精品解析：江苏省张家港市梁丰高中春海创优部2024-2025学年下学期期中检测八年级数学试题

梁丰高中春海创优部2024-2025学年第二学期期中检测 数学学科（初二年级） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题．满分150分，考试用时120分钟． 2．考生务必将自己的姓名、智学网帐号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后．再选涂其他答案．答非选择题必须写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效． 一、选择题（15小题，45分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将612000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A 0.5 B. 1 C. 1或 D. 7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）． A. B. C. D. 8. 成语“朝三暮四”是源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，讲述了一位老翁喂养猴子的故事．老翁每天分早晚两次喂食猴子，早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上喂食的粮食中取出2千克放在早上喂食的粮食中，这样早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前晚上喂食的粮食重量是千克，由题意可得（ ） A. B. C. D. 9. 将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A. 该函数的图象是中心对称图形 B. 在每个象限内，的值随值的增大而减小 C. 当时，函数在时取得最小值 D. 函数值不可能为 10. 小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 11. 若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 14. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（10小题，30分） 16. 函数中，自变量的取值范围是_____． 17. 因式分解：______． 18. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= ______度． 19. 若，则式子的值等于___________． 20. 若关于的方程无解，则的值为______． 21. 若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_____． 22. 已知关于的方程的两实数根为、，若，则_____． 23. 如图，△ABC等腰直角三角形，∠ABC=90°,过点B作BQ∥AC,在BQ上取一点D，连接CD、AD,若AC=CD,BD=,则 AD=_______________． 24. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 25. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为，点在函数的图象上，过点作的切线，切点分别为，则的最小值为___________． 三、解答题（8题，75分） 26. 计算： （1）； （2）． 27. 解下列不等式组或方程： （1）； （2）． 28. 如图，反比例函数 图象与矩形的边相交于D、E两点，且,一次函数经过D、E两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积． 29. 已知中，为锐角，是的两条高，与交于点Q． （1）求证：； （2）如果，求的正切值； （3）如果，求外接圆面积． 30. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 31. “三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，） 32. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 33. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梁丰高中春海创优部2024-2025学年第二学期期中检测 数学学科（初二年级） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题．满分150分，考试用时120分钟． 2．考生务必将自己的姓名、智学网帐号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔把答题卡相对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后．再选涂其他答案．答非选择题必须写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效． 一、选择题（15小题，45分） 1. 下列各数中，绝对值最大的是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解各数的绝对值，然后比较大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴绝对值最大的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，实数的大小比较．解题的关键在于正确的比较大小． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. 与不能合并，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项的运算法则是解题的关键． 3. 将612000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解： 故选：A 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键． 5. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 6. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，把代入原方程，即可求解． 【详解】关于x的一元二次方程的一个根是0， ， 故选D． 7. 如图，一个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形，则该圆锥的侧面展开图的面积是（ ）． A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图得出圆锥的底面直径为3，母线长为3，然后根据圆锥侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：∵个圆锥的主视图是边长为3的等边三角形， ∴底面直径为3，母线长为3， ∴该圆锥的侧面展开图的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的定义，求圆锥侧面积，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键． 8. 成语“朝三暮四”是源自于《庄子·齐物论》的寓言故事，讲述了一位老翁喂养猴子的故事．老翁每天分早晚两次喂食猴子，早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这个安排很不满意，于是老翁进行了调整，从晚上喂食的粮食中取出2千克放在早上喂食的粮食中，这样早上喂食的粮食重量是晚上喂食的粮食重量的，猴子们对这样的安排非常满意．设调整前晚上喂食的粮食重量是千克，由题意可得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据题意可知：调整前早上喂食的粮食重量＝调整后早上喂食的粮食重量，列方程求解即可． 【详解】设调整前晚上喂食的粮食重量是千克，则早上喂食的粮食重量是千克， 由题意可得：， 故选：D． 9. 将正比例函数与反比例函数叠加得到函数（这样的函数由于其图象类似两个勾号，所以也称为“对勾函数”或“双勾函数”．对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，一般认为它是反比例函数的一个延伸．），如图是对勾函数的图象，下列对该函数性质的说法不正确的是（　　） A. 该函数的图象是中心对称图形 B. 在每个象限内，的值随值的增大而减小 C. 当时，函数在时取得最小值 D. 函数值不可能为 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数、反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握并利用正比例函数、反比例函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称， ∴叠加得到函数的图象也关于原点对称，原说法正确，故此选项不符合题意； B．在第一象限内，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，原说法不正确，故此选项符合题意； C．由图象可知：当时，函数在时取得最小值，原说法正确，故此选项不符合题意； D．由图象可知：或，因此函数值不可能为，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 10. 小明参观完洛阳博物馆后，在出口处购买了博物馆文创产品之一的信封．信封正面可看成如图所示的矩形（虚线为重叠部分四边形的轮廓），其中，，，已知，且，则重叠部分四边形的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明四边形是正方形，由正方形的面积公式可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，证明四边形是正方形是解题的关键． 11. 若关于x不等式组的解集为，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 12. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据的函数图象可知，，进一步推出二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1，由此即可得到答案． 【详解】解：由二次函数的图象可知，， ∴二次函数的开口向下，与轴交于正半轴， ∵二次函数的图象与x轴交于， ∴方程的两个根为， ∴二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，1， 综上所述，只有B选项中的函数图象符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，正确读懂的函数图象是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，点在轴的正半轴上，且，将菱形绕原点逆时针方向旋转，得到四边形点与点重合，则点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交轴于点，根据旋转的性质以及已知条件得出，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交轴于点， ∵四边形是菱形，点在轴的正半轴上，平分，， ∴， ∵将菱形绕原点逆时针方向旋转， ∴，则， ∴ ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，坐标与图形，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 14. 抛物线与轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为，依题意，，根据题意抛物线开口向下，当时，，即可判断A选项，根据对称轴即可判断B选项，根据一元二次方程根的判别式，即可求解．判断C选项，无条件判断D选项，据此，即可求解． 【详解】解：依题意，设抛物线与轴交于两点，横坐标分别为 依题意， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，，即 ∴，故A选项正确，符合题意； 若对称轴为，即， 而，不能得出对称轴为直线， 故B选项不正确，不符合题意； ∵抛物线与坐标轴有2个交点， ∴方程有两个不等实数解，即，又 ∴，故C选项错误，不符合题意； 无法判断的符号，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 15. 无论为何值，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，利用数形结合，将交点问题转化为不等式问题是求解本题的关键．由直线过定点，抛物线的对称轴为直线，再分两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴直线过定点， 而抛物线的对称轴为直线， 如图，当时， 而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：， ∴此时； 当时，如图， 而直线与抛物线总有公共点， ∴， 解得：； 综上：或． 故选：C． 二、填空题（10小题，30分） 16. 函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 17. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式y，然后再利用平方差公式进行分解即可. 【详解】 = =， 故答案为. 【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 18. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD= ______度． 【答案】36 【解析】 【详解】∵五边形ABCDE是正五边形， ∴=72°， ∴∠ADB=×72°=36°．故答案为36． 考点：1．圆周角定理；2．正多边形和圆． 19. 若，则式子的值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 20. 若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，先去分母变成整式方程，再根据无解求解即可． 【详解】方程两边同乘得， ∵关于的方程无解， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 21. 若t≤x≤t+2时，二次函数y＝2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_____． 【答案】-5或1 【解析】 【分析】根据给定x范围和二次函数对称轴之间的位置关系进行分类讨论，确定二次函数取得最大值时x的取值，再列方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为y＝2x2+4x+1， ∴该二次函数的对称轴是直线． 当时，且时，即时，y在x=t+2时取得最大值31． ∴． 解得（舍），（舍）． 当时，且时，即时，y在x=t时取得最大值31． ∴． 解得（舍），（舍）． 当时，即时，y在x=t+2时取得最大值31． ∴． 解得（舍），． 当时，即时，y在x=t时取得最大值31． ∴． 解得，（舍）． 故答案为：-5或1． 【点睛】本题考查二次函数的最值，正确进行分类讨论是解题关键． 22. 已知关于的方程的两实数根为、，若，则_____． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到，解这个一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为、， ∴， ∵， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． 23. 如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°,过点B作BQ∥AC,在BQ上取一点D，连接CD、AD,若AC=CD,BD=,则 AD=_______________． 【答案】2 【解析】 【详解】如图所示, 过点D作DE⊥AB,DF垂直CB的延长线于点F, 因为BQ∥AC,所以∠ABD＝∠BAC=45°, 在Rt△BED中,BD=, ∠ABD =45°,所以DE=BD=,即BF=1, 设BC=x,根据勾股定理可得:AC=x,所以CD=x, 在Rt△DFC中,根据勾股定理可得:,解得x=1+, x=1-, 所以AE= , 在Rt△DEA中,根据勾股定理可得:AD=2, 故答案为:2. 点睛:本题主要考查解直角三角形和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法. 24. 如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作于点，于点，，由四边形是矩形，得，，证明四边形是矩形，通过角平分线的性质证得四边形是正方形，最后根据折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，折叠的性质，勾股定理，所对直角边是斜边的一半，角平分线的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，圆心为，半径为，点在函数的图象上，过点作的切线，切点分别为，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，设直线分别交轴、轴于点、，由切线的性质及切线长定理得，，则，所以当的值最小时，则的值最小，由，得，可求得，，则，连接，则，所以，进一步推出，因为，所以当点与点重合时，的值最小，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、，设直线分别交轴、轴于点、，连接， ∵与相切于点，与相切于点，圆心为，半径为， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当的值最小时，则的值最小， ∵，， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，则的值最小， ∵直线， 当时，；当时，则，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， 又∵点在直线上， ∴， ∴当点与点重合时，的值最小，此时的值最小，的值最小， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，切线的性质，切线长定理，垂直平分线的判定，勾股定理、等边对等角，垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（8题，75分） 26. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 27. 解下列不等式组或方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，解一元二次方程，熟练掌握解不等式的步骤，解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 28. 如图，反比例函数 的图象与矩形的边相交于D、E两点，且,一次函数经过D、E两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的有关计算．解题关键是熟练掌握利用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式． （1）把点E坐标代入反比例函数求出k，就能求出反比例函数的解析式;然后根据已知条件，求出，，进而求出点D的坐标，最后把D，E两点坐标代入一次函数中得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可． （2）根据（1）中求出和，在根据四边形是矩形，求出，然后利用直角三角形的面积公式求出答案即可． 【小问1详解】 解：（1）把点，代入反比例函数， 反比例函数的解析式为：， 反比例函数 的图象与矩形的边相交于D，E， ， ， ， ， ， ， 点横坐标为， 设D点纵坐标为m， 把点代入， ， ， 把点和点代入得 ， 解得：， 一次函数的解析式为： 【小问2详解】 由（1）得， 四边形是矩形， = = 29. 已知中，为锐角，是的两条高，与交于点Q． （1）求证：； （2）如果，求的正切值； （3）如果，求外接圆的面积． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因两三角形已有公共角相等，故只需证明即可，依据等腰三角形三线合一知，又依据与的内角和相等可得，最后推得． （2）根据已知条件，再结合两三角形相似，求得与之比，也就是与之比，即可求得的正切值． （3）依已知题干画出等边三角形的外接圆，再按照等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 由得：， 则由，得： ． 由，得：． ∴．又， ∴． 【小问2详解】 由得， ∵（已证）， ∴． ∴， ∴． ∴． 即：的正切值为2． 【小问3详解】 根据已知条件可知是等边三角形．则外接圆如下图所示． 设圆心为点O．则等边的高、中线、顶角平分线“三线合一”，故O是的交点． ∴ ∴ ∵， ∴（同圆中弦相等，对应的弦心距相等）． 在与中， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，则OA=4． 即外接圆的半径为4， ∴外接圆的面积为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形、等边三角形、三角形相似、含30°的直角三角形、正切等知识点，解题的关键是能灵活运用以上知识点． 30. 如图，在中，是直径，是弦，点F是上一点，，交于点C，点D为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即即可得证； （2）连接，易得，直径得到在中，勾股定理求出的长，三角函数求出的长即可． 【小问1详解】 证明： ． ， ． 即 ． 又∵为半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∴． 是直径， ． 在中，． ． 又是直径 的半径长为． 31. “三汇彩婷会”是达州市渠县三汇镇独有的传统民俗文化活动、起源于汉代、融数学，力学，锻造，绑扎，运载于一体，如图1，在一次展演活动中，某数学综合与实践小组将彩婷抽象成如图2的示意图，是彩婷的中轴、甲同学站在处．借助测角仪观察，发现中轴上的点的仰角是，他与彩婷中轴的距离米．乙同学在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，中轴上的点的仰角，点、之间的距离是米，已知彩婷的中轴米，甲同学的眼睛到地面的距离米，请根据以上数据，求中轴上的长度．（结果精确到米，参考数据，） 【答案】中轴上的长度为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意，四边形是矩形， ∴， ∴ 米 答：中轴上的长度为米． 32. 综合与实践 如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，． 特例感知 （1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______； 类比迁移 （2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 拓展应用 （3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y． ①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值； ②当时，请直接写出的长度． 【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或. 【解析】 【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论； （3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案. 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴； ∴，， ∴， ∴， ∴与之间的位置关系是，数量关系是； （3）由（1）得：，，， ∴，都为等腰直角三角形； ∵点F与点C关于对称， ∴为等腰直角三角形；， ∴四边形为正方形， 如图，过作于， ∵，， ∴，， 当时， ∴， ∴， 如图，当时， 此时， 同理可得：， ∴y与x的函数表达式为， 当时，最小值为； ②如图，∵，正方形，记正方形的中心为， ∴， 连接，，， ∴， ∴在上，且为直径， ∴， 过作于，过作于， ∴，， ∴， ∴， ∴正方形面积为, ∴， 解得：，，经检验都符合题意， 如图， 综上：当时，为或. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 33. 已知抛物线与轴交于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； （3）如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， ， ， ∴； 【小问3详解】 设直线为，由得， ∴， ∴， 设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接， 由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，， 在中， ， 即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $