第五章 分式与分式方程（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第五章 分式与分式方程 （B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 3．计算的结果等于（　　） A．x B．2x C． D． 4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 5．化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 6．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 7．已知，则的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．2 8．已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．7 D．13 9．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 10．俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 11．若a，b，c，d均不为0，，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 12．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．计算的结果是　 　 ． 14．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+2B＝　 　 ． 15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为　 　 ． 16．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：“当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如：．”阅读完这段文字后，小丽认为，当x＞1时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 　 　 ． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）先化简，再求值：，其中x＝4． 18．（10分）解分式方程：． 19．（10分）若m，n均为实数，2m＝3n＝36，则： （1）求22m÷33n的值； （2）求的值． 20．（10分）彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分 （）． （1）嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； （2）若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是　 　 ． 21．（10分）按要求完成以下问题： （1）计算图中阴影所示绿地的面积； （2）若关于x的方程无解，求a的值． 22．（11分）已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 23．（12分）定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定，如． （1）求2⊕（﹣6）的值； （2）计算； （3）若﹣3⊕（2x﹣1）＝2，求x的值． 24．（12分）据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 25．（13分）从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是　 　 ． （2）小明根据以上操作去计算（a+1）（a2+1）时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）＝　 　 （直接写出结果即可）． （3）运用以上规律计算（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1）． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 分式与分式方程 （B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．在﹣3x、、、、、中，分式的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：分式分别是，，，共3个． 故选：A． 2．下列分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、x﹣1，不是最简分式，不符合题意； 故选：B． 3．计算的结果等于（　　） A．x B．2x C． D． 【解答】解：原式 ， 故选：D． 4．若的计算结果是整式，则“□”中的式子可能是（　　） A． B．x2﹣1 C．x2﹣x D．x﹣1 【解答】解：设“口”中的式子为M， 原式• ， 所以当M＝x2﹣x＝x（x﹣1）时， 原式1，结果为整式． 故选：C． 5．化简 ① ② 其中步骤①、②的运算依据分别属于（　　） A．①是整式乘法；②是通分 B．①是分解因式；②是通分 C．①是分解因式；②是约分 D．①是整式乘法；②是约分 【解答】解：①提公因式；m2﹣8m+16＝（m﹣4）2＝（4﹣m）2这是用完全平方公式分解因式，最后一步是分式的约分化简， 故选：C． 6．将分式中的x，y的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　） A．扩大到原来的6倍 B．扩大到原来的9倍 C．不变 D．扩大到原来的3倍 【解答】解：x，y的值同时扩大到原来的3倍， 原式， 故选：D． 7．已知，则的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．2 【解答】解：∵， ∴ab（a﹣b）， ∴原式＝44×（）＝﹣2． 故选：A． 8．已知分式方程的解为x＝3，则a的值为（　　） A．2 B．3 C．7 D．13 【解答】解：把x＝3代入得：， 解得：a＝7， 故选：C． 9．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1 【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1， 即x＝m+1， 由分式方程的解为非负数，得到 m+1≥0，且m+1≠1， 解得：m≥﹣1且m≠0， 故选：C． 10．俗话说“吃年糕，年年高”，春节期间温州有吃年糕的习俗．某商家推出“优惠酬宾”活动，每袋年糕降价2元销售，细心的小温发现，降价后用240元可以比降价前多购买10袋，求每袋年糕的原价是多少元？设每袋年糕的原价是x元，所得方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：A． 11．若a，b，c，d均不为0，，则的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：根据题意可知，a，b，c，d中有3个负数，1个正数， ∴． 故选：B． 12．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，a4，…，an+1，若a1＝2，则a2025的值是（　　） A． B． C．﹣3 D．2 【解答】解：由题意可得， 当a1＝2时，a2＝﹣3，a3，a4，a5＝2，…， 由上可得，每四个为一个循环，依次以2，﹣3，，出现， ∵2025÷4＝506……1， ∴a2025＝a1＝2， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．计算的结果是　﹣1　 ． 【解答】解：原式1． 故答案为：﹣1． 14．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n，例如：4⊗2，若（x﹣1）⊗（x+2），则A+2B＝　5　 ． 【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2）， ， ∵， ∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5， 解得A＝﹣1，B＝3， ∴A+2B＝﹣1+2×3＝5， 故答案为：5． 15．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值的和为　﹣12　 ． 【解答】解：关于x的不等式组， 整理不等式组， ∵不等式组无解， ∴﹣a≥﹣1， 即a≤1， 解分式方程， 得y， ∵y为正整数，且y≠3， ∴a为1，﹣1，﹣5，﹣7， ∵1+（﹣1）+（﹣5）+（﹣7）＝﹣12， ∴满足条件的整数a的值的和为﹣12． 故答案为：﹣12． 16．八下数学《伴你学》第55页有这样一段表述：“当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．任何一个假分式都能化成整式和真分式的代数和的形式．如：．”阅读完这段文字后，小丽认为，当x＞1时，随着x的不断增大，的值会无限接近一个数．类比上述过程，当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近的一个数是 　2　 ． 【解答】解： ＝2． 当x＞﹣1时，随着x的不断增大，的值会无限接近2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．先化简，再求值：，其中x＝4． 【解答】解：原式＝（）• • ， 当x＝4时，原式． 18．解分式方程：． 【解答】解：去分母得：x﹣1+2x+2＝7， 移项合并得：3x＝6， 解得：x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解． 19．若m，n均为实数，2m＝3n＝36，则： （1）求22m÷33n的值； （2）求的值． 【解答】解：（1）． （2）由条件可得，， ∴，， ∴． 即， ∵， ∴， ∴． 20．彤彤在练习册上看到一道化简题，但被墨水遮住了一部分 （）． （1）嘉淇猜被墨水遮住的部分是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的数据作为a值代入求值； （2）若这道题化简后的结果是，则被墨水遮住的部分是　　 ． 【解答】解：（1）原式[] ， 当a＝0时， 原式； （2）被墨水遮住的部分是• ． 故答案为：． 21．按要求完成以下问题： （1）计算图中阴影所示绿地的面积； （2）若关于x的方程无解，求a的值． 【解答】解：（1）S绿地＝（1.5a+2.5a）•（a+2a+a）﹣2a•2.5a ＝4a•4a﹣5a2 ＝16a2﹣5a2 ＝11a2； （2）， 去分母，得3a+1＝ax+a， 所以x． 由于若关于x的方程无解， ∴x＝﹣1或a＝0． ∴1． ∴a． ∴当a＝0或时，原分式方程无解． 22．已知关于x的分式方程． （1）当m＝1时，求方程的解． （2）若关于x的分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）当m＝1时， ， ， ， ， 去分母得：x+1＝2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时x﹣1≠0， 故方程的解为：x＝3； （2）， ， ， ， 去分母得：x+m＝2（x﹣1）， 解得：x＝m+2， 由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0， 即：m+2≠1且m+2≥0 即：m≥﹣2且m≠﹣1 23．定义新运算：对于非零的两个实数a，b，规定，如． （1）求2⊕（﹣6）的值； （2）计算； （3）若﹣3⊕（2x﹣1）＝2，求x的值． 【解答】解：（1）； （2）原式 ； （3）﹣3⊕（2x﹣1）＝2， ， ， 3+2x﹣1＝6（2x﹣1）， 3+2x﹣1＝12x﹣6， 2x﹣12x＝﹣6﹣3+1， ﹣10x＝﹣8， ， 检验：当时，3（2x﹣1）≠0， ∴原分式方程的解是． 24．据灯塔专业版数据，截止2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了A、B两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个A种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． （1）求购进A、B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ （2）因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A、B两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进至少要花多少钱？ 【解答】解：（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是2x元， 根据题意得：15， 解得：x＝30， 经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意， ∴2x＝2×30＝60（元）． 答：购进A种哪吒玩偶的单价是30元，B种哪吒玩偶的单价是60元； （2）设该玩具店再次购进A种哪吒玩偶m件，则购进B种哪吒玩偶（80﹣m）件， 根据题意得：m≤2（80﹣m）， 解得：m． 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，则w＝30m+60（80﹣m）， 即w＝﹣30m+4800， ∵﹣30＜0， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，且m为正整数， ∴当m＝53时，w取得最小值，最小值为﹣30×53+4800＝3210（元）． 答：此次购进至少要花3210元钱． 25．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）根据图2长方形的面积与图1中阴影部分的面积相等可以验证的等式是　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． （2）小明根据以上操作去计算（a+1）（a2+1）时发现只需要在前面乘一个即可得到：，请根据以上规律计算：（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）＝　　 （直接写出结果即可）． （3）运用以上规律计算（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1）． 【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为a2﹣b2，图2阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， ∴可以验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1） ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）（5+1）（52+1）（54+1）…（564+1） ， ， ， ， ， ． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$