猜押08 几何综合题（解答压轴题必考题）（6类题型）-2025年中考数学冲刺抢押秘籍（安徽专用）

猜押08 几何综合题（解答题） 模型 5年考题 考情分析 一线三等角模型 2021年第23题 几何综合问题一般会出现在试卷后三道压轴题的位置，属于中考难点，一般常会考查线段之间的关系问题、角度之间的关系问题等. 此类问题一般是对几何辅助线与几何模型的考查，如：中点相关的辅助线、手拉手模型、旋转模型等，对模型的理解和灵活应用是解题关键. 十字架模型 2020年第23题 中点类模型 2023年第22题 2022年第22题 2021年第23题 题型一 一线三等角模型 1．（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，是上的一点，且．    (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若． ①求证：． ②若，，，求的长． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，，于点M，D在上，E在上，． (1)若，，求证：； (2)作于点N，点F是一点，且， ①求证：； ②求的值． 3．（2024·安徽淮南·二模）如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． (1)如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； (2)如图（1），求与α的数量关系． (3)如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知E是外一点，D是所在平面内一点，且满足，．    (1)如图1，点D在外，求证：． (2)如图2，点D在边上，与交于点F，若，，，，求的值． 题型二 旋转模型 1．（2024·安徽滁州·二模）如图，在等腰中，，，于点D，点E在线段上，连接，将线段绕点E逆时针旋转，点C的对应点F恰好落在的延长线上．      (1)如图①，当时． ①求证：； ②求的值； (2)如图②，当时，求的长． 2．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等边中，点分别为边上的点，且． (1)连接．求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 3．（2025·安徽芜湖·一模）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知矩形，，，把矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点．    (1)如图1，若点落在边上，过点作，垂足为点，连接，求证：； (2)如图2，若点在上方，连接交于点，连接，若， ①求证：； ②求的长． 5．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 6．（2025·安徽·二模）如图，和都是等腰直角三角形，且，，，M，N，P分别为，，的中点，可以绕着顶点A自由转动． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，B，D，E三点在一条直线上，与相交于点F，利用备用图，求的值． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，，，，，分别为边，的中点，连接，将绕着点顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，当时，设点的初始位置为点，连接，，求证：． (2)当，，连接，求的值． (3)如图3，，连接，，交于点，与交于点，当是的中点时，求的长． 8．（2025·安徽滁州·一模）在正方形中，点是上一动点（不与点，重合），连接，将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置，连接，交于点． (1)如图1，当点为的中点时，若正方形的边长为4，求的长． (2)如图2，过点作于点，其延长线交于点． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． 题型三 翻折模型 1．（2025·安徽合肥·一模）如图1，四边形的对角线，相交于点O，． (1)在图1中，过点A作交于点E，求证：； (2)如图2，将沿AB翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长． 2．（2025·安徽宣城·一模）已知在正方形中，是边上一动点，将正方形沿着所在的直线折叠，点落在点处，连接．    (1)如图①，延长交于点，判断与的数量关系以及位置关系，并说明理由； (2)如图②，若为的中点，与的交点为，连接、，求的值． 3．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点，点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处， (1)如图，设，，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若为中点，求的值； (3)若点落在矩形的对角线上，求的长． 4．（2025·安徽·二模）折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 5．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 6．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 7.（2025·安徽合肥·一模）如图，已知在中，，点是上一点，把沿着对折得到，，连接． (1)求的度数． (2)若． ①如图1，若，求的值； ②如图2，过点作的垂线分别交于点，连接．求证：． 题型四 半角模型 1．（2025·安徽合肥·一模）已知，在正方形中，点E是上一点，点F在射线上，连接，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当平分时， ①求证：； ②如图3，若正方形边长为2，点E是的中点，连接交于点G，连接交于点H，求的值． 2．（2024·安徽阜阳·二模）如图1，四边形是正方形，，点E是边上一点，连接 ，作的平分线交于点F，连接． (1)如图2，当点E跟点C重合时，求的长； (2)当点E在上运动时： ①当点F为边的中点，求证：； ②求证：． 3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．    (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 4．（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 题型五 十字架模型 1．（2024·安徽合肥·三模）如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 2．（2025·安徽合肥·一模）已知：如图，在矩形中，，对角线交于点，点为对角线上一动点（不与端点重合），连接，过点作．交线段于点． (1)当点与点重合时，则___________ (2)求证：； (3)求的值． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，点是对角线、的交点，连接，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)如图2．连接，，； ①若，求证：； ②若，，求线段的长． 题型六 中点类模型 1．（2025·安徽滁州·一模）在中，于点，为上的点，连接，，且，为上另一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，连接，求证：； (3)如图2，为的中点，连接交于点，且．若，求的长． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图1，在中，点D为的中点，点P为射线上一动点（不与点C，A重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为点E，F，连接，，． (1)当时，，则k的值为______； (2)当点P在边上时，求证：； (3)如图2，当为钝角，且点P在延长线上时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 3．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 4．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点与点对应，点与点对应． (1)当时，的长为_____． (2)如图2，是的中点，连接，过点作且交直线于点． ①求证：． ②在旋转的过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的长度． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中为对角线上一动点，过点作交于点，作交于点，连接、． (1)若， ①求证：平分； ②求证：； (2)已知，且为的中点，求矩形的周长． 6．（2025·安徽安庆·一模）已知：在矩形中，点是边上中点． (1)如图1，连接并延长交延长线于点，连接交于点． ①求证： ②求的值； (2)如图2，过点作直线分别与、的延长线交于点、点，连接、．求证：． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 8．（2025·安徽淮南·二模）在四边形中，，，点在边上，连接，，交于点． (1)若，如图1．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点． ①求证：； ②若，，，求，的长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 猜押08 几何综合题（解答题） 模型 5年考题 考情分析 一线三等角模型 2021年第23题 几何综合问题一般会出现在试卷后三道压轴题的位置，属于中考难点，一般常会考查线段之间的关系问题、角度之间的关系问题等. 此类问题一般是对几何辅助线与几何模型的考查，如：中点相关的辅助线、手拉手模型、旋转模型等，对模型的理解和灵活应用是解题关键. 十字架模型 2020年第23题 中点类模型 2023年第22题 2022年第22题 2021年第23题 题型一 一线三等角模型 1．（2025·安徽滁州·一模）如图，在四边形中，是上的一点，且．    (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若． ①求证：． ②若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得，再结合，即可证明，进行作答． （2）①先得，再结合，即可证明，得，进行整理即可作答． ②先得出，在中，由勾股定理得．结合，则，即，，最后结合勾股定理列式计算，即可得出． 【详解】（1）证明：∵， ，， ． ， ． （2）明：①， ，， ． ， ， ， ． ②如图，过点A作于点，过点作于点．   ，， ． ， ， 在中，． 由（2）的①，得， ， 即， ． ， ， ． 在中，． 2．（2024·安徽合肥·二模）如图，，于点M，D在上，E在上，． (1)若，，求证：； (2)作于点N，点F是一点，且， ①求证：； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用等边对等角，三角形外角的性质以及三角形内角和定理可求出，则，利用三角形的外角性质可得出，然后利用证明即可； （2）①证明可得出，，进而得出，证明，得出，则，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理即可得证； ②延长至C，使，连接，，利用三角形内角和定理可证明，利用等腰三角形三线合一性质可得出，，可得出，证明，可证得，则，由平行线分线段成比例得出，利用三角形中位线定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴．即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长至G，使，连接，， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴∠， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，明确题意，添加合适辅助线，寻找出相似三角形是解题的关键． 3．（2024·安徽淮南·二模）如图（1），E是菱形边上一点，是等腰三角形，AE=EF，，交于点G，探究与α的数量关系． (1)如图（2），当时，在上截取，连接，构造全等三角形，可求出的大小，那么______； (2)如图（1），求与α的数量关系． (3)如图（3），当时，过A作垂足为P，若，求的值． 【答案】(1)45； (2)； (3)． 【知识点】全等三角形综合问题、四边形其他综合问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）在上截取，使，连接．先证，再由正方形的性质得到，，则，得到，则，进而得到； （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过A作，垂足为P，设，则，得PD=，AP=，在证，，再得，，得结论， 【详解】（1）解：在上截取，使，连接． ，， ， ， ， ∴四边形是正方形， ，， ， ， ， ； 故答案为：45； ． （2）如图（1）在上截取，使，连接， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ，，， ， α， ， ， ∴； （3）如图（3）过A作，垂足为P，设，则，， ， ∴PD=，AP=， 由（2）得：，， ， ，代入得：， 由（2）知：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，三线合一定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知E是外一点，D是所在平面内一点，且满足，．    (1)如图1，点D在外，求证：． (2)如图2，点D在边上，与交于点F，若，，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，则，再证明，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，，得到，证明，进而即可得到答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ． ， ， ． （2），， ，， ， ． ，， ， ． 题型二 旋转模型 1．（2024·安徽滁州·二模）如图，在等腰中，，，于点D，点E在线段上，连接，将线段绕点E逆时针旋转，点C的对应点F恰好落在的延长线上．      (1)如图①，当时． ①求证：； ②求的值； (2)如图②，当时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②； (2)． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】（1）①利用“三线合一”的性质结合勾股定理求得，，利用即可证明；②作于点，证明，设，，，利用勾股定理列式计算求得，，再根据正弦函数的定义即可求解； （2）设，则，证明，推出，利用勾股定理求得，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）①证明：∵等腰中，，于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②解：作于点，    由， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 2．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等边中，点分别为边上的点，且． (1)连接．求证：； (2)将线段绕点顺时针旋转至，连接交于点，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由等边三角形得到，，然后证明出，得到； （2）首先求出，由旋转的性质可得，，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在等边中， ∴， 又∵ ∴ ∴； （2）证明：设交于T 由（1）可知， ∴， ∵ ∴ ∴ 由旋转的性质可得， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是关键． 3．（2025·安徽芜湖·一模）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质，已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】（1）如图1，连接、，在纸片绕点C旋转过程中，求的值． 【尝试证明】（2）如图2，在纸片绕点C旋转过程中，当点E恰好落在的中线 的延长线上时，求证：． 【深入探究】（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点F，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值 【分析】（1）根据勾股定理可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可求证； （3）先证明，可得，从而得到，进而得到，再根据，可得，从而得到，在中，利用锐角三角函数解答，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 4．（2024·安徽合肥·二模）已知矩形，，，把矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，连接，交于点．    (1)如图1，若点落在边上，过点作，垂足为点，连接，求证：； (2)如图2，若点在上方，连接交于点，连接，若， ①求证：； ②求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据旋转的性质求解、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）先由旋转的性质得到，，则，再由矩形的性质得到，，进而证明，则由角平分线的性质可得，进而得到，据即可利用 （2）①如图所示，过点B作于H，证明，推出，由旋转的性质可得，则，可得或（舍去），则；再证明，得到；设，则，由勾股定理得，解得或（舍去）；则，即可由相似三角形的性质得到；②同理可证明，进而证明，则，求出，，则． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作于H， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴由旋转的性质可得， ∴， ∴或（舍去）， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∵， ∴；    ②由旋转的性质可得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 5．（2024·安徽安庆·二模）如图1，在中，，与边分别交于点D、E，连接，点F、G、H分别是的中点，分别连接． (1)观察、猜想 观察图1，猜想 ， (2)探究、说理 把绕点C逆时针方向旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由 (3)拓展、思考 在所在的平面内，把绕点C自由旋转，当时，直接写出线段的长度的取值范围 【答案】(1)，90 (2)（1）中的结论还成立，理由见解析 (3) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由平行得，则，由平行得到，则，由三角形中位线定理得到，故，，再根据平行导角即可； （2）由角正切得到，证明，则，由三角形中位线得到，，再根据平行和相似三角形的性质导角即可； （3）由题意可知，，则，由于是的中位线，则，继而可求取值范围． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵点F、G、H分别是的中点， ∴分别为的中位线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴, 故答案为：，90； （2）解：（1）中的结论还成立，理由如下： 证明：如图2， 在中，， ∴， 在中，∴， ∴ 又， ∴ ∴ ∴ ∵是的中位线， ∴． 同理可得， ∴ ∵是的中位线， ∴， ∴ ∵， 由于，有， 由得： ∴； （3）解：由题意可知，， ∴，即 ∴绕点C旋转时，当D点落在边上时，AD最小值为6；当点D落在延长线上时，最大值为14， ∵是的中位线，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，难度较大，综合性强，熟练掌握知识点和基本图形是解题的关键． 6．（2025·安徽·二模）如图，和都是等腰直角三角形，且，，，M，N，P分别为，，的中点，可以绕着顶点A自由转动． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，B，D，E三点在一条直线上，与相交于点F，利用备用图，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)等腰直角三角形，见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证，再利用即可证明结论； （2）根据中位线的性质及可证明，，，，，再由此证得，即可得结论； （3）连接．先证，再证，，则，可证得，得，设，则，， ，，，进而可得答案． 【详解】（1）证明：， 则， ， 在与中，， ； （2）为等腰直角三角形；           证明： M，N，P分别为，，的中点， ， 又 ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形； （3）连接． ∵，， ∴，则， ， ， ， 又，为的中点， ∴，，则， ， ， 设，则，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 7．（2025·安徽合肥·一模）如图1，在中，，，，，分别为边，的中点，连接，将绕着点顺时针旋转，旋转角为． (1)如图2，当时，设点的初始位置为点，连接，，求证：． (2)当，，连接，求的值． (3)如图3，，连接，，交于点，与交于点，当是的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由题意得，F是的中点，，，再根据旋转的性质证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）过点作，交的延长线于点，推出四边形是矩形，根据勾股定理求出，再结合中位线及旋转的性质求出，，再利用勾股定理求出，最后由可计算出答案； （3）因为的中点为G，且，，求证即可求解． 【详解】（1）证明：为边的中点，， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是题图1中的中位线， ，， ， 在中，， ； （3）解：， ， ，， ， ， ， ． ，是的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行旋转的性质，四边形的判定，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质． 8．（2025·安徽滁州·一模）在正方形中，点是上一动点（不与点，重合），连接，将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置，连接，交于点． (1)如图1，当点为的中点时，若正方形的边长为4，求的长． (2)如图2，过点作于点，其延长线交于点． ①连接，求证：平分； ②当时，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②. 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定求线段长、求角的正切值 【分析】本题主要考查了旋转、四边形和全等三角形综合，解题关键是构造K字形全等证明，. （1）过点作于点，过点作于点，交于点,构造K字形全等，可得，，进而可得，再根据点为的中点时，可得，由此得出，进而可得，由此求出，再根据即可求出； （2）①过点作于点，交于点,过点作于点，由（1）可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论； ②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在正方形中，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵当点为的中点时，正方形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）①过点作于点，过点作于点，交于点,过点作于点， 由（1）可知：，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴平分， ②当时，即， ∴， ∴ ∴， ∵在正方形中，， ∴， 由（1）得， ∴． 题型三 翻折模型 1．（2025·安徽合肥·一模）如图1，四边形的对角线，相交于点O，． (1)在图1中，过点A作交于点E，求证：； (2)如图2，将沿AB翻折得到． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）①过点A作交于E，交于F，由题意易得，，则有，然后问题可求证； ②由题意易得四边形是平行四边形，则有，然后可得，进而可得，，最后根据方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ， ， ， ， ， ， ； （2）①证明：过点A作交于E，交于F，如图2， 由（1）知，． ， 是翻折得到的， ， ， ， ， ； ②解：，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， ，即， ， ，即， ， ，， ，， ， 解得（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质与判定、平行线的性质及判定及折叠的性质是解题的关键． 2．（2025·安徽宣城·一模）已知在正方形中，是边上一动点，将正方形沿着所在的直线折叠，点落在点处，连接．    (1)如图①，延长交于点，判断与的数量关系以及位置关系，并说明理由； (2)如图②，若为的中点，与的交点为，连接、，求的值． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由折叠的性质得，，证明，得到，即可求解． （2）由折叠的性质得，垂直平分，证明为的中位线，得到，，再证明，得到，，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 由折叠的性质得，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （2）解：由折叠的性质得，垂直平分， ，即是的中点， 为的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，． 是等腰直角三角形， ，， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键． 3．（2025·安徽芜湖·一模）如图，已知在矩形中，，，点为边上一点（不与点，点重合），先将矩形沿折叠，使点落在点处， (1)如图，设，，请判断与的数量关系，并说明理由； (2)若为中点，求的值； (3)若点落在矩形的对角线上，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由矩形的性质得，由翻折的性质得，推得，将、代入即可求解； （2）延长与的延长线交于点G，证得，得，设，代入，得，利用勾股定理可求得、的值，通过即可求解． （3）分类讨论：①利用勾股定理推得点不会落在对角线的交点上；②当点落在上时，利用矩形的性质推得，结合三角函数即可求解的值；③当点F落在上时，利用翻折的性质结合三角函数可得，即可求解的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由翻折的性质可知， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，延长与的延长线交于点G， 故 ∵E为中点， ∴，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 化简得，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：①∵，， ∴， ∴， ， ∴点不会落在对角线的交点上； ②当点落在上时，如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点F落在上时，如图所示， 由翻折的性质可知，为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了翻折图形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，三角函数，线段垂直平分线的性质，熟练掌握翻折图形的各种性质是解题关键． 4．（2025·安徽·二模）折纸是数学课中常见的操作活动，同学们可由此进行观察、猜想和证明．如图1，在矩形纸片中，点在边上，沿折叠矩形，点落在点处，连接交于点． (1)小明发现，在图1中如果延长交边于点，如图2，则有，请说明理由； (2)若矩形是一张纸，且点是边的中点，如图2所示进行折叠与连线，求的值； (3)在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，且平分，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，得出即可； （2）设，则，，求出，，证明，得出，求出，得出，得出答案即可； （3）延长到点，使得，连接交与点，连接，根据等腰三角形的性质得出，，证明，得出，再求出结果即可． 【详解】（1）解：点关于折叠到， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知：， ， 设，则，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即， ， ， ． （3）解：延长到点，使得，连接交与点，连接，如图所示： 平分， ， ， ，， ， ， 又四边形是矩形， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 5．（2024·安徽六安·二模）在矩形的边上取一点，将沿翻折，点的对应点为点． (1)当在边上时， （）如图，若，，求； （）如图，作平分交于，若，求证：； (2)如图，当点在矩形内部时，若平分交于，，直接写出三者关系为：__________． 【答案】(1)（）；（）证明见解析； (2)． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（）（）由折叠可得，，，由矩形的性质可得，，，进而可得，即可得，设，则，由勾股定理得，求出即可求解；（）如图，过点作于，证明可得，，设，，则，，证明可得，即得，得到，再利用三角形面积可得，得到，得到，得到，即可求证； （）如图，过点作，过点作于，交于点，可得，证明得到，，又由折叠可得，，，即可得到四边形是矩形，得到，，即得，，再由可得，进而得到， 由勾股定理得到，即得，即可求证； 本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：（）由折叠可得，，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：； （）如图，过点作于，则， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作，过点作于，交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 由折叠可得，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 6．（2025·安徽合肥·一模）定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)如图1，在菱形中，E是的中点，连接，将沿翻折到，延长交于点P，请写出图中的所有“筝形”； (2)如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； (3)如图3，在矩形中，是边的中点，连接，将沿翻折到，点P是线段上一点，若四边形是“筝形”，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用勾股定理解三角形、四边形其他综合问题、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）由折叠的性质得到，即四边形是“筝形”；再根据菱形的性质结合折叠的性质得到，连接，由E是的中点，得到，推出，求出，得到，即四边形是“筝形”； （2）同理（1）可证四边形是“筝形”，设，则正方形边长为，利用勾股定理求出，连接，证明是直角三角形，利用正切的定义可得，求出，勾股定理求出，即可解答； （3）延长交于点，连接，同理（1）可证四边形是“筝形”，当重合时，四边形是“筝形”，同理（2）得是直角三角形，，，求出，勾股定理求出，即可得到此时的长． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， 即四边形是“筝形”； 由折叠的性质得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即四边形是“筝形”； 综上，图中的“筝形”有； （2）解：同理（1）得：四边形是“筝形”， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 连接， ∵四边形是“筝形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∵，即， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：延长交于点，连接， 同理（1）可证四边形是“筝形”， 当重合时，四边形是“筝形”， 同理（2）得是直角三角形，， ∴， ∵在矩形中，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键． 7.（2025·安徽合肥·一模）如图，已知在中，，点是上一点，把沿着对折得到，，连接． (1)求的度数． (2)若． ①如图1，若，求的值； ②如图2，过点作的垂线分别交于点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、等腰三角形的性质和判定、折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据折叠得到，根据题意及三角形外角的性质得到，，则，根据三角形内角和定理即可求解； （2）①根据题意得到，设，则，根据平行线的性质得到，，易证，推出，即，求出（负值舍去），进而得到，即可解答； ②由折叠的性质得，由平行线的性质得到，，证明，推出，证明，，得到，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴，即； （2）解：①由（1）可得，， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， 整理得，， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， ∴； ②由折叠的性质得， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①知， ∴，即， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似及三角形全等的判定和性质是解题的关键． 题型四 半角模型 1．（2025·安徽合肥·一模）已知，在正方形中，点E是上一点，点F在射线上，连接，连接． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，当平分时， ①求证：； ②如图3，若正方形边长为2，点E是的中点，连接交于点G，连接交于点H，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）结合正方形性质，以及垂直的定义，证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）①延长，取，连接，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质得到，再根据等腰三角形性质证明，即可解题； ②结合正方形性质得到，得到，进而得到，延长交的延长线于点，结合角平分线性质，以及等腰三角形性质得到，再证明，，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：①延长，在延长线上取，连接， 四边形为正方形，平分 ，，，， ，， ， ， ，， ， ． ②解：四边形为正方形， ，， 点E是的中点， ， ， ， ， 延长交的延长线于点， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，角平分线定义，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 2．（2024·安徽阜阳·二模）如图1，四边形是正方形，，点E是边上一点，连接 ，作的平分线交于点F，连接． (1)如图2，当点E跟点C重合时，求的长； (2)当点E在上运动时： ①当点F为边的中点，求证：； ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）过点F作于点G，根据正方形的性质，结合角平分线的性质推出，进而得到，设，，根据，列出方程求解即可； （2）①如图，证明，，得到，，进而得到，即可得证； ②延长至点H使得，连接，先证明，再证明，根据，即可得证． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点G， ∵正方形， ∴，， ∵平分，，， ∴， ∴． 设，， ∴，即：， 解得， ∴． （2）①如图， 由（1）和题意得：， ∵， ∴，， ，， ， ，即． ②如图，延长至点H使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ， ． ∵， ∴， ， ， ． 3．（2024·安徽合肥·三模）如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．    (1)求证：； (2)连接，如图2， ①若，求的长； ②若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①   ② 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键． （1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论； （2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴； （2）①解：如图2，连接，    ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴, ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， 由（1）知：点Q是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理，得， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵，Q是的中点， ∴； ②如图3，过F作，    ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 4．（2024·安徽合肥·一模）四边形的两条对角线，相交于点O，． (1)如图1，已知． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，若，，，求的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】（1）过作于，交于，①根据平行线的判定得出和平行，再根据等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出和的比，再根据中位线定理得出和的关系，从而得解； （2）延长到，使得，连接，根据三角形全等得出，从而求得和的关系，再根据勾股定理求出和的关系，从而得解． 【详解】（1）解：过作于，交于，如图： ①证明：设， ， ， ，， ， ， ； ②解：，为中点， ， ， ， ； （2）解：延长至，使得，连接，如图： ，， ， ， ， 又， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，即，， ， ， ． 在直角中．， ． 【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键． 题型五 十字架模型 1．（2024·安徽合肥·三模）如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用SAS间接证明三角形全等（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，根据题意得和，则，结合即可； （2），则，即可证明，即可证明结论成立； （3）延长交的延长线于，可证，有，结合中点可得．利用矩形的性质得，则有和，那么，即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为边的中点， ， 为的中点， ， ． ， ； （2）证明：为边的中点，为的中点，， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，延长交的延长线于． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， 又为的中点， ， ， ， ， ①， ②， ①+②得 ． ． 又， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、中点的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉矩形的性质和相似三角形的性质． 2．（2025·安徽合肥·一模）已知：如图，在矩形中，，对角线交于点，点为对角线上一动点（不与端点重合），连接，过点作．交线段于点． (1)当点与点重合时，则___________ (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)的值为． 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，涉及全等三角形的性质与判定，勾股定理得知识点，解题关键是找准相似三角形的对应角及对应边． （1）证明即可得解； （2）先求出，再求出，即可得解； （3）由（2）可知，，进而得出，证明，根据相似三角形的对应边成比例即可得解． 【详解】（1）解：当点与点重合时，如图所示， ，在矩形中，， ，， ， 又点与点重合， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， 在矩形中，， ，， ， ， ， ， ； （3）解：在矩形中，， ， ， 由（2）可知，， ， 又， ， ． 的值为． 3．（2025·安徽合肥·一模）如图1，正方形中，点，分别在边，上，且，点是对角线、的交点，连接，交于点，，交于点． (1)求证：； (2)如图2．连接，，； ①若，求证：； ②若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据正方形的性质，得到，，结合，得到≌，进一步根据全等三角形的性质进行证明． （2）①根据全等三角形证得，再证明，，推出，由此推出，得到，由此证明，证明，即可得到结论； ②由，得到，，，由①知，得到，即可求出． 【详解】（1）解：证明：∵四边形为正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①∵≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 又， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②∵， ∴，，， ∴ 由①知， ∴ ∴， 解得 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键． 题型六 中点类模型 1．（2025·安徽滁州·一模）在中，于点，为上的点，连接，，且，为上另一点，且． (1)如图1，求证：； (2)如图1，连接，求证：； (3)如图2，为的中点，连接交于点，且．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，再根据证明，进而可证； （2）分别证明，，进而可证； （3）作交于点，设，证明可求出，证明得，由勾股定理求出，由得，由勾股定理求出，然后由列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：，    又，    （2）证明：∵， 由（1）知   又，   （3）解：作交于点，设 为中点， ∴， ∵   ∴ ∴     ∵ ∴ ∵ ∴    又    ，              解得            【点睛】本题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图1，在中，点D为的中点，点P为射线上一动点（不与点C，A重合），分别过点A，C向直线作垂线，垂足分别为点E，F，连接，，． (1)当时，，则k的值为______； (2)当点P在边上时，求证：； (3)如图2，当为钝角，且点P在延长线上时，猜想，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角的直角三角形的性质； （1）证明即可解题； （2）延长交于点，则可得到，即可得到，，然后利用的直角三角形的直角边等于斜边的一半解题即可； （3）延长和交于点，证明，可以得到，，然后利用的直角三角形的性质解题即可． 【详解】（1）解：，D是中点， ， 由题知，， ， ， ， ， ，即； （2）证明：如图1，延长交于点， ，， ∥， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，延长和交于点， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、全等三角形综合问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（2025·安徽合肥·一模）王老师带领同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展探究活动：如图1，在Rt中，，将绕点顺时针旋转，得到，点与点对应，点与点对应． (1)当时，的长为_____． (2)如图2，是的中点，连接，过点作且交直线于点． ①求证：． ②在旋转的过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的长度． 【答案】(1)6 (2)①见解析；②2或18 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、根据菱形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质得到是等边三角形，即可求解； （2）①如图所示，延长交于点，则，连接，可得，，则，证明，得到，，再证，得到，，最后证明，得到，即可求解； ②在中，运用勾股定理得到，第一种情况，如图所示，四边形是菱形，则；第二种情况，如图所示，四边形是菱形，则，可证共线，点共线，则；由此即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：∵旋转， ∴， ∴， ①证明：如图所示，延长交于点，则，连接， ∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； ②在中，， ∴， 第一种情况，如图所示，四边形是菱形， ∵旋转， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； 第二种情况，如图所示，四边形是菱形，则， ∵， ∴共线， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴点共线， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，数形结合分析思想是解题的关键． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，矩形中为对角线上一动点，过点作交于点，作交于点，连接、． (1)若， ①求证：平分； ②求证：； (2)已知，且为的中点，求矩形的周长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【知识点】三线合一、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）①由矩形得到，然后根据等边对等角和平行线得到，等量代换得到，然后结合即可求解； ②证明出，得到，然后等量代换即可证明； （2）如图所示，过点D作，由相似得到，代数求出，利用三线合一求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ②∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴整理得，； （2）如图所示，过点D作， ∵，且为的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的周长． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·安徽安庆·一模）已知：在矩形中，点是边上中点． (1)如图1，连接并延长交延长线于点，连接交于点． ①求证： ②求的值； (2)如图2，过点作直线分别与、的延长线交于点、点，连接、．求证：． 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)证明见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）①由矩形的性质得到，再得出，由点是中点，得到，即可证明； ②由，得到，再证明，即可求解； （2）延长交延长线于点，由  得到，，，，得出，再得到，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， 在与中， ， ， ②解：由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长交延长线于点， ∵   ∴，，，， ∴， ∵， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（2024·安徽合肥·二模）如图1在中，，D是的中点，延长至E，连接、， (1)求证：； (2)在图1中，若，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作于点F，H是的中点，过点H作，交于点G，交于点M． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定与性质综合、三角函数综合 【分析】（1）根据，D是的中点，得到，继而得到直线是线段的垂直平分线，得到，证明； （2）①连接，根据，H是的中点，得到中位线，结合，利用三角函数证明即可． ②根据，，结合三角形中位线定理，利用三角函数，平行线分线段成比例定理，解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，平行线分线段成比例定理，熟练掌握三角形中位线定理，三角函数的应用，是解题的关键． 【详解】（1）∵，D是的中点， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴． （2）①连接， ∵，H是的中点， ∴中位线， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，， ∴, 设， 则， 解得， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴． 8．（2025·安徽淮南·二模）在四边形中，，，点在边上，连接，，交于点． (1)若，如图1．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点． ①求证：； ②若，，，求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②， 【知识点】证明四边形是菱形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，推出，结合，推出四边形是平行四边形，由，得到四边形是菱形； （2）①证明，推出，结合，得到； ②先证明四边形是平行四边形，再证明，根据相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①∵， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②由①得， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$