APD（360°﹣90°）＝135°， ∴∠APO＝135°﹣90°＝45°， 过点A作AG⊥BC于G， ∴AG＝PG＝2， ∵OG＝1， ∴OP＝1， ∴P（﹣1，0）； ②当∠PED＝90°时，如图所示： 由图可知：EB＝OB+EO＝4，AE＝2， ∴AB2 由对折得，AD＝AB＝2， ∴DE＝AD﹣AE＝22， 设PE＝a，BP＝4﹣a，则PD＝4﹣a， 由勾股定理可知：DE2+PE2＝DP2， 则a2+（22）2＝（4﹣a）2， 解得：a1， ∴PE1， ∴PO2， ∵P在x轴负半轴， ∴P（2，0）． 综上所述：P点坐标为：（﹣1，0）或（2，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，角平分线的性质，直角三角形的性质和判定，翻折的性质等，构造出图形是解本题的关键． 14.解：（1）设P（m，m+3）， ∴Q（m，m+3）， ∴△PQB的面积|m+3m﹣3|＝2， ∴m＝±2， ∴P（2，4）或（﹣2，2）； （2）存在，理由： ∵∠POA＝∠BCA， ∴PO∥BC， 则直线PO解析式为yx， 联立yx和yx+3得：xx+3， 解得：x＝﹣3， 即P（﹣3，）； （3）∠BMP＝∠BAC，理由： 当点P在y轴的左侧时， 由题意得，∠BAC＝∠BCA＝α， 当△BMQ为直角三角形，则∠MBQ＝90°， 则∠MBC＝90°＝∠α+∠BMC， 而∠PMO＝∠BMP+∠BMC＝90°， ∴α＝∠BMP， 即∠BMP＝∠BAC； 当点P在y轴的右侧时， 同理可得：BMP＝∠BAC． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，直角三角形的判定，坐标轴上点的特点，分类讨论是解本题的关键． 15.解：（1）∵yx交直线l1于点B，点B到y轴的距离为2， 把x＝2代入得：y， ∴B（2，）； 设直线l1的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．把（4，6），B（2，）代入得： ∴， 解得， ∴直线l1的函数表达式为yx+3， 令y＝0得：x+3＝0， 解得：x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）； （2）直线l1：yx+3交y轴于点C， 当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， ∴S△AOC3×4＝6； （3）在x轴上存在点P，使得△ABP是直角三角形；理由如下： ∵点P在x轴上， ∴∠BAP≠90°， ∴当△ABP是直角三角形时，需分∠APB＝90°和∠ABP＝90°两种情况： 如图， ①当∠APB＝90°时，点C在图中P1的位置： ∵点A和点P1均在x轴上， ∴BP1⊥x轴． ∵B（2，）， ∴P1（2，0）； ②当∠ABP＝90°时，点P在图中P2的位置： 设P2（m，0），（m＞0）， ∵A（﹣4，0），B（2，），P1（2，0）， ∴AP1＝6，BP1，P1P2＝m﹣2，AP2＝m+4， ∴AB， 在Rt△ABP2中，AB2， 在Rt△BC1C2中，， ∴AB2， 即（m+4）2﹣（）2＝（）2+（m﹣2）2， 解得m， ∴P2（，0）， 综上可知，在x轴上存在点P，使得△ABP是直角三角形；点P的坐标为（2，0）或（，0）． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 16.解：（1）∵点C（﹣2，m）在直线y＝﹣x+4上， ∴m＝﹣（﹣2）+4＝2+4＝6， ∴点C（﹣2，6）， ∵函数yx+b的图象过点C（﹣2，6）， ∴6（﹣2）+b，得b， 即m的值是6，b的值是； （2）①∵函数y＝﹣x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴点A（4，0），点B（0，4）， ∵函数yx的图象与x轴交于点D， ∴点D的坐标为（﹣20，0）， ∴AD＝24， ∵△ACE的面积为6， ∴6（24﹣2t）＝6， 解得，t＝11． 即当△ACE的面积为6时，t的值是11； ②当t＝6或t＝9时，△ACE是直角三角形， 理由：当∠ACE＝90°时，AC⊥CE， ∵点A（4，0），点B（0，4），点C（﹣2，6），点D（﹣20，0）， ∴OA＝OB，AC＝6， ∴∠BAO＝45°， ∴∠CAE＝45°， ∴∠CEA＝45°， ∴CA＝CE＝6， ∴AE＝12， ∵AE＝24﹣2t， ∴12＝24﹣2t， 解得，t＝6； 当∠CEA＝90°时， ∵AC＝6，∠CAE＝45°， ∴AE＝6， ∵AE＝24﹣2t， ∴6＝24﹣2t， 解得，t＝9； 由上可得，当t＝6或t＝9时，△ACE是直角三角形． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、动点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 17.解： （1）设直线AB解析式为y＝kx+b， 把A、B坐标代入可得，解得， ∴直线AB解析式为y＝2x﹣2； （2）过A作AF⊥x轴于点F，如图1， ∵A点坐标为（2，2）， ∴AE＝AF＝2，且AB＝AC， 在Rt△ABE和Rt△ACF中 ∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL）， ∴CF＝BE＝4， ∴OC＝OF+CF＝2+4＝6， 又B（0，﹣2）， ∴OB＝2， ∴OB+OC＝2+6＝8， ∴t的取值范围为0≤t≤8， 当0≤t＜2时，即点P在线段OB上时，连接AP交x轴于点G，如图2， 则PB＝t，且OB＝2， ∴OP＝2﹣t， ∴P（0，t﹣2）， 设直线AP解析式为y＝mx+n， 把A、P坐标代入可得，解得， ∴直线AP解析式为yt﹣2， 令y＝0，可解得x， ∴OG， ∴CG＝OC﹣OG＝6， ∴S＝S△ACP＝S△AGC+S△PGCCG•OECG•OP（2+2﹣t）＝10﹣2t； 当2≤t≤8时，即点P在线段OC上时，如图3， 则OB+OP＝t， ∴PC＝8﹣t， ∴S＝S△ACPPC•OE（8﹣t）×2＝8﹣t； 综上可知S，其中t的取值范围为0≤t≤8； （3）∵∠AOB＞90°， ∴当点P在线段OB上时， ∴当△AOP为直角三角形时，则点P在线段OC上， 分∠OPA＝90°和∠OAP＝90°两种情况： ①当∠OPA＝90°时，连接AP，如图4， ∵A点坐标为（2，2）， ∴OP＝AP＝2， ∴t＝OB+OP＝2+2＝4； ②当∠OAP＝90°，连接AP，过A作AH⊥x轴于点H，如图5， 同①可知AH＝OH＝2， ∴∠AOP＝45°， ∴AO＝AP＝2， ∴OP＝4， ∴t＝OB+OP＝2+4＝6； 综上可知当t为4s或6s时，△OAP为直角三角形． 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积和勾股定理等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中分两种情况，分别用t表示出△ACP的底是解题的关键，在（3）中分两种情况分别求得OP的长是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大． 18.解：（1）如图1，直线yx+6，当y＝0时，由0x+6得，x＝﹣8；当x＝0时，y＝6， ∴A（﹣8，0），B（0，6）； （2）如图1，由折叠得，DB＝OB＝6，DC＝OC，∠BDC＝∠BOC＝90°， ∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，AC＝8﹣OC， ∵AB＝10， ∴AD＝10﹣6＝4， ∵CD2+AD2＝AC2， ∴OC2+42＝（8﹣OC）2， 解得，OC＝3； （3）当∠AOB＝90°时，则点E（0，0）； 当∠ABE＝90°时，如图，设直线BE的解析式为yx+6， 当y＝0时，x， ∴点E（，0）； 当∠BAE＝90°时，如图，设AE的解析式为yx+n， ∴0（﹣8）+n， ∴n， ∴点E（0，）， 综上所述：点E的坐标为（0，0）或（，0）或（0，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 19.解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1，即A（0，1）， 把B（0，﹣1）代入y＝kx+b中，得：b＝﹣1， 把D（1，n）代入y＝x+1得：n＝2，即D（1，2）， 把D坐标代入y＝kx﹣1中得：2＝k﹣1，即k＝3； （2）过D作DE⊥x轴，垂足为E，如图1， 由（1）可知：一次函数CD的解析式为y＝3x﹣1， ∴令y＝0，则有3x﹣1＝0，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形；理由如下： 解：如图2所示，设P（p，0）， ∴， PD2＝22+（p﹣1）2， ， 分两种情况考虑： ①当DP′⊥DC时，P′C2＝P′D2+CD2， ∴， ∴p＝7， ∴P′（7，0）； ②当DP⊥CP时，由D横坐标为1，得到P横坐标为1， ∵P在x轴上， ∴P的坐标为（1，0）， 综上，在x轴上存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形；P的坐标为（1，0）或（7，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$