精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级下学期二调模拟数学试题

重庆复旦中学教育集团 2024-2025 学年度下期第二次诊断九年级数学模拟考试 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！ 同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为试题卷和答题卷，考试时间 120 分钟，满分 150 分． 请将答案工整地书写在答题卡上． 参考公式：抛物线 的顶点公式为，对称轴． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列四个数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的概念，解题的关键是明确有理数和无理数的定义，根据定义判断每个选项． 分别分析每个选项中的数是否符合有理数的定义． 【详解】A、是无限不循环小数，根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），所以是无理数，不是有理数，该选项错误； B、是分数，而分数属于有理数（有理数是整数（正整数，0，负整数）和分数的统称），所以是有理数，该选项正确； C、开方开不尽，是无限不循环小数，根据无理数定义，它是无理数，不是有理数，该选项错误； D、开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，不是有理数，该选项错误． 故选：B． 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了立体图形的三视图，掌握立体图形的特点，三视图的特点是解题的关键． 根据立体图形的特点进行判定即可求解，在立体图形中存在的线条，三视图中能看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 【详解】解：如图所示的鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是 ， 故选：D ． 3. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，根据位似图形的性质即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，其中， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是， 故选：． 4. 工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有 ，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是 之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，利用全等三角形对应边相等，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ，， ∴， 故， 故选：B． 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算以及无理数的估算，先化简，再对二次根式进行估算即可． 【详解】解：； 且， ， ； 故选：A． 6. 如果关于 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，根据一元二次方程根的判别式及定义，当判别式 且二次项系数不为0时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 即 解得：， 故选：C． 7. 如图，正六边形的边长为2，以点D为圆心， 为半径画弧，以点F为圆心，为半径画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形与圆，计算不规则图形的面积．根据正六边形的特点可以得到正六边形内部可以分成六个全等的等边三角形，先计算出和，则阴影部分的面积． 【详解】解：如图，标记以点D和点F为圆心的弧交于点O，连接，作 于H， 由作图知点O为正六边形的中心， ，， ，， 为全等的等边三角形，边长为2， ， 为等边三角形，边长为2， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积， 故选C． 8. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合；作 轴于点， 于点，可证得，从而将转化为，设，则，再根据面积公式列出等式，即可求出的值． 【详解】解：如图：作 轴于点， 于点， ，， 设，则， ， 解得：， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接 ，过点作交 延长线于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等，作交的延长线于点G，先证，求出，再证，求出， ，最后用勾股定理计算出． 【详解】解：如图，作交的延长线于点G， 四边形是正方形，， ，， ， ， ，， ， ，即， ， ，， ， ，即， 解得，， ， 故选B． 10. 已知关于x的一元二次方程 ，下列结论不正确的个数是（ ） ①当或时，代数式的值是一个完全平方数； ②无论x为任何数，代数式的值大于的值； ③关于 的函数的图象与 轴两交点间的距离为； ④代数式的值等于2023． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，①利用配方法即可解决问题；②利用作差法即可解决问题；③求出抛物线与x轴的交点坐标即可判断；④利用配方法即可解决问题． 【详解】解：对于①，当或时，，9是完全平方数，故①正确． 对于②，， ∴，故②错误． 对于③，令，则 ， 解得：， 所以函数与x轴两交点间的距离，故③正确． 对于④，∵ ，则， ∴ ，故④错误． 故不正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上） 11. 计算：_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．先分别计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂，再绝对值、乘方及加减运算即可求解； 【详解】解：原式 ， 故答案为：15． 12. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量 （单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 【答案】160 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键． 先计算出10个工件中为一等品的频率，再乘以总数200即可求解． 【详解】解：10个工件中为一等品的有49.98，50.00，49.99，50.02，49.99，50.01，50.00，50.02这8个， ∴这200个工件中一等品的个数为个， 故答案为：160． 13. 寒假期间，小周、小李二人在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率为所求情况数与总情况数之比. 画树状图，共有种等可能的结果，其中小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】解：把《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片分别记为A、B、C、D，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的结果有种， ∴小周、小李二人恰好选择同一部影片观看的概率为 故答案为：． 14. 关于 的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出，结合不等式组有解且最多有3个整数解，求出，解分式方程得出，结合关于的分式方程有整数解，得出， ，即可得解． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组有解且最多有3个整数解， ∴， 解得：， 解关于的分式方程得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或或或或或 ∵为整数，且，， ∴ ∴ ， 那么符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 15. 如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为 的中点，连接，若，，则的半径是______，＝______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理是解决问题的关键． 连接， 先证明，则 是等边三角形， 设，则再证明，然后在中， 由勾股定理可求出，进而可得的半径是；再求出则 然后求出，，则 ， 由此可得的值． 【详解】解：连接， 如图所示： ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵弦， ∴，， ∴， ∵， ∴ 是等边三角形，设， ， ∵点是 的中点， ∴设， ， 在中， 由勾股定理得：， 在中， ， 由勾股定理得：， (不合题意，舍去)， ∴的半径是； ， 是等边三角形， ∴于点， ， 在中， 由勾股定理得：， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．当时，该抛物线的顶点坐标是_____；若和是抛物线上的两点 对于，，都有，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． （）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； 故答案为：； （2）分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，和都在对称轴右侧， 此时y随x的增大而增大， ∵， ∴ 如图，此时， ∴ ， 又∵， ∴； 当时，在对称轴左侧，在对称轴右侧， ∴点关于对称轴的对称点在对称轴右侧， 在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 如图，此时， 解得 ， 又∵， ∴ ； 综上，当或 ，都有． 故答案为：或 ． 三、解答题（本大题8个小题，每题10分，共80分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算，解题的关键是： （1）根据完全平方公式、多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则计算即可； （2）先通分再化简． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式． 18. 米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形 是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形 是平行四边形， ④__________． 四边形 是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形 的形状是⑤__________． 【答案】（1） 如图所示， （2）； ；； ；菱形 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据题意用尺规在右侧作，在上截取，并连接，即可求解． （2）根据菱形的性质与矩形的判定定理完成填空，进而根据矩形的性质与菱形的判定定理证明 是菱形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形 的形状是菱形，理由如下 四边形是矩形， ，． ， ． ， ． 四边形 是平行四边形， ． 四边形 是菱形． 19. 重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． （1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？ （2）改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 【答案】（1）天 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要 天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【小问1详解】 解：设甲队单独完成整项工程需要 天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． 【小问2详解】 解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 20. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：； ； ； ）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______， ______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 【答案】（1）98，93，10 （2）450人 （3）男生更喜欢《哪吒2》， 理由：根据中位数和众数分析，男生的中位数和众数都比女生的高，因此，男生更喜欢《哪吒2》． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求得a，b，进而得出评分在B的人数，求得m的值； （2）用400和500分别乘以评分在D组的占比，即可求解； （3）根据中位数和众数分析，即可求解． 【小问1详解】 解：10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98， 98出现最多，则 ， 根据统计表可得男生满分的有 人，则中位数为第5和第6个数据，数据是：82，83， 则按从小到大排列，第5个数据为86，由满分占比，可得第6个数据为100， 则 ， 评分分数为A和B的人数和为 ，都不为0， 评分分数为A和B的人数都是1人， ，即， 故答案为：98，93， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有450人； 【小问3详解】 略 21. 如图1，在中，，， ，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动， 的面积为3，设点运动时间为 秒， 的长度为， 的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于 的函数表达式，并注明自变量 的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出 的取值范围（误差不超过0.2）． 【答案】（1） ， （2） 解：如图，，的图象如下： 函数的性质：当 时，随 的增大而减小； 函数的性质：当 时，随 的增大而减小 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的应用，画函数图象，利用函数图象解决问题； （1）根据 ， ，即可得出 ，结合三角形的面积公式可得的解析式， （2）根据反比例函数图象与一次函数的性质画图即可，再根据图象可得函数的性质； （3）直接利用函数图象得到的自变量 的范围即可． 【小问1详解】 解：，， ， 当 时， ， ， ∴ ∵ 的面积为，即 ， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，，解并检验得： ​或 由图象可得：当时， 或 22. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度 为， ， ，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为 的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 【答案】（1）点到地面的距离约为 ； （2）一辆宽为、高为 的货车可顺利通过入口． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为，根据题意可得： ， ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再根据已知易得，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）当 ，且 时，设交于点，根据题意可得： ， ，从而可得，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出 的长，比较即可解答． 【小问1详解】 解：过点作 ，垂足为，过点作 ，垂足为， 由题意得： ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， 此时点到地面的距离约为 ； 【小问2详解】 解：一辆宽为、高为 的货车可顺利通过入口， 理由：如图：当 ，且 时，设交于点， 由题意得： ， ， ， 在 中， ， ， ， 入口宽度为， ， ， 一辆宽为、高为 的货车可顺利通过入口． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线 与 轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线 交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线，经过点，，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）过点P作交直线 于点Q．设点，则点．根据平行线证明，列出比例式解答即可． （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 【小问1详解】 解：∵抛物线，经过点，， ∴， 解得 故抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作交直线 于点Q． 设点，则点． ∵ ∴， ． ∵，且， ∴时，的值最大，最大值为． 把代入，得． ∴点P的坐标为． 【小问3详解】 解：∵直线 与 轴交于点D，与轴交于点E， ∴， ∴ ， ∴沿着方向平移是一个先向下，再向右平移同样的单位长度的平移变换，设平移的距离为n个单位长度， 由， ∴设，把点代入得：， 解得（舍去）或， ∴， 令 ，，解得或 ， 故点 ∵，， ∴， 设点，过点T作于点G， 故， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 同理可得， 即， 解得：： 或（舍去）， ∴， 综上，点T的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，构造二次函数求最值，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，抛物线的平移，熟练掌握待定系数法，相似的应用，解方程组是解题的关键． 24. 已知 ，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图，当点在内部时，作 ，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． （3）如图3，当时，过点作 ，垂足为点，以为一边构造如图正方形 ，连接 ，当时，直接写出 的最小值． 【答案】（1） 证明：连接 ，由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得 ，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵G是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，由题意得： ，进而得出，得到，证明是中点． （2）通过作辅助线构造 ，再结合 得出线段间的数量关系． （3）先求出动点的运动轨迹是 的角平分线 ，再利用正方形的性质和对称，将 转化为两点间线段，再根据勾股定理求最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， 在 中，， ， ， 正方形 中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 动点的运动轨迹是 的角平分线 ， 作点关于 的对称点，则点一定在上， 连接，交 于点， ，即 的最小值就是， 过点作 垂直于，交的延长线于点， 四边形 是矩形， 四边形 是正方形， ， ∴，即 的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形全等，平行的性质，等腰三角形的性质及判定，正方形的性质，以及利用几何变换求线段最值等知识．解题的关键是根据已知条件合理构造全等，利用其性质进行线段关系的推导，对于求线段和最小值问题，要运用对称等方法转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团 2024-2025 学年度下期第二次诊断九年级数学模拟考试 尊重自己！爱护复旦！复旦过去的光荣，将来的灿烂，全赖我们共同爱护，共同发展！ 同学：今天在考试的时候，不要忘记自己！不要忘记复旦！考场秩序井然，人人洁身自爱． 本试卷分为试题卷和答题卷，考试时间 120 分钟，满分 150 分． 请将答案工整地书写在答题卡上． 参考公式：抛物线 的顶点公式为，对称轴． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑） 1. 下列四个数中，有理数是（ ） A. B. C. D. 2. 鲁班锁，民间也称作孔明锁，八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，它的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，则与的周长之比是（ ） A. B. C. D. 4. 工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有 ，如果圆形工件恰好通过卡钳，则此工件的外径必是之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A. B. C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 6. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 如图，正六边形的边长为2，以点D为圆心，为半径画弧，以点F为圆心，为半径画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上一点，连接交轴于点，若，，则 的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 9. 如图，在正方形中，点为上的一点，且，连接，过点作交延长线于点，连接，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程 ，下列结论不正确的个数是（ ） ①当或时，代数式的值是一个完全平方数； ②无论x为任何数，代数式的值大于的值； ③关于的函数的图象与轴两交点间的距离为； ④代数式的值等于2023． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分，请将每小题的答案直接填在答题卷中对应的横线上） 11. 计算：_____． 12. 某厂加工了200个工件，质检员从中随机抽取10个工件检测了它们的质量（单位：g），得到的数据如下： 50.03 49.98 50.00 49.99 50.02 49.99 50.01 49.97 50.00 50.02 当一个工件的质量（单位：g）满足时，评定该工件为一等品.根据以上数据，估计这200个工件中一等品的个数是___________. 13. 寒假期间，小周、小李二人在《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神第二部》、《射雕英雄传：侠之大者》四部影片中各自随机选择一部影片观看（假设两人选择每部影片的机会均等），则二人恰好选择同一部影片观看的概率为_______． 14. 关于的一元一次不等式组有解且至多3个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为________． 15. 如图，已知是的直径，弦于点C，过点F作的切线交的延长线于点D，G为的中点，连接，若，，则的半径是______，＝______． 16. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．当时，该抛物线的顶点坐标是_____；若和是抛物线上的两点 对于，，都有，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题8个小题，每题10分，共80分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 米小果同学在学习了矩形和菱形之后，发现他们的性质既有关联也有不同，为了更好的掌握相关知识，进行了以下探索，请根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在菱形中，，相交于点．用尺规在右侧作，在 上截取，并连接．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：四边形 是矩形． 证明：四边形是菱形， ，①__________． ． ， ②__________． ， ③__________． 四边形 是平行四边形， ④__________． 四边形 是矩形． 米小果进一步研究发现，若把条件里的菱形改为矩形，其余作图过程均不变，则四边形 的形状是⑤__________． 19. 重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． （1）求甲队单独完成整项工程需要多少天？ （2）改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 20. 2025年春节，《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）横空出世，现已登顶全球动画电影票房榜．小果同学为了了解这部电影在同学们中的受欢迎程度，在初三年级随机抽取了10名男生和10名女生展开问卷调查，并对数据进行整理，描述和分析（评分分数用x表示，共分为四组：； ； ； ）下面给出了部分信息： 10名女生对《哪吒2》的评分分数：67，77，79，83，89，91，98，98，98，． 10名男生对《哪吒2》的评分分数在C组的数据是：82，83，． 20名同学对《哪吒2》评分统计表 性别 平均数 众数 中位数 方差 满分占比 女生 88 a 90 男生 88 100 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的______，______，______； （2）该校初三年级有400名女生和500名男生去看过《哪吒2》，估计这些学生中对《哪吒2》的评分在D组共有多少人？ （3）根据表格中的数据进行分析，你认为是女生更喜欢《哪吒2》还是男生更喜欢？请说明理由；（写出一条理由即可） 21. 如图1，在中，，， ，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，匀速运动到点B停止（与点B﹑C不重合），同时动点在射线上匀速运动，当点P到达点B时，点D停止运动， 的面积为3，设点运动时间为秒， 的长度为，的长度为，请解答下列问题： （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数和的函数图象，并写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，当时，直接写出的取值范围（误差不超过0.2）． 22. 某停车场入口“曲臂直杆道闸”在工作时，一曲臂杆绕点O匀速旋转，另一曲臂杆始终保持与地面平行．如图1，是曲臂直杆道闸关闭时的示意图，此时O、A、B在一条直线上．已知闸机高度为， ， ，入口宽度为． （1）如图2，因机器故障，曲臂杆最多可逆时针旋转，求此时点A到地面的距离； （2）在（1）的条件下，一辆宽为、高为 的货车可否顺利通过入口？请说明理由．（参考数据： ，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点B，且点A在点B的左侧，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，直线 与轴交于点D，与轴交于点E，在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线与直线 交于点N，求的最大值，及此时点P的坐标； （3）如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点B，新抛物线与x轴的另一交点为点M，请问在新抛物线上是否存在一点T，使得？若存在，则直接写出点T的坐标；若不存在，则说明理由． 24. 已知 ，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，过点作的垂线交射线于点． （1）如图，当点在射线上时，求证：是的中点； （2）如图，当点在内部时，作 ，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． （3）如图3，当时，过点作 ，垂足为点，以为一边构造如图正方形 ，连接 ，当时，直接写出 的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $