精品解析：江苏省邗江中学（集团）北区维扬中学2024-2025学年下学期八年级数学学科期中试卷

江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学2024—2025学年度 第二学期八年级数学学科期中试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 2. 为了了解一个学校学生参加课外体育活动的情况，某组织调查了名学生每天参加课外体育活动的时间，其中是这个问题的（ ） A. 样本容量 B. 一个样本 C. 总体 D. 个体 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是样本容量，根据抽取的样本数量叫做样本容量解题即可． 【详解】解：调查了名学生每天参加课外体育活动的时间，其中是这个问题的样本容量， 故选A． 3. 下列调查中，最适宜采用普查的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 某班学生的身高 C. 某市的空气质量 D. 某电视节目的收视率 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 根据全面调查与抽样调查的特点，即可解答． 【详解】解：A、了解某品牌生产的一批灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查，故不符合题意； B、了解全班学生的身高，适宜采用普查，故符合题意； C、了解某市空气质量情况，适宜采用抽样调查，故不符合题意； D、了解某电视节目的收视率，适宜采用抽样调查，故不符合题意； 故选：B 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式”，逐个进行判断即可．本题考查了最简分式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、，选项不是最简分式，故不符合题意； B、是最简分式，故符合题意； C、，选项不是最简分式，故不符合题意； D、，选项不是最简分式，故不符合题意． 故选：B． 5. 一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（ ） A. 摸出的3个球颜色相同 B. 摸出的3个球中有1个白球 C. 摸出的3个球中至少有1个白球 D. 摸出的3个球颜色不同 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件和确定事件直接判断即可． 【详解】解：A．摸出的3个球颜色相同是不可能事件，可能性最小，所以A不符合题意； B．摸出的3个球中有1个白球是随机事件，所以B不符合题意； C．摸出的3个球中至少有1个白球是必然事件，可能性最大，所以C符合题意； D．摸出的3个球中摸出的3个球颜色不同是不可能事件，可能性最小，所以D不符合题意． 故选：C． 6. 若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质，进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ∵， 将分式中的与的值都缩小为原来的，则这个分式的值将扩大为原来的3倍， 故选：D． 7. 如图，M是的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则的周长是（ ） A. 12 B. 11.8 C. 12.4 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 延长线段交于，证明，得，，进而证明是中位线，从而求出的长． 【详解】解：延长线段交于． 平分， ， ∵ ∴， 又∵， ， ，， 又是的边的中点， ∴是中位线， ， 的周长是， 故选：B． 8. 已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据，可以先将所求式子化简，然后根据，可以得到∶，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解∶∵，，， ∴，，， ∵， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义条件，理解分母不能等于0是解题的关键． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：， 故答案：． 10. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为， 故答案为：8． 11. 已知样本数据被分成4组，第一、二、三、四组数据个数之比为，则第二小组的频率为______． 【答案】0.4 【解析】 【分析】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率频数总数． 根据频率的计算公式计算即可得出答案． 【详解】解：第二小组的频率是， 故答案为：0.4． 12. 分式、的最简公分母是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握． 确定最简公分母的方法是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：分式、的分母分别是、，故最简公分母为． 故答案为：． 13. 在中，，则______ 【答案】##度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，求出的度数，根据平行线的性质求出，代入求出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ∵， ， ， 故答案为：． 14. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法证明“”，则与相反的全部结果就为，据此即可作答． 【详解】解：∵与相反的全部结果就为 ∴用反证法证明“”时，首先应假设 故答案为： 15. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述事件______（填“必然”或“随机”）事件． 【答案】随机 【解析】 【分析】本题考查了随机事件的概念，解题的关键是明确必然事件，不可能事件，随机事件的定义．必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；不可能事件是指在一定条件下必然不会发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．判断诗句描述的事件类型，依据随机事件的定义分析． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”描述的是清明时节下雨的情况，在现实中，清明时节可能下雨，也可能不下雨，其发生具有不确定性，符合随机事件的定义．因此，诗句中描述的事件是随机事件． 故答案为：随机． 16. 矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要查了矩形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 根据旋转的性质以及勾股定理可得的长，再证明四边形是矩形，可得，，设，则，然后根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形绕点B旋转得到矩形，， ∴， ∴， ∵平行于， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴四边形的面积等于． 故答案为：3 17. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 根据分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，建立关于a的方程，求解即可． 【详解】解：方程去分母得，， ． 如果原分式方程无解，那么分两种情况： ①当时，方程无解，所以分式方程无解； ②，解方程，得， 当分母即时原分式方程无解． 由，得． 经检验，符合题意， 故当或时，分式方程无解． 故答案为：0或． 18. 如图，在菱形中，为中点，是的中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，分解中位线性质得出，，，在中，过点O作于点P，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵E为中点，是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 在中，过点O作于点P，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】（1）先通分，再依据同分母分式的加减法法则计算可得； （2）先因式分解，再约分即可得． 【详解】（1）原式＝＝； （2）原式＝＝． 【点睛】本题主要考查分式的加法与乘法运算，解题的关键是掌握分式的运算法则． 20. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同除以3，得． 经检验，是原方程的解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 22. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为_____； （3）该校共有学生1800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）该校对在线阅读最感兴趣的学生有480人． 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图，样本估计总体． （1）求出随机抽取的部分学生数，得到在线听课的人数，补全条形统计图即可； （2）利用“在线讨论”的占比乘以得到对应的扇形圆心角； （3）用该校总人数乘以对在线阅读最感兴趣的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取的部分学生数为：（人）， 在线听课的人数为（人） 如图， 【小问2详解】 扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为：， 故答案为： 【小问3详解】 调查的人数：（人）， 对在线阅读最感兴趣有（人） 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有480人． 23. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色的球． 【答案】（1）， （2） （3）除白球外，还有大约个其它颜色的小球 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关知识，掌握频率的计算方法，根据频率计算总体数量是解题的关键． （1）根据表格中频率计算方法即可求解； （2）根据频率估算，结合表格信息即可求解； （3）根据频率估算总体数量的方法即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：根据题意，概率的估计值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：摸到白球的概率为，设除白球外，还有个其它颜色的小球， ∴， 解得，， ∴除白球外，还有大约个其它颜色的小球． 24. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 【答案】种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键． 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料，由题意型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解： 设种机器人每小时搬运化工原料，则种机器人每小时搬运化工原料， 根据题意得：， 解得：， 经检验，为原方程的解，且符合题意， 则， ∴种机器人每小时搬运化工原料，种机器人每小时搬运化工原料． 25. 如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． （1）如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； （2）如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标是______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转图形的性质与作图，根据旋转的性质作垂直平分线确定旋转中心即可． （1）作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，再确定坐标和旋转角即可； （2）按照（1）的方法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，作、的垂直平分线相交于点E，点E就是旋转中心，坐标为，由图可知，所以旋转角度为，点P的坐标是， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：如图所示，点F就是旋转中心，坐标为， 故答案为：． 26. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，利用上述结论求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）36 【解析】 【分析】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息． （1）证明得．同理可得：，，进而可证明四边形为矩形； （2）证明是的中位线可求出，然后求出矩形的面积即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 点D，E分别是的中点， ． ， ， ． 同理可得：，， ，， ∴四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形． 【小问2详解】 解：点D，E分别是的中点， 是的中位线， ， 由（1）可知，， ， ． 27. （1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：． （2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：． （3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点B作交于G，交于H，先证明四边形是平行四边形，得，再证明，得，即可得出结论； （2）在边上截取，使，连接，证明，即可得出结论； （3）根据正方形的性质求得与，再由勾股定理求得；过作于 ，证明得，再将沿方向平移至，连接，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出此时的的值便可． 【详解】（1）证明：过点B作交于G，交于H，如图， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：在边上截取，使，连接，如图， ∵正方形， ∴，， ∴ ∵ ∴，，即， ∴ ∵是正方形的外角平分线， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：过F作于G，则，, ∵正方形的边长为2， ∵，, ∵， ∴， ∵E， ∴ ∴， ∴ ∴， 将沿方向平移至，连接，则， ∴四边形为平行四边形， ∴，, 当、、三点共线时，的值最小． 此时， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，利用轴对称求最短路径问题，两点之间线段最短，平行四边形的判定与性质．本题属正方形与全等三角形、平行四边形的综合题目，难度较大．熟练掌握相关知识的灵活应用是解题的关键． 28. 定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 【答案】（1）是 （2）①；②A的值为1或3或4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“友好分式”的定义进行判断即可； （2）①根据分式是分式A的“友好分式”，得出，利用分式混合运算法则求出A即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （3）设关于的分式的“友好分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“友好分式”，得出，求出，代入，求出分式的最小值即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， ∴分式是分式的“友好分式”； 故答案为：不是． 【小问2详解】 解：①∵分式是分式A的“友好分式”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． ②∵， ∵整数x使得分式A的值是正整数， ∴，，2， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知：A的值为1或3或4． 【小问3详解】 解：设M是关于的分式的“友好分式”，则： ， ∴ ， ∵关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴ 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省邗江中学（集团）北区校维扬中学2024—2025学年度 第二学期八年级数学学科期中试卷 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提醒：所有学生解答应填写到本学科考试所提供的网络阅卷答题纸上，否则一律无效，答题纸保证卷面整洁，无涂损，不得折叠． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每题的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. “数学”的英文缩写为“”，下列四个字母中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了了解一个学校学生参加课外体育活动的情况，某组织调查了名学生每天参加课外体育活动的时间，其中是这个问题的（ ） A. 样本容量 B. 一个样本 C. 总体 D. 个体 3. 下列调查中，最适宜采用普查的是（ ） A. 某品牌灯泡的使用寿命 B. 某班学生的身高 C. 某市的空气质量 D. 某电视节目的收视率 4. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 一只不透明的袋子中装有2个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中任意摸出3个球，下列事件发生的可能性最大的是（ ） A. 摸出的3个球颜色相同 B. 摸出的3个球中有1个白球 C. 摸出的3个球中至少有1个白球 D. 摸出的3个球颜色不同 6. 若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的9倍 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 7. 如图，M是的边的中点，平分，且，垂足为N，且，，，则的周长是（ ） A 12 B. 11.8 C. 12.4 D. 13 8. 已知实数x，y，z，a满足，，，且，则代数式的值等于（ ） A. 0 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共10题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则x的取值范围是______． 10. 如图，在菱形中，，则菱形的周长为___________． 11. 已知样本数据被分成4组，第一、二、三、四组数据个数之比为，则第二小组的频率为______． 12. 分式、的最简公分母是________________． 13. 在中，，则______ 14. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 15. “清明时节雨纷纷”，从数学观点看，诗句中描述的事件______（填“必然”或“随机”）事件． 16. 矩形绕点B旋转得到矩形，在旋转过程中，恰好过点C，过点G作平行于交于M，N．若，则四边形的面积等于______． 17. 若关于x的分式方程无解，则a的值为______． 18. 如图，在菱形中，为中点，是中点，交对角线于点，连接，取中点，取中点，连接，若，，则的长度为______． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解分式方程：． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查（不可多选，也不可不选），并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数为_____； （3）该校共有学生1800人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人？ 23. 在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 （1）上表中的________，________； （2）“摸到白球”的概率的估计值是________（精确到）； （3）如果袋中有个白球，那么袋中除了白球外，还有________个其它颜色球． 24. 人工智能在物流行业有广泛的应用，其中自主移动机器人可以实现高效的搬运和拣货作业．某物流园区利用两种自主移动机器人搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ 25. 如图，已知点，，，，将绕某个点逆时针方向旋转一定角度（）． （1）如果旋转后点A落在点D处，点B落在点C处，点O落在点P处，试在图中作出旋转中心（保留作图痕迹，不写作法）；并直接写出：旋转中心坐标是______，旋转角为______度，点P的坐标是______； （2）如果旋转后点A落在点C处，点B落在点D处，那么旋转中心坐标是______． 26. 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三角形面积公式的“出入相补法”，原理如下： 如图，在中，点D，E分别是中点，连接，过点A作，垂足为F，延长至点G，使，连接，延长至点H，使，连接，则四边形的面积等于的面积． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，利用上述结论求的面积． 27. （1）如图，正方形，M是上的一点，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．求证：． （2）如图，正方形的边，M是上的一点，连接．过点M作，分别交正方形的外角平分线于点Q．求证：． （3）如图，正方形中，，M是上的一点，，且，连接．点N是上的动点，过点N作，分别交直线，于点E，F．连接、．求的最小值，并说明理由． 28. 定义：若分式A与分式B的差等于它们的积．即，则称分式B是分式A的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． （1）填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） （2）已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； （3）若关于x的分式是关于x的分式的“友好分式”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $