精品解析：湖南省邵东市第四中学2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

邵东四中2025年上学期高二期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的散点图的特征，直接判断作答. 【详解】由于身高比较高的人，其体重可能大，也可能小，则选项AB不正确； 由散点图知，身高和体重有明显的相关性，且身高增加时，体重也呈现增加的趋势， 所以身高与体重呈正相关，C正确，D错误. 故选：C 2. 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 (　　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】化简二项式展开式的通项，由此判断出还有的正整数指数幂的项数. 【详解】二项式展开式的通项为，当时，指数为正整数指数幂，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查根式的运算，属于基础题. 3. 在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ） A. 420种 B. 260种 C. 180种 D. 80种 【答案】B 【解析】 【分析】应用分类加法计数，结合排列、组合数求不同分类下的提问方式，最后加总即可. 【详解】若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是， 若人中有名中国记者和名国外记者，则不同的提问方式的种数是， 故所有的不同的提问方式的种数是. 故选：B 4. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式即可求解. 【详解】解：. 故选：C. 5. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B、C、D. 【详解】对于A：因为，所以与不独立，故A错误； 对于B：若，相互独立，则，故B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：若，则，所以，故D正确. 故选：D 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 55 【答案】B 【解析】 【分析】由二项式定理求展开式中项的系数即可. 【详解】由， 则由二项式定理可知展开式中项为： ． 因此，可知其展开式中项的系数为：10. 故选：B. 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B 8. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件抽取的一个产品为合格品，事件抽查一个产品被判为合格品， 则，，， 由全概率公式可得. 所以，任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. 该正态曲线关于直线对称 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布性质：正态曲线关于直线对称，B、C、D根据已知条件，利用对称性求指定区间的概率即可判断正误. 【详解】A：由题设知：该正态曲线关于直线对称，错误； B：由，正确； C：由，错误； D：，而由对称性知，所以，正确； 故选：BD 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 各项的系数和是64 C. 第4项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式展开式通项可判断A选项；利用各项系数和可判断B选项；利用二项式系数的性质可判断C选项；求出奇数项的二项式系数和可判断D选项. 【详解】二项式的展开式通项为. 令，可得，故常数项是，A正确； 各项的系数和是，B错误； 二项式展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确； 奇数项二项式系数和为，D错误. 故选：AC 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合互斥事件的概念和条件概率公式，即可求解. 【详解】由题意得可知，，是两两互斥的事件，故A正确； ，， ，故C正确； 由 事件与事件B不独立，故B、D错误； 故选：AC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为____________． （用含的代数式表达） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的性质直接求解即可. 【详解】由题知，， 则 . 故答案为： 13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，求出系数. 【详解】展开式的通项． 令，得， 则． 故答案为： 14. 在的展开式中，的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理可知，把看成和两项，展开式中含的项为，再写出展开式中项的系数，即可得出结果. 详解】由题意可知，把二项式看成由和两项构成， 展开式中含的项为， 再将展开可得含的项为 即可知的系数为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主). （1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯. （2）根据以上数据完成如下列联表 主食为蔬菜 主食为肉类 总计 50岁以下 50岁及以上 总计 （3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？ 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：，其中) 【答案】（1）答案见解析；（2）列联表答案见解析；（3）有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 【解析】 【分析】（1）由茎叶图，说明30位亲属中50岁及以上、50岁以下的饮食分布情况即可； （2）根据茎叶图填写列联表即可； （3）由题意，求随机变量的观测值，并与参考值作比较，即可判断. 【详解】（1）由茎叶图，知：30位亲属中50岁及以上的人饮食以蔬菜为主，50岁以下的人饮食以肉类为主 （2）列联表如下所示： 主食为蔬菜 主食为肉类 总计 50岁以下 4 8 12 50岁及以上 16 2 18 总计 20 10 30 （3）由题意，知随机变量的观测值， ∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 16. 由0，1，2，3，4这五个数字． （1）能组成多少个无重复数字的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？ （3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 【答案】（1）96 （2）60 （3）65 【解析】 【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【小问1详解】 先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； 【小问2详解】 当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数； 【小问3详解】 计算比21034大的五位数的个数分两类： 万位比2大的五位数个数是， 万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 17. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁． （1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？ 网购迷 非网购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 （2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率． （附：） 0.15 0.10 0.05 0.01 2.072 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）填表见解析；可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）． 【解析】 【分析】 （1）根据题中数据即可完善列联表，然后计算出卡方值，和2.706比较即可得出； （2）可得超级网购迷共有4名，超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、，列出任取2人的所有基本事件，得出至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件，即可求出概率. 【详解】（1）由题意可得列联表如下： 网购迷 非网购迷 合计 年龄不超过40岁 20 45 65 年龄超过40岁 5 30 35 合计 25 75 100 根据列联表中的数据可得， ， 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关． （2）由频数分布直方图可知，超级网购迷共有4名，记其中年龄超过40岁的2名市民为、，其余2名市民记为、， 现从4人中任取2人，基本事件是、、、、、共有6种，至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件是、、、、共有5种， 故所求的概率为． 18. 近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数x（单位：千件）之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位；元）（i=1，2，3，4，5）数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 4 5.16 0.415 2.028 30 0.507 表中，. （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程； （2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位；元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润； ②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 【答案】（1）适宜作为y关于x的回归方程类型，回归方程为；（2）①总利润约为12000元；②平均价格t为8元. 【解析】 【分析】（1）点不在一条直线的近旁，但与双曲线类似，可得回归曲线类型．令，根据已知数据求得回归方程，即可得结论． （2）①利用（1）的结论求出利润函数，令可得估计利润值；②由二次函数性质可得． 【详解】解：（1）适宜作为y关于x的回归方程类型. 令，则，， ， ∴，即所求回归方程为； （2）设收发x千件快递获利z千元，则，， ①当时，，故该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润约为12000元； ②，∴当即时，z取最大值，故单件快递的平均价格t为8元时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大. 19. 某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. (1)将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？ 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 (2)求频率分布直方图中的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩； (3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望. （注：频率可以视为相应的概率） 【答案】(1)16；(2)，平均成绩为；(3)分布列见详解，. 【解析】 【分析】(1)由随机数表可得； (2)由频率和为1求出的值，再求平均数即可； (3)从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为，可能的取值是，求出概率，列出分布列，即可求出结果. 【详解】解：(1) 由随机数表可得，选出来的编号依次为21,32,09,16，…， 故选出来的第4所学校的编号是16 . (2), 故，解得. 估计全市学生参加物理考试的平均成绩为： . (3)从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概率为， 可能的取值是． ， ， ， ． 的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． （或，所以．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 邵东四中2025年上学期高二期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效； 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（ ） A. 身高越高，体重越重 B. 身高越高，体重越轻 C. 身高与体重成正相关 D. 身高与体重成负相关 2. 展开式中含x的正整数指数幂的项数是 (　　) A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 3. 在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方式有（ ） A. 420种 B. 260种 C. 180种 D. 80种 4. 在的展开式中，含项的系数是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 5. 已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则，相互独立 B. 若，相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 的展开式中项的系数为（ ） A. 1 B. 10 C. 11 D. 55 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一批产品中有是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率为．任意抽查一个产品，检查后被判为合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若随机变量，则下列结论正确的是（ ） A. 该正态曲线关于直线对称 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，若，则 10. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项是 B. 各项的系数和是64 C. 第4项二项式系数最大 D. 奇数项二项式系数和为 11. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以，和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. ，，是两两互斥的事件 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某公司生产的糖果每包标识质量是，但公司承认实际质量存在误差．已知糖果的实际质量服从的正态分布．若随意买一包糖果，假设质量误差超过克的可能性为，则的值为____________． （用含的代数式表达） 13. 的展开式中，含项的系数是______.（用数字作答） 14. 在的展开式中，的系数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主). （1）根据茎叶图，帮助这位同学说明这30位亲属的饮食习惯. （2）根据以上数据完成如下列联表 主食蔬菜 主食为肉类 总计 50岁以下 50岁及以上 总计 （3）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？ 附表： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 (参考公式：，其中) 16. 由0，1，2，3，4这五个数字． （1）能组成多少个无重复数字的五位数？ （2）能组成多少个无重复数字五位偶数？ （3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 17. 网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁． （1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？ 网购迷 非网购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁 合计 （2）若将所抽取样本中周平均网购次数为6次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率． （附：） 0.15 0.10 0.05 0.01 2.072 2.706 3841 6.635 18. 近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y（单位：元）与当天揽收的快递件数x（单位：千件）之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量（单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本（单位；元）（i=1，2，3，4，5）数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 4 5.16 0.415 2.028 30 0.507 表中， （1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为y关于x的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y关于x的回归方程； （2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x（单位：千件）与单件快递的平均价格t（单位；元）之间的关系是，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题： ①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润； ②单件快递的平均价格为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？ 附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为． 19. 某市为了了解高二学生物理学习情况，在34所高中里选出5所学校，随机抽取了近千名学生参加物理考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示. (1)将34所高中随机编号为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数抽取参加考试的五所学校.选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次取两个数字，则选出来的第4所学校的编号是多少？ 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 (2)求频率分布直方图中的值，试估计全市学生参加物理考试的平均成绩； (3)如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为，求的分布列及数学期望. （注：频率可以视为相应的概率） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$