专题3.5 图形的平移与旋转几何综合题分类专题（2大考点9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题3.5 图形的平移与旋转几何综合题分类专题（2大考点9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 【考点一】图形的平移 【题型1】图形的平移与勾股定理综合............................................1 【题型2】图形的平移与一次函数综合............................................2 【题型3】图形的平移与折叠问题综合............................................3 【题型4】图形的平移与动点问题综合............................................4 【考点二】图形的旋转 【题型5】图形的旋转与等腰三角形综合..........................................5 【题型6】图形的旋转与勾股定理综合............................................6 【题型7】图形的旋转与一次函数综合............................................7 【题型8】图形的旋转与动点问题综合............................................8 【题型9】图形的旋转与其他几何性质综合........................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】图形的平移 【题型1】图形的平移与勾股定理综合 【例1】（2025·陕西咸阳·一模）如图，某大厦的外墙段需要修复，一辆工程车位于大厦前的点E处，从点D处伸长的云梯刚好接触到点A，当工程车向前平移一段距离，云梯腩好接触到点B．已知，，云梯的长度保持不变．工程车初始停留点E到点O的距离为，移动距离，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（    ）    A．1cm B．2cm C． D． 【变式2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为 ．    【题型2】图形的平移与一次函数综合 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线交轴于点，与轴交于点，将直线向下平移4个单位长度，得到的直线分别交轴，轴于点，． （1）求的值及，两点的坐标； （2）在直线上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为 ． 【题型3】图形的平移与折叠问题综合 【例3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． （1）若，求的度数； （2）若，求四边形的周长． 【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，已知，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接，若，则的值为（    ） A．12 B．16 C．17 D．18 【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 【题型4】图形的平移与动点问题综合 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为______； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是 ． 【考点二】图形的旋转 【题型5】图形的旋转与等腰三角形综合 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为 ． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【题型6】图形的旋转与勾股定理综合 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁·阶段练习）如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为 ． 3．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． （1）求证：； （2）在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 【题型7】图形的旋转与一次函数综合 1．（20-21八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【题型8】图形的旋转与动点问题综合 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，若，则此时 ． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图1，在中，，，，于点，为上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点为线段的中点时，点与点重合，则线段和之间的数量关系是______． （2）如图1，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． 【题型9】图形的旋转与其他几何性质综合 1．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在等边 中，点D为 边上一动点，连 ，将 绕着D逆时针旋转 得到 ，连 ，取 中点F，连 ，则下列结论不正确的是（   ） A．当点D是 中点时， B． C． D．当 时， 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 1 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【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点之间的距离为（    ）    A．1cm B．2cm C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，根据勾股定理求出的长，再由平移的性质即可求解． 解：∵四边形为边长为的正方形， ， 由平移的性质可知，， ∴． 故选：D 【变式2】（23-24八年级下·全国·期中）如图，在中，，将沿着射线向上平移得到，边与边交于点G，若 则四边形的周长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平移的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出，再由平移的性质可得，，则由含30度角的直角三角形的性质得到，再由勾股定理得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 解：∵在中，， ∴， 由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 【题型2】图形的平移与一次函数综合 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图，直线交轴于点，与轴交于点，将直线向下平移4个单位长度，得到的直线分别交轴，轴于点，． （1）求的值及，两点的坐标； （2）在直线上是否存在点，使，若存在，求点的坐标． 【答案】（1），，；（2）点的坐标为或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点等，分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求得，利用平移的性质求得平移后直线的解析式为，据此求解即可； （2）先求得，，再分两种情况讨论，利用三角形的面积公式列式计算即可求解． 解：（1）解：∵直线交轴于点， ∴，解得， ∴直线， 将直线向下平移4个单位长度，得到的直线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴点不在线段上， 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 当点在射线上时， 由题意得， 解得，， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【变式1】（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，把正方形放在直角坐标系内，其中点的坐标分别为、，将直线沿轴向左平移个单位，则直线扫过正方形的面积为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形、一次图像的平移等知识，结合题意确定平移后的新直线解析式是解题关键．设直线与轴交于点，与交于点，根据题意可得，，，并确定点的坐标，结合平移的性质可得新的直线解析式，并确定新的直线经过点，然后根据求解即可． 解：如下图，设直线与轴交于点，与交于点， ∵四边形为正方形，点的坐标分别为、 ∴，，， 对于直线， 令，可得，解得，即， 令，可得，即， ∴，， ∵将直线沿轴向左平移个单位， ∴新的直线解析式为， 令，可得， ∴新的直线经过点， ∴直线扫过正方形的面积． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，正方形的顶点A，D分别在x轴，y轴上，点在直线上．直线l分别交x轴，y轴于点E，F．将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上．则m的值为 ． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 设平移后点， ， 解得， 故答案为： 【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 【题型3】图形的平移与折叠问题综合 【例3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． （1）若，求的度数； （2）若，求四边形的周长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解； （）由折叠的性质，平移的性质即可求解； 本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）解：由折叠性质可知，， ∴， 由平移性质可知：， ∴； （2）由折叠性质可知，， 由平移性质可知：，， 则四边形的周长为． 【变式1】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，已知，点E，F分别在边，上，将沿直线折叠，使点B落在点D处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连接，若，则的值为（    ） A．12 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、平移的性质等知识点，理解折叠和平移的性质是解答本题的关键． 由折叠的性质和平移的性质可得、、，再根据可得，再结合可得，最后代入即可解答． 解：由折叠的性质可得：； 由平移的性质可得：，， ∴， ∴ ∵，即， ∴，， ∴． 故选A． 【变式2】（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 【答案】50或70 【分析】本题考查角平分线的定义、平移的性质、轴对称的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由平分，得，由折叠得，则，而，所以；二是点D在点B的左侧，则，，所以，于是得到问题的答案． 解：如图1，点D在点B的右侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵平移线段，得到线段， ∴， ∴； 如图2，点D在点B的左侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：50或70． 【题型4】图形的平移与动点问题综合 【例4】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，O为原点，已知点，且，将点B向右平移8个单位长度，得到对应点D． （1）点A的坐标为 ，点B的坐标为______； （2）求的面积； （3）若点P为x轴上的一个动点，是否存在点P，使的面积等于面积的2倍，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的面积为4；（3）存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，非负数的性质和坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）直接根据非负数的性质得出的值即可得出答案； （2）根据题意得出点的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可； （3）设点，分情况进行讨论：当点位于点左侧时，不合题意；当点位于之间时；当点位于点右侧时；根据题意表示出和的面积，根据的面积等于面积的2倍列式求解即可． 解：（1）解：， ， 解得：， ∵点， ∴点，点， 故答案为：； （2）解：将点向右平移8个单位长度，得到点， 则； （3）解：设点的坐标为， 当点位于点左侧时，，不符合题意； 当点位于之间时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为； 当点位于点右侧时， ，， 根据题意得：， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述：点的坐标为或． 【变式1】（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）如图，将沿方向平移得到对应的，延长，交于点．若，，，，为线段上一动点，连接，则的最小值为（    ）．    A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】根据平移的性质得，当时，最小，此时有，即，即可求出答案． 解：将沿方向平移得到对应的， ， ， ， ，，， 当时，最小， 此时有， 即， ， 的最小值为． 故选：A． 【点拨】本题考查了平移的性质和垂线段最短，根据平移的性质得到是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，点分别是边和上的动点，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用完全平方公式配方．先求得，，设，利用勾股定理求得，再利用完全平方公式配方，根据非负数的性质即可求解． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∵， ∴的最小值是， 故答案为：． 【考点二】图形的旋转 【题型5】图形的旋转与等腰三角形综合 1．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图所示，在等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接取的中点，连接，若，则以下选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，首先利用等腰三角形的性质和旋转的性质可以得到，接着利用等腰三角形的性质即可求解． 解：等腰三角形中，，将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 为的中点， ， 故选项A正确，不符合题意； ∴， 故选项C错误，符合题意； ∴， ∴， 故选项B正确，不符合题意； ∵， ∴， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图在中，，，将绕点按逆时针方向旋转角，得到，设交边于，连结，若是等腰三角形，则旋转角的度数为 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键，根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的两底角相等求出，再表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，然后分三种情况讨论求解． 解：∵绕C点逆时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， 根据三角形的外角性质，， 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①时，，无解， ②时，， 解得， ③时，， 解得， 综上所述，旋转角α度数为或. 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·全国·期中）如图，点O是等边内一点，，．将绕点C按顺时针方向旋转得连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形？ 【答案】（1）见详解；（2）是直角三角形，理由见详解；（3）当或或时，则是等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质； （1）由旋转的性质得出、即可知是等边三角形； （2）由旋转可以得出，，就可以得出是等边三角形，就可以得出，从而得出，进而得出的形状； （3）由条件可以表示出就有，分当，或时分别求出的值即可． 解：（1）解： 绕点按顺时针方向旋转得， ，， ， 是等边三角形． （2）解：当时，是直角三角形．理由如下： 绕点按顺时针方向旋转得 ， ， 由（1）是等边三角形 ， ， 当时，是直角三角形． （3）解：， ． 是等边三角形， ， ，， ①当时， ， 解得： ②当时， ， 解得：， ③当时， ， 解得： 综上，当或或时，则是等腰三角形． 【题型6】图形的旋转与勾股定理综合 1．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，点到轴的距离为4，，点为轴上一点，且．将绕点顺时针旋转，每秒旋转，则第79秒时点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律，勾股定理，根据题意利用勾股定理求得的长，再根据题意得到点的坐标每8次一循环，求出此时点的坐标即可解决问题．能根据题意发现点的坐标每8次一循环是解题的关键． 解：如图，过点作交于点， ，点到轴的距离为4， ， 根据勾股定理可得， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 根据将绕点顺时针旋转，每秒旋转， 当时间为第1秒时，如图，过点作交于点， ， 此时， 则， ， 当时间为第2秒时，点落在轴负半轴上，则， 当时间为第3秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第4秒时，点落在轴负半轴上，可得， 当时间为第5秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第6秒时，点落在轴正半轴上，可得， 当时间为第7秒时，同第1秒原理，可得， 当时间为第8秒时，点落在轴正半轴上，可得， 点的坐标为8秒一循环， ， 第79秒时点的坐标为， 故选：A 2．（23-24八年级下·辽宁·阶段练习）如图，线段的长为4，是等腰直角三角形，，，的长为，将绕点旋转一周，连接，当三点共线时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理； ①当在线段上方，点在线段上时，首先求出，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可；②当在线段下方，点在线段的延长线上时，由①知，然后利用勾股定理求出，再根据计算即可． 解：①如图1，当在线段上方，点在线段上时， ∵是等腰直角三角形，，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得：， ∴； ②如图2，当在线段下方，点在线段的延长线上时， 由①知， 在中，根据勾股定理得：， ∴； 故答案为：或． 3．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，和都是等腰直角三角形，．， ，将绕着顶点C旋转，连接． （1）求证：； （2）在的旋转过程中，探求：点A，D，E在同一直线上时，的长． 【答案】（1）见分析；（2）或3 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）由“”可证； （2）分两种情况讨论，由勾股定理可求解. 解：（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴, 在和中， ∴； （2）解：如图2， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴， 在中， ∴ （负值舍去）， ； 如图3， 同理可得： ∴, ∴ （负值舍去）， 综上所述：或3 【题型7】图形的旋转与一次函数综合 1．（20-21八年级下·山西运城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点点在轴的正半轴上，，现把绕点顺时针旋转30°得到，点恰好落在一次函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】如图，过作轴于，在中，，，求出AB和的长，再利用，，可得到和的长，得到的坐标，代入一次函数即可得出结果． 解：如图，过作轴于， 由题意知， ∵在中，，， ∴， 由勾股定理得， 在中． 则． 同理，由勾股定理得，， ∴， 将代入中， 得． 故选：D． 【点拨】本题考查一次函数及应用，涉及旋转、30°的直角三角形性质及勾股定理，比较综合，解题的关键是求出的坐标． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，将直线绕点旋转，交轴于点，则直线的函数表达式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，以及旋转的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线． 先求出点、的坐标，进而得到，，当直线绕点逆时针旋转时，过点作，交直线于点，再过点作轴于点，由旋转可得：，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，，进而求出点的坐标，再利用待定系数法；当直线绕点顺时针旋转时，过点作，交直线于点，同理可得直线解析式，即可求出答案． 解：当直线绕点逆时针旋转时， 过点作，交直线于点，再过点作轴于点， 在中，令，则，令，则， 解得：， ，， ，， 由旋转可得：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 当直线绕点顺时针旋转时，过点作，交直线于点， 同理可得：， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 故答案为：或． 3．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）【模型建立】 （1）如图，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：； 【初步应用】 （2）将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ；将点绕坐标原点逆时针旋转90°，得到点，则点坐标为 ． 【解决问题】 （3）已知一次函数的图像为直线，将直线绕它与轴的交点逆时针旋转90°，得到直线，则直线相应的一次函数表达式为 ． 【综合运用】 （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，最后再绕着坐标原点逆时针旋转90°，所得图像相应的函数表达式为 ． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）先证明，由即可判定 （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，证明得出，即可得出点的坐标，点的坐标同求点的方法； （3）利用（1）的结论判断求出点P，E的坐标，借助（1）的结论求出点的坐标即可，再利用待定系数法求出直线函数表达式； （4）先求出平移后的直线表达式为，求出与坐标轴的交点，再根据绕着坐标原点逆时针旋转90°后对应点坐标求出所得图像相应的函数表达式. 解：（1）证明：∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ （2）过点作轴于D，过点A作轴于C，如图1， ∵， ∴， ∵轴，轴， 同理（1）可得； ∴， ∴， 同求点的方法得，， 故答案为； （3）如图 ∵，令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵将直线l绕它与x轴的交点P逆时针旋转，得到直线， 过点作轴于F， 同（2）的方法得，， ∴， ∴， 点E绕点P逆时针旋转的对应点， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为， 故答案为：； （4）将函数的图像先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，可得：直线为， 设直线交轴于点，交轴于点，上，令，则令，则 ，， ∵直线是直线标原点逆时针旋转90°得到的， ∴，， 设直线的表达式为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线的表达式为，， 故答案为：； 【点拨】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，点的坐标的确定方法，一次函数的应用以及旋转的性质，借助给出的结论明确思维方法是解本题的关键． 【题型8】图形的旋转与动点问题综合 1．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，，是边上的高上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转到，连接，则线段的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取中点，连接，证明，则，那么当时，最小，即最小，再由角直角三角形的性质求解即可． 解：取中点，连接，则， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最小，即最小， ∴此时， ∴最小值为1， 故选：B． 【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角直角三角形的性质等知识点，解题的关键在于构造全等三角形进行问题转化． 2．（24-25九年级上·湖北咸宁·期中）如图，在中，，，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转至，连接，若，若，则此时 ． 【答案】 【分析】在上取，过作交于，由旋转的性质可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，利用可证得，由全等三角形的性质可得，设，则，再由勾股定理即可求解． 解：如图，在上取，过作交于， 由旋转的性质可得：，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， 设， 则 ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，含度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构建全等三角形并能熟练运用勾股定理进行求解是解题的关键． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图1，在中，，，，于点，为上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）如图2，当点为线段的中点时，点与点重合，则线段和之间的数量关系是______． （2）如图1，当时，写出线段，和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明见分析；（2）理由见分析； 【分析】本题考查全等三角形的性质及判定，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质，能熟练应用全等三角形判定定理和相似三角形的判定定理． （1）证明是等边三角形，利用等边三角形的性质可得结论； （2）在上截取，连接，证明），可得，从而从而可得结论． 解：（1）解：如图2， 为的中点， 是等边三角形， 即 故答案为： ． （2），理由如下：在上截取，连接，如图： 在中，，， ， 又， ， 是等边三角形， ，． 由旋转的性质，得，， ， ，即． 在和中， ， ， 又，， ． 即． 【题型9】图形的旋转与其他几何性质综合 1．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在等边 中，点D为 边上一动点，连 ，将 绕着D逆时针旋转 得到 ，连 ，取 中点F，连 ，则下列结论不正确的是（   ） A．当点D是 中点时， B． C． D．当 时， 【答案】B 【分析】过点D作，交于点G，根据等边三角形的性质和平行线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据旋转的性质可得，求得，即可判断A选项；连接并延长到点K，使，连接，，证明可得，，根据等边三角形的性质可得，设，，则，再根据旋转的性质可得，，从而可得，可证得，，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质即可判断C；根据等腰三角形的判定可得，从而证，可得，，再根据三角形的内角和定理可得，再根据直角三角形的性质即可判断D；由全等三角形的性质可得，再由，，即可判断B． 解：过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵点D是 中点， ∴，即， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； 连接并延长到点K，使，连接，， ∵点F是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， 设，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴，故选项C不符合题意； ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故D选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 故选：B． 【点拨】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，现操作如下：将边绕点C顺时针旋转为，将边绕点C 逆时针旋转为，过点C 作于H，延长至E使，延长与交于F． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，难度较大，正确构造全等三角形是解决问题的关键． 过点作交延长线于点M，过点作于点N，则可证明，，，那么，则，在中，，求得，而均为等腰直角三角形，则，故，则，继而，则的面积即可求解． 解：过点作交延长线于点M，过点作于点N，则 由旋转得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接． （1）尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______． （2）类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时， ①再探究线段与的数量关系并证明； ②若，求线段的长； （3）拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①等式性质1，②；（2）①，证明见分析；②；（3）或 【分析】（1）根据，得，理由是等式性质1，可得； （2）①根据， ，，得，得，可得，即得；②由，得； （3）由，当点D在右侧时，得，即得，当点D在左侧时，得，即得． 解：（1）解：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（ 等式性质1 ）， ∴（ ）， 故答案为：等式性质1，； （2）解：①． 证明：∵中，， ∴， 由旋转知， ∴， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ， ∴； （3）解：当时， 由（1）（2）知，， 当点D在右侧时，， ∴； 当点D在左侧时，， ∴． 故线段的长为或． 【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论，是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$