专题02 相交线与平行线(思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷）-2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】

2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】（易错题培优篇） 专题02 相交线与平行线 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！（注：试题难度系数0-1，系数越小，难度越大）题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 试题满分：100分 难度系数：0.40（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A B D C A D B 1．（2分）（2024春•随县期末）下列说法中不正确的个数为（　　） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确； ⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以不正确的有①②④⑤四个． 故选：C． 2．（2分）（2024春•平南县期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 解：∵∠EAD＝∠D，∠B＝∠D， ∴∠EAD＝∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∴∠AGK＝∠CKG， ∵∠CKG＝∠CGK， ∴∠AGK＝∠CGK， ∴GK平分∠AGC；故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°﹣∠FGA﹣∠DGH＝16°， ∵∠FGA＝∠DGH， ∴90°﹣2∠FGA＝16°， ∴∠FGA＝∠DGH＝37°，故③正确； 设∠AGM＝∠1，∠MGK＝∠2， ∴∠AGK＝∠1+∠2， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK＝∠AGK＝∠1+∠2， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM＝∠CGM， ∴∠FGA+∠AGM＝∠MGK+∠CGK， ∴37°+∠1＝∠2+∠1+∠2， ∴∠2＝18.5°， ∴∠MGK＝18.5°，故④错误， 故选：B． 3．（2分）（2023秋•建邺区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是： 故选：B． 4．（2分）（2024春•淮滨县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 解：过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：A． 5．（2分）（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 解：如图：过点E作EG∥AB， ∴∠1＝∠MEG， ∵AB∥CD， ∴EG∥CD， ∴∠GEN＝∠CNE， ∵∠MEN＝∠MEG+∠GEN， ∴∠MEN＝∠1+∠CNE， 同理可得：∠F＝∠AMF+∠4， ∵ME平分∠AMF，NF平分∠CNE， ∴∠AMF＝2∠1，∠CNE＝2∠4， ∴∠MEN＝∠1+2∠4，∠F＝2∠1+∠4， ∵∠MEN+54°＝2∠F， ∴∠1+2∠4+54°＝2（2∠1+∠4）， ∴∠1＝18°， ∴∠AMF＝2∠1＝36°， 故选：B． 6．（2分）（2024春•昆明期末）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 解：∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCD＝137°， 故选：D． 7．（2分）（2023春•定兴县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 解：①∵∠1＝∠2不能得到l1∥l2，故本条件不合题意； ②∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故本条件符合题意； ③∵∠2+∠5＝180°不能得到l1∥l2，故本条件不合题意； ④∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意； ⑤∵∠6＝∠2+∠3＝∠1+∠2，∴∠1＝∠3，∴l1∥l2，故本条件符合题意． 故选：C． 8．（2分）（2023春•开封期末）数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（　　） A．38° B．40° C．48° D．52° 解：如图： 由题意得：AD∥BC，∠CFG＝52°， ∴∠DEF＝∠CFG＝52°， ∵∠GEH＝90°， ∴∠1＝180°﹣∠DEF﹣∠GEH＝38°， 故选：A． 9．（2分）（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 解：∵AB∥CD， ∴∠BGC＝∠C＝α， ∵GE平分∠BGC， ∴∠BGE＝∠CGE∠BGCα， 如图，当点P在AB和CD之间时，过点P作PM∥AB， ∴∠BGE＝∠GPMα， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠MPH＝∠PHC＝∠GPH﹣∠GPM＝∠GPHα， ∴∠GPH﹣∠PHCα，故A不符合题题意； 当点P在AB上方时，如图，过点P作PN∥AB， ∴∠FGA＝∠BGEα， ∵PN∥AB， ∴∠FPN＝∠FGAα， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD， ∴∠NPH＝∠PHC， ∵∠FPN+∠NPH+∠GPH＝180°， ∴α+∠PHC+∠FPH＝180°，故C不符合题题意；D符合题意； 当点P在CD下方时，如图，过点P作PK∥AB， ∴∠FPK＝∠AGFα， ∵AB∥CD， ∴PK∥CD， ∴∠CHP＝∠HPK， ∵∠GPH+∠KPH＝∠GPKα， ∴∠GPH+∠KPHα，故B不符合题题意； 故选：D． 10．（2分）（2024春•思明区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN， ∵MN∥PQ， ∴MN∥PQ∥AG∥EH， ∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2， ∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y， ∵MN∥PQ∥AG∥EH， ∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y， ∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y， ∴∠DEC＝2（x+y）， ∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α， ∴x+y36°α， ∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α． 故选：B． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•江都区期末）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，则∠2的大小是 　72°　 ． 解：如图： ∵AB∥CD，∠1＝54°， ∴∠3＝∠1＝54°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4＝∠3＝54°， ∵∠3+∠4+∠5＝180°， ∴∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣54°﹣54°＝72°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠5＝72°． 故答案为：72°． 12．（2分）（2024春•陇县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　36　 °． 解：延长FB交CD于点G，如图： ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°， 设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°， ∴x+4x＝180， 解得，x＝36， 即∠F的度数为36°． 故答案为：36． 13．（2分）（2020春•天山区校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　55°　 ． 解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴∠BAD+∠BCD＝2∠E， ∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°， ∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°． 故答案为：55°． 14．（2分）（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　28　 度． 解：如图，分别过E、G作AB的平行线EM和GN， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥CD∥GN， ∵BE是∠ABG的平分线，CF是∠GCD的平分线， ∴∠BEM＝∠ABE∠ABG，∠MEF＝∠DCF∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°， ∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF（∠ABG+∠GCD）， ∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°， ∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°， ∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°， ∴3∠BEC＝5∠BGC+172°， ∴∠BGC（5∠BGC+172°）﹣180°， ∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°， ∴∠BGC＝28°． 故答案为：28． 15．（2分）（2024春•九江期末）如图，AB⊥BC，BP平分∠ABC，∠PED＝55°，∠DEF＝60°，将∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，若∠DEF的边与AB或BC平行时，则旋转的时间可以是 　2或8或11　 秒． 解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP＝45°， ∵∠PED＝55°，DEF＝60°， ∴∠BED＝125°，∠BEF＝65°， 若DE∥BC，则∠BED＝135°， 而∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，显然在旋转过程中∠BED越来越小， ∴DE不可能平行BC． 当EF1∥AB时，如图，EF1 交BF于点G， 则∠BGE＝90°， ∴∠BEG＝45°， ∴旋转的角度为∠FEF1＝∠BEF﹣∠BEG＝65°﹣45°＝20°， ∴旋转的时间为2（秒）； 当D2E∥AB时，如图，D2E交BC于点H， 则∠BHE＝90° ∴∠BEH＝45°， ∠D2EF＝∠BEF﹣∠BEH＝20°， ∴旋转的角度为∠DED2＝∠DEF+∠D2EF＝20°+60°＝80°， ∴旋转的时间为8（秒）； 当EF3∥BC时，如图，EF3交AB于点M， 则∠BME＝90°， ∴∠BEM＝45°， ∴旋转的角度为∠FEF3＝∠BEF+BEM＝65°+45°＝110°， ∴旋转的时间为11（秒）． 综上，旋转的时间可以是2或8或11秒． 故答案为：2或8或11． 16．（2分）（2024春•天山区校级期末）如图，AB∥CD，点F，H分别在AB，CD上，FD∥HE，FG⊥HE于点G，连结FE，且FE恰好平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②∠EHC+2∠D＝90°；③∠HFD＝∠DFB；④FH平分∠GFD；⑤∠AFE+∠CHE＝∠FEH，其中结论正确的为 　②⑤　 ．（请填写所有正确结论的序号） 解：∵FG⊥HE， ∴∠FGH＝∠FGE＝90°， ∵FD∥EH， ∴∠GFD＝∠EGF＝90°， ∴∠AFG+∠BFD＝180°﹣90°＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D， ∴∠AFG+∠D＝90°， ∵∠AFG＝2∠D， ∴∠AFG＝60°，∠D＝30°， 故①不正确； ∵FD∥EH， ∴∠D＝∠EHC＝30°， ∴∠EHC+2∠D＝90°， 故②正确； ∵∠DFH≠30°，∠BFD＝30°， ∴∠DFH≠∠BFD， 故③不正确； ∵∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠DFH＝90°， ∵∠GFH≠45°， ∴FH不平分∠GFD， 故④不正确； ∵FE平分∠AFG，∠AFG＝60°， ∴∠AFE＝∠EFG∠AFG＝30°， ∵∠FGE＝90°， ∴∠FEG＝90°﹣∠EFG＝60°， ∴∠FEG＝∠AFE+∠EHC＝60°， 故⑤正确； 所以，上列结论，其中结论正确的②⑤， 故答案为：②⑤． 17．（2分）（2023春•包河区期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是　18°　 ． 解：设∠DEF＝α，则∠EFG＝α， ∵折叠9次后CF与GF重合， ∴∠CFE＝9∠EFG＝9α， 如图2，∵CF∥DE， ∴∠DEF+∠CFE＝180°， ∴α+9α＝180°， ∴α＝18°， 即∠DEF＝18°， 故答案为：18°． 18．（2分）（2024春•洪山区期末）如图，AB∥CD，∠ABM的角平分线BP交∠HCD的角平分线的反向延长线于点P，直线PB交CD于点N，若∠HCD﹣2∠BNC＝24°，则∠P+∠H＝　36　 °． 解：如图， 由题意可知，BP平分∠ABM，CQ平分∠HCD， ∴∠ABP＝∠MBP∠ABM，∠DCQ＝∠HCQ∠HCD，． ∵∠HCD﹣2∠BNC＝24°， ∴2∠DCQ﹣2∠BNC＝24°，即∠DCQ﹣∠BNC＝12°， ∵AB∥CD， ∴∠BNC＝∠ABP＝∠MBP∠ABM， ∵∠DCQ是△PCN的一个外角， ∴∠P＝∠DCQ﹣∠BNC＝12°； ∵∠MBP是△PBE的一个外角， ∴∠PEB＝∠HEC＝∠MBP﹣∠P＝∠BNC﹣12°； ∵∠HCQ是△HCE的一个外角， ∴∠H＝∠HCQ﹣∠HEC＝∠DCQ﹣（∠BNC﹣12°）＝∠DCQ﹣∠BNC+12°＝24°； ∴∠P+∠H＝36°． 故答案为：36°． 19．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　 度． 解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 20．（2分）（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝　150°　 ． 解：如图，设BF，DE交于点G， ∵AD∥BC， ∴∠ADC+∠BCD＝180°， ∵DE平分∠ADB，∠BCD＝∠BDC， ∴∠BDE∠ADB， ∴∠EDB+∠BDC（∠ADC+∠BCD）＝90°，即∠EDC＝90°， ∴∠FGD＝90°﹣∠F＝15°， ∴∠FGD＝∠EDB+∠FBD＝15°， ∵∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F， ∴∠ABD＝2∠FBD，∠ADB＝2∠EDB， ∴∠ABD+∠ADB＝2（∠FBD+∠EDB）＝30°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ADB）＝150°． 故答案为：150°． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． （1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 22．（6分）（2024春•临淄区期末）如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D． （1）求∠BPD的度数； （2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数； （3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 解：（1）∵PM∥AN， ∴∠A+∠APM＝180°， ∵∠A＝40°， ∴∠APM＝140°， ∵PB，PD分别平分∠APC和∠MPC， ∴∠BPC∠APC，∠DPC∠MPC， ∴∠BPD＝∠BPC+∠DPC（∠APC+∠MPC）140°＝70°； （2）∵PM∥AN， ∴∠PBA＝∠BPM， ∵∠PBA＝∠APD， ∴∠BPM＝∠APD， ∴∠APB＝∠MPD， 由（1）得：∠APM＝140°，∠BPD＝70°， ∴∠APB＝∠MPD70°＝35°； （3）存在，∠PCA＝2∠PDA，理由如下： ∵PM∥AN， ∴∠ACP＝∠CPM，∠PDA＝∠DPM， ∵PD平分∠MPC， ∴∠CPM＝2∠DPM， ∴∠PCA＝2∠PDA． 23．（8分）（2024秋•兴庆区校级期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 解：（1）∵EM平分∠AEF ∴∠AEM＝∠FEM， 又∵∠FEM＝∠FME， ∴∠AEM＝∠FME， ∴AB∥CD； （2）①如图2，∵AB∥CD，β＝50° ∴∠AEG＝130°， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF∠FEG，∠MEF∠AEF， ∴∠MEH∠AEG＝65°， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣65°＝25°， 即α＝25°； ②点G是射线MD上一动点，故分两种情况讨论： 如图2，当点G在点F的右侧时，α． 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝180°﹣β， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF∠FEG，∠MEF∠AEF， ∴∠MEH∠AEG（180°﹣β）， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH＝90°（180°﹣β）， 即α； 如图3，当点G在点F的左侧时，α＝90°． 证明：∵AB∥CD， ∴∠AEG＝∠EGF＝β， 又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF ∴∠HEF∠FEG，∠MEF∠AEF， ∴∠MEH＝∠MEF﹣∠HEF （∠AEF﹣∠FEG） ∠AEG β， 又∵HN⊥ME， ∴Rt△EHN中，∠EHN＝90°﹣∠MEH， 即α＝90°． 24．（8分）（2024春•昌邑区期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　∠BAM　 （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝　∠BAM　 （两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． （1）证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝∠BAM（角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝∠BAM（两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 故答案为：∠BAM，∠BAM． （2）证明：∵AM平分∠BAC， ∴∠CAM＝∠BAM． 又∠CAM＝∠CMA， ∴∠CMA＝∠BAM． ∴AB∥CD． ∴∠AEF＝∠EFD． 又∠AEF＝∠C， ∴∠EFD＝∠C． ∴EF∥AC． （3）解：由（2）EF∥AC，过M作MG∥AC， ∴EF∥MG． ∴∠GME＝∠FEM． 又MG∥AC， ∴∠CAM＝∠AMG． ∴∠CAM+∠FEM＝∠GME+∠AMG＝∠AME． ∵∠CAM＝3∠MEF＝57°， ∴∠MEF＝19°． ∴∠AME＝∠CAM+∠FEM＝57°+19°＝76°． 25．（8分）（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系：　∠BED＝∠B+∠D　 ； （2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数； （3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　25　 度． 解：（1）∵EF∥AB， ∴∠B＝∠1， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠D， ∵∠BED＝∠1+∠2， ∴∠BED＝∠B+∠D， 故答案为：∠BED＝∠B+∠D； （2）过点G作GH∥AB， 由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGH， ∵AB∥CD， ∴CH∥CD， 由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGH， ∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°， ∴∠BEG+∠GFD＝∠B+∠EGH+∠D+∠FGH ＝∠B+∠D+∠EGF ＝23°+35°+25° ＝83°， ∴∠BEG+∠GFD的度数为83°； （3）设AB与EF相交于点M， ∵∠B＝60°，∠F＝85°， ∴∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°， ∴∠AME＝∠BMF＝35°， 由（1）得：∠E＝∠AME+∠D， ∵∠E＝60°， ∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣35°＝25°， 故答案为：25． 26．（8分）（2024春•临沂期末）如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 解：（1）平行． 如图①，∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC∠BAE，∠EAF∠DAE， ∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF（∠BAE+∠DAE）∠DAB＝30°； （3）①如图3，当点E在C点左侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3； ②如图4，当点E在C点右侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． 27．（8分）（2024春•丰都县期末）学校七年级数学兴趣小组的同学在学完《第五章相交线与平行线》后，开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识．他们动手操作步骤如下： 首先，用四根小木棍摆放成图①的样子，其中AB∥CD，BC∥DE；然后，轻微移动调整原有的几根小木棍位置，并增加一根小木棍，摆放成图②的形状；最后，在图②的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去，得到图③的形状． 兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案： （1）在图①中，若∠B＝2∠C，求∠D的度数； （2）在图②中，若AB∥EF，那么∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF具有什么数量关系呢？探究并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图③，若∠ABC＝4∠CBG，∠CDE＝4∠CDG，设∠C＝α，∠E＝β，求∠G的度数（用含α，β的式子表示）． 解：（1）∵AB∥CD，BC∥DE， ∴∠B+∠C＝180°，∠C＝∠D， ∵∠B＝2∠C， ∴2∠C+∠C＝180°， ∴∠D＝∠C＝60°； （2）∠ABC+∠BCD＝∠DEF+∠EDC，理由如下： 如图，分别过点D，C作DM∥AB，CN∥AB， ∵AB∥EF， ∴DM∥AB∥CN∥EF， ∴∠ABC+∠BCN＝180°，∠DEF+∠EDM＝180°，∠CDM＝∠DCN， ∴∠CDM＝180°﹣（∠ABC+∠BCD），∠DCN＝180°﹣（∠DEF+∠EDC）， ∴180°﹣（∠ABC+∠BCD）＝180°﹣（∠DEF+∠EDC）， ∴∠ABC+∠BCD＝∠DEF+∠EDC； （3）∵∠C＝α，∠E＝β，∠ABC+∠BCD＝∠DEF+∠EDC， ∴∠ABC+α＝β+∠EDC， ∴∠ABC﹣∠CDE＝β﹣α， ∵∠ABC＝4∠CBG，∠CDE＝4∠CDG， ∴∠ABG∠ABC，∠EDG∠CDE， ∴∠ABG﹣∠EDG（∠ABC﹣∠CDE）（β﹣α）， 由（2）得：∠ABG+∠G＝∠EDG+∠E， ∴∠ABG﹣∠EDG＝∠E﹣∠G， ∴β﹣∠G（β﹣α）， ∴∠Gβα． 28．（8分）（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE． （1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝　26　 °，∠PFQ＝　135　 °． （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 解：（1）如图1， 延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H， 设∠BPE＝2α，则∠FPE∠BPE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠BPE＝2α， ∵PE⊥QE， ∴∠QEH＝QEG＝90°， ∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝90°+2α， ∴∠EQH∠EQC＝45°+α， ∵∠EQN＝64°， ∴∠EGQ＝26°， ∴∠BPE＝26°． 在△EQH和△PFH中， ∵∠HEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠HEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：90°+45°+α＝α+∠PFH， ∴∠PFH＝135°， 故答案为：26；135； （2）如图1，延长PE交CD于G，设PE，FQ交于点H， 设∠BPE＝2α，则∠FPE∠BPE＝α， ∵AB∥CD， ∴∠PGQ＝∠BPE＝2α， ∵∠GEQ＝180°﹣∠PEQ， ∴∠EQC＝∠QEG+∠PGQ＝180°﹣∠PEQ+2α， ∴∠HQE∠EQC＝90°+α∠PEQ， 在△EQH和△PFH中， ∵∠PEQ+∠HQE+∠EHQ＝180°，∠FPH+∠FHP+∠PFH＝180°，∠PHF＝∠EHQ， ∴∠PEQ+∠HQE＝∠FPH+∠PFH， 即：∠PEQ+90°+α∠PEQ＝α+∠PFQ ∴2∠PFQ﹣∠PEQ＝180°； （3）根据题意，需要分三种情况： 如图3（1），当M′N∥PH′时， 110﹣5t＝30+10t， ∴t， 如图3（2），当NM′∥F′H′时， 90﹣（180﹣10t﹣30）＝110﹣5t， ∴t， 如图3（3），当NM′∥PF′时， 110﹣5t＝10t﹣15， ∴t， 如图3（4），当M′N∥PH′时， 360﹣30﹣10t+110﹣5t＝180， ∴t， 如图3（5），当NM′∥F′H′时， 10t﹣180﹣15﹣45＝110﹣5t， ∴t（舍）， 如图3（6），当NM′∥PF′时， 30+8t﹣180＝110﹣5t， ∴t， 综上所述：t或或或或 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学七年级下学期期末复习专题讲练【2024●新教材】（易错题培优篇） 专题02 相交线与平行线 (思维导图+知识梳理+易错点拨+易错真题汇编培优卷） 同学你好，本套讲义结合最新版本课本内容设定制作，贴合书本内容。讲义包含：思维导图，知识点梳理，易错考点点拨，优选期末常考易错真题汇编卷等四大部分！（注：试题难度系数0-1，系数越小，难度越大）题目新颖，题量充沛，精选名校真题，模拟题等最新题目，汇编成百分卷，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优拔尖的同学使用，讲义可作为章节复习，期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 知识点梳理01：两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行. 【易错点剖析】 （1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点. （2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“∥”表示. 2.对顶角、补角、余角 （1）定义： ①由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角. ②如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．类似地，如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角．简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． （2）性质：同角或等角的余角相等．同角或等角的补角相等．对顶角相等． 3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．垂直用符号“⊥”表示，如下图． （2）垂线的性质： ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． ②垂线段最短． （3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 知识点梳理02：平行线的判定与性质 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点剖析】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【易错点剖析】 （1）两条平行线之间的距离处处相等. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 知识点梳理03：用尺规作线段和角 1.用尺规作线段 （1）用尺规作一条线段等于已知线段. （2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数. （3）用尺规作一条线段等于已知线段的和. （4）用尺规作一条线段等于已知线段的差. 2.用尺规作角 （1）用尺规作一个角等于已知角. （2）用尺规作一个角等于已知角的倍数. （3）用尺规作一个角等于已知角的和. （4）用尺规作一个角等于已知角的差. 易错知识点01：基本概念混淆 1. 对顶角与邻补角识别错误 对顶角：两条直线相交形成的两个角，必须满足“顶点相同，两边互为反向延长线”。但学生常将相邻的角误认为对顶角，例如在复杂图形中忽略反向延长线的条件 邻补角：相邻且和为180°的角，但可能误将非相邻的补角视为邻补角（如两条直线相交时，对角线的两个角虽互补但不是邻补角） 2. 平行线与相交线定义混淆 平行线：“同一平面内永不相交”是核心条件，但学生可能忽略“同一平面”导致错误（如立体几何中不相交的直线未必平行） 垂线：认为垂直必须形成90°角即可，但需明确垂线是相交的特殊情况，且交点称为垂足 易错知识点02：角度关系与位置判断错误 1. 余角、补角的条件混淆 余角需和为90°，补角需和为180°，但学生可能将互补的角误认为余角，或忽略“同角或等角”的前提（如认为任意两个和为90°的角都是余角） 应用错误：例如已知∠A与∠B互余，求∠A的补角时，可能直接写为180°-∠A，而忽略需结合具体图形关系 2. 同位角、内错角、同旁内角的位置误判 同位角：需满足“F型”结构，但在复杂图形中可能误判非同位角（如将不同截线形成的角视为同位角） 内错角：需满足“Z型”结构，学生可能将同旁内角（“C型”）误认为内错角 同旁内角：需和为180°，但可能误将互补的非同旁内角代入计算 易错知识点03：平行线性质与判定混淆 1. 性质与判定颠倒使用 平行线性质：已知平行，推导角的关系（如同位角相等）。学生可能在未证明平行时直接使用性质，导致逻辑错误 平行线判定：需通过角的关系（如内错角相等）证明平行，但可能误用性质反向推导（如用“同位角相等”直接作为判定条件时未确认两直线被同一条直线所截） 2. 垂线段最短的应用错误 例如求最短路径时，学生可能误将斜线段长度当作垂线段处理，或未明确“点到直线的距离”是垂线段的长度而非线段本身 实际应用题：如“在河岸建水站到村庄的最短管道”，需转化为垂线段，但可能错误选择斜线或其他路径 易错知识点04：几何推理中的典型疏漏 1. 条件缺失的跳跃性推理 例如证明平行时，直接写“同位角相等”而未说明两直线被第三条直线所截，或未标注截线的位置。 步骤跳跃：如从“∠1=∠2”直接推出“a∥b”，忽略需明确“∠1和∠2是同位角”的条件。 2. 忽略隐藏条件 角的非负性：如在动态几何问题中，未验证角度或线段长度是否为合理值（如时间为负数或角度超过180°） 零角或平角误用：例如误认为平角（180°）的两边是反向延长线，因此属于对顶角 试题满分：100分 难度系数：0.40（难度较大） 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024春•随县期末）下列说法中不正确的个数为（　　） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2分）（2024春•平南县期末）如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠DGH＝37°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2分）（2023秋•建邺区校级期末）如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　） A． B． C． D． 4．（2分）（2024春•淮滨县期末）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 5．（2分）（2024春•武昌区期末）如图，AB∥CD，ME平分∠AMF，NF平分∠CNE．若∠E+54°＝2∠F，则∠AMF的度数是（　　） A．32° B．36° C．40° D．44° 6．（2分）（2024春•昆明期末）如图，街道AB与CD平行，拐角∠ABC＝137°，则拐角∠BCD＝（　　） A．43° B．53° C．107° D．137° 7．（2分）（2023春•定兴县期末）如图，下列条件：①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．（2分）（2023春•开封期末）数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（　　） A．38° B．40° C．48° D．52° 9．（2分）（2024春•上城区期末）如图，已知AB∥CD，CG交AB于点G，且∠C＝α，GE平分∠BGC，点H是CD上的一个定点，点P是GE所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，∠GPH与∠PHC的关系不可能是（　　） A．∠GPH﹣∠PHCα B．∠GPH+∠PHCα C．∠GPH+∠PHCα＝180° D．∠PHC+∠GPHα＝360° 10．（2分）（2024春•思明区校级期末）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　） A．2α B． C． D．90°﹣α 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•江都区期末）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝54°，则∠2的大小是 　 　 ． 12．（2分）（2024春•陇县期末）如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　 　 °． 13．（2分）（2020春•天山区校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　 ． 14．（2分）（2024春•黄石期末）如图，AB∥CD，∠ABG的平分线BE和∠GCD的平分线CF的反向延长线交于点E，且3∠E﹣5∠G＝172°，则∠G＝　 　 度． 15．（2分）（2024春•九江期末）如图，AB⊥BC，BP平分∠ABC，∠PED＝55°，∠DEF＝60°，将∠DEF以每秒10°的速度绕着点E顺时针旋转，旋转到ED边落到射线EB上停止，若∠DEF的边与AB或BC平行时，则旋转的时间可以是 　 　 秒． 16．（2分）（2024春•天山区校级期末）如图，AB∥CD，点F，H分别在AB，CD上，FD∥HE，FG⊥HE于点G，连结FE，且FE恰好平分∠AFG，∠AFG＝2∠D，则下列结论：①∠D＝40°；②∠EHC+2∠D＝90°；③∠HFD＝∠DFB；④FH平分∠GFD；⑤∠AFE+∠CHE＝∠FEH，其中结论正确的为 　 　 ．（请填写所有正确结论的序号） 17．（2分）（2023春•包河区期末）如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），继续沿EF折叠成图（4），按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是　 　 ． 18．（2分）（2024春•洪山区期末）如图，AB∥CD，∠ABM的角平分线BP交∠HCD的角平分线的反向延长线于点P，直线PB交CD于点N，若∠HCD﹣2∠BNC＝24°，则∠P+∠H＝　 　 °． 19．（2分）（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 度． 20．（2分）（2024春•武汉期末）如图，∠BCD＝∠BDC，AD∥BC，∠ADB的平分线交AB于点E，∠ABD的平分线与CD延长线交于点F，∠F＝75°，则∠A＝　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•阳谷县期末）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 22．（6分）（2024春•临淄区期末）如图，已知PM∥AN，且∠A＝40°，点C是射线AN上一动点（不与点A重合），PB，PD分别平分∠APC和∠MPC，交射线AN于点B，D． （1）求∠BPD的度数； （2）当点C运动到使∠PBA＝∠APD时，求∠APB的度数； （3）在点C运动过程中，∠PCA与∠PDA之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出它们之间的数量关系，并说明理由；若不存在，请举出反例． 23．（8分）（2024秋•兴庆区校级期末）如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分∠AEF交CD于点M，且∠FEM＝∠FME． （1）判断直线AB与直线CD是否平行，并说明理由； （2）如图2，点G是射线MD上一动点（不与点M，F重合），EH平分∠FEG交CD于点H，过点H作HN⊥EM于点N，设∠EHN＝α，∠EGF＝β． ①当点G在点F的右侧时，若β＝50°，求α的度数； ②当点G在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 24．（8分）（2024春•昌邑区期末）【感知】如图①，若AB∥CD，AM平分∠BAC，求证：∠CAM＝∠CMA． 请将下列证明过程补充完整： 证明：∵AM平分∠BAC，（已知）， ∴∠CAM＝　 　 （角平分线的定义）． ∵AB∥CD（已知）， ∴∠CMA＝　 　 （两直线平行，内错角相等）． ∴∠CAM＝∠CMA（等量代换）． 【探索】如图②，AM平分∠BAC，∠CAM＝∠CMA，点E在射线AB上，点F在线段CM上，若∠AEF＝∠C，求证：EF∥AC． 【拓展】如图③，将【探索】中的点F移动到线段CM的延长线上，其他条件不变，若∠CAM＝3∠MEF＝57°，请直接写出∠AME的度数． 25．（8分）（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线AB∥CD，过点E作EF∥AB．请直接写出∠B，∠D，∠BED之间的数量关系：　 　 ； （2）应用与拓展：如图②，直线AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）问中的结论，求∠BEG+∠GFD的度数； （3）方法与实践：如图③，直线AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，则∠D＝　 　 度． 26．（8分）（2024春•临沂期末）如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 27．（8分）（2024春•丰都县期末）学校七年级数学兴趣小组的同学在学完《第五章相交线与平行线》后，开展了一次数学探究活动，他们用摆放小木棍的方式，进一步探索平行线中的有关角的知识．他们动手操作步骤如下： 首先，用四根小木棍摆放成图①的样子，其中AB∥CD，BC∥DE；然后，轻微移动调整原有的几根小木棍位置，并增加一根小木棍，摆放成图②的形状；最后，在图②的基础上，再增加两根小木棍，摆放上去，得到图③的形状． 兴趣小组的同学提出了下列问题，希望通过探究得到答案： （1）在图①中，若∠B＝2∠C，求∠D的度数； （2）在图②中，若AB∥EF，那么∠ABC，∠BCD，∠CDE，∠DEF具有什么数量关系呢？探究并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图③，若∠ABC＝4∠CBG，∠CDE＝4∠CDG，设∠C＝α，∠E＝β，求∠G的度数（用含α，β的式子表示）． 28．（8分）（2022春•婺城区期末）如图，已知AB∥CD，直线MN交AB于点M，交CD于点N．点E是线段MN上一点，P，Q分别在射线MA，NC上，连接PE，QE，PF平分∠MPE，QF平分∠CQE． （1）如图1，若PE⊥QE，∠EQN＝64°，则∠MPE＝　 　 °，∠PFQ＝　 　 °． （2）如图2，求∠PEQ与∠PFQ之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当PE⊥QE时，若∠APE＝150°，∠MND＝110°，过点P作PH⊥QF交QF的延长线于点H．将直线MN绕点N顺时针旋转，速度为每秒5°，直线MN旋转后的对应直线为M′N，同时△FPH绕点P逆时针旋转，速度为每秒10°，△FPH旋转后的对应三角形为△F′PH′，当直线MN首次落到CD上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过t秒后，直线M′N恰好平行于△F′PH′的一条边，请直接写出所有满足条件的t的值． 第 1 页 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