第五单元认识方程·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）北师大版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元认识方程·单元复习篇【四大篇章】 一、用字母表示数。 1.用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律。 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 二、解简易方程。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 三、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 【第一部分】计算与算法技巧 【高频考题01】含字母式子的化简。 1．直接写出得数。 m×4＝            ＋3＝                 6－2＝ ×b＝             n×n＝                     0.32＝ 【答案】4m；4a；4x； ab；n2；0.09； 【详解】略 2．直接写出得数。                                                   【答案】14.5y；21b；10；0.16 16m；0.4x；2a－2； 【详解】略 【高频考题02】解方程。 1．解方程。                【答案】x＝9；x＝10；x＝4 【分析】第一个：根据等式的性质1，等式两边同时加上18，再根据等式的性质2，等式两边同时除以6即可求解； 第二个：先化简等号左边的式子，即13x＝130，再根据等式的性质2，等式两边同时除以13即可求解； 第三个：先根据等式的性质1，等式两边同时加上3x，再同时减23，之后根据等式的性质2，等式两边同时除以3即可求解。 【详解】6x－18＝36 解：6x－18＋18＝36＋18 6x＝54 6x÷6＝54÷6 x＝9 8x＋5x＝130 解：13x＝130 13x÷13＝130÷13 x＝10 35－3x＝23 解：35－3x＋3x－23＝23＋3x－23 12＝3x 3x÷3＝12÷3 x＝4 2．解方程。 7x－8＝55              9y－5y＝76           0.9x－4×5＝16 【答案】x＝9；y＝19；x＝40 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时加上8，再同时除以7，求出方程的解； （2）先把方程化简成4y＝76，然后方程两边同时除以4，求出方程的解； （3）先把方程化简成0.9x－20＝16，然后方程两边先同时加上20，再同时除以0.9，求出方程的解。 【详解】（1）7x－8＝55 解：7x－8＋8＝55＋8 7x＝63 7x÷7＝63÷7 x＝9 （2）9y－5y＝76 解：4y＝76 4y÷4＝76÷4 y＝19 （3）0.9x－4×5＝16 解：0.9x－20＝16 0.9x－20＋20＝16＋20 0.9x＝36 0.9x÷0.9＝36÷0.9 x＝40 【高频考题03】看图列方程。 1．看图列方程，并求出方程的解。 【答案】x＋3x＝80 x＝20 【分析】看图可知，儿童人数是成人的3倍，根据成人人数＋儿童人数＝80，列出方程求出x的值即可。 【详解】x＋3x＝80 解：4x÷4＝80÷4 x＝20 2．看图列方程，并求出方程的解。      【答案】30×2＋2x＝158 x＝49 【分析】看图可知，2个30和2个x的和是158，可以列出方程30×2＋2x＝158，根据等式的性质1和2，两边同时－30×2的积，再同时÷2，即可求出方程的解。 【详解】30×2＋2x＝158 解：60＋2x＝158 60＋2x－60＝158－60 2x＝98 2x÷2＝98÷2 x＝49 3．看图列方程，并求出方程的解。    【答案】（x＋5）×2＝36 x＝13 【分析】根据（长＋宽）×2＝长方形的周长，列出方程求出x的值即可。 【详解】（x＋5）×2＝36 解：（x＋5）×2÷2＝36÷2 x＋5＝18 x＋5－5＝18－5 x＝13 【高频考题04】用字母表示数或式子。 1．武汉到上海的水路长1125千米，一艘轮船以每小时26千米的速度从武汉驶往上海。 （1）开出t小时后，距武汉有多少千米？当时，距武汉有多少千米？ （2）开出t小时后，距上海还有多少千米？当时，距上海还有多少千米？ 【答案】（1）26t千米；260千米 （2）（1125－26t）千米；605千米 【分析】（1）由于从武汉出发，即走的路程就是距武汉多远，根据公式：路程＝速度×时间，把字母和数代入公式即可；当t＝10时，把数代入刚刚求出式子即可求解。 （2）由于开出t小时后，距离上海多远，用武汉到上海的路程减去已经走的路程即可求解；之后再把t＝20时，代入求的式子即可。 【详解】（1）距离武汉：26×t＝26t（千米） 当t＝10时， 26×10＝260（千米） 答：开出t小时后，距武汉26t千米，当t＝10时，距武汉260千米。 （2）（1125－26t）千米 当t＝20时 1125－26×20 ＝1125－520 ＝605（千米） 答：开出t小时后，距上海还有（1125－26t）千米，当t＝20时，距上海还有605千米。 【点睛】本题主要考查用字母表示数以及含有字母的式子求值，要注意数字和字母相乘，乘号可以省略，数字在前，字母在后。 2．学校购买160套（一桌一椅）课桌椅，每张课桌a元，每把椅子b元。 （1）用含有字母的式子表示这批课桌椅的总价钱。 （2）当a＝75，b＝45时，学校买课桌椅一共花了多少钱？ 【答案】（1）（160a＋160b）元 （2）19200元 【分析】（1）每张课桌a元，每把椅子b元，则一套桌椅价格是 （a＋b）元，再求出160套的价格即可； （2）把字母的值代入式子中求出学校买课桌椅一共花的钱数即可。 【详解】（1）（a＋b）×160＝160a＋160b（元） 答：这批课椅的总价钱是（160a＋160b）元。 （2）当a＝75，b＝45时， 160a＋160b＝160×75＋160×45＝19200 答：学校买课桌椅一共花了19200元钱。 【点睛】本题考查用字母表示用字母表示数，解答本题的关键是掌握代入求值得计算方法。 【高频考题05】用字母表示周长或面积。 1．下图是一个长方形，在长方形里剪去一个最大的正方形。请用字母表示出剩余部分的周长和面积。 【答案】周长是2a，面积是ab－b2 【分析】要在长方形里剪去一个最大的正方形，则以长方形的宽b为正方形的边长，剩余部分长和宽是b，（a－b），据此求出剩余部分的周长和面积。 【详解】剪去的最大正方形的边长是b，剩余部分长和宽是b，（a－b），所以剩余部分的周长＝（b＋a－b）×2＝2a；面积＝b×（a－b）＝ab－b2。 【点睛】熟练掌握长方形和正方形的周长和面积公式是解题的关键。 2．下图是小宁家的客厅和厨房的平面图。 （1）用含有字母的式子表示小宁家的客厅和厨房的总面积。 （2）当a＝8时，小宁家的客厅和厨房的总面积是多少平方米？ 【答案】（1）4a＋11.2平方米 （2）43.2平方米 【分析】（1）客厅和厨房都是长方形，长方形的面积＝长×宽，表示出客厅和厨房面积，相加即可； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）4a＋2.8×4＝4a＋11.2（平方米） 答：小宁家的客厅和厨房的总面积是4a＋11.2平方米。 （2）4a＋11.2 ＝4×8＋11.2 ＝32＋11.2 ＝43.2（平方米） 答：小宁家的客厅和厨房的总面积是43.2平方米。 【点睛】当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。 【高频考题06】用字母表示数形规律。 1．创意拼摆找规律。 如上图：搭一个三角形需要3根火柴棒； （1）按图2的方式搭2个三角形需要5根火柴棒……，照此搭下去，搭10个三角形要（     ）根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭n个三角形需要（     ）根火柴棒。 （3）当n＝100时，计算总共需要的火柴棒。 【答案】（1）21；（2）2n＋1；（3）201 【分析】看图，摆1个三角形需要1×2＋1＝3（根）火柴棒，摆2个三角形需要2×2＋1＝5（根）火柴棒，摆3个三角形需要3×2＋1＝7（根）火柴棒，据此推理摆n个火柴棒需要n×2＋1＝2n＋1（根）火柴棒。据此，将n＝10和n＝100分别代入2n＋1中，求出（1）和（3）即可。 【详解】（1）10×2＋1 ＝20＋1 ＝21（根） 所以，搭10个三角形要21根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭n个三角形需要（2n＋1）根火柴棒。 （3）当n＝100时，有： 100×2＋1 ＝200＋1 ＝201（根） 答：当n＝100时，总共需要的火柴棒为201根。 【点睛】本题考查了含有字母式子的求值和图形的变化规律，能根据图形变化归纳出规律是解题的关键。 2．一张长方形桌子可以坐6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐60人？ 【答案】（1）（2x＋4）人 （2）34人 （3）28张 【分析】把左右两边的4人单独看，一张桌子对应2人，则x张桌子可以坐（2x＋4）人，再把x＝15代入求出人数；用60人减去4人，再除以2，求出桌子的数量即可。 【详解】（1）2×x＋4＝2x＋4 答：x张桌子可以坐（2x＋4）人。 （2）当x＝15时， 2x＋4＝2×15＋4＝34 答：一共可以坐34人。 （3）（60－4）÷2 ＝56÷2 ＝28（张） 答：摆28张桌子可以坐60人。 【点睛】 本题考查字母式的化简与求值，解答本题的关键是掌握字母式的化简与求值的计算方法。 【高频考题07】方程与等式。 1．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( )个，方程有( )个。 【答案】 3/三 2/两/二 【分析】表示相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程，据此分析。 【详解】在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有y＋a＝8、15x＝0、9＋6＝15，共3个；方程有y＋a＝8、15x＝0，共2个。 【点睛】方程一定是等式，等式不一定是方程。 2．在①、②、③、④中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 【答案】 ①② ① 【分析】含有等号的式子叫做等式；含有未知数的等式叫做方程，由方程的意义可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个条件缺一不可，据此判断。 【详解】在①、②、③、④中，是等式的有①、②；是方程的有①。 【点睛】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式才是方程。 【高频考题08】等式的性质。 1．如果x＝y，根据等式的性质填空。 x＋3＝y＋( )    x－( )＝y－5    x－( )＝y－a x÷8＝y÷( )    x×( )＝y×12    x÷( )＝y÷2.5 【答案】 3 5 a 8 12 2.5 【分析】根据等式的基本性质：等式的两边同时加或减同一个数，同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。据此解答。 【详解】x＋3＝y＋（3）    x－（5）＝y－5    x－（a）＝y－a x÷8＝y÷（8）    x×（12）＝y×12    x÷（2.5）＝y÷2.5 2．⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 【答案】 0.8 0.4 【分析】观察可知，算式⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2包含3个⊙和2个★，算式⊙＋★＋★＝1.6包含1个⊙和2个★，将两个算式的结果相减，剩下2个⊙的结果，除以2是⊙；再将⊙的值代入⊙＋★＋★＝1.6，1.6减去⊙的值，除以2是★的值。 【详解】（3.2－1.6）÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 （1.6－0.8）÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4 ⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝0.8，★＝0.4。 【点睛】关键是利用等量代换的思想，将2个★抵消，先求出⊙的值。 【第二部分】应用与解决问题 【高频考题01】列方程解应用题“基础版”。 1．长江是我国第一长河，长6300千米，比黄河长836千米。黄河长多少千米？ 【答案】5464千米 【分析】根据题意可知，“黄河的长度＋836＝长江的长度”，据此列方程解答即可。 【详解】解：设黄河长x千米。 x＋836＝6300 x＋836－836＝6300－836 x＝5464 答：黄河长5464千米。 【点睛】明确长江与黄河的长度关系，进而确定等量关系式是解答本题的关键。 2．王叔叔坚持锻炼，两个月体重减了3千克。王叔叔现在体重93千克，两个月前他的体重是多少千克？（列方程解决实际问题。） 【答案】96千克 【分析】设两个月前他的体重是x千克，根据两个月前体重－3＝现在体重，列出方程解答即可。 【详解】解：设两个月前他的体重是x千克。 x－3＝93 x－3＋3＝93＋3 x＝96 答：两个月前他的体重是96千克。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．每盏路灯要装5个灯泡，解放街一共需要装140个灯泡。这条街一共有多少盏路灯？（列方程解决实际问题。） 【答案】28盏 【分析】设这条街一共有x盏路灯，根据每盏路灯装的灯泡数量×路灯数量＝140，列出方程解答即可。 【详解】解：设这条街一共有x盏路灯。 5x＝140 5x÷5＝140÷5 x＝28 答：这条街一共有28盏路灯。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 4．同学们去植树，五年级种了90棵，比四年级种的2倍多26棵，四年级种了多少棵树？（列方程解答） 【答案】32棵 【分析】设四年级种树x棵，则五年级种树（2x＋26）棵，根据数量关系：五年级种的棵树＝四年级种的棵树×2＋26，列出方程，最后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设四年级种树x棵。 答：四年级种了32棵树。 【点睛】解答本题的关键是找出题目中包含的数量关系。 【高频考题02】列方程解应用题“进阶版”。 1．学校购置了7张桌子和15把椅子，一共用去3000元。已知1张桌子的价钱相当于5把椅子的价钱。每张桌子多少元？每把椅子多少元？ 【答案】300元；60元 【分析】假设一把椅子的价钱是x元，则一张桌子的价钱是5x元，根据题目中的数量关系：7×一张桌子的价钱＋15×一把椅子的价钱＝3000元，据此列出方程，解方程即可分别求出每张桌子和每把椅子的价钱。 【详解】解：设一把椅子的价钱是x元，则一张桌子的价钱是5x元。 7×5x＋15×x＝3000 35x＋15x＝3000 50x＝3000 50x÷50＝3000÷50 x＝60 60×5＝300（元） 答：每张桌子300元，每把椅子60元。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把一把椅子的价钱设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 2．2022年6月1日零时，国内成品油价格再次上调，汽油每吨上调400元。各地区92号汽油平均价格为每升9元，比去年同时期的2倍少4.6元，去年6月92号汽油的平均价格是每升多少元？（用方程解答） 【答案】6.8元 【分析】由题可知，今年各地区92号汽油平均价格为每升9元，比去年同时期的2倍少4.6元，可以设去年6月92号汽油的平均价格是每升x元，用去年的平均油价乘2减去4.6元，就是今年的平均油价，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设去年6月92号汽油的平均价格是每升x元， 2x－4.6＝9 2x－4.6＋4.6＝9＋4.6 2x＝13.6 2x÷2＝13.6÷2 x＝6.8 答：去年6月92号汽油的平均价格是每升6.8元。 【点睛】解答此类题的关键是弄清题里的数量关系。 3．两个工程队共同开凿一条775米长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。甲队每天开凿13.6米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 【答案】17.4米 【分析】设乙队每天开凿米，根据“（甲队每天开凿米数＋乙队每天开凿米数）×25＝隧道长度775米”这个等量关系，列方程解答。 【详解】解：设乙队每天开凿米。 答：乙队每天开凿17.4米。 【点睛】考查应用列方程解决实际问题，解题关键要找到题目中的等量关系，再列方程求解。 4．甲、乙两站相距255千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两站相对开出，2.5小时相遇。客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】54千米 【分析】假设货车每小时行驶x千米，根据客车和货车两车的速度和是（x＋48）千米/时，相遇时间是2.5小时，根据相遇时间×速度和＝路程，据此列出方程，解方程即可求出货车每小时行驶多少千米。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米， （x＋48）×2.5＝255 （x＋48）×2.5÷2.5＝255÷2.5 x＋48＝102 x＋48－48＝102－48 x＝54 答：货车每小时行驶54千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题，把货车的速度设为未知数x，利用题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 5．一辆客车和一辆轿车同时沿S4成宜昭高速公路从宜宾西收费站开往成都，轿车每时行驶100km，客车每时行驶75km。经过多少时间后，轿车比客车多行驶40km？（用方程解答） 【答案】1.6小时 【分析】可以设经过的时间为x小时，因为轿车行驶的路程－客车行驶的路程＝40千米，可以据此等量关系列方程解答。 【详解】解：设经过x小时，轿车比客车多行驶40千米。 100x－75x＝40 25x＝40 25x÷25＝40÷25 x＝1.6 答：经过1.6小时，轿车比客车多行驶40千米。 【点睛】明确题干中的等量关系是解题的关键。 【高频考题03】列方程解应用题“拓展版”。 1．小春读一本小说，若每天读35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读40页，则最后一天要少读5页，如果他每天读39页，最后一天应读多少页才按规定时间读完？ 【答案】42页 【分析】假设读完全书的规定时间是x天，则这本小说的总页数有35×（x＋1）页，因为总页数不变，所以这本小说的总页数还可以表示成（40x－5）页，据此列出方程，求出读完全书的规定时间，继而求出这本小说的总页数，如果他每天读39页，求出他在（规定时间－1）天里读的页数，再用这本小说的总页数减去读了的页数，即可求出最后一天应读多少页才按规定时间读完。 【详解】解：设读完全书的规定时间是x天， 35×（x＋1）＝40x－5 35x＋35＝40x－5 35x＋35＋5＝40x－5＋5 35x＋40＝40x 35x＋40－35x＝40x－35x 40x－35x＝40 5x＝40 5x÷5＝40÷5 x＝8 35×（8＋1）－39×（8－1） ＝35×9－39×7 ＝315－273 ＝42（页） 答：最后一天应读42页才按规定时间读完。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把读完全书的规定时间设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 2．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。在这16名工人中部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元。若此车间一共获利1408元，求这一天有几个工人加工甲种零件？ 【答案】8个 【分析】设这一天有x个工人加工甲种零件，则有16－x个工人加工乙种零件，根据加工甲种零件人数×每天加工个数×每个获利钱数＋加工乙种零件人数×每天加工个数×每个获利钱数＝1408元，列出方程解答即可。 【详解】解：设这一天有x个工人加工甲种零件。 5x×16＋（16－x）×4×24＝1408 80x＋1536－96x＝1408 16x÷16＝128÷16 x＝8 答：这一天有8个工人加工甲种零件。 【点睛】关键是理解数量关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共77元，其中1元与2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2倍。问小王身上有多少张10元纸币？ 【答案】2张 【分析】根据题意知本题的数量关系：1×1元的张数＋2×2元的张数＋5×5元的张数＋10×10元的张数＝77元，设10元的有x张，则5元的有（7－x）张，2元的有2×（7－x）张，1元的就有22－2×（7－x）张。据此可列出方程进行解答。 【详解】解：设10元的有x张，则5元的有（7－x）张，2元的有2×（7－x）张，1元的就有22－2×（7－x）张。 10x＋5×（7－x）＋2×2×（7－x）＋22－2×（7－x）＝77 10x＋35－5x＋28－4x＋22－14＋2x＝77 3x＝6 x＝2 答：小王身上有2张10元纸币。 【点睛】做“鸡兔同笼”问题一般用假设法进行解答。也可用列方程解答。 一、填空题。 1．2023·湖南邵阳·期末）在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有( )。 【答案】①⑤ 【分析】根据方程的意义可知，含有未知数的等式叫方程，据此解答。 【详解】①65＋x＝124，含有未知数且是等式，所以65＋x＝124是方程； ②4a－8＞0，含有未知数但不是等式，所以4a－8＞0不是方程； ③10÷2.5＝4，是等式但不含未知数，所以10÷2.5＝4不是方程； ④8x＋x，含有未知数但不是等式，所以8x＋x不是方程； ⑤y÷8＝1.5，含有未知数且是等式，所以y÷8＝1.5是方程。 因此在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有：①⑤。 2．（2023·全国·期末）当x＝5时，x2＝( )，3x＋9＝( )。 【答案】 25 24 【分析】x2表示2个x相乘，3x＋9表示3和x相乘的积再加上9，据此将x＝5代入计算即可。 【详解】当x＝5时， x2＝52＝25 3x＋9 ＝3×5＋9 ＝15＋9 ＝24 3．（2023·河北承德·期末）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 (1)王叔叔每小时加工m个零件，t小时共加工( )个零件。 (2)图书馆有x本书，借出358本，还剩( )本。 (3)老师用200元买了3个足球，每个足球x元，应找回( )元。 (4)人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身高是bcm，晚上身高可能是( )cm。 【答案】(1)tm/mt (2)x－358 (3)200－3x (4)b－2 【分析】找到题目中的数量关系如下： （1）每小时加工零件数量×加工时间＝加工零件总数量； （2）图书总数量－借出的数量＝剩下的数量； （3）单价×数量＝总价，老师带的钱－足球的单价×足球的数量＝应找回的钱； （4）晚上的身高＝早上的身高－bcm；据此列式。 【详解】（1）t×m＝tm个 王叔叔每小时加工m个零件，t小时共加工tm个零件。 （2）图书馆有x本书，借出358本，还剩（x－358）本。 （3）200－3×x＝（200－3x）元 老师用200元买了3个足球，每个足球x元，应找回（200－3x）元。 （4）人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身高是bcm，晚上身高可能是（b－2）cm。 4．（2023·重庆忠县·期末）学校买来9个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元，则9a表示( )，9a＋58b表示( )。 【答案】 9个足球的价格 9个足球和b个篮球的价格 【分析】字母和数字的乘积，数字在前，字母在后，中间的乘号可以省略，9a表示9和a的乘积，9是数量，a是单价，根据单价×数量＝总价，由此即可知道9a表示的是9个足球的总价；58b表示b个篮球的价格，再加上9a，则表示买9个足球和b个篮球的总价格。 【详解】由分析可知： 学校买来9个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元，则9a表示9个足球的价格，9a＋58b表示9个足球和b个篮球的总价。 5．（2023·河南许昌·期末）请根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年我国高铁运营里程x万千米，( )，2021年我国高铁运营里程达到4万千米。 【答案】2021年我国高铁运营里程比2015年的2倍多0.04万千米 【分析】2015年我国高速铁路运营里程为x万千米，求一个数的几倍是多少，用乘法，由方程“2x＋0.04＝4”表示的数量关系：2015年我国高速铁路的运营里程×2＋0.04＝2021年我国高速铁路的运营里程，由此可知，2021年我国高铁运营里程比2015年的2倍多0.04万千米。 【详解】由分析可知，根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年我国高铁运营里程x万千米，2021年我国高铁运营里程比2015年的2倍多0.04万千米，2021年我国高铁运营里程达到4万千米。 6．（2023·重庆九龙坡·期末）如下图，王亮在信息科技课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。根据发现的规律，输入( )时，输出55；当输入a时，输出( )。 【答案】 14 4a－1 【分析】根据计算的小程序： 输入3，出来的数是11，则3×4－1＝11； 输入7，出来的数是27，7×4－1＝27； 输入11，出来的数是43，11×4－1＝43。 即计算小程序是将输入的数乘4后再减1就是输出的数。 输出的数是55，则可以根据提议设输入的是a，列出方程，得出a的值。 输入a，出来的数是4a－1。 【详解】4a－1＝55 解：4a＝55＋1 4a＝56 a＝56÷4 a＝14 输入14时，输出55；当输入a时，输出（4a－1）。 二、判断题。 7．（2023·江西赣州·期末）等式两边同时乘或除以同一个数，左右两边仍然相等。( ) 【答案】× 【详解】如：4＝8 解：4÷4＝8÷4 ＝2 等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（2023·浙江绍兴·期末）因为所有的方程都是等式，所以所有的等式也都是方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式；据此判断。 【详解】如：2＝6，0.5＋＝2.5，既是方程，又是等式； 2×5＝10，是等式，但不是方程； 所以，所有的方程都是等式，但不是所有的等式都是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 9．（2023·河南新乡·期末）x＝3.5是方程2x－4.5＝2.5的解。( ) 【答案】√ 【分析】将代入方程中计算，判断等式左右两边是否相等，如果方程的左边等于方程的右边，则是原方程的解；如果方程的左边和方程的右边不相等，则不是原方程的解；据此判断。 【详解】当时， 方程左边＝2x－4.5 ＝2×3.5－4.5 ＝7－4.5 ＝2.5 方程的左边＝方程的右边 所以，是方程的解，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 10．（2023·贵州黔西·期末）有5角和1角的硬币共12枚，共计4元4角，其中有7枚5角的硬币。( ) 【答案】× 【分析】设其中有x枚5角的硬币，则1角的硬币有，4元4角可转化为以角为单位的数量，根据等量关系：5角硬币数量×5＋1角硬币数量×1＝总金额，列方程解答即可。 【详解】解：设其中有x枚5角的硬币，则1角硬币有枚。 4元4角＝44角 5x＋（12－x）×1＝44 5x＋12－x＝44 4x＋12－12＝44－12 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 其中有8枚5角的硬币，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题。 11．（2023·河南安阳·期末）如果＋13＝25，那么－7＝19－( )。 A．12 B．14 C．16 【答案】B 【分析】先根据等式的性质1，方程＋13＝25的两边同时减去13，求出方程的解； 求－7＝19－（    ），相当于求19－（－7），把的值代入式子中，计算出得数即可。 【详解】＋13＝25 解：＋13－13＝25－13 ＝12 当＝12时 19－（－7） ＝19－（12－7） ＝19－5 ＝14 所以，如果＋13＝25，那么－7＝19－14。 故答案为：B 12．（2023·江西赣州·期末）与方程＋7＝10.2的解相同的方程是( )。 A．15.8－＝0.6 B．－3＝0.2 C．8＋＝24 【答案】B 【分析】根据等式的性质1分别求出方程＋7＝10.2和各选项方程的解，再比较即可。 等式的性质1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 【详解】＋7＝10.2 解：＋7－7＝10.2－7 ＝3.2 A．15.8－＝0.6 解：15.8－＋＝0.6＋ 0.6＋＝15.8 0.6＋－0.6＝15.8－0.6 ＝15.2 与方程＋7＝10.2的解不相同； B．－3＝0.2 解：－3＋3＝0.2＋3 ＝3.2 与方程＋7＝10.2的解相同； C．8＋＝24 解：8＋－8＝24－8 ＝16 与方程＋7＝10.2的解不相同。 故答案为：B 13．（2023·河南焦作·期末）世界上最高的树是王桉，一棵王桉高86米，比一棵银杏树高度的4倍矮14米，这棵银杏树高多少米？设这棵银杏树高米，下列方程错误的是( )。 A．4－14＝86 B．4－86＝14 C．4＋14＝86 【答案】C 【分析】根据题意可得出等量关系：一棵银杏树的高度×4－14米＝一棵王桉的高度，或一棵银杏树的高度×4－一棵王桉的高度＝14米，据此列出方程。 【详解】A．4－14＝86，表示一棵银杏树高度的4倍矮14米等于一棵王桉的高度，符合题意，方程正确； B．4－86＝14，表示一棵王桉的高度比一棵银杏树高度的4倍矮14米，符合题意，方程正确； C．4＋14＝86，表示一棵银杏树高度的4倍高14米等于一棵王桉的高度，不符合题意，方程错误。 故答案为：C 14．（2023·河南许昌·期末）下面( )中等量关系可以用4x－x＝30表示。 A．动物园里有x只长颈鹿，猴子有30只，猴子的数量是长颈鹿的4倍 B．乐乐今年x岁，比爸爸小30岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的4倍 C．科技书有x本，故事书有30本，故事书比科技书多4本 D．铅笔有x支，钢笔有30支，钢笔是铅笔支数的4倍少4支 【答案】B 【分析】A．动物园里有x只长颈鹿，猴子的数量是长颈鹿的4倍，则猴子的数量是4x只，猴子有30只，等量关系可以用4x＝30表示； B．乐乐今年x岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的4倍，则爸爸今年的年龄是4x岁，乐乐比爸爸小30岁，等量关系可以用4x－x＝30表示； C．等量关系可以用x＋4＝30表示； D．钢笔是铅笔支数的4倍少4支，等量关系可以用4x－4＝30表示。 【详解】A．等量关系可以用4x＝30表示； B．等量关系可以用4x－x＝30表示； C．等量关系可以用x＋4＝30表示； D．等量关系可以用4x－4＝30表示。 故答案为：B 四、计算题。 15．（2023·重庆九龙坡·期末）解方程。 ①x＋4.2＝5    ②3x—27＝48    ③4×（x＋5）＝56 【答案】①x＝0.8；②x＝25；③x＝9 【分析】①x＋4.2＝5，根据等式的性质1，方程两边同时减去4.2即可； ②3x－27＝48，根据等式的性质1，方程两边同时加上27，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3即可； ③4×（x＋5）＝56，根据等式的性质2，方程两边同时除以4，再根据等式的性质1，方程两边同时减去5即可。 【详解】①x＋4.2＝5 解：x＋4.2－4.2＝5－4.2 x＝0.8 ②3x－27＝48 解：3x－27＋27＝48＋27 3x＝75 3x÷3＝75÷3 x＝25 ③4×（x＋5）＝56 解：4×（x＋5）÷4＝56÷4 x＋5＝14 x＋5－5＝14－5 x＝9 16．（2023·江西抚州·期末）看图列方程，并求出方程的解。 【答案】x＝5 【分析】单价×数量＝总价，则x千克苹果的价钱是6.8x元。根据题意可得：x千克苹果的价钱＋16＝50元，据此列方程解答。 【详解】6.8x＋16＝50 解：6.8x＋16－16＝50－16 6.8x＝34 6.8x÷6.8＝34÷6.8 x＝5 五、解答题。 17．（2023·广东河源·期末）妈妈今年34岁，比儿子的年龄的4倍还大2岁，儿子今年多少岁？（列方程解答） 【答案】8岁 【分析】根据题意知本题中的数量关系：儿子年龄的4倍＋大的岁数＝妈妈的年龄，据此可列方程解答。 【详解】解：设儿子今年x岁。 4x＋2＝34 4x＋2－2＝34－2 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：儿子今年8岁。 18．（2022·江西赣州·期末）聪聪家和学校相距3.4千米，周二早上聪聪到学校后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也会往回家方向走，10分钟后相遇，已知聪聪每分钟走80米，妈妈每分钟骑多少米？ 【答案】260米 【分析】由于聪聪从学校往家走，妈妈从家往学校走，相当于相遇问题，两人走的时间相同，可以设妈妈每分钟骑x米，根据1千米＝1000米，即3.4千米＝3400米，根据相遇问题的公式：速度和×时间＝相距距离，据此即可列方程，即（80＋x）×10＝3400，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑x米。 （80＋x）×10＝3400 （80＋x）×10÷10＝3400÷10 80＋x＝340 80＋x－80＝340－80 x＝260 答：妈妈每分钟骑260米。 19．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两个工程队共同修一条长2400米的公路，各从一端相向施工，30天完工。甲队平均每天多修38米，乙队平均每天修多少米？ 【答案】21米 【分析】可设乙队平均每天修米，则甲队平均每天修米。据题意得关系式（甲队工作效率＋乙队工作效率）×时间＝工作总量，据此列式解答即可。 【详解】解：设乙队平均每天修米，则甲队平均每天修米。 答：乙队平均每天修21米。 20．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）果园里梨树比苹果树少36棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解，并写等量关系式。） 【答案】54棵；18棵；等量关系式见详解 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，设梨树有x棵，则苹果树有3x棵，根据苹果树棵数－梨树棵数＝36，据此列出方程求出x的值是梨树棵数，梨树棵数×3＝苹果树棵数。 【详解】解：设梨树有x棵。 苹果树棵数－梨树棵数＝36 3x－x＝36 2x＝36 2x÷2＝36÷2 x＝18 18×3＝54（棵） 答：苹果树和梨树各有54棵、18棵。 21．（2023·福建莆田·期末）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还有6件未派送；若每个快递员派送12件，还差6件。该快递分派站有快递员多少名？ 【答案】6名 【分析】根据题意可知，无论按哪种派送方法，包裹的总件数是一定的。若每个快递员派送10件，还剩6件，则包裹的总件数是10×快递员的人数＋6；若每个快递员派送12件，还差6件，则包裹的总件数是12×快递员的人数－6。所以此题的等量关系为“10×快递员的人数＋6＝12×快递员的人数－6”。设快递员x名，则可列出方程10x＋6＝12x－6，解方程即可求出快递员的人数。 【详解】解：设有x名快递员。 10x＋6＝12x－6     10x＋6－10x＝12x－6－10x 6＝2x－6 6＋6＝2x－6＋6 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 答：该快递分派站有快递员6名。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 32 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 32 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元认识方程·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 32 页 一、用字母表示数。 1.用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律。 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3.用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式： ；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为 s=vt。 5.求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 二、解简易方程。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3.方程的解与解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 第 4 页 共 32 页 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 三、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母 x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 【第一部分】计算与算法技巧 【高频考题 01】含字母式子的化简。 1．直接写出得数。 m×4＝ a＋3 a＝ 6 x－2 x＝ a×b＝ n×n＝ 0.32＝ 【答案】4m；4a；4x； ab；n2；0.09； 【详解】略 2．直接写出得数。 15y 0.5y  20 b b   2.5 4  20.4  4 4m  0.6x x   2a a   a a  【答案】14.5y；21b；10；0.16 16m；0.4x；2a－2； 2a 【详解】略 第 5 页 共 32 页 【高频考题 02】解方程。 1．解方程。 6x 18 36  8x 5x 130  35 3x 23  【答案】x＝9；x＝10；x＝4 【分析】第一个：根据等式的性质 1，等式两边同时加上 18，再根据等式的性质 2，等式两边同时除以 6即可求解； 第二个：先化简等号左边的式子，即 13x＝130，再根据等式的性质 2，等式两边 同时除以 13即可求解； 第三个：先根据等式的性质 1，等式两边同时加上 3x，再同时减 23，之后根据 等式的性质 2，等式两边同时除以 3即可求解。 【详解】6x－18＝36 解：6x－18＋18＝36＋18 6x＝54 6x÷6＝54÷6 x＝9 8x＋5x＝130 解：13x＝130 13x÷13＝130÷13 x＝10 35－3x＝23 解：35－3x＋3x－23＝23＋3x－23 12＝3x 3x÷3＝12÷3 x＝4 2．解方程。 7x－8＝55 9y－5y＝76 0.9x－4×5＝16 【答案】x＝9；y＝19；x＝40 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边先同时加上 8，再同时除以 7，求出方程的解； 第 6 页 共 32 页 （2）先把方程化简成 4y＝76，然后方程两边同时除以 4，求出方程的解； （3）先把方程化简成 0.9x－20＝16，然后方程两边先同时加上 20，再同时除以 0.9，求出方程的解。 【详解】（1）7x－8＝55 解：7x－8＋8＝55＋8 7x＝63 7x÷7＝63÷7 x＝9 （2）9y－5y＝76 解：4y＝76 4y÷4＝76÷4 y＝19 （3）0.9x－4×5＝16 解：0.9x－20＝16 0.9x－20＋20＝16＋20 0.9x＝36 0.9x÷0.9＝36÷0.9 x＝40 【高频考题 03】看图列方程。 1．看图列方程，并求出方程的解。 【答案】x＋3x＝80 x＝20 【分析】看图可知，儿童人数是成人的 3倍，根据成人人数＋儿童人数＝80，列 出方程求出 x的值即可。 【详解】x＋3x＝80 解：4x÷4＝80÷4 第 7 页 共 32 页 x＝20 2．看图列方程，并求出方程的解。 【答案】30×2＋2x＝158 x＝49 【分析】看图可知，2个 30和 2个 x的和是 158，可以列出方程 30×2＋2x＝158， 根据等式的性质 1和 2，两边同时－30×2的积，再同时÷2，即可求出方程的解。 【详解】30×2＋2x＝158 解：60＋2x＝158 60＋2x－60＝158－60 2x＝98 2x÷2＝98÷2 x＝49 3．看图列方程，并求出方程的解。 【答案】（x＋5）×2＝36 x＝13 【分析】根据（长＋宽）×2＝长方形的周长，列出方程求出 x的值即可。 【详解】（x＋5）×2＝36 解：（x＋5）×2÷2＝36÷2 x＋5＝18 x＋5－5＝18－5 x＝13 【高频考题 04】用字母表示数或式子。 1．武汉到上海的水路长 1125千米，一艘轮船以每小时 26千米的速度从武汉驶 第 8 页 共 32 页 往上海。 （1）开出 t小时后，距武汉有多少千米？当 10t  时，距武汉有多少千米？ （2）开出 t小时后，距上海还有多少千米？当 20t  时，距上海还有多少千米？ 【答案】（1）26t千米；260千米 （2）（1125－26t）千米；605千米 【分析】（1）由于从武汉出发，即走的路程就是距武汉多远，根据公式：路程 ＝速度×时间，把字母和数代入公式即可；当 t＝10时，把数代入刚刚求出式子 即可求解。 （2）由于开出 t小时后，距离上海多远，用武汉到上海的路程减去已经走的路 程即可求解；之后再把 t＝20时，代入求的式子即可。 【详解】（1）距离武汉：26×t＝26t（千米） 当 t＝10时， 26×10＝260（千米） 答：开出 t小时后，距武汉 26t千米，当 t＝10时，距武汉 260千米。 （2）（1125－26t）千米 当 t＝20时 1125－26×20 ＝1125－520 ＝605（千米） 答：开出 t小时后，距上海还有（1125－26t）千米，当 t＝20时，距上海还有 605 千米。 【点睛】本题主要考查用字母表示数以及含有字母的式子求值，要注意数字和字 母相乘，乘号可以省略，数字在前，字母在后。 2．学校购买 160套（一桌一椅）课桌椅，每张课桌 a元，每把椅子 b元。 （1）用含有字母的式子表示这批课桌椅的总价钱。 （2）当 a＝75，b＝45时，学校买课桌椅一共花了多少钱？ 【答案】（1）（160a＋160b）元 （2）19200元 【分析】（1）每张课桌 a元，每把椅子 b元，则一套桌椅价格是 （a＋b）元， 第 9 页 共 32 页 再求出 160套的价格即可； （2）把字母的值代入式子中求出学校买课桌椅一共花的钱数即可。 【详解】（1）（a＋b）×160＝160a＋160b（元） 答：这批课椅的总价钱是（160a＋160b）元。 （2）当 a＝75，b＝45时， 160a＋160b＝160×75＋160×45＝19200 答：学校买课桌椅一共花了 19200元钱。 【点睛】本题考查用字母表示用字母表示数，解答本题的关键是掌握代入求值得 计算方法。 【高频考题 05】用字母表示周长或面积。 1．下图是一个长方形，在长方形里剪去一个最大的正方形。请用字母表示出剩 余部分的周长和面积。 【答案】周长是 2a，面积是 ab－b2 【分析】要在长方形里剪去一个最大的正方形，则以长方形的宽 b为正方形的边 长，剩余部分长和宽是 b，（a－b），据此求出剩余部分的周长和面积。 【详解】剪去的最大正方形的边长是 b，剩余部分长和宽是 b，（a－b），所以 剩余部分的周长＝（b＋a－b）×2＝2a；面积＝b×（a－b）＝ab－b2。 【点睛】熟练掌握长方形和正方形的周长和面积公式是解题的关键。 2．下图是小宁家的客厅和厨房的平面图。 （1）用含有字母的式子表示小宁家的客厅和厨房的总面积。 （2）当 a＝8时，小宁家的客厅和厨房的总面积是多少平方米？ 【答案】（1）4a＋11.2平方米 第 10 页 共 32 页 （2）43.2平方米 【分析】（1）客厅和厨房都是长方形，长方形的面积＝长×宽，表示出客厅和厨 房面积，相加即可； （2）求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】（1）4a＋2.8×4＝4a＋11.2（平方米） 答：小宁家的客厅和厨房的总面积是 4a＋11.2平方米。 （2）4a＋11.2 ＝4×8＋11.2 ＝32＋11.2 ＝43.2（平方米） 答：小宁家的客厅和厨房的总面积是 43.2平方米。 【点睛】当字母的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结 果就是含有字母的式子的值。 【高频考题 06】用字母表示数形规律。 1．创意拼摆找规律。 如上图：搭一个三角形需要 3根火柴棒； （1）按图 2的方式搭 2个三角形需要 5根火柴棒……，照此搭下去，搭 10个三 角形要（ ）根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭 n个三角形需要（ ）根火柴棒。 （3）当 n＝100时，计算总共需要的火柴棒。 【答案】（1）21；（2）2n＋1；（3）201 【分析】看图，摆 1个三角形需要 1×2＋1＝3（根）火柴棒，摆 2个三角形需要 2×2＋1＝5（根）火柴棒，摆 3个三角形需要 3×2＋1＝7（根）火柴棒，据此推 理摆 n个火柴棒需要 n×2＋1＝2n＋1（根）火柴棒。据此，将 n＝10和 n＝100 分别代入 2n＋1中，求出（1）和（3）即可。 【详解】（1）10×2＋1 第 11 页 共 32 页 ＝20＋1 ＝21（根） 所以，搭 10个三角形要 21根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭 n个三角形需要（2n＋1）根火柴棒。 （3）当 n＝100时，有： 100×2＋1 ＝200＋1 ＝201（根） 答：当 n＝100时，总共需要的火柴棒为 201根。 【点睛】本题考查了含有字母式子的求值和图形的变化规律，能根据图形变化归 纳出规律是解题的关键。 2．一张长方形桌子可以坐 6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当 x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐 60人？ 【答案】（1）（2x＋4）人 （2）34人 （3）28张 【分析】把左右两边的 4人单独看，一张桌子对应 2人，则 x张桌子可以坐（2x ＋4）人，再把 x＝15代入求出人数；用 60人减去 4人，再除以 2，求出桌子的 数量即可。 【详解】（1）2×x＋4＝2x＋4 答：x张桌子可以坐（2x＋4）人。 （2）当 x＝15时， 2x＋4＝2×15＋4＝34 答：一共可以坐 34人。 第 12 页 共 32 页 （3）（60－4）÷2 ＝56÷2 ＝28（张） 答：摆 28张桌子可以坐 60人。 【点睛】 本题考查字母式的化简与求值，解答本题的关键是掌握字母式的化简 与求值的计算方法。 【高频考题 07】方程与等式。 1．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( ) 个，方程有( )个。 【答案】 3/三 2/两/二 【分析】表示相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程，据此分析。 【详解】在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有 y＋a ＝8、15x＝0、9＋6＝15，共 3个；方程有 y＋a＝8、15x＝0，共 2个。 【点睛】方程一定是等式，等式不一定是方程。 2．在①4 12n  、② 20 20 40  、③7 7x  、④5 2x  中，是等式的有( )， 是方程的有( )。（填序号） 【答案】 ①② ① 【分析】含有等号的式子叫做等式；含有未知数的等式叫做方程，由方程的意义 可知，方程必须同时满足以下两个条件：（1）是等式；（2）含有未知数；两个 条件缺一不可，据此判断。 【详解】在①4 12n  、② 20 20 40  、③7 7x  、④5 2x  中，是等式的有①4 12n  、 ② 20 20 40  ；是方程的有①4 12n  。 【点睛】此题主要考查根据方程的意义来辨识方程，明确只有含有未知数的等式 才是方程。 【高频考题 08】等式的性质。 1．如果 x＝y，根据等式的性质填空。 x＋3＝y＋( ) x－( )＝y－5 x－( )＝y－a x÷8＝y÷( ) x×( )＝y×12 x÷( )＝y÷2.5 【答案】 3 5 a 8 12 2.5 第 13 页 共 32 页 【分析】根据等式的基本性质：等式的两边同时加或减同一个数，同时乘或除以 同一个不为 0的数，等式仍然成立。据此解答。 【详解】x＋3＝y＋（3） x－（5）＝y－5 x－（a）＝y－a x÷8＝y÷（8） x×（12）＝y×12 x÷（2.5）＝y÷2.5 2．⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 【答案】 0.8 0.4 【分析】观察可知，算式⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2包含 3个⊙和 2个★，算式 ⊙＋★＋★＝1.6包含 1个⊙和 2个★，将两个算式的结果相减，剩下 2个⊙的 结果，除以 2是⊙；再将⊙的值代入⊙＋★＋★＝1.6，1.6减去⊙的值，除以 2 是★的值。 【详解】（3.2－1.6）÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 （1.6－0.8）÷2 ＝0.8÷2 ＝0.4 ⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝0.8，★＝0.4。 【点睛】关键是利用等量代换的思想，将 2个★抵消，先求出⊙的值。 第 14 页 共 32 页 【第二部分】应用与解决问题 【高频考题 01】列方程解应用题“基础版”。 1．长江是我国第一长河，长 6300千米，比黄河长 836千米。黄河长多少千米？ 【答案】5464千米 【分析】根据题意可知，“黄河的长度＋836＝长江的长度”，据此列方程解答即 可。 【详解】解：设黄河长 x千米。 x＋836＝6300 x＋836－836＝6300－836 x＝5464 答：黄河长 5464千米。 【点睛】明确长江与黄河的长度关系，进而确定等量关系式是解答本题的关键。 2．王叔叔坚持锻炼，两个月体重减了 3千克。王叔叔现在体重 93千克，两个月 前他的体重是多少千克？（列方程解决实际问题。） 【答案】96千克 【分析】设两个月前他的体重是 x千克，根据两个月前体重－3＝现在体重，列 出方程解答即可。 【详解】解：设两个月前他的体重是 x千克。 x－3＝93 x－3＋3＝93＋3 x＝96 答：两个月前他的体重是 96千克。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．每盏路灯要装 5个灯泡，解放街一共需要装 140个灯泡。这条街一共有多少 盏路灯？（列方程解决实际问题。） 【答案】28盏 【分析】设这条街一共有 x盏路灯，根据每盏路灯装的灯泡数量×路灯数量＝140， 列出方程解答即可。 【详解】解：设这条街一共有 x盏路灯。 第 15 页 共 32 页 5x＝140 5x÷5＝140÷5 x＝28 答：这条街一共有 28盏路灯。 【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。 4．同学们去植树，五年级种了 90棵，比四年级种的 2倍多 26棵，四年级种了 多少棵树？（列方程解答） 【答案】32棵 【分析】设四年级种树 x棵，则五年级种树（2x＋26）棵，根据数量关系：五年 级种的棵树＝四年级种的棵树×2＋26，列出方程，最后根据等式的性质解方程即 可。 【详解】解：设四年级种树 x棵。 2 26 90x   2 26 26 90 26x     2 64x  2 2 64 2x    32x  答：四年级种了 32棵树。 【点睛】解答本题的关键是找出题目中包含的数量关系。 【高频考题 02】列方程解应用题“进阶版”。 1．学校购置了 7张桌子和 15把椅子，一共用去 3000元。已知 1张桌子的价钱 相当于 5把椅子的价钱。每张桌子多少元？每把椅子多少元？ 【答案】300元；60元 【分析】假设一把椅子的价钱是 x元，则一张桌子的价钱是 5x元，根据题目中 的数量关系：7×一张桌子的价钱＋15×一把椅子的价钱＝3000元，据此列出方程， 解方程即可分别求出每张桌子和每把椅子的价钱。 【详解】解：设一把椅子的价钱是 x元，则一张桌子的价钱是 5x元。 7×5x＋15×x＝3000 35x＋15x＝3000 第 16 页 共 32 页 50x＝3000 50x÷50＝3000÷50 x＝60 60×5＝300（元） 答：每张桌子 300元，每把椅子 60元。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把一把椅子的价钱设为未知数 x，找出题 中数量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 2．2022年 6月 1日零时，国内成品油价格再次上调，汽油每吨上调 400元。各 地区 92号汽油平均价格为每升 9元，比去年同时期的 2倍少 4.6元，去年 6月 92号汽油的平均价格是每升多少元？（用方程解答） 【答案】6.8元 【分析】由题可知，今年各地区 92号汽油平均价格为每升 9元，比去年同时期 的 2倍少 4.6元，可以设去年 6月 92号汽油的平均价格是每升 x元，用去年的 平均油价乘 2减去 4.6元，就是今年的平均油价，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设去年 6月 92号汽油的平均价格是每升 x元， 2x－4.6＝9 2x－4.6＋4.6＝9＋4.6 2x＝13.6 2x÷2＝13.6÷2 x＝6.8 答：去年 6月 92号汽油的平均价格是每升 6.8元。 【点睛】解答此类题的关键是弄清题里的数量关系。 3．两个工程队共同开凿一条 775米长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。 甲队每天开凿 13.6米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 【答案】17.4米 【分析】设乙队每天开凿 x米，根据“（甲队每天开凿米数＋乙队每天开凿米数） ×25＝隧道长度 775米”这个等量关系，列方程解答。 【详解】解：设乙队每天开凿 x米。  13.6 25 775x   第 17 页 共 32 页  13.6 25 25 775 25x     13.6 31x  13.6 13.6 31 13.6x    17.4x  答：乙队每天开凿 17.4米。 【点睛】考查应用列方程解决实际问题，解题关键要找到题目中的等量关系，再 列方程求解。 4．甲、乙两站相距 255千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两站相对开出， 2.5小时相遇。客车每小时行 48千米，货车每小时行多少千米？（用方程解答） 【答案】54千米 【分析】假设货车每小时行驶 x千米，根据客车和货车两车的速度和是（x＋48） 千米/时，相遇时间是 2.5小时，根据相遇时间×速度和＝路程，据此列出方程， 解方程即可求出货车每小时行驶多少千米。 【详解】解：设货车每小时行驶 x千米， （x＋48）×2.5＝255 （x＋48）×2.5÷2.5＝255÷2.5 x＋48＝102 x＋48－48＝102－48 x＝54 答：货车每小时行驶 54千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题，把货车的速度设为未知数 x，利用题中数量间 的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 5．一辆客车和一辆轿车同时沿 S4成宜昭高速公路从宜宾西收费站开往成都，轿 车每时行驶 100km，客车每时行驶 75km。经过多少时间后，轿车比客车多行驶 40km？（用方程解答） 【答案】1.6小时 【分析】可以设经过的时间为 x小时，因为轿车行驶的路程－客车行驶的路程＝ 40千米，可以据此等量关系列方程解答。 【详解】解：设经过 x小时，轿车比客车多行驶 40千米。 第 18 页 共 32 页 100x－75x＝40 25x＝40 25x÷25＝40÷25 x＝1.6 答：经过 1.6小时，轿车比客车多行驶 40千米。 【点睛】明确题干中的等量关系是解题的关键。 【高频考题 03】列方程解应用题“拓展版”。 1．小春读一本小说，若每天读 35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读 40页，则最后一天要少读 5页，如果他每天读 39页，最后一天应读多少页才按 规定时间读完？ 【答案】42页 【分析】假设读完全书的规定时间是 x天，则这本小说的总页数有 35×（x＋1） 页，因为总页数不变，所以这本小说的总页数还可以表示成（40x－5）页，据此 列出方程，求出读完全书的规定时间，继而求出这本小说的总页数，如果他每天 读 39页，求出他在（规定时间－1）天里读的页数，再用这本小说的总页数减去 读了的页数，即可求出最后一天应读多少页才按规定时间读完。 【详解】解：设读完全书的规定时间是 x天， 35×（x＋1）＝40x－5 35x＋35＝40x－5 35x＋35＋5＝40x－5＋5 35x＋40＝40x 35x＋40－35x＝40x－35x 40x－35x＝40 5x＝40 5x÷5＝40÷5 x＝8 35×（8＋1）－39×（8－1） ＝35×9－39×7 ＝315－273 第 19 页 共 32 页 ＝42（页） 答：最后一天应读 42页才按规定时间读完。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把读完全书的规定时间设为未知数 x，找 出题中数量间的相等关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。 2．某车间有 16名工人，每人每天可加工甲种零件 5个或乙种零件 4个。在这 16名工人中部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种 零件可获利 16元，每加工一个乙种零件可获利 24元。若此车间一共获利 1408 元，求这一天有几个工人加工甲种零件？ 【答案】8个 【分析】设这一天有 x个工人加工甲种零件，则有 16－x个工人加工乙种零件， 根据加工甲种零件人数×每天加工个数×每个获利钱数＋加工乙种零件人数×每 天加工个数×每个获利钱数＝1408元，列出方程解答即可。 【详解】解：设这一天有 x个工人加工甲种零件。 5x×16＋（16－x）×4×24＝1408 80x＋1536－96x＝1408 16x÷16＝128÷16 x＝8 答：这一天有 8个工人加工甲种零件。 【点睛】关键是理解数量关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 3．司机小王身上带有 1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共 77元，其中 1 元与 2元纸币共 22张，5元和 10元纸币共 7张，2元纸币的张数是 5元纸币张 数的 2倍。问小王身上有多少张 10元纸币？ 【答案】2张 【分析】根据题意知本题的数量关系：1×1元的张数＋2×2元的张数＋5×5元的 张数＋10×10元的张数＝77元，设 10元的有 x张，则 5元的有（7－x）张，2 元的有 2×（7－x）张，1元的就有 22－2×（7－x）张。据此可列出方程进行解 答。 【详解】解：设 10元的有 x张，则 5元的有（7－x）张，2元的有 2×（7－x） 张，1元的就有 22－2×（7－x）张。 第 20 页 共 32 页 10x＋5×（7－x）＋2×2×（7－x）＋22－2×（7－x）＝77 10x＋35－5x＋28－4x＋22－14＋2x＝77 3x＝6 x＝2 答：小王身上有 2张 10元纸币。 【点睛】做“鸡兔同笼”问题一般用假设法进行解答。也可用列方程解答。 第 21 页 共 32 页 一、填空题。 1．2023·湖南邵阳·期末）在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8 ＝1.5中方程有( )。 【答案】①⑤ 【分析】根据方程的意义可知，含有未知数的等式叫方程，据此解答。 【详解】①65＋x＝124，含有未知数且是等式，所以 65＋x＝124是方程； ②4a－8＞0，含有未知数但不是等式，所以 4a－8＞0不是方程； ③10÷2.5＝4，是等式但不含未知数，所以 10÷2.5＝4不是方程； ④8x＋x，含有未知数但不是等式，所以 8x＋x不是方程； ⑤y÷8＝1.5，含有未知数且是等式，所以 y÷8＝1.5是方程。 因此在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有：①⑤。 2．（2023·全国·期末）当 x＝5时，x2＝( )，3x＋9＝( )。 【答案】 25 24 【分析】x2表示 2个 x相乘，3x＋9表示 3和 x相乘的积再加上 9，据此将 x＝5 代入计算即可。 【详解】当 x＝5时， x2＝52＝25 3x＋9 ＝3×5＋9 ＝15＋9 ＝24 3．（2023·河北承德·期末）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 (1)王叔叔每小时加工 m个零件，t小时共加工( )个零件。 (2)图书馆有 x本书，借出 358本，还剩( )本。 (3)老师用 200元买了 3个足球，每个足球 x元，应找回( )元。 (4)人的身高早晚可能会相差 2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身高 是 bcm，晚上身高可能是( )cm。 第 22 页 共 32 页 【答案】(1)tm/mt (2)x－358 (3)200－3x (4)b－2 【分析】找到题目中的数量关系如下： （1）每小时加工零件数量×加工时间＝加工零件总数量； （2）图书总数量－借出的数量＝剩下的数量； （3）单价×数量＝总价，老师带的钱－足球的单价×足球的数量＝应找回的钱； （4）晚上的身高＝早上的身高－bcm；据此列式。 【详解】（1）t×m＝tm个 王叔叔每小时加工 m个零件，t小时共加工 tm个零件。 （2）图书馆有 x本书，借出 358本，还剩（x－358）本。 （3）200－3×x＝（200－3x）元 老师用 200元买了 3个足球，每个足球 x元，应找回（200－3x）元。 （4）人的身高早晚可能会相差 2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身 高是 bcm，晚上身高可能是（b－2）cm。 4．（2023·重庆忠县·期末）学校买来 9个足球，每个 a元，又买来 b个篮球，每 个 58元，则 9a表示( )，9a＋58b表示( )。 【答案】 9个足球的价格 9个足球和 b个篮球的价格 【分析】字母和数字的乘积，数字在前，字母在后，中间的乘号可以省略，9a 表示 9和 a的乘积，9是数量，a是单价，根据单价×数量＝总价，由此即可知道 9a表示的是 9个足球的总价；58b表示 b个篮球的价格，再加上 9a，则表示买 9 个足球和 b个篮球的总价格。 【详解】由分析可知： 学校买来 9个足球，每个 a元，又买来 b个篮球，每个 58元，则 9a表示 9个足 球的价格，9a＋58b表示 9个足球和 b个篮球的总价。 5．（2023·河南许昌·期末）请根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年 我国高铁运营里程 x万千米，( )，2021年我国高铁运营里程达到 4万千 米。 第 23 页 共 32 页 【答案】2021年我国高铁运营里程比 2015年的 2倍多 0.04万千米 【分析】2015年我国高速铁路运营里程为 x万千米，求一个数的几倍是多少， 用乘法，由方程“2x＋0.04＝4”表示的数量关系：2015年我国高速铁路的运营里 程×2＋0.04＝2021年我国高速铁路的运营里程，由此可知，2021年我国高铁运 营里程比 2015年的 2倍多 0.04万千米。 【详解】由分析可知，根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年我国高 铁运营里程 x万千米，2021年我国高铁运营里程比 2015年的 2倍多 0.04万千米， 2021年我国高铁运营里程达到 4万千米。 6．（2023·重庆九龙坡·期末）如下图，王亮在信息科技课上编制了一个计算小 程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。根据发现的规律，输入 ( )时，输出 55；当输入 a时，输出( )。 【答案】 14 4a－1 【分析】根据计算的小程序： 输入 3，出来的数是 11，则 3×4－1＝11； 输入 7，出来的数是 27，7×4－1＝27； 输入 11，出来的数是 43，11×4－1＝43。 即计算小程序是将输入的数乘 4后再减 1就是输出的数。 输出的数是 55，则可以根据提议设输入的是 a，列出方程，得出 a的值。 输入 a，出来的数是 4a－1。 【详解】4a－1＝55 解：4a＝55＋1 4a＝56 a＝56÷4 a＝14 输入 14时，输出 55；当输入 a时，输出（4a－1）。 二、判断题。 第 24 页 共 32 页 7．（2023·江西赣州·期末）等式两边同时乘或除以同一个数，左右两边仍然相 等。( ) 【答案】× 【详解】如：4 x＝8 解：4 x÷4＝8÷4 x＝2 等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然相等。 原题说法错误。 故答案为：× 8．（2023·浙江绍兴·期末）因为所有的方程都是等式，所以所有的等式也都是 方程。( ) 【答案】× 【分析】含有未知数的等式叫做方程；含有等号的式子叫做等式；据此判断。 【详解】如：2 x＝6，0.5＋ x＝2.5，既是方程，又是等式； 2×5＝10，是等式，但不是方程； 所以，所有的方程都是等式，但不是所有的等式都是方程。 原题说法错误。 故答案为：× 9．（2023·河南新乡·期末）x＝3.5是方程 2x－4.5＝2.5的解。( ) 【答案】√ 【分析】将 3.5x  代入方程中计算，判断等式左右两边是否相等，如果方程的左 边等于方程的右边，则 3.5x  是原方程的解；如果方程的左边和方程的右边不相 等，则 3.5x  不是原方程的解；据此判断。 【详解】当 3.5x  时， 方程左边＝2x－4.5 ＝2×3.5－4.5 ＝7－4.5 ＝2.5 方程的左边＝方程的右边 第 25 页 共 32 页 所以， 3.5x  是方程 2 4.5 2.5x   的解，原题干的说法是正确的。 故答案为：√ 10．（2023·贵州黔西·期末）有 5角和 1角的硬币共 12枚，共计 4元 4角，其 中有 7枚 5角的硬币。( ) 【答案】× 【分析】设其中有 x枚 5角的硬币，则 1角的硬币有  12 x ，4元 4角可转化为 以角为单位的数量，根据等量关系：5角硬币数量×5＋1角硬币数量×1＝总金额， 列方程解答即可。 【详解】解：设其中有 x枚 5角的硬币，则 1角硬币有  12 x 枚。 4元 4角＝44角 5x＋（12－x）×1＝44 5x＋12－x＝44 4x＋12－12＝44－12 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 其中有 8枚 5角的硬币，原题说法错误。 故答案为：× 三、选择题。 11．（2023·河南安阳·期末）如果 x＋13＝25，那么 x－7＝19－( )。 A．12 B．14 C．16 【答案】B 【分析】先根据等式的性质 1，方程 x＋13＝25的两边同时减去 13，求出方程的 解； 求 x－7＝19－（ ），相当于求 19－（ x－7），把 x的值代入式子中，计算出 得数即可。 【详解】 x＋13＝25 解： x＋13－13＝25－13 x＝12 第 26 页 共 32 页 当 x＝12时 19－（ x－7） ＝19－（12－7） ＝19－5 ＝14 所以，如果 x＋13＝25，那么 x－7＝19－14。 故答案为：B 12．（2023·江西赣州·期末）与方程 x＋7＝10.2的解相同的方程是( )。 A．15.8－ x＝0.6 B． x－3＝0.2 C．8＋ x＝24 【答案】B 【分析】根据等式的性质 1分别求出方程 x＋7＝10.2和各选项方程的解，再比 较即可。 等式的性质 1：等式的两边同时加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 【详解】 x＋7＝10.2 解： x＋7－7＝10.2－7 x＝3.2 A．15.8－ x＝0.6 解：15.8－ x＋ x＝0.6＋ x 0.6＋ x＝15.8 0.6＋ x－0.6＝15.8－0.6 x＝15.2 与方程 x＋7＝10.2的解不相同； B． x－3＝0.2 解： x－3＋3＝0.2＋3 x＝3.2 与方程 x＋7＝10.2的解相同； C．8＋ x＝24 解：8＋ x－8＝24－8 x＝16 第 27 页 共 32 页 与方程 x＋7＝10.2的解不相同。 故答案为：B 13．（2023·河南焦作·期末）世界上最高的树是王桉，一棵王桉高 86米，比一 棵银杏树高度的 4倍矮 14米，这棵银杏树高多少米？设这棵银杏树高 x米，下 列方程错误的是( )。 A．4 x－14＝86 B．4 x－86＝14 C．4 x＋14＝86 【答案】C 【分析】根据题意可得出等量关系：一棵银杏树的高度×4－14米＝一棵王桉的 高度，或一棵银杏树的高度×4－一棵王桉的高度＝14米，据此列出方程。 【详解】A．4 x－14＝86，表示一棵银杏树高度的 4倍矮 14米等于一棵王桉的 高度，符合题意，方程正确； B．4 x－86＝14，表示一棵王桉的高度比一棵银杏树高度的 4倍矮 14米，符合 题意，方程正确； C．4 x＋14＝86，表示一棵银杏树高度的 4倍高 14米等于一棵王桉的高度，不 符合题意，方程错误。 故答案为：C 14．（2023·河南许昌·期末）下面( )中等量关系可以用 4x－x＝30表示。 A．动物园里有 x只长颈鹿，猴子有 30只，猴子的数量是长颈鹿的 4倍 B．乐乐今年 x岁，比爸爸小 30岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的 4倍 C．科技书有 x本，故事书有 30本，故事书比科技书多 4本 D．铅笔有 x支，钢笔有 30支，钢笔是铅笔支数的 4倍少 4支 【答案】B 【分析】A．动物园里有 x只长颈鹿，猴子的数量是长颈鹿的 4倍，则猴子的数 量是 4x只，猴子有 30只，等量关系可以用 4x＝30表示； B．乐乐今年 x岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的 4倍，则爸爸今年的年龄是 4x 岁，乐乐比爸爸小 30岁，等量关系可以用 4x－x＝30表示； C．等量关系可以用 x＋4＝30表示； D．钢笔是铅笔支数的 4倍少 4支，等量关系可以用 4x－4＝30表示。 【详解】A．等量关系可以用 4x＝30表示； 第 28 页 共 32 页 B．等量关系可以用 4x－x＝30表示； C．等量关系可以用 x＋4＝30表示； D．等量关系可以用 4x－4＝30表示。 故答案为：B 四、计算题。 15．（2023·重庆九龙坡·期末）解方程。 ①x＋4.2＝5 ②3x—27＝48 ③4×（x＋5）＝56 【答案】①x＝0.8；②x＝25；③x＝9 【分析】①x＋4.2＝5，根据等式的性质 1，方程两边同时减去 4.2即可； ②3x－27＝48，根据等式的性质 1，方程两边同时加上 27，再根据等式的性质 2， 方程两边同时除以 3即可； ③4×（x＋5）＝56，根据等式的性质 2，方程两边同时除以 4，再根据等式的性 质 1，方程两边同时减去 5即可。 【详解】①x＋4.2＝5 解：x＋4.2－4.2＝5－4.2 x＝0.8 ②3x－27＝48 解：3x－27＋27＝48＋27 3x＝75 3x÷3＝75÷3 x＝25 ③4×（x＋5）＝56 解：4×（x＋5）÷4＝56÷4 x＋5＝14 x＋5－5＝14－5 x＝9 16．（2023·江西抚州·期末）看图列方程，并求出方程的解。 第 29 页 共 32 页 【答案】x＝5 【分析】单价×数量＝总价，则 x千克苹果的价钱是 6.8x元。根据题意可得：x 千克苹果的价钱＋16＝50元，据此列方程解答。 【详解】6.8x＋16＝50 解：6.8x＋16－16＝50－16 6.8x＝34 6.8x÷6.8＝34÷6.8 x＝5 五、解答题。 17．（2023·广东河源·期末）妈妈今年 34岁，比儿子的年龄的 4倍还大 2岁， 儿子今年多少岁？（列方程解答） 【答案】8岁 【分析】根据题意知本题中的数量关系：儿子年龄的 4倍＋大的岁数＝妈妈的年 龄，据此可列方程解答。 【详解】解：设儿子今年 x岁。 4x＋2＝34 4x＋2－2＝34－2 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：儿子今年 8岁。 18．（2022·江西赣州·期末）聪聪家和学校相距 3.4千米，周二早上聪聪到学校 后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也会往回家方 向走，10分钟后相遇，已知聪聪每分钟走 80米，妈妈每分钟骑多少米？ 第 30 页 共 32 页 【答案】260米 【分析】由于聪聪从学校往家走，妈妈从家往学校走，相当于相遇问题，两人走 的时间相同，可以设妈妈每分钟骑 x米，根据 1千米＝1000米，即 3.4千米＝3400 米，根据相遇问题的公式：速度和×时间＝相距距离，据此即可列方程，即（80 ＋x）×10＝3400，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】3.4千米＝3400米 解：设妈妈每分钟骑 x米。 （80＋x）×10＝3400 （80＋x）×10÷10＝3400÷10 80＋x＝340 80＋x－80＝340－80 x＝260 答：妈妈每分钟骑 260米。 19．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两个工程队共同修一条长 2400米的公 路，各从一端相向施工，30天完工。甲队平均每天多修 38米，乙队平均每天修 多少米？ 【答案】21米 【分析】可设乙队平均每天修 x米，则甲队平均每天修  38 x 米。据题意得关系 式（甲队工作效率＋乙队工作效率）×时间＝工作总量，据此列式解答即可。 【详解】解：设乙队平均每天修 x米，则甲队平均每天修  38 x 米。  38 30 2400x x     38 30 30 2400 30x x      38 80x x   38 38 80 38x x     2 42x  2 2 42 2x    21x  答：乙队平均每天修 21米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第五单元认识方程·单元复习篇【四大篇章】 一、用字母表示数。 1.用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律。 加法交换律：； 加法结合律：； 乘法交换律：； 乘法结合律：； 乘法分配律：。 3.用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式：；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为s=vt。 5.求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 二、解简易方程。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。 3.方程的解与解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如x±a=b、ax=b、ax±b=c和a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 三、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 【第一部分】计算与算法技巧 【高频考题01】含字母式子的化简。 1．直接写出得数。 m×4＝             ＋3＝                 6－2＝ ×b＝              n×n＝                     0.32＝ 2．直接写出得数。                                                        【高频考题02】解方程。 1．解方程。                 2．解方程。 7x－8＝55              9y－5y＝76            0.9x－4×5＝16 【高频考题03】看图列方程。 1．看图列方程，并求出方程的解。 2．看图列方程，并求出方程的解。      3．看图列方程，并求出方程的解。    【高频考题04】用字母表示数或式子。 1．武汉到上海的水路长1125千米，一艘轮船以每小时26千米的速度从武汉驶往上海。 （1）开出t小时后，距武汉有多少千米？当时，距武汉有多少千米？ （2）开出t小时后，距上海还有多少千米？当时，距上海还有多少千米？ 2．学校购买160套（一桌一椅）课桌椅，每张课桌a元，每把椅子b元。 （1）用含有字母的式子表示这批课桌椅的总价钱。 （2）当a＝75，b＝45时，学校买课桌椅一共花了多少钱？ 【高频考题05】用字母表示周长或面积。 1．下图是一个长方形，在长方形里剪去一个最大的正方形。请用字母表示出剩余部分的周长和面积。 2．下图是小宁家的客厅和厨房的平面图。 （1）用含有字母的式子表示小宁家的客厅和厨房的总面积。 （2）当a＝8时，小宁家的客厅和厨房的总面积是多少平方米？ 【高频考题06】用字母表示数形规律。 1．创意拼摆找规律。 如上图：搭一个三角形需要3根火柴棒； （1）按图2的方式搭2个三角形需要5根火柴棒……，照此搭下去，搭10个三角形要（     ）根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭n个三角形需要（     ）根火柴棒。 （3）当n＝100时，计算总共需要的火柴棒。 2．一张长方形桌子可以坐6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐60人？ 【高频考题07】方程与等式。 1．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( )个，方程有( )个。 2．在①、②、③、④中，是等式的有( )，是方程的有( )。（填序号） 【高频考题08】等式的性质。 1．如果x＝y，根据等式的性质填空。 x＋3＝y＋( )    x－( )＝y－5    x－( )＝y－a x÷8＝y÷( )    x×( )＝y×12    x÷( )＝y÷2.5 2．⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 【第二部分】应用与解决问题 【高频考题01】列方程解应用题“基础版”。 1．长江是我国第一长河，长6300千米，比黄河长836千米。黄河长多少千米？ 2．王叔叔坚持锻炼，两个月体重减了3千克。王叔叔现在体重93千克，两个月前他的体重是多少千克？（列方程解决实际问题。） 3．每盏路灯要装5个灯泡，解放街一共需要装140个灯泡。这条街一共有多少盏路灯？（列方程解决实际问题。） 4．同学们去植树，五年级种了90棵，比四年级种的2倍多26棵，四年级种了多少棵树？（列方程解答） 【高频考题02】列方程解应用题“进阶版”。 1．学校购置了7张桌子和15把椅子，一共用去3000元。已知1张桌子的价钱相当于5把椅子的价钱。每张桌子多少元？每把椅子多少元？ 2．2022年6月1日零时，国内成品油价格再次上调，汽油每吨上调400元。各地区92号汽油平均价格为每升9元，比去年同时期的2倍少4.6元，去年6月92号汽油的平均价格是每升多少元？（用方程解答） 3．两个工程队共同开凿一条775米长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。甲队每天开凿13.6米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 4．甲、乙两站相距255千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两站相对开出，2.5小时相遇。客车每小时行48千米，货车每小时行多少千米？（用方程解答） 5．一辆客车和一辆轿车同时沿S4成宜昭高速公路从宜宾西收费站开往成都，轿车每时行驶100km，客车每时行驶75km。经过多少时间后，轿车比客车多行驶40km？（用方程解答） 【高频考题03】列方程解应用题“拓展版”。 1．小春读一本小说，若每天读35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读40页，则最后一天要少读5页，如果他每天读39页，最后一天应读多少页才按规定时间读完？ 2．某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个。在这16名工人中部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元。若此车间一共获利1408元，求这一天有几个工人加工甲种零件？ 3．司机小王身上带有1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共77元，其中1元与2元纸币共22张，5元和10元纸币共7张，2元纸币的张数是5元纸币张数的2倍。问小王身上有多少张10元纸币？ 一、填空题。 1．2023·湖南邵阳·期末）在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8＝1.5中方程有( )。 2．（2023·全国·期末）当x＝5时，x2＝( )，3x＋9＝( )。 3．（2023·河北承德·期末）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 (1)王叔叔每小时加工m个零件，t小时共加工( )个零件。 (2)图书馆有x本书，借出358本，还剩( )本。 (3)老师用200元买了3个足球，每个足球x元，应找回( )元。 (4)人的身高早晚可能会相差2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身高是bcm，晚上身高可能是( )cm。 4．（2023·重庆忠县·期末）学校买来9个足球，每个a元，又买来b个篮球，每个58元，则9a表示( )，9a＋58b表示( )。 5．（2023·河南许昌·期末）请根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年我国高铁运营里程x万千米，( )，2021年我国高铁运营里程达到4万千米。 6．（2023·重庆九龙坡·期末）如下图，王亮在信息科技课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。根据发现的规律，输入( )时，输出55；当输入a时，输出( )。 二、判断题。 7．（2023·江西赣州·期末）等式两边同时乘或除以同一个数，左右两边仍然相等。( ) 8．（2023·浙江绍兴·期末）因为所有的方程都是等式，所以所有的等式也都是方程。( ) 9．（2023·河南新乡·期末）x＝3.5是方程2x－4.5＝2.5的解。( ) 10．（2023·贵州黔西·期末）有5角和1角的硬币共12枚，共计4元4角，其中有7枚5角的硬币。( ) 三、选择题。 11．（2023·河南安阳·期末）如果＋13＝25，那么－7＝19－( )。 A．12 B．14 C．16 12．（2023·江西赣州·期末）与方程＋7＝10.2的解相同的方程是( )。 A．15.8－＝0.6 B．－3＝0.2 C．8＋＝24 13．（2023·河南焦作·期末）世界上最高的树是王桉，一棵王桉高86米，比一棵银杏树高度的4倍矮14米，这棵银杏树高多少米？设这棵银杏树高米，下列方程错误的是( )。 A．4－14＝86 B．4－86＝14 C．4＋14＝86 14．（2023·河南许昌·期末）下面( )中等量关系可以用4x－x＝30表示。 A．动物园里有x只长颈鹿，猴子有30只，猴子的数量是长颈鹿的4倍 B．乐乐今年x岁，比爸爸小30岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的4倍 C．科技书有x本，故事书有30本，故事书比科技书多4本 D．铅笔有x支，钢笔有30支，钢笔是铅笔支数的4倍少4支 四、计算题。 15．（2023·重庆九龙坡·期末）解方程。 ①x＋4.2＝5    ②3x—27＝48    ③4×（x＋5）＝56 16．（2023·江西抚州·期末）看图列方程，并求出方程的解。 五、解答题。 17．（2023·广东河源·期末）妈妈今年34岁，比儿子的年龄的4倍还大2岁，儿子今年多少岁？（列方程解答） 18．（2022·江西赣州·期末）聪聪家和学校相距3.4千米，周二早上聪聪到学校后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也会往回家方向走，10分钟后相遇，已知聪聪每分钟走80米，妈妈每分钟骑多少米？ 19．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两个工程队共同修一条长2400米的公路，各从一端相向施工，30天完工。甲队平均每天多修38米，乙队平均每天修多少米？ 20．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）果园里梨树比苹果树少36棵，苹果树的棵数是梨树的3倍。苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解，并写等量关系式。） 21．（2023·福建莆田·期末）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送10件，还有6件未派送；若每个快递员派送12件，还差6件。该快递分派站有快递员多少名？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第五单元认识方程·单元复习篇【四大篇章】 第 3 页 共 13 页 一、用字母表示数。 1.用字母表示数。 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 2.用字母表示运算定律。 加法交换律： ； 加法结合律： ； 乘法交换律： ； 乘法结合律： ； 乘法分配律： 。 3.用字母表示计算公式。 长方形的面积公式：S=ab；长方形的周长公式：C=2(a＋b)。 正方形的面积公式： ；正方形的周长公式：C=4a。 4.用字母表示常见的数量关系。 如路程、速度和时间之间的关系可以表示为 s=vt。 5.求含有字母的式子的值。 先用含有字母的式子表示指定的数量，再把字母的取值代入式子中求值。 6.字母的取值范围。 在含有字母的式子里，字母的取值范围是由实际情况决定的。 二、解简易方程。 1.方程的意义。 含有未知数的等式就是方程。 2.等式的性质。 等式的性质 1：等式两边加上或减去同一个数，左右两边仍然相等。 等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，左右两边仍然 相等。 3.方程的解与解方程。 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 第 4 页 共 13 页 求方程的解的过程叫做解方程。 4.解形如 x±a=b、ax=b、ax±b=c和 a(x±b)=c的方程。 依据等式的性质来解此类方程。 5.检验。 把求得的未知数的值代入原方程，看方程左边的值是否等于方程右边的值。如果 相等，所求的未知数的值就是原方程的解，否则就不是。 三、列方程解决实际问题的步骤。 （1）找出未知数，用字母 x表示。 （2）分析题中的数量关系，找出等量关系，列方程。 （3）解方程并检验作答。 【第一部分】计算与算法技巧 【高频考题 01】含字母式子的化简。 1．直接写出得数。 m×4＝ a＋3 a＝ 6 x－2 x＝ a×b＝ n×n＝ 0.32＝ 2．直接写出得数。 15y 0.5y  20 b b   2.5 4  20.4  4 4m  0.6x x   2a a   a a  【高频考题 02】解方程。 1．解方程。 6x 18 36  8x 5x 130  35 3x 23  第 5 页 共 13 页 2．解方程。 7x－8＝55 9y－5y＝76 0.9x－4×5＝16 【高频考题 03】看图列方程。 1．看图列方程，并求出方程的解。 2．看图列方程，并求出方程的解。 3．看图列方程，并求出方程的解。 第 6 页 共 13 页 【高频考题 04】用字母表示数或式子。 1．武汉到上海的水路长 1125千米，一艘轮船以每小时 26千米的速度从武汉驶 往上海。 （1）开出 t小时后，距武汉有多少千米？当 10t  时，距武汉有多少千米？ （2）开出 t小时后，距上海还有多少千米？当 20t  时，距上海还有多少千米？ 2．学校购买 160套（一桌一椅）课桌椅，每张课桌 a元，每把椅子 b元。 （1）用含有字母的式子表示这批课桌椅的总价钱。 （2）当 a＝75，b＝45时，学校买课桌椅一共花了多少钱？ 【高频考题 05】用字母表示周长或面积。 1．下图是一个长方形，在长方形里剪去一个最大的正方形。请用字母表示出剩 余部分的周长和面积。 2．下图是小宁家的客厅和厨房的平面图。 （1）用含有字母的式子表示小宁家的客厅和厨房的总面积。 （2）当 a＝8时，小宁家的客厅和厨房的总面积是多少平方米？ 第 7 页 共 13 页 【高频考题 06】用字母表示数形规律。 1．创意拼摆找规律。 如上图：搭一个三角形需要 3根火柴棒； （1）按图 2的方式搭 2个三角形需要 5根火柴棒……，照此搭下去，搭 10个三 角形要（ ）根火柴棒。 （2）照这样搭下去，搭 n个三角形需要（ ）根火柴棒。 （3）当 n＝100时，计算总共需要的火柴棒。 2．一张长方形桌子可以坐 6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当 x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐 60人？ 【高频考题 07】方程与等式。 1．在“3a－b、y＋a＝8、15x＝0、2m＋1＞8、9＋6＝15”中，等式有( ) 个，方程有( )个。 2．在①4 12n  、② 20 20 40  、③7 7x  、④5 2x  中，是等式的有( )， 是方程的有( )。（填序号） 第 8 页 共 13 页 【高频考题 08】等式的性质。 1．如果 x＝y，根据等式的性质填空。 x＋3＝y＋( ) x－( )＝y－5 x－( )＝y－a x÷8＝y÷( ) x×( )＝y×12 x÷( )＝y÷2.5 2．⊙＋⊙＋⊙＋★＋★＝3.2，⊙＋★＋★＝1.6，⊙＝( )，★＝( )。 【第二部分】应用与解决问题 【高频考题 01】列方程解应用题“基础版”。 1．长江是我国第一长河，长 6300千米，比黄河长 836千米。黄河长多少千米？ 2．王叔叔坚持锻炼，两个月体重减了 3千克。王叔叔现在体重 93千克，两个月 前他的体重是多少千克？（列方程解决实际问题。） 3．每盏路灯要装 5个灯泡，解放街一共需要装 140个灯泡。这条街一共有多少 盏路灯？（列方程解决实际问题。） 4．同学们去植树，五年级种了 90棵，比四年级种的 2倍多 26棵，四年级种了 多少棵树？（列方程解答） 第 9 页 共 13 页 【高频考题 02】列方程解应用题“进阶版”。 1．学校购置了 7张桌子和 15把椅子，一共用去 3000元。已知 1张桌子的价钱 相当于 5把椅子的价钱。每张桌子多少元？每把椅子多少元？ 2．2022年 6月 1日零时，国内成品油价格再次上调，汽油每吨上调 400元。各 地区 92号汽油平均价格为每升 9元，比去年同时期的 2倍少 4.6元，去年 6月 92号汽油的平均价格是每升多少元？（用方程解答） 3．两个工程队共同开凿一条 775米长的隧道，各从一端相向施工，25天打通。 甲队每天开凿 13.6米，乙队每天开凿多少米？（用方程解） 4．甲、乙两站相距 255千米，一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两站相对开出， 2.5小时相遇。客车每小时行 48千米，货车每小时行多少千米？（用方程解答） 5．一辆客车和一辆轿车同时沿 S4成宜昭高速公路从宜宾西收费站开往成都，轿 车每时行驶 100km，客车每时行驶 75km。经过多少时间后，轿车比客车多行驶 40km？（用方程解答） 第 10 页 共 13 页 【高频考题 03】列方程解应用题“拓展版”。 1．小春读一本小说，若每天读 35页，则读完全书比规定时间迟一天；若每天读 40页，则最后一天要少读 5页，如果他每天读 39页，最后一天应读多少页才按 规定时间读完？ 2．某车间有 16名工人，每人每天可加工甲种零件 5个或乙种零件 4个。在这 16名工人中部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件。已知每加工一个甲种 零件可获利 16元，每加工一个乙种零件可获利 24元。若此车间一共获利 1408 元，求这一天有几个工人加工甲种零件？ 3．司机小王身上带有 1元、2元、5元、10元四种面值的纸币共 77元，其中 1 元与 2元纸币共 22张，5元和 10元纸币共 7张，2元纸币的张数是 5元纸币张 数的 2倍。问小王身上有多少张 10元纸币？ 第 11 页 共 13 页 一、填空题。 1．2023·湖南邵阳·期末）在①65＋x＝124②4a－8＞0③10÷2.5＝4④8x＋x⑤y÷8 ＝1.5中方程有( )。 2．（2023·全国·期末）当 x＝5时，x2＝( )，3x＋9＝( )。 3．（2023·河北承德·期末）用含有字母的式子表示下面的数量关系。 (1)王叔叔每小时加工 m个零件，t小时共加工( )个零件。 (2)图书馆有 x本书，借出 358本，还剩( )本。 (3)老师用 200元买了 3个足球，每个足球 x元，应找回( )元。 (4)人的身高早晚可能会相差 2厘米，在早上最高，晚上最矮。一个人早上身高 是 bcm，晚上身高可能是( )cm。 4．（2023·重庆忠县·期末）学校买来 9个足球，每个 a元，又买来 b个篮球，每 个 58元，则 9a表示( )，9a＋58b表示( )。 5．（2023·河南许昌·期末）请根据方程“2x＋0.04＝4”补上缺少的条件。2015年 我国高铁运营里程 x万千米，( )，2021年我国高铁运营里程达到 4万千 米。 6．（2023·重庆九龙坡·期末）如下图，王亮在信息科技课上编制了一个计算小 程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数。根据发现的规律，输入 ( )时，输出 55；当输入 a时，输出( )。 二、判断题。 7．（2023·江西赣州·期末）等式两边同时乘或除以同一个数，左右两边仍然相 等。( ) 8．（2023·浙江绍兴·期末）因为所有的方程都是等式，所以所有的等式也都是 方程。( ) 第 12 页 共 13 页 9．（2023·河南新乡·期末）x＝3.5是方程 2x－4.5＝2.5的解。( ) 10．（2023·贵州黔西·期末）有 5角和 1角的硬币共 12枚，共计 4元 4角，其 中有 7枚 5角的硬币。( ) 三、选择题。 11．（2023·河南安阳·期末）如果 x＋13＝25，那么 x－7＝19－( )。 A．12 B．14 C．16 12．（2023·江西赣州·期末）与方程 x＋7＝10.2的解相同的方程是( )。 A．15.8－ x＝0.6 B． x－3＝0.2 C．8＋ x＝24 13．（2023·河南焦作·期末）世界上最高的树是王桉，一棵王桉高 86米，比一 棵银杏树高度的 4倍矮 14米，这棵银杏树高多少米？设这棵银杏树高 x米，下 列方程错误的是( )。 A．4 x－14＝86 B．4 x－86＝14 C．4 x＋14＝86 14．（2023·河南许昌·期末）下面( )中等量关系可以用 4x－x＝30表示。 A．动物园里有 x只长颈鹿，猴子有 30只，猴子的数量是长颈鹿的 4倍 B．乐乐今年 x岁，比爸爸小 30岁，爸爸今年的年龄正好是乐乐的 4倍 C．科技书有 x本，故事书有 30本，故事书比科技书多 4本 D．铅笔有 x支，钢笔有 30支，钢笔是铅笔支数的 4倍少 4支 四、计算题。 15．（2023·重庆九龙坡·期末）解方程。 ①x＋4.2＝5 ②3x—27＝48 ③4×（x＋5）＝56 16．（2023·江西抚州·期末）看图列方程，并求出方程的解。 第 13 页 共 13 页 五、解答题。 17．（2023·广东河源·期末）妈妈今年 34岁，比儿子的年龄的 4倍还大 2岁， 儿子今年多少岁？（列方程解答） 18．（2022·江西赣州·期末）聪聪家和学校相距 3.4千米，周二早上聪聪到学校 后发现自己忘带语文书，打电话叫妈妈送书，为了节约时间，自己也会往回家方 向走，10分钟后相遇，已知聪聪每分钟走 80米，妈妈每分钟骑多少米？ 19．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）甲、乙两个工程队共同修一条长 2400米的公 路，各从一端相向施工，30天完工。甲队平均每天多修 38米，乙队平均每天修 多少米？ 20．（2022·新疆乌鲁木齐·期末）果园里梨树比苹果树少 36棵，苹果树的棵数 是梨树的 3倍。苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解，并写等量关系式。） 21．（2023·福建莆田·期末）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活，某快 递分派站现有包裹若干件需快递员派送。若每个快递员派送 10件，还有 6件未 派送；若每个快递员派送 12件，还差 6件。该快递分派站有快递员多少名？