精品解析：广西南宁市第四十七中学2024—2025学年下学期八年级数学期中监测试题

2025年春季学期八年级数学科期中义务教育质量监测试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：A． 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法表示较大的数时，形式为，其中， 为整数．确定的值时，看原数变成时小数点移动的位数．据此解答即可． 【详解】解：∵ 1300000 的小数点向左移动 6 位得到 1.3， ∴，即． 故选：C． 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减法、除法和乘法法则计算即可． 【详解】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；   B、原式，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、原式，所以D选项错误． 故选：C 6. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，，在直角三角形中，勾（较短的直角边）的平方加股（较长的直角边）的平方等于弦（斜边）的平方． 题中已知两直角边分别为3和4，要求弦，代入数据计算即可． 【详解】解：弦 故选A． 7. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 8. 如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分AC，则OE是三角形ABC的中位线，则AB＝2OE，继而求出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝CO， ∵点E是CB的中点， ∴OE为△ABC的中位线， ∴AB＝2OE， ∵OE＝6cm ， ∴AB＝12cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，关键是根据平行四边形的性质得出OE为△ABC的中位线． 9. 在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，由斜边上中线等于斜边一半求得． 【详解】由勾股定理，, ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，直角三角形性质，由相关定理得出线段间数量关系是解题的关键． 10. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， 当或时，均可判定四边形是菱形； 当时， 由知， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 当时，可判定四边形是矩形； 故选：B． 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，可得；由可得，所以； 由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得； 由中的结论可得； 由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为． 【详解】解：连接，交于点，如图， ，， ． ， 四边形为矩形． ，． 四边形为正方形， ，． 在和中， ， ． ． ． 正确； 延长，交于，交于点， ， ． 由知：， ． ． ， ． ． 即：， ． 正确； 由知：． 即：． 正确； 点为上一动点， 根据垂线段最短，当时，最小． ，， ． ． 由知：， 的最小值为， 错误． 综上所述，正确的结论为：． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算____． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 14. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题，然后判断正误即可． 【详解】∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等． ∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行，正确，为真命题， 故答案为真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 15. 如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理求得的长，根据，点B在x轴的正半轴上，即可求解． 【详解】根据勾股定理得：OA= ， ∴OB=OA=， ∵点B在x轴的正半轴上， ∴点B的坐标是（，0）， 故答案为（，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形，求得的长是解题的关键． 16. 如图，在中，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，根据三角形中位线的性质定理得出FG=，由勾股定理求出BC，再根据三角形等面积法求出CD，即可得出结果． 【详解】解：连接CD， ∵F、G分别是ED、EC的中点， ∴FG是△FDC的中位线， ∴FG=， 当CD最小时，FG最小， 当CD⊥AB时，CD最小， 在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8， 则BC=， 当CD⊥AB时， ， ∴， 解得：CD=， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，零次幂、化简绝对值，二次根式性质化简，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式性质化简，化简绝对值，零次幂，再运算乘法，再运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再运算除法，化简得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出的坐标：_____；_____； （3）尺规作图：在轴上找一点，使得． （要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1） 如图，为所作； （2）， （3）如（1）图，点为所作． 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，线段垂直平分线的性质和尺规作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标即可； （3）作线段的垂直平分线，与x轴相交于点P，P点满足条件． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）的图得，， 故答案为：，， 【小问3详解】 略 19. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF． （1）求证：四边形ABFD是平行四边形； （2）求证：BF＝DC． 【答案】 （1）证明：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，AB=2DE，AD=CD， ∵EF=DE， ∴DF=2DE， ∴AB=DF，且AB∥DF， ∴四边形ABFD是平行四边形； （2）证明：∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AD=BF，且AD=CD， ∴BF=DC． 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理可得DE∥AB，AB=2DE，由EF=DE，可得DF=AB，即可证四边形ABFD是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得AD=BF，可得BF=CD． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质以及三角形中位线定理，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）点处与地面的距离为米 （2）消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，正确确定每个线段的长度． （1）由题意可得，米，米，米，利用勾股定理求得，即可求解； （2）根据题意可得，，米，由勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； 【小问2详解】 解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形对角线交于点O， ∴，即． ∴四边形是矩形； （2）96 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识， （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，问题随之得证； （2）根据菱形的性质可得，再利用勾股定理可得，问题随之得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：． 22. 观察下列各式： ， ， ； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想__________； （2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________； （3）应用计算．； （4）拓展应用：化简下列式子； 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据题目中式子的特点进行求解； （2）根据题意进行猜想、归纳出这种式子的规律； （3）将式子算：改写为，运用规律进行求解； （4）运用规律对算式进行改写、计算． 此题考查了二次根式运算规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意，并进行规律的归纳、应用． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）题结论可得， ． 【小问4详解】 解：由（2）题结论可得， ． 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 【答案】（1）或或或（任写一个即可）； （2）①； ②，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，由，，可求，即可求解； （2）①由“”可证，可得； ②由“”可证，可得； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵对折矩形纸片， ∴，， ∵沿折叠，使点A落在矩形内部点M处， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或或或（任写一个即可）； 【小问2详解】 解：①由（1）可知， ∵四边形是正方形， ∴，， 由折叠可得：，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②略 【小问3详解】 解：由折叠的性质可得，， ∵， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 当点Q在线段上时，∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 综上所述：的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期八年级数学科期中义务教育质量监测试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意：本试卷分试题卷和答题卡两部分，答案一律填写在答题卡上，在试题卷上作答无效；不能使用计算器：考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上．用科学记数法表示1300000是（ ） A. B. C. D. 3. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 4. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦、在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 8. 如图，平行四边形中，对角线，交于点O，点E是的中点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 5 D. 4 10. 如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 12. 如图，在正方形中，，E为对角线上与点A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：；；；的最小值为3，其中正确的结论是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 计算____． 14. 命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是_____命题．（填“真”或“假”） 15. 如图，△AOB是等腰三角形，OA＝OB，点B在x轴的正半轴上，点A的坐标是（1，1），则点B的坐标是_____． 16. 如图，在中，，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，则的最小值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． （1）在图中作出关于轴的对称图形； （2）请直接写出的坐标：_____；_____； （3）尺规作图：在轴上找一点，使得． （要求：保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F，使EF＝DE，连接BF． （1）求证：四边形ABFD是平行四边形； （2）求证：BF＝DC． 20. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 21. 如图，菱形的对角线、相交于点O，，，与交于点F． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求菱形的面积． 22. 观察下列各式： ， ， ； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： （1）猜想__________； （2）归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式__________； （3）应用计算．； （4）拓展应用：化简下列式子； 23. 综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． （1）操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，． 根据以上操作，当点M在上时，写出图1中一个的角： ； （2）迁移探究 小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时， °； ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $