精品解析：湖南省长沙市明德教育集团2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

明德教育集团八年级期中考试 八年级数学试卷24-25学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 命题人：刘裕斌 朱鸿林 李杨 审题人： 张美荣 一、选择题（本题共10个小题，共30分，请将要选的项用2B铅笔填涂） 1. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，8，10 B. 1，1， C. 2，7，7 D. 10，15，20 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，，， ，则（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 7. 下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. 9. 如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 10. 一次函数的图象经过点、；则（ ） A. 0 B. 20 C. 25 D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，为中位线，若，则的长为_________． 12. 已知点，在一次函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 13. 等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为______． 14. 如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当_____时，四边形的面积最大，此时四边形是_______形． 15. 如图，中，，，，在上截取；在上截取，则________． 16. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，，连接，若，则长为______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车用了______小时到达东江湖景区； （2）乙车行驶速度是______； （3）乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米． 20. 如图，在四边形中，，，，且． （1）求的长； （2）求的度数； （3）求四边形的面积． 21. 如图，四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求长和的长． 22. 如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点； （1）求点的坐标； （2）求直线与直线的函数解析式； （3）求的面积． 23. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． （1）化简：． （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求的值． 25. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 明德教育集团八年级期中考试 八年级数学试卷24-25学年第二学期 时量：120分钟 满分：120分 命题人：刘裕斌 朱鸿林 李杨 审题人： 张美荣 一、选择题（本题共10个小题，共30分，请将要选的项用2B铅笔填涂） 1. 下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征．把四个点的坐标代入，选择满足条件的选项． 【详解】解：将代入得，，则点不在直线上； 将代入得，，则点在直线上，点不在直线上；； 将代入得，，则点不在直线上； 故选：B． 2. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，8，10 B. 1，1， C. 2，7，7 D. 10，15，20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知该定理的内容是解题关键，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等，邻角互补进行解答即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，合并同类项，二次根式的乘法，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据算术平方根，合并同类项，二次根式的乘法等知识逐项判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误； B、，故B选项错误； C、，故C选项错误； D、，故D选项正确； 故选：D． 5. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及菱形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据菱形的性质以及菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 故选：B． 6. 如图，在四边形中，，，， ，则（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解： 由勾股定理可得： 故选：B． 7. 下列图形中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键． 根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可． 【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意． D．对于自变量x的每一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点，添加下列条件后，仍不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法，分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵，， 四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项符合题意． 故选：D． 9. 如图，在中，有一点P在边上移动，若，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“点到直线的距离，垂线段最短”是解题的关键． 在边上移动，由点到直线的距离，垂线段最短，可得当时，最短，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在边上移动，当时，最短， ， ， ， ∴的最小值是5， 故选：A． 10. 一次函数的图象经过点、；则（ ） A. 0 B. 20 C. 25 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将、分别代入解析式，得出，，将因式分解为，再整体代入求值即可． 【详解】解：将、分别代入解析式得，，， 整理得，，， ∴ ． 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，为的中位线，若，则的长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵是的中位线，， ∴， 故答案为：10． 12. 已知点，在一次函数图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：一次函数中 函数随的增大而减小， 点，在一次函数的图象上，且 ． 故答案为：． 13. 等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的正确运用，考查了等腰三角形底边高线、中线重合的性质，本题中根据勾股定理正确计算是解题的关键．根据等腰三角形底边高线和中线重合的性质，则，可以根据勾股定理计算底边的高． 【详解】解：如图，在中，，， 则为边上的中线，即为中点， ， 在直角中． 故答案为：3． 14. 如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当_____时，四边形的面积最大，此时四边形是_______形． 【答案】 ①. 90 ②. 矩 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 15. 如图，在中，，，，在上截取；在上截取，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由勾股定理求出，由题意知：，再根据求出，最后根据即可得解． 【详解】解：在中，， 由题意知：， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，且，连接交对角线于点，，，连接，若，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据矩形的性质，勾股定理可得，可证，得到，则点是线段的中点，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，设，则，在中，由勾股定理得到，则，根据题意可得是等腰三角形，，由勾股定理得到，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点是线段的中点， 如图所示，连接， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∴，则， ∵， ∴等腰三角形，， 在中，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23每小题9分，第24、25每小题10分，共72分） 17. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂、零次幂、正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据二次根式的性质以及负整数指数幂、零次幂进行化简，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先根据整式的乘法公式计算，再化到最简，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 ． 19. 甲、乙两人驾驶小汽车沿同一线路从长沙出发去郴州东江湖景区游玩，在整个行驶过程中，甲、乙离开长沙的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）甲车用了______小时到达东江湖景区； （2）乙车行驶的速度是______； （3）乙车追上甲车时，他们和长沙的距离是 千米． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象以及一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区； （2）根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区，再用路程除以速度即可得解； （3）设乙车出发后小时追上甲车，根据追上时甲、乙离开长沙的距离相等，列出方程，解出的值，再乘以乙车的速度即可得解． 【小问1详解】 解：根据函数图象可知甲车用了小时到达东江湖景区， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据函数图象可知乙车用了小时到达东江湖景区， 乙车行驶的速度是：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设乙车出发后小时追上甲车，根据题意得： ， 解得：， 乙车出发后小时追上甲车，此时他们离开城的距离是：， 故答案为：． 20. 如图，在四边形中，，，，且． （1）求长； （2）求的度数； （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理的逆定理解答即可； （3）根据解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， 又， ， ； 【小问3详解】 解：． 21. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长和的长． 【答案】（1）见解析 （2）； 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理可得，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形平形四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平形四边形， ∴，， ， ， ， ， ， ， ． 22. 如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点； （1）求点的坐标； （2）求直线与直线的函数解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）点P的坐标为 （2）的函数解析式为；的函数解析式为 （3）6 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得， ∴点P的坐标为 【小问2详解】 解：设的函数解析式为，代入点P， 解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为，代入点P，点A得； ，解得 ∴的函数解析式为； 【小问3详解】 解：过点P作，交于N， ∵P， ∴， 点Q为与轴的交点， ∴Q， ∴， ． 23. 如图，在平行四边形中，、分别为、边上的点，，； （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，点在上且平分，求出线段的长度． 【答案】（1）平行四边形是矩形；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形是矩形即可； （2）由平分得，由得，所以，由等角对等边得，根据勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：平行四边形， ，， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 材料一：在进行二次根式的化简与运算时我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，这种化简的过程叫做分母有理化． 材料二：换元思想是非常重要的一种数学思想，它可以简化我们的计算；比如解方程，小毛是这样计算的， 原方程变形为：，设，原方程变为： ，解得；即，，解得或． （1）化简：． （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求的值． 【答案】（1）44 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先分母有理化，再相加即可； （2）先对a、b分母有理化，计算出的值，再整体代入后，解方程即可求解； （3）设，则；对原式进行化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：，，…，， 原式 ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∴， 则， 解得． 【小问3详解】 解：设，则； 原式= ； ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了二次根式化简与混合运算，分母有理化，求代数式的值等知识，正确运算是解题的关键． 25. 如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且，连接、． （1）求证：； （2）在图1中，若在上，且，连接，请判断三条线段之间的数量关系，并说明理由； （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，求的长； ②如图3，在菱形中，，、分别在和上，且，连接．若，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 对于（1），根据正方形的性质证明，可得答案； 对于（2），由（1）可知，可得，再证明， 然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； 对于（3），①由（2）和题设知：，再设，则，， 根据勾股定理得求出，则答案可得； 对于②，作射线使得，作射线使得，可知，作，再说明，可得，进而得出，然后根据直角三角形的性质和勾股定理得出答案. 【小问1详解】 证明：在正方形中，，， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，， . （已证）， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①如图，过点C作，交的延长线于点， 由（2）和题设知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得， ； ②如图，作射线使得，作射线使得，则，过作于， ，，，， . ， ， ， ， ， ， ，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$