精品解析：广东省东莞市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期期中质量自查试卷 八年级数学 （时间120分钟；满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，即可解答． 【详解】解：有意义， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键． 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，欲判断能否构成直角三角形，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．解题的关键是掌握勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形． 【详解】解：A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算．根据题意，逐项计算判断即可． 【详解】解：A.，此项不正确； B.，此项正确； C.不能再化简，此项不正确； D.不能再化简，此项不正确． 故选：B． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，依据定义准确判断是解题关键． 5. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理，由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）. A. 2.5 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可得出结论. 【详解】解：设交正半轴与点E，根据题意知OE=OB 在Rt△OAB中，,故 故选C. 【点睛】本题考查了尺规作图和勾股定理的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握利用勾股定理求直角三角形中边长问题. 7. △ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　） A. 4.5 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可以判断DF、FE、DE为三角形中位线，利用中位线定理求出DF、FE、DE与AC、AB、CB的长度关系即可解答． 【详解】解：如图，∵点D、E、F分别是三边的中点， ∴DE、EF、DF为△ABC的中位线， ∴，DF＝AC＝×5＝， ∴△DEF的周长＝++3＝9， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的四条边相等 D. 矩形的对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，逆命题， 先写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】因为“两直线平行，同位角相等”的逆命题是“同位角相等，两直线平行”，是真命题，所以A不符合题意； 因为“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是真命题，所以B不符合题意； 因为“菱形的四条边相等”的逆命题是“四条边相等的四边形是菱形”是真命题，所以C不符合题意； 因为“矩形的对角线相等”的逆命题是“对角线相等的四边形是矩形”是假命题，所以D符合题意． 故选：D． 9. 如图，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握各性质并利用面积法是解题的关键． 连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于G， ∵四边形是矩形， ∴，， ，， ∴由勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， 在矩形中， ，， ， 故， 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，由菱形的性质可得，，，，，证明得出，证明是的中位线，得出，，故①正确；连接， 证明、是等边三角形，四边形为菱形，故④正确；证明，得出，故②错误；由，，得出，故③正确；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴，，故①正确； 连接， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴、是等边三角形， ∴，， ∴，四边形为菱形，故④正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②错误； ∵是的中位线， ∴，， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平行四边形中，，则______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质，对角相等，邻角互补可知可知：．把代入可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴，而， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分． 12. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求代数式的值，由非负数的性质可得，，求出，，代入代数式计算即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得米，米，，由勾股定理求出米，即可得解． 【详解】解：由题意可得：米，米，， 由勾股定理可得：米， ∴这棵大树在折断前的高度为米， 故答案为：． 14. 如图，在中， ，点是斜边上的中点，连接，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，根据含30度角的直角三角形的性质，推出为等边三角形，进而求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∵点是斜边上的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、垂线段最短，连接，由勾股定理逆定理得出，证明四边形为矩形，得出，由垂线段最短可得当时，最小，此时也最小，由等面积法求出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，最小，此时也最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，根据二次根式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形．若，．求的长； 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出答案即可. 【详解】解：在中，， 在中，. 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 18. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 19. 八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， （1）如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． （2）如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 【答案】（1）18 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质． （1）根据矩形的对角线相等且互相平分，即可得出结果； （2）由矩形的性质可知，，，，由，可知是等边三角形，得，，再结合矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；② 等运算都是分母有理化．根据上述材料，解答下列问题： （1）________ （2）________ （3）计算： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查分母有理化，准确找出分母有理化因式是解题的关键； （1）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （2）直接找出有理化因式，进而分母有理化得出答案； （3）利用已知分别化简各二次根式，进而求出答案 【小问1详解】 解：原式； 故答案为：； 【小问2详解】 解：原式； 故答案为：； 【小问3详解】 解： 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．（结果精确到） 【答案】（1）是直角三角形； 理由如下： ∵    ∴ ∴是直角三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理逆定理计算即可得解； （2）由题意可得，由勾股定理可得，过点作于点，由等面积法求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，， 如图2，过点作于点， ∴， ∴ ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 22. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明： ∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）24． 【解析】 【分析】（1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）易知是直角三角形，为斜边的中点，得到，进而可得到是等边三角形，再通过角度计算出，再通过勾股定理求出，进而可得到四边形的周长． 【详解】解：（1）略 （2） ∵， ∴是直角三角形． ∵为的中点， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵． ∴． ∴， ∴． ∵四边形为菱形． ∴． 在中，， ∴ ∴（负值舍去）． ∵四边形为菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查菱形的证明及基本性质，等边三角形性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． 六、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 【答案】[猜想] ； [证明] 证明：矩形纸片沿所在的直线折叠， ， 四边形是矩形， ， ， ， ． [应用]（1）解：；理由如下： 由四边形折叠得到四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 即； （2）5 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 【猜想】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得解； 【应用】（1）根据折叠的性质得到，根据矩形的性质推出，则，根据等腰三角形的判定即可得出，结合即可得解； （2）根据矩形的性质、折叠的性质得出，，，设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：【猜想】：略 【证明】：略 【应用】（1）略 （2）矩形沿所在直线折叠， ，，， 设， ， 在中，， ， ， 解得， ， ． 24. 如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？ 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：四边形是矩形，理由： ∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ∴  ∵ ∴ ∴  ∴四边形是矩形 （3）当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，推出，证明，得出，即可得证； （2）由平行四边形的性质可得，由全等三角形的性质可得从而得出，求出，即可得解； （3）由勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，从而得出，表示出，再分两种情况：以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则；以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则；分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图2，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线同侧，则， ， ∴， 解得； 如图3，以、、、构成的四边形是菱形，且点与点在直线异侧，则， ∵，且， ∴， 解得， 综上所述，当运动时间为3秒或秒时，以、、、构成的四边形是菱形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中质量自查试卷 八年级数学 （时间120分钟；满分120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，若，则的值为（ ） A. 4 B. C. D. 6. 如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）. A. 2.5 B. C. D. 3 7. △ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（　　） A. 4.5 B. 9 C. 10 D. 12 8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 菱形的四条边相等 D. 矩形的对角线相等 9. 如图，在矩形中，与交于O，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E，F，则的值为（    ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 10 10. 如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，有下列结论：①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点，，，构成的四边形是菱形．其中一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平行四边形中，，则______． 12. 若，则________． 13. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面3米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为4米，则这棵大树在折断前的高度为________米． 14. 如图，在中， ，点是斜边上的中点，连接，若，则________． 15. 如图，在中，，，，为边上一动点，作于，于，则的最小值为________． 三、解答题（一）（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 16. 计算：． 17. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形．若，．求的长； 四、解答题（二）（本大题共2小题，每小题7分，共14分） 18. 已知，，求下列各式的值： （1） （2） 19. 八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， （1）如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． （2）如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 20. 阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如： ①；② 等运算都是分母有理化．根据上述材料，解答下列问题： （1）________ （2）________ （3）计算： 21. 图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．（结果精确到） 22. 小颖新房买了一盏简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． （1）求证：四边形内部框架为菱形． （2）若，为的中点，，求四边形的周长． 六、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 23. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】的数量关系； 【证明】请你证明上面的猜想； 【应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． （1）猜想与的数量关系，并证明； （2）若，，求的长． 24. 如图1，在中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，判断四边形的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．若点为直线上的一点，当运动时间为何值时，以、、、构成的四边形是菱形？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $