精品解析：福建厦门实验中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试题

厦门实验中学2025—2026学年第二学期高二期中考试 数学试题 组卷人：张思思、李若璕 做题人：杜晓欢 审核人：高二数学备课组 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的公比，，则首项（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.36 4. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 5. 已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线：的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的左支交于点（在第二象限），为坐标原点，且被直线平分，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分数. 9. 某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程，则（ ） A. 与之间的相关系数 B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C. 第年的利润一定为亿元 D. 第年利润的残差为亿元 10. 对于随机事件，，若，，，则（　　） A. B. C. D. 11. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（） A. 当时，取得最大值 B. 若，，则的取值范围是 C. 若，，当取最大值时，则 D. 当时，随着n的增大而减小 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为___________． 13. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和. （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． （1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； （2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 19. 已知函数． （1）求在上的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门实验中学2025—2026学年第二学期高二期中考试 数学试题 组卷人：张思思、李若璕 做题人：杜晓欢 审核人：高二数学备课组 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等比数列的公比，，则首项（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列通项公式求解即可. 【详解】由题意知，. 故选：C． 2. 已知函数的图象在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，， 所以. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.14 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】利用正态密度曲线的对称性可求得的值 因为随机变量，且， 则， 所以. 故选：A. 4. 某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（ ）种不同的放置方式． A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 5. 已知随机变量X的分布列为 0 1 若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，解得， 因为，解得， 所以. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立， 即对恒成立，而在上递增，所以， 所以实数的取值范围是. 7. 双曲线：的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的左支交于点（在第二象限），为坐标原点，且被直线平分，则双曲线的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由为中位线及的三边比求出，进而由定义得与之间的关系，通过计算得出离心率. 【详解】如图， 易知，设与的平分线交点为， 因为，则有，所以， 为的中点，则为的中点， 又在中，， 所以， 所以， 由双曲线定义，可得， 所以，所以双曲线的离心率， 故选：B. 8. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出的取值范围． 【详解】已知函数对恒成立， 则， 令，求导得， 单调递增， ，由单调性得，即， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值：， 要使恒成立，只需满足， 的取值范围是． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分数. 9. 某人工智能公司从某年起连续7年的利润情况如下表所示： 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 根据表中的数据得到关于的经验回归方程，则（ ） A. 与之间的相关系数 B. 经验回归方程斜率的意义是每增加一个单位，平均增加0.5个单位 C. 第年的利润一定为亿元 D. 第年利润的残差为亿元 【答案】AB 【解析】 【详解】由经验回归方程可知与之间的相关系数，故A正确； 因为经验回归方程的斜率为， 所以每增加一个单位，平均增加0.5个单位，故B正确； 将代入得， 所以第年的利润估计约为亿元，第年的利润不一定为亿元，故C错误； 将代入得， 由表可知，第年的观测值为，所以残差为，故D错误. 10. 对于随机事件，，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：因为，， 所以； 选项B：因为，， 所以； 选项C：因为，， 所以； 选项D：因为，， 所以. 11. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，其中，，击中偶数次为事件，则下列说法正确的是（） A. 当时，取得最大值 B. 若，，则的取值范围是 C. 若，，当取最大值时，则 D. 当时，随着n的增大而减小 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据，直接写出即可判断；对于B，求出概率，然后运用导数研究单调性，进而得到取值范围；对于C，求出，由求解范围即可；对于D， ，求出 ，借助函数分析单调性即可. 【详解】对于A，，当时，取得最大值，故A正确； 对于B，因为，若，则 由于，则， 由于，则，则在上单调递增. 则的取值范围是，故错误； 对于C，在20次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大.故C正确； 对于D，因为 所以 ， 击中奇数次: 两式相减可得 ， 所以， 当时，为正项且单调递减的数列， 所以随着的增大而减小，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，故展开式中的系数为. 13. 如图，在平行六面体中，，，，则直线与直线所成角的余弦值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故答案为： 14. 有个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是______，从第个盒子中取到白球的概率是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（），利用全概率公式列式求解；当时，由全概率公式得，再通过构造等比数列求. 【详解】设事件表示“从第i个盒子中取到白球”（）， 则，， 所以； 当时， ， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 即从第2个盒子中取到白球的概率是，从第个盒子中取到白球的概率是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，，；数列的前项和. （1）求数列与的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，由题意列方程可求得，由等差数列的通项公式即可求出；当时，，两式相减得可证得是以2为首项，公比为2的等比数列，进而求出的通项公式； （2）由（1）知，再由错位相减法求解即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， 则，解得， 所以. 因为，当时，，两式相减得：. 又，得，所以是以2为首项，公比为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）知. 则， ， 两式相减得： 所以. 16. 如图，在四棱锥中，，为的中点，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知平面，进而可得，，结合分析证明即可； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 因为，平面， 可得平面，由平面，所以， 且，所以， 又因为，为的中点，则， 且平面， 所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则， 可得. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 可知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆标准方程，由椭圆上的点和焦点建立方程组，即可解得椭圆标准方程； （2）设直线的方程，联立方程组并整理得到一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理写出交点坐标与参数的关系.并代入三角形面积公式，借助基本不等式即可求得最大值. 【小问1详解】 设椭圆方程为，由题意可知 则，∴， 即椭圆. 【小问2详解】 设直线， 联立方程组得，整理后得， 令，则， ， 令，则，∴， ∵，当且仅当，即时取等号， ∴. 18. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学和物理学科夏令营活动． （1）若参加数学学科夏令营的7名中学生中恰有3人来自中学，从这7名中学生中选取3名中学生，求选取的中学生中来自中学的人数的分布列和数学期望； （2）在夏令营活动中，物理学科举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响． （i）求甲、乙两位同学所在组每轮答题中取胜的概率； （ii）当时，求的最大值． 【答案】（1）分布列见解析， （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由题意知，的可能取值有，，，，根据超几何分布列列出分布列计算期望即可； （2）（i）由题知甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则，然后计算取胜的概率； （ii）由，令，，然后求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有，，，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】 （i）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 （ii）因为，所以 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，因， 由二次函数的性质可知，当时取最大值， 故甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 19. 已知函数． （1）求在上的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围； （3）若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值． （2）分类讨论不同取值下需满足的条件，最后取并集. （3）利用函数对称性，将转化为证明，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得． 【小问1详解】 ， 令，所以，解得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令， 则， 令，则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点， 且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为， 所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 【点睛】规律总结 极值点偏移问题的解法： （1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性证得不等式． （2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $