数学（江苏苏州卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列计算结果相等的为（　　） A．23和32 B．﹣23和|﹣2|3 C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣1）2和（﹣1）4 2．已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（　　） A． B． C． D． 3．如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为 (     ) A．m ＞6 B． m <6 C．m＞6且m≠4 D．m < 6且 m≠ 4 6．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 7．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（   ） A．45，40 B．38，39 C．38，38 D．45，38 8．已知△和△都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．比较大小： 4（填“＞”、“＜”或“=”） 10．如果分式的值为0，则= 11．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 ． 12．圆锥形礼帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 ． 13．平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ． 14．如图，点A（1，b）在反比例函数的图象上，点B的坐标为（3，3），连结AB．以点B为旋转中心，将线段AB顺时针旋转900，得到线段BA′,延长BA′至C，使得BC=3BA′.以线段AB所在直线为对称轴，将C对称得到C′，若C′也在该反比例函数图象上，则 . 15．如图，在梯形中，．点为中点，连接．以为直角边、点为直角顶点向右构造等腰，连接交于点．若，则的长为 ．    16．在矩形中，，，点E在的延长线上，且，连接，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到点D后就停止运动，设点P的运动时间为t秒．当时，则 ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 18．（本题满分5分）解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 20．（本题满分6分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 21．（本题满分6分）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 22．（本题满分8分）为了解我市“初中男女生最爱看的一类电视节目”，随机调查了各类学枚，总计450名初中生，其中男生a人，女生b人，并将调查结果绘制成两幅统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求a，b的值； (2)求扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比； (3)若我市有7.2万名初中生，请你用此样本估计我市最爱看“综艺节目”的初中生共约多少人？ 23．（本题满分8分）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 (1)表中的________，________； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.01）； (3)若袋中有红球30个，请估计袋中白球的个数． 24．（本题满分8分）如图①是长春新地标一一摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图②是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，切点为G．测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin67°＝0.92，cos67°0.39，tan67°＝2.36】 25．（本题满分10分）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，的半径为，求的长． 26．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD． (1)求抛物线解析式； (2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标． (3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形 27．（本题满分10分）在中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点．与线段（或的延长线）相交于点． （1）如图1，若，垂足为，，求的长； （2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：； （3）如图3，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若，求证：． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列计算结果相等的为（　　） A．23和32 B．﹣23和|﹣2|3 C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣1）2和（﹣1）4 【答案】D 【分析】根据有理数的乘方、绝对值解决此题． 【详解】解：A．根据有理数的乘方，得23＝8，32＝9，那么23≠32，故A不符合题意． B．根据有理数的乘方以及绝对值，得﹣23＝﹣8，|﹣2|3＝23＝8，那么﹣23≠|﹣2|3，故B不符合题意． C．根据有理数的乘方，得﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，那么﹣32≠（﹣3）2，故C不符合题意． D．根据有理数的乘方，得（﹣1）2＝1，（﹣1）4＝1，那么（﹣1）2＝（﹣1）4，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数的乘方、绝对值，熟练掌握有理数的乘方、绝对值是解决本题的关键． 2．已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：它工作时的运算次数为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则时解决本题的关键． 3．如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三视图，解题的关键是掌握从上面看到的图形是俯视图． 【详解】解：根据题意可得： 这个几何体可能是 “”， 故选：A． 4．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、不是同类项不能合并，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选D． 【点睛】此题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 5．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为 (     ) A．m ＞6 B． m <6 C．m＞6且m≠4 D．m < 6且 m≠ 4 【答案】C 【分析】先求出方程的解，再根据解为正数列出不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：＝3 去分母得，2x+m=3x6， 移项合并得，x=m+6， ∵x＞0， ∴m+6＞0， ∴m＞6， ∵x2≠0， ∴x≠2， ∴m+6≠2， ∴m≠4， ∴m的取值范围为m＞6且m≠4， 故选C． 【点睛】考查了分式方程的解，掌握解分式方程的步骤（去分母、去括号、称项、合并同类项、化系数为1和验根）是解题的关键． 6．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 7．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（   ） A．45，40 B．38，39 C．38，38 D．45，38 【答案】B 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据． 【详解】解：这组数据从小到大排列此数据为：37、38、38、40、41、45，数据38出现了两次最多为众数，38和40处在第三位和第四位，他们的平均数为39，所以39为中位数． 所以这组数据的众数是38，中位数是39． 故选：B． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，注意众数可以不止一个． 8．已知△和△都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点A以AE长为半径作圆，可知当AF最大与最小时，E点与AB共线，由此可得出AF的范围 本题解析：根据旋转的特性，画出E点旋转一圈的轨迹，如图: 结合图形可知： ①当E落在E′位置时，AF最大， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90∘,AC=2，AD=1， ∴AB==4,  AE=AE＇==,  BE＇=AB−AE′=4−， ∵F是BE′的中点， ∴BF=BE′=,   AF=AB−BF=4− =； ②当E落在E″位置时，AF最小， ∵BE″=AB+AE″=4+，且F是BE″的中点， ∴BF=BE″=， AF=AB−BF=4−=. 综合①②可知： ⩽AF⩽ 故选A. 考点：旋转的性质 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．比较大小： 4（填“＞”、“＜”或“=”） 【答案】＜ 【详解】试题解析：∵2＜＜3， ∴3＜＜4， 故填＜. 10．如果分式的值为0，则 = 【答案】 【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，即可求得． 【详解】根据分式的值为零的条件： 则： 解得： 故答案为 【点睛】考查分式值为0的条件，熟练掌握分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0是解题的关键. 11．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 ． 【答案】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得：    所有等可能的情况有12种，它们恰好同色的有4种情况， 所以从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图． 12．圆锥形礼帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 ． 【答案】270πcm2 【详解】圆锥形礼帽的侧面积=π×9×30=270πcm2． 故答案为270πcm2． 13．平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出点，则，又，则求出或，然后分别代入求出的值即可． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，点， ∴或， ∵点在直线图象上， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 14．如图，点A（1，b）在反比例函数的图象上，点B的坐标为（3，3），连结AB．以点B为旋转中心，将线段AB顺时针旋转900，得到线段BA′,延长BA′至C，使得BC=3BA′.以线段AB所在直线为对称轴，将C对称得到C′，若C′也在该反比例函数图象上，则 . 【答案】 【详解】分析：求出点的坐标和点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解． 详解：作出如图所示的辅助线， 容易证明 相似比为： 则： 求得点的坐标为： 则的坐标为： 根据点，点都在反比例函数的图象上，则 解得： 故答案为 点睛：考查相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性比较强,难度较大. 15．如图，在梯形中，．点为中点，连接．以为直角边、点为直角顶点向右构造等腰，连接交于点．若，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；连接，过作交的延长线于点，连接，证明，进而可得，根据题意可得过作于，过作于，可得，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 如图，连接，过作交的延长线于点，连接． ∵，， ∴ ∵ ∴ 又∵则 ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中，    ∵ ∴， ∴ 分别为中点， 为中位线， ∴ 过作于，过作于，则四边形是矩形，    又∵ ∴四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴ ∵ ． ∴ 即， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又 ∴ 根据比例关系列方程可得， 故答案为：． 16．在矩形中，，，点E在的延长线上，且，连接，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到点D后就停止运动，设点P的运动时间为t秒．当时，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，过点O作于点G，连接，根据矩形的性质求出，求出，则，分点P在上和点P在上两种情况讨论即可． 【详解】解：过点O作于点G，连接， 四边形是矩形，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 则时， 当点P在上时，， ， 解得：； 当点P在上时，如图， 则，， ， 解得：； 综上，当时，则或， 故答案为：或． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，利用绝对值、特殊角的三角函数值、乘方的定义、立方根的定义分别运算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 18．（本题满分5分）解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 【答案】1＜x≤4；数轴表示见解析；整数解有2，3，4 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤4， 所以不等式组的解集为：1＜x≤4. 在数轴上表示为： ． ∴不等式组的整数解有2，3，4. 【点睛】本题考查了不等式的解集，正确理解数轴上不等式解集的意义是解题的关键． 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 【答案】，或 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取是分式有意义的a的值代入计算可得． 【详解】解： ∵且且， ∴当时， 则原式． 当a=-3时， 则原式 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件． 20．（本题满分6分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 【答案】(1)图见解析，，， (2) 【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中，； （2）解：，， 弧的长度．    【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 21．（本题满分6分）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ． 22．（本题满分8分）为了解我市“初中男女生最爱看的一类电视节目”，随机调查了各类学枚，总计450名初中生，其中男生a人，女生b人，并将调查结果绘制成两幅统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求a，b的值； (2)求扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比； (3)若我市有7.2万名初中生，请你用此样本估计我市最爱看“综艺节目”的初中生共约多少人？ 【答案】(1)，； (2)； (3)我市最爱看“综艺节目”的初中生共约人. 【分析】（1）由两个统计图可知，男生喜欢“少儿节目”的有55人，占调查男生人数的22%，可求出男生人数a的值，进而求出女生人数b的值； （2）通过条形统计图可知男生喜欢“新闻节目”的人数为25人，即可求解； （3）先求出男生喜欢“综艺节目”的人数，从而求得喜欢综艺节目所占的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：由两个统计图可知，男生喜欢“少儿节目”的有55人，占调查男生人数的22%， 则， 答：，； （2） 答：扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比为； （3）男生喜欢“综艺节目”的人数为（人） 男女生喜欢“综艺节目”的人数为（人），占调查总人数的 （人） 答：我市最爱看“综艺节目”的初中生共约人. 【点睛】本题考查了扇形统计图、条形统计图的意义，理解统计图中各个数据的意义，掌握统计图中各个数量之间的关系是解题的关键． 23．（本题满分8分）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 (1)表中的________，________； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.01）； (3)若袋中有红球30个，请估计袋中白球的个数． 【答案】(1)298；0.601 (2)0.60 (3)估计袋中白球的个数45个 【分析】本题考查了利用频率估计概率： （1）根据摸到白球的个数等于摸球个数乘以摸到白球的频率，摸到白球的频率等于摸到白球的个数除以摸球个数计算即可； （2）根据频率估计概率计算； （3）由概率的估计值可计算白球的个数． 【详解】（1）解：，， 故答案为：298；0.601； （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60． （3）解：摸到白球的概率的估计值是0.60， 摸到红球的概率的估计值是0.40， 袋中有红球30个， 球的个数共有：（个）， 袋中白球的个数为（个）． 24．（本题满分8分）如图①是长春新地标一一摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图②是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，切点为G．测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin67°＝0.92，cos67°0.39，tan67°＝2.36】 【答案】摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米． 【分析】如图，连结OG．由切线的性质得垂直，再由等腰三角形的三线合一性质，得G为EF中点，从而在Rt△OGF中用三角函数解出OG，再乘2，加上楼顶距地面的距离即可． 【详解】解：如图，连结OG， ∵∠OEF=∠OFE， ∴OE=OF， ∵⊙O与AD相切于点G， ∴OG⊥EF， ∴∠OGF=90°，FG=EG=EF=×27.54=13.77（米）， 在Rt△OGF中，∠OGF=90°，tan∠OFE=， ∴OG=FG•tan∠OFG=13.77×2.36≈32.50（米）， ∴32.50×2+34=99.0（米）， 答：摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米． 【点睛】本题属于解直角三角形的应用，同时题目还考查了圆的切线的性质、等腰三角形的三线合一性质等相关知识点．本题难度中等． 25．（本题满分10分）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明是的切线．根据是的切线，可得，进而证明，等量代换可得，即可得证； （2）根据，可得四边形是正方形，则是等腰直角三角形．勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． 为的直径， ． ， 是的切线． 是的切线， ， ． ，， ， ， ， 点是的中点．    （2）解：若，由()得，四边形是正方形， 是等腰直角三角形． 半径为， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理，勾股定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD． (1)求抛物线解析式； (2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标． (3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形 【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)面积的最大值为，P（，）． (3)N（）或N（） 【分析】（1）先确定点C的坐标，利用待定系数法可求函数的解析式； （2）利用转化的思想，将四边形DPAE的面积用三角形APE的面积表示，设出点P的坐标，用m的代数式表示三角形APE的面积，利用二次函数的性质可得面积的最大值，并得到m的取值，P点坐标可得； （3）首先求出平移后的抛物线的解析式，得到抛物线的对称轴为直线x=3；然后分类讨论解答：①当四边形DPNM为矩形时，过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥y轴于H，则DK，KP可求，利用△DKP≌△MHN求得NH，MH的长；通过求得DM的解析式，得到线段MG，HG的长度，从而点N的坐标可求；②当四边形DPNM为矩形时，同①的方法可得N点坐标． 【详解】（1）解：∵点A（3，0），B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1． ∵OC＝4OB， ∴OC＝3． ∴C（0，6）． 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得： 解得：． ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）． 过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图， ∵DE∥PF， ∴S△DPF=S△EPF． ∴S四边形DPAF=S△APF+S△DPF=S△APF+S△EPF=S△APE． 设点P（m，-m2+2m+3）， 则ON=m，PN=-m2+2m+3．设直线AC的解析式为y=kx+n， ∴． 解得：． ∴直线AC的解析式为：y=-x+3． 设直线OD的解析式为：y=dx， ∴d=4． ∴直线OD的解析式为：y=4x． ∴． 解得：． ∴E（，）． ∴OM=，ME=． ∴MN=，NA=3-m． ∵S△APE=S四边形EMPN+S△ANP-S△AME， ∴S△APE= (PN+EM)×MN+AN•PN−AM•ME = (−m2+2m+3+)×(m−)+ (3−m)×(−m2+2m+3)×(3−)× = =． ∵， ∴当m=时，S△APE有最大值． ∴四边形DPAF面积的最大值为． 此时点P的坐标为：（，）． （3）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4， ∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4，对称轴为x=3． ①当四边形DPNM为矩形时，如图， 过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H， 则DK=DE-PF==，KP=OF-OE==． 易证△DKP≌△MHN． ∴NH=KP=，MH=DK=． 设DP的解析式为y=ex+f， ∴． 解得：． ∴y=． ∴设直线DM的解析式为y=2x+n， ∴4=1×2+n． ∴n=2． ∴直线DM的解析式为y=2x+2． 当x=3时，y=2×3+2=8． ∴MG=8， ∴HG=MGMH=． ∴N（，）． ②当四边形DPNM为矩形时，如图， 过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H， 则DK=DE-PF=，KP=OF-OE=． 易证△DKP≌△MHN． ∴NH=KP=，MH=DK=． 则DP的解析式为． ∴设直线PM的解析式为y=2x+h， ∴． ∴h=． ∴直线PM的解析式为y=2x+． ∴当x=3时，y=2×3+=． ∴MG=． ∴GH=MG+MH=7． ∴N（，7）． 综上，N点的坐标为：（，）或（，7）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的性质，二次函数的最大值，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，利用点的坐标表示相应线段的长度，综合性较强．过平面内的点作坐标轴的垂线，便于用坐标表示线段的长度． 27．（本题满分10分）在中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点．与线段（或的延长线）相交于点． （1）如图1，若，垂足为，，求的长； （2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：； （3）如图3，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）如图1，易求得∠B=60°，∠BED=90°，，再证明 从而可得BE的值； （2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM，再连接 证明即可得到结论； （3）过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， 再结合 可得结合 从而可得结论. 【详解】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4． ∵点D是线段BC的中点， ∴BD=DC=BC=， ∵DF⊥AC，即∠AFD=90°， ∴∠AED=360°-60°-90°-120°=90°， ∴∠BED=90°， ∴； （2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2， 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°． ∵ ∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°． ∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中， ， ∴△MBD≌△NCD， ∴BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中， ， ∴△EMD≌△FND， ∴EM=FN， ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM 连接 由（1）得： （3）过点D作DM⊥AB于M，如图3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60°． 同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN． ∵DN=FN， ∴DM=DN=FN=EM， ∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， 为等边三角形， 同理： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，旋转的性质，含的正三角形的性质，勾股定理的应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键. 试卷第24页，共28页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列计算结果相等的为（　　） A．23和32 B．﹣23和|﹣2|3 C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣1）2和（﹣1）4 2．已知一种计算机每秒可做次运算，则它工作秒可运算的次数为（　　） A． B． C． D． 3．如图是一个几何体的俯视图，这个几何体可能是（    ） A． B． C． D． 4．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围为 (     ) A．m ＞6 B． m <6 C．m＞6且m≠4 D．m < 6且 m≠ 4 6．如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 7．某班6名同学在一次“1分钟仰卧起坐”测试中，成绩分别为（单位：次）：38，45，41，37，40，38.这组数据的众数、中位数分别是（   ） A．45，40 B．38，39 C．38，38 D．45，38 8．已知△和△都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．比较大小： 4（填“＞”、“＜”或“=”） 10．如果分式的值为0，则= 11．一双红色袜子和一双白色袜子，除颜色外无其他差别，随机从这四只袜子中一次抽取两只袜子，颜色相同的概率是 ． 12．圆锥形礼帽的底面半径为9cm，母线长为30cm，则这个圆锥形礼帽的侧面积为 ． 13．平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，点在轴上，若，则的值为 ． 14．如图，点A（1，b）在反比例函数的图象上，点B的坐标为（3，3），连结AB．以点B为旋转中心，将线段AB顺时针旋转900，得到线段BA′,延长BA′至C，使得BC=3BA′.以线段AB所在直线为对称轴，将C对称得到C′，若C′也在该反比例函数图象上，则 . 15．如图，在梯形中，．点为中点，连接．以为直角边、点为直角顶点向右构造等腰，连接交于点．若，则的长为 ．    16．在矩形中，，，点E在的延长线上，且，连接，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到点D后就停止运动，设点P的运动时间为t秒．当时，则 ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）计算：． 18．（本题满分5分）解不等式组，把其解集在数轴上表示出来，并写出它的整数解． 19．（本题满分6分）先化简，再求值：，并从，0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值． 20．（本题满分6分）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中：    (1)画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； (2)计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 21．（本题满分6分）如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：． 22．（本题满分8分）为了解我市“初中男女生最爱看的一类电视节目”，随机调查了各类学枚，总计450名初中生，其中男生a人，女生b人，并将调查结果绘制成两幅统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求a，b的值； (2)求扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比； (3)若我市有7.2万名初中生，请你用此样本估计我市最爱看“综艺节目”的初中生共约多少人？ 23．（本题满分8分）某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有若干个红球和白球，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 (1)表中的________，________； (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是________（精确到0.01）； (3)若袋中有红球30个，请估计袋中白球的个数． 24．（本题满分8分）如图①是长春新地标一一摩天活力城楼顶上的摩天轮，被誉为“长春眼”，如图②是其正面的平面图．已知摩天活力城楼顶AD距地面BC为34米，摩天轮⊙O与楼顶AD近似相切，切点为G．测得∠OEF＝∠OFE＝67°，EF＝27.54米，求摩天轮的最高点到地面BC的距离．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin67°＝0.92，cos67°0.39，tan67°＝2.36】 25．（本题满分10分）如图，点是以为直径的外一点，点是上一点，是的切线，，连接并延长交的延长线于点．    (1)求证：点是的中点； (2)若，的半径为，求的长． 26．（本题满分10分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于C点，且OC＝3OB，连接OD． (1)求抛物线解析式； (2)P点为抛物线上AD部分上一动点，过P点作PF∥DE交AC于F点，求四边形DPAF面积的最大值及此时P点坐标． (3)在（2）问的情况下，把抛物线向右平移两个单位长度，在平面内找一个点N，使以D、P、M、N为顶点的四边形为矩形 27．（本题满分10分）在中，，，点是线段的中点，，与线段相交于点．与线段（或的延长线）相交于点． （1）如图1，若，垂足为，，求的长； （2）如图2，将（1）中的绕点顺时针旋转一定的角度，仍与线段相交于点．求证：； （3）如图3，将（2）中的继续绕点顺时针旋转一定的角度，使与线段的延长线相交于点，作于点，若，求证：． 答案第6页，共7页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年中考第二次模拟考试（苏州卷） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [ ／ ] 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2 ．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二 、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9 ． ______________ 10 ． ______________ 11 ． ______________ 12 ． ______________ 13 ． ______________ 14 ． ______________ 15 ． ______________ 16 ． ______________ 三 、解答题： 本题共 11 小题，共 82 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17 ． （ 本题满分 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19. （本题满分 6 分） ) ( 18 ． （ 本题满分 5 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ． （ 本题满分 6 分） 21 ． （ 本题满分 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ． （ 本题满分 8 分） 23 ． （ 本题满分 8 分） 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 表中的 ________ ， ________ ； (2) 当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是 ________ （精确到 0.01 ）； ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( ) ( 24 ． （ 本题满分 8 分） 【参考数据： sin67° ＝ 0.92 ， cos67°0.39 ， tan67° ＝ 2.36 】 25 ． （ 本题满分 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26 ． （ 本题满分 10 分） 27 ． （ 本题满分 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（苏州卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．本试卷共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符； 3．答选择题必须用2B笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色，墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 4．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 第Ⅰ卷 1、 单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A D C C B A 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9．＜ 10． 11． 12．270πcm2 13．或 14． 15． 16．或 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分5分）【详解】解：原式 ，（3分） ．（5分） 18． （本题满分5分）【详解】解：， 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤4， 所以不等式组的解集为：1＜x≤4. 在数轴上表示为： ． ∴不等式组的整数解有2，3，4. 19．（本题满分6分），或 【详解】解： （4分） ∵且且，（5分） ∴当时， 则原式． 当a=-3时， 则原式（6分） 20． （本题满分6分） 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，其中，；（3分） （2）解：，， 弧的长度．（3分）    21． （本题满分6分）【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 又， ， 在和中， ， ，（5分） ．（6分） 22．（本题满分8分） 【详解】（1）解：由两个统计图可知，男生喜欢“少儿节目”的有55人，占调查男生人数的22%， 则， 答：，；（2分） （2） 答：扇形统计图中“新闻节目”所占的百分比为；（4分） （3）男生喜欢“综艺节目”的人数为（人） 男女生喜欢“综艺节目”的人数为（人），占调查总人数的 （人）（6分） 答：我市最爱看“综艺节目”的初中生共约人. 23．（本题满分8分）【详解】（1）解：a=500×0.596=298，b=1202÷2000=0.601， 故答案为：298；0.601；（2分） （2）解：当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是：0.60； 故答案为：0.60．（4分） （3）解：∵摸到白球的概率的估计值是0.60， ∴摸到红球的概率的估计值是0.40， ∵袋中有红球30个， ∴球的个数共有：30÷0.40=75（个）， ∴袋中白球的个数为75-30=45（个）．（8分） 24. （本题满分8分）【详解】解：如图，连结OG， ∵∠OEF=∠OFE， ∴OE=OF， ∵⊙O与AD相切于点G， ∴OG⊥EF， ∴∠OGF=90°，FG=EG=EF=×27.54=13.77（米），（4分） 在Rt△OGF中，∠OGF=90°，tan∠OFE=， ∴OG=FG•tan∠OFG=13.77×2.36≈32.50（米）， ∴32.50×2+34=99.0（米），（8分） 答：摩天轮的最高点到地面BC的距离约为99.0米． 25．（本题满分10分）【详解】（1）证明：连接． 为的直径， ． ， 是的切线． 是的切线， ， ． ，， ， ， ， 点是的中点．（5分）    （2）解：若，由()得，四边形是正方形， 是等腰直角三角形． 半径为， ， ， ．（10分） 26． （本题满分10分）【详解】（1）解：∵点A（3，0），B（﹣1，0）， ∴OA＝3，OB＝1． ∵OC＝4OB， ∴OC＝3． ∴C（0，6）．（1分） 设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意得： 解得：． ∴抛物线的解析式为：．（2分） （2）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）． 过点E作EM⊥OA于M，过点P作PN⊥OA于N，连接EP，如图， ∵DE∥PF， ∴S△DPF=S△EPF． ∴S四边形DPAF=S△APF+S△DPF=S△APF+S△EPF=S△APE． 设点P（m，-m2+2m+3）， 则ON=m，PN=-m2+2m+3．设直线AC的解析式为y=kx+n， ∴． 解得：． ∴直线AC的解析式为：y=-x+3． 设直线OD的解析式为：y=dx， ∴d=4． ∴直线OD的解析式为：y=4x． ∴． 解得：． ∴E（，）．（4分） ∴OM=，ME=． ∴MN=，NA=3-m． ∵S△APE=S四边形EMPN+S△ANP-S△AME， ∴S△APE=(PN+EM)×MN+AN•PN−AM•ME =(−m2+2m+3+)×(m−)+(3−m)×(−m2+2m+3)×(3−)× = =．（5分） ∵， ∴当m=时，S△APE有最大值． ∴四边形DPAF面积的最大值为． 此时点P的坐标为：（，）．（6分） （3）解：∵y=-x2+2x=3=-（x-1）2+4， ∴平移后的抛物线的解析式为y=-（x-3）2+4，对称轴为x=3． ①当四边形DPNM为矩形时，如图， 过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H， 则DK=DE-PF==，KP=OF-OE==． 易证△DKP≌△MHN． ∴NH=KP=，MH=DK=． 设DP的解析式为y=ex+f， ∴． 解得：． ∴y=． ∴设直线DM的解析式为y=2x+n， ∴4=1×2+n． ∴n=2． ∴直线DM的解析式为y=2x+2． 当x=3时，y=2×3+2=8． ∴MG=8， ∴HG=MGMH=． ∴N（，）．（8分） ②当四边形DPNM为矩形时，如图， 过D作DE⊥x轴于E，过P作PF⊥x轴于F，PK⊥DE于K，过N作NH⊥MG于H， 则DK=DE-PF=，KP=OF-OE=． 易证△DKP≌△MHN． ∴NH=KP=，MH=DK=． 则DP的解析式为． ∴设直线PM的解析式为y=2x+h， ∴． ∴h=． ∴直线PM的解析式为y=2x+． ∴当x=3时，y=2×3+=． ∴MG=． ∴GH=MG+MH=7． ∴N（，7）．（10分） 综上，N点的坐标为：（，）或（，7）． 26．（本题满分10分）【详解】解：（1）如图1，∵AB=AC，∠A=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4． ∵点D是线段BC的中点， ∴BD=DC=BC=， ∵DF⊥AC，即∠AFD=90°， ∴∠AED=360°-60°-90°-120°=90°， ∴∠BED=90°， ∴； （2分） （2）过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图2， 则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°． ∵ ∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°． ∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF． 在△MBD和△NCD中， ， ∴△MBD≌△NCD， ∴BM=CN，DM=DN． 在△EMD和△FND中， ， ∴△EMD≌△FND， ∴EM=FN， （4分） ∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN =2BM 连接 由（1）得： （6分） （3）过点D作DM⊥AB于M，如图3． 同（1）可得：∠B=∠ACD=60°． 同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN． ∵DN=FN， ∴DM=DN=FN=EM， ∴BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM， 为等边三角形， 同理： （10分） 答案第4页，共11页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年中考第二次模拟考试（苏州卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（本题满分 6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分 5 分） 20．（本题满分 6 分） 21．（本题满分 6 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．______________10．______________11．______________12．______________ 13．______________14．______________15．______________16．______________ 三、解答题：本题共 11 小题，共 82 分。解答应写出文字说明、证明过 程或演算步棸。 17．（本题满分 5 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（本题满分 8 分） 23．（本题满分 8 分） 摸球个数 200 300 400 500 1000 1600 2000 摸到白球的个数 116 192 232 a 590 968 1202 摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.596 0.590 0.605 b (1) 表中的a =________，b = ________； (2) (2)当摸球次数很大时，摸到白球的概率的估计值是________（精确 到 0.01）； 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（本题满分 8 分） 【参考数据：sin67°＝0.92，cos67°0.39，tan67°＝2.36】 25．（本题满分 10 分） 26．（本题满分 10 分） 27．（本题满分 10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！