热点08 圆(11大题型+高分技法+限时提升练)-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练(上海专用)

热点08 圆 上海中考数学对圆的考查重点围绕基本性质、几何变换及综合应用展开，高频考点包括垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、弧长与扇形面积计算，以及圆与相似三角形、解直角三角形的综合运用，题型覆盖选择、填空及压轴题中的几何证明与动态分析。备考需系统梳理圆的核心定理网络，强化定理推导与几何直观的关联性，通过典型题组训练掌握弦心距模型、旋转型相似的构造策略，注重动态圆中临界条件的代数化表达与分类讨论思维。 考向一：圆的基本性质 【题型1 圆的基本概念辨析】 1.核心概念速记 1．圆的定义：定点（圆心）到定长（半径）的点的集合，不包含内部区域。 2. 弦：任意两点间的线段（最长弦＝直径）。 3．弧的分类：劣弧 用两端点表示（如 ；优弧 需三点（如）。 4．圆心角 与圆周角 圆心角：顶点在圆心，角度 =弧度数 圆周角：顶点在圆上，角度=弧度数一半（需构造圆心角解题）。 5．弦心距公式： 弦心距，l:弦长） 6．垂径定理应用条件：直径＋垂直弦平分弦及弧。 7．圆周角解题方法：找对应弧求圆心角取半。 推论：同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角。 2.高频易错点 1．直径是弦，但弦不一定是直径。 2．等弧条件：－仅长度相等等弧，需在同圆或等圆中！ 3．弧长计算： 4．弦长与弦心距，已知弦长 1．（2023·上海普陀·二模）下列关于圆的说法中，正确的是（    ） A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 【答案】D 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意； B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意； C、平分弦不是直径的直径垂直于弦，故错误，不符合题意； D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大． 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了解三角形和扇形面积的计算，先根据在中，，得出扇形的圆心角度数，进而根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴扇形的面积， 故答案为． 3．（2024·上海杨浦·一模）已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于，如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于，再分别求解的值，从而可得答案． 【详解】解：如图，当在的左侧时，连接，，，过作于，作于， ∵矩形，，， ∴四边形为矩形，，， ∴，， ∴， ∵，为圆心， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得：； 如图，当在的右侧时，连接，，，过作于， 交于， ∵矩形，，， ∴，，四边形为矩形， ∴， 同理可得： ，， ∵， ∴， ∴， ∵ 在中，， ∴， 综上：点E到直线的距离不超过3，则； 故答案为： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，勾股定理的应用，两圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质，确定临界点是解本题的关键． 【题型2 利用垂径定理求值】 一.定理核心 条件：直径弦平分弦及弧 关联公式： 弦心距，l:弦长，：半径） 二.解题三步法 1．找垂直：确认直径与弦垂直（或构造垂直）. 2．代公式：已知任意两个量，直接代入公式求第三个量. 3．验结果：半径＞弦心距，弦长（防漏解）. 三.易错点 1．忽略垂直条件：无垂直关系，公式不成立！ 2．半弦长漏除2：易错写为. 3．结果合理性：半径必须＞弦心距，否则无解. 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．利用垂径定理求出是解题的关键． 连接，根据，，得到，，设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理，得， 解得：， ∴ 故答案为：5． 2．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握垂径定理推论，等腰直角三角形性质，是解决问题的关键． 由题意可知，则， 根据垂径定理推论得到，结合可得是等腰直角三角形，求得，即可求得． 【详解】解：∵在圆O中，是直径，， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； （2）解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， 则，， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 4．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与相交，理由见解析． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角函数，三角形的面积，直线和圆的位置关系，正确作出辅助线是解题的关键． （）连接并延长交于点，连接，由可得，进而得，，利用勾股定理得，得到，再由勾股定理即可得到的长； （）直线与相交．过点作于，由三角函数得，得到，进而得，再根据三角形的面积得，即可求证． 【详解】（1）解：连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：直线与相交，理由如下： 过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与相交． 【题型3 利用垂径定理求解其他问题】 一.核心两步法 1．条件锁定：题目中隐含 直径弦（或需作垂直辅助线）。 2．公式速用： 勾股关系： （直接关联弦长，弦心距，半径） 二.关键提醒 1．无垂直不套用：必须满足直径弦的条件！ 2．隐含半弦长：所有弦长计算均需先除2再代入勾股。 3．答案合理性：半径必＞弦心距，否则无解。 1．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系；根据题意和垂径定理，可以得到，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴，，故A正确；， ∴， , ∴，故B正确；, ∴，故C错误； ∵， ∴，故D正确； 故选：C． 2．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可得证； （2）①过作于，连接，根据锐角三角函数的定义，求出的长，从而求得和的长，根据勾股定理求出的长，从而得到的三角函数值，进而求得的长，然后根据，推出和相似，从而求出的长即可； ②过点作于，根据垂径定理以及勾股定理求出的三角函数值，然后用表示出的长，即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ， 又， ， ， ； （2）解：①过作于，连接，如图：   ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ∵为直径， ， ， ， ， ； ②过点作于，连接，如图：   是的中点， ，， ， ， 设， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合运用三角函数的定义、垂径定理、相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理以及平行线的性质等知识点，掌握以上知识点是本题解题的关键． 3．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【答案】(1)相切，见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点C作于点，先解求出，的度数，过点O作于点，则当点与点重合时，，由，得到，故，即可判断； （2）由垂径定理的推论可得，可得为等腰直角三角形，证明，则，设，则，由，得到，那么，代入即可求解； （3）当与线段相切时，过点作于点，过点作于点，导角证明，则，那么；当经过点时，过点分别作，垂足分别为，由平行线分线段成比例定理得到，设，则，则，那么，解得到，再由平行线分线段成比例定理得到，即，求出，即可求解． 【详解】（1）解：与边相切，理由如下： 过点C作于点， ∵在中，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点O作于点, ∵，当点与点重合时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而为半径，为点O到边的距离， ∴与边相切； （2）解：∵，经过圆心， ∴， ∵经过圆心， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵为半径，， ∴， ∴一定不经过点， 当与线段相切时，如图： 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当经过点时，过点分别作，垂足分别为， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，符合题意， 综上所述，当与线段只有一个交点时，或． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，垂径定理及其推论，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，难度较大，解题的关键在于两个临界情况进行分析． 【题型4 垂径定理的推论】 一.核心推论 1．平分非直径的弦必为直径且垂直该弦 2．平分弦所对的弧必为直径且垂直该弦 二.解题关键 1．条件验证： 若题设给出＂平分弦＂，先确认弦直径 隐含条件：平分+垂直→直径 2．公式联动： 勾股定理： 三.易错警示 1．弦非直径：平分直径的直线未必垂直！ 2．逻辑反推：垂直平分弦的线必过圆心（即直径） 1．（2023·上海松江·二模）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴 C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦 【答案】C 【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据圆的轴对称性对B进行判断；根据圆心角定理对C进行判断；根据垂径定理的推论对D进行判断． 【详解】A．不共线的三点确定一个圆，故A是假命题； B．对称是直线，而圆的直径是线段，故B是假命题； C．弧相等，则弧所对的圆心角相等，故C是真命题； D．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故D是假命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题、真命题和假命题的概念，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 2．（2023·辽宁鞍山·一模）下列命题正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．三点确定一个圆 【答案】B 【分析】要明确命题的概念：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．根据矩形、平行四边形、垂径定理、过三点的圆的有关知识即可作出判断． 【详解】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项是假命题； B、相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形，故本选项是真命题； C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项是假命题； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项是假命题； 故选：B． 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 【答案】A 【分析】本题考查了等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理等知识；熟练掌握等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理、三角形的内心性质是解题的关键．由等弧的定义、确定圆的条件、垂径定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A. 弦的垂直平分线必经过圆心，故该选项正确，符合题意； B. 不在同一条直线上的三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； C. 平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故该选项不正确，不符合题意； D. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．（2023·上海徐汇·二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 【答案】 【分析】连接，交于点，连接，根据题意得出，设，则，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接， ∵的内接正方形， ∴经过点， ∵点是的中点， ∴， ∴ 设，则 ∴ ∵, ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，垂径定理，正方形的性质，相似三角形的性质，证明是解题的关键． 【题型5 垂径定理的实际应用】 一.关键提醒 1．单位统一：跨度（弦长），拱高（弦心距）单位一致 2．隐含垂直：默认桥高为垂直距离 3．结果取正：半径仅保留正数解 1．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理．由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心，连接，， ， ∵， ， ，， 设， ， ，， ， ， ， ， ， 纸杯的直径为． 故选：B． 2．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 3．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆弧形水道外侧的半径为483米 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图： （1）如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）如图所示，连接，由垂径定理可得，米，则四点共线，设米，则米，由勾股定理得，解得，则米． 【详解】（1）解：如图所示，分别在圆弧形水道，圆弧形道路上取一条弦，分别作两条弦的垂直平分线，二者的交点即为点O； （2）解：如图所示，连接， ∵C为的中点，点D为圆弧形道路内侧中点， ∴，米， ∴四点共线， 设米，则米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米． 答：圆弧形水道外侧的半径为483米． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，连接，过点作交于点，证明，即可求得，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作交于点， ， ，， A，O，M三点恰好在一条直线上， ， ， 根据题意可得， ， ， ， 则此时筒车在水面下的最大深度是， 故选：C． 【题型6 弧、弦、圆心角的关系】 一.解题两步法 1．判条件：确认是否在同圆或等圆中！ 2．找对应： 证弧等转证弦等或圆心角等； 证弦等转证弧等或圆心角等. 二.易错点 1．忽略前提：未声明＂同圆或等圆＂直接推导！ 2．混淆范围：弧的度数=圆心角，但弧长圆心角（需用公式）. 1．（2024·上海静安·二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题； ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题 故选：A． 2．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠圆问题，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，根据折叠得到等圆，结合所对的弧不同得到即，再结合和圆周角定理得到，即可得到，，，代入得到，解得，最后计算即可． 【详解】解：连接，，设半径为， ∵， ∴设，， ∵将圆形纸片沿着折叠， ∴， ∴， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 整理解得（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 3．（2023·上海宝山·一模）如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，如图，设的半径为，则，，先根据垂径定理得到，，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）连接，如图，先利用得到，即，再利用正弦的定义得到，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径为，则，， 平分， ，， 在中，， 解得， 即的半径为； （2）连接，如图， ， ， 即， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即弦所对的圆心角的度数为． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理． 【题型7 圆周角】 一.核心定理 1．圆周角定理： 圆周角度数对应圆心角度数 2．推论： 同弧所对圆周角相等； 直径所对圆周角； 圆内接四边形对角互补. 二.解题三步法 1．找弧：确定圆周角对应的弧； 2．找圆心角：求该弧的圆心角度数； 3．取半：圆周角=圆心角. 三.易错点 1．不对应同弧：圆周角与圆心角必须针对同一段弧！ 2．漏半：直接使用圆心角度数末。 3．忽略直角：直径相关题必先考虑. 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的直径，E是上的一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，于是得到，解答即可． 本题考查了圆周角定理，补角的定义，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，由圆内接四边形可得四边形对角互补可得，结合圆周角定理可得，掌握圆内接四边形的性质是，圆周角定理是解题的关键． 根据四边形内接于，得到，根据圆周角定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴， 故选：A ． 3．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（2024·上海·三模）如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且，若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】连接，，则，再由等边三角形的性质推出，得到，设的边长为x，则的边长为，证明求出x的值，进而可求出的长，然后可求的值． 【详解】解；如图，连接，，则D在上． ∵是直径，点F恰好落在圆上， ∴， ∵均为等边三角形， ∴，． ∴， ∴， 设的边长为x，则的边长为， ∵、、均为等边三角形， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的有关概念，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等边三角形的性质，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 考向二 正多边形与圆 【题型8 求正多边形的中心角】 一.核心公式 二.解题两步 1．确认边数（如正六边形）； 2．代公式：中心角。 三.易错点 1．混淆边数：如正多边形截角后新边数变化，需重新计算。 2．误作内角：内角公式，与中心角不同！ 1．（2025·陕西西安·三模）如图，是正八边形的两条对角线，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，正八边形内接于，连接，则 ． 【答案】90 【分析】本题考查了正多边形与圆，求得正多边形的每个内角度数和中心角度数，相减即可，熟知求得正多边形相关角度是解题的关键． 【详解】解：在正八边形中，每一内角的度数都为， 每一个中心角的度数都为． ． 故答案为：90． 3．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵正五边形内接于， ∴， ∴的度数为， ∵点为的中点， ∴的度数为， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：C． 4．（2025·河北保定·一模）如图，正六边形的边长为，边与相切于点C，F，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 连接，取的中点，连接，点是正六边形的中心，进而证明是等边三角形，求出圆的半径，利用切线求出，进而可得，，再由扇形面积公式即可求出答案． 【详解】解：连接，取的中点，连接， ∵六边形是正六边形， ∴点是正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 的长为. 故选：B． 【题型9 己知正多边形的中心角求边数】 一.核心公式 二.关键提醒 1．必为整数：若非整数，检查题目条件或计算错误！ 2．区分概念：中心角内角（内角公式）。 1．（2023·陕西榆林·一模）圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是 【答案】5 【分析】根据正多边形的中心角计算即可． 【详解】解：设正多边形的边数为n． 由题意可得：， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角． 2．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 【答案】18 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则， 故这个正多边形的边数为18， 故答案为：18． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】A 【分析】作正多边形的外接圆，根据圆周角定理得到，根据中心角的定义即可求解． 【详解】解：如图，作正多边形的外接圆， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理． 4．（2022·福建·一模）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（    ） A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】B 【分析】由正多边形和外接圆，找中心角，实际动手操作来进行解题． 【详解】解：经过动手操作，如果过斜边的中点，构造顶角为45°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正八边形； 如果过直角三等分线与边的两个交点，构造顶角为30°的等腰三角形，剪去4个重合角，可以得出正十二边形； 如果过三等分线与边一个交点构造顶角60°和30°的等腰三角形，剪去两对重合角，可以得到正六边形， 而得不出十边形， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了与剪纸相关的知识，正多边形和圆的综合，熟练地动手操作能力是解决问题的关键． 【题型10 正多边形和圆的综合】 一.核心公式 1．边长： 2．边心距： 3．面积： 二.解题三步 1．定中心角： 2．分三角形：将正多边形分解为个全等等腰三角形 3．代公式：用三角函数求边长，边心距或面积 三.易错点 1．混撯与：边心距半径！ 2．角度单位：三角函数计算需用角度制（非弧度） 3．面积漏乘：每个小三角形面积需乘边数 1．（2024·上海·模拟预测）正方形的面积为a，内接圆的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，先根据正方形的面积求出边长，可得内切圆的直径，从而可求出内切圆的周长． 【详解】解：∵正方形的面积为a， ∴正方形的边长为， ∴正方形内接圆的直径为， ∴内接圆的周长为， 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）已知一个正多边形的外角为，他的边心距为2，则它外接圆的面积为 【答案】 【分析】本题考查了正多边形和外接圆、锐角三角函数，掌握正多边形外接圆的半径、边长、边心距、中心角之间的计算转化为解直角三角形，熟知是解答本题的关键．由一个正多边形的外角为，可得正五边形，然后根据边心距为2，结合锐角三角函数求出外接圆的半径，再通过圆的面积公式计算即可． 【详解】解：∵一个正多边形的外角为， ∴ ∴这个正多边形是五边形， 如图，过正五边形的中心O作于D，连接，， ∵边心距为2， ∴， ∵，， ∴， 在中，∵， ∴，则， ∴外接圆的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 4．（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理，令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点，则，，，，证明出为等边三角形，得出，求出即可得解． 【详解】解：如图：令两个全等的正六边形重合的边为，连接，，令与交于点， 则，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11 扇形的面积】 一.核心公式 1．已知圆心角： 2．已知弧长： 二.解题两步 1．确认已知量：选择用圆心角或弧长的公式 2．代值计算：注意单位统一（角度用度数，半径与弧长单位一致） 三.易错点 1．角度单位：非度数需转弧度（若题目用弧度，公式改为） 2．公式混淆：弧长公式面积公式 1．（2022·上海松江·三模）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接．根据题意和图形，可以发现阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积．又易证≌，即得出四边形的面积等于的面积，最后由扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，如图， ，点为的中点，， ， ， ， ． 又， ≌， 四边形的面积等于的面积， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质．解答本题的关键是明确题意，正确连接辅助线，并利用数形结合的思想解答． 2．（2023·上海黄浦·二模）已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则，由线段垂直平分线性质得．进而由勾股定理得，再由垂径定理即可求解； （2）连接，，先证是等边三角形，再证，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：连接，则， ∵弦垂直平分， ∴． 在中， ∵半径垂直， ∴ ∴； （2）解：在中，， ∴． 连接，， ∵， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵，． ∵， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂径定理，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，扇形面积的计算以及勾股定理关键是由条件推出阴影的面积=扇形的面积． 3．（2025·广东深圳·二模）如图所示，在中，，弦与弦交于点，弦与交于点，连接．   (1)求证：； (2)若的直径长为，，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明得，即可得解； （2）连接，，过作，垂足为点，由，得，在中，根据解直角三角形得，根据勾股定理得，所以，最后根据，即可得解． 【详解】（1）证明： ，   ，又， ， ，即； （2）解：连接，，过作，垂足为点，如图所示： ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 则． 【点睛】本题考查了等弧对等角，相似三角形的判定与性质，等边对等角，解直角三角形，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （建议用时：40分钟） 1．（2022·河北石家庄·二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，可得∠AOC=15°，然后根据边数n=360°÷中心角即可求得答案． 【详解】解：连接OC， ∵AB是⊙O内接正六边形的一边， ∴∠AOB＝360°÷6＝60°， ∵BC是⊙O内接正八边形的一边， ∴∠BOC＝360°÷8＝45°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15° ∴n＝360°÷15°＝24． 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键． 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点作轴于，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，，则，，即可得到点在双曲线上，再由点v也在双曲线上，得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上 ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 故选：A． 3．（2025·广西来宾·一模）如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正多边形与圆综合，求弧长，先求出正六边形的中心角是，结合旋转四次，然后根据弧长公式进行列式计算即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由正六边形的性质可知，，中心角为， 由弧长公式可得，旋转四次后，点经过的弧长为， 答案为：． 4．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正n边形的每个中心角都等于是解题的关键．连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正n边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 【答案】 【分析】先求出中心角，再根据弧长公式求得半径为2，然后解即可． 【详解】解：∵正六边形，是它的外接圆， ∴中心角， ∵劣弧的长为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆圆与正多边形，解直角三角形，中心角的求解，弧长公式，综合性较强，熟练掌握知识点是解题的关键． 6．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 【答案】(1)； (2)或； (3)点在以的中点R为圆心，以为半径的圆心角为的弧上 【分析】（）根据莱洛三角形的定义，结合轴对称图形的判断圆的相关性质直接判断即可； （）分当在上方时，当在下方时，两种情况分析即可； （）连接，，，，，取、的中点，连接，，，再证明，得出即可确定轨迹． 【详解】（1）解：因为以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形， 所以莱洛三角形是轴对称图形，正确； 三段弧到它们所对的三角形顶点的距离相等，故莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离不相等，不正确； 等边三角形的每一个内角都是，故莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为，正确； 莱洛三角形的面积等于三个弓形的面积加上等边三角形的面积，即，不正确； 故答案为：； （2）解：如图，当在上方时，过作于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∵且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴； 当在下方时， 同理：∵， ∴设，则，， 由勾股定理得：， ∴； 综上可得：的正切值为或； （3）解：连接，，，，，取、的中点R、S，连接，，， ∵点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、的中点为，的中点为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵，， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，点为中点，当点与点重合时，点为中点，此时，， 故点在以的中点为圆心，以为半径的圆心角为的弧上； 【点睛】本题考查了圆的有关性质、垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质、解直角三角形，三角形的中位线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行证明和推理． 7．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得出，根据弧、圆心角的关系，以及对顶角的性质得出，结合平角定义求出，根据余弦定义求出，即可求解； （2）连接，，，，设与相交于H，根据垂径定理得出，根据弧、弦、圆心角的关系得出，，结合（1）可得，，结合平角定义求出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，进而求出，根据垂径定理、垂直平分线的性质得出，进而求出，然后证明，得出，证明是等腰三角形，得出，则可化简为，最后解方程即可； （3）分情况讨论：当C在上时，连接，，，过F作与于H，证明 ，得出，证明，得出，在和中，根据勾股定理得出，则可求出即可求出y关于x的函数解析式；当C在上时，同理求解即可． 【详解】（1）解∶连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F是弧的中点， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，，，，设与相交于H， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得（负值舍去）； （3）解：当C在上时，连接，，，过F作与于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 化简得， ∴（负值舍去）， ∴； 当C在上时，连接，，，过F作与于H， 同理可求出， ， 解得 ∴， 综上，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解一元二次方程，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 8．（2024·上海虹口·模拟预测）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则________． (2)如图（1），是半圆的直径，是半圆上的点，D是上的点，交于点E． ①若D是的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”； ②当是“准互余三角形”时，求的长； ③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长． 【答案】(1) (2)①3；②3或；③ 【分析】（1）过点C作于D，作垂直平分线交、于E、F，连接，先求得，设，则，，再根据是“准互余三角形”，求得，从而求得，则，，，即可由求解； （2）①根据同弧所对的圆周角相等，推导出，再由，可得，从而得到是“准互余三角形”；再由可得是“准互余三角形”； ②当点D是的中点时，当点D不是的中点时，分别求解即可； ③将沿翻折得到，可证明、B、G三点共线，再证明，得到，即，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点C作于D，作垂直平分线交、于E、F，连接， ∵，， ∴ 设，则，， ∵是“准互余三角形”， ， ∴ ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴； （2）解：①∵D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴是“准互余三角形”； ∵， ∴是“准互余三角形”； ∵，， ∴， ∴是“准互余三角形”； 故答案为：3； ②如图（1）中，当点D是的中点时，如图，过点E作于点M，则， ∴，， ∵， ∴， 设，则有， ∴， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴满足条件，． 当点D不是的中点时，如图中， ∵是“准互余三角形”， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“准互余三角形”， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 综上所述，满足条件的EC的值为3或． ③将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴、B、G三点共线， ∵是“准互余三角形”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理及推论，三角形相似的判定及性质，角平分线性质，理解新定义是解题的关键． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点08 圆 上海中考数学对圆的考查重点围绕基本性质、几何变换及综合应用展开，高频考点包括垂径定理、圆周角定理、切线性质与判定、弧长与扇形面积计算，以及圆与相似三角形、解直角三角形的综合运用，题型覆盖选择、填空及压轴题中的几何证明与动态分析。备考需系统梳理圆的核心定理网络，强化定理推导与几何直观的关联性，通过典型题组训练掌握弦心距模型、旋转型相似的构造策略，注重动态圆中临界条件的代数化表达与分类讨论思维。 考向一：圆的基本性质 【题型1 圆的基本概念辨析】 1.核心概念速记 1．圆的定义：定点（圆心）到定长（半径）的点的集合，不包含内部区域。 2. 弦：任意两点间的线段（最长弦＝直径）。 3．弧的分类：劣弧 用两端点表示（如 ；优弧 需三点（如）。 4．圆心角 与圆周角 圆心角：顶点在圆心，角度 =弧度数 圆周角：顶点在圆上，角度=弧度数一半（需构造圆心角解题）。 5．弦心距公式： 弦心距，l:弦长） 6．垂径定理应用条件：直径＋垂直弦平分弦及弧。 7．圆周角解题方法：找对应弧求圆心角取半。 推论：同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角。 2.高频易错点 1．直径是弦，但弦不一定是直径。 2．等弧条件：－仅长度相等等弧，需在同圆或等圆中！ 3．弧长计算： 4．弦长与弦心距，已知弦长 1．（2023·上海普陀·二模）下列关于圆的说法中，正确的是（    ） A．过三点可以作一个圆 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆的直径所在的直线是它的对称轴 2．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知扇形，过点作，垂足为点，如果，那么扇形的面积为 ．（结果保留） 3．（2024·上海杨浦·一模）已知矩形中，，以为半径的圆A和以为半径的圆C相交于点D、E，如果点E到直线的距离不超过3，设的长度为m，则m的取值范围是 ． 【题型2 利用垂径定理求值】 一.定理核心 条件：直径弦平分弦及弧 关联公式： 弦心距，l:弦长，：半径） 二.解题三步法 1．找垂直：确认直径与弦垂直（或构造垂直）. 2．代公式：已知任意两个量，直接代入公式求第三个量. 3．验结果：半径＞弦心距，弦长（防漏解）. 三.易错点 1．忽略垂直条件：无垂直关系，公式不成立！ 2．半弦长漏除2：易错写为. 3．结果合理性：半径必须＞弦心距，否则无解. 1．（2025·上海黄浦·二模）如图，已知是的直径，、是上的两点，且，垂足为点，如果，那么的长为 ． 2．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．    3．（2025·上海徐汇·模拟预测）如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心， (1)如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； (2)如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 4．（2024·上海黄浦·三模）如图，半径为的经过的顶点，与边相交于点，，． (1)求的长； (2)如果，判断直线与以点为圆心、为半径的圆的位置关系，并说明理由． 【题型3 利用垂径定理求解其他问题】 一.核心两步法 1．条件锁定：题目中隐含 直径弦（或需作垂直辅助线）。 2．公式速用： 勾股关系： （直接关联弦长，弦心距，半径） 二.关键提醒 1．无垂直不套用：必须满足直径弦的条件！ 2．隐含半弦长：所有弦长计算均需先除2再代入勾股。 3．答案合理性：半径必＞弦心距，否则无解。 1．（2024·上海长宁·二模）如图，已知点、、、都在上，，，下列说法错误的是(　　) A．弧弧 B． C． D． 2．（2024·上海虹口·二模）在梯形中，，点E在射线上，点F在射线上，连接相交于点P，．    (1)如图①，如果，点E、F分别在边上．求证：； (2)如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆O，半圆O与的另一个交点为点G．设与弧的交点为Q． ①当时，求和的长； ②当点Q为弧的中点时，求的长． 3．（2025·上海黄浦·二模）已知，在中，，是边上一动点，联结．点在线段上，且，以点为圆心，为半径作，交边于点． (1)当点与点重合时，判断与边的位置关系并说明理由； (2)已知点在上，且，与边交于点，当经过圆心时（如图），求的值； (3)过点作，交边于点，当与线段只有一个交点时，求的取值范围． 【题型4 垂径定理的推论】 一.核心推论 1．平分非直径的弦必为直径且垂直该弦 2．平分弦所对的弧必为直径且垂直该弦 二.解题关键 1．条件验证： 若题设给出＂平分弦＂，先确认弦直径 隐含条件：平分+垂直→直径 2．公式联动： 勾股定理： 三.易错警示 1．弦非直径：平分直径的直线未必垂直！ 2．逻辑反推：垂直平分弦的线必过圆心（即直径） 1．（2023·上海松江·二模）下列命题正确的是（    ） A．三点确定一个圆 B．圆的任意一条直径都是它的对称轴 C．等弧所对的圆心角相等 D．平分弦的直径垂直于这条弦 2．（2023·辽宁鞍山·一模）下列命题正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．三点确定一个圆 3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．弦的垂直平分线必经过圆心 B．三点确定一个圆 C．平分弦的直径垂直于这条弦 D．长度相等的弧是等弧 4．（2023·上海徐汇·二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ． 【题型5 垂径定理的实际应用】 一.关键提醒 1．单位统一：跨度（弦长），拱高（弦心距）单位一致 2．隐含垂直：默认桥高为垂直距离 3．结果取正：半径仅保留正数解 1．（2025·广西柳州·一模）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江衢州·一模）某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 3．（2024·上海奉贤·二模）上海之鱼是奉贤区的核心景观湖，湖面成鱼型．如图，鱼身外围有一条圆弧形水道，在圆弧形水道外侧有一条圆弧形道路，它们的圆心相同．某学习小组想要借助所学的数学知识探索上海之鱼的大小． (1)利用圆规和直尺，在图上作出圆弧形水道的圆心O．（保留作图痕迹） (2)如图，学习小组来到了圆弧形道路内侧A处，将所携带的200米绳子拉直至圆弧道路内侧另一点B处，并测得绳子中点C与圆弧形道路内侧中点D的距离为10米，圆弧形水道外侧到道路内侧的距离为22米（点D、C、E在同一直线上），请计算圆弧形水道外侧的半径． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹简，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动半径为的筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿方向泻至水渠，水渠所在直线与水面平行；设筒车为，与水面交于M，N，与直线交于B，C，连接．若筒车在旋转过程中的某一时刻，，A，O，M三点恰好在一条直线上，则此时筒车在水面下的最大深度是（    ） A． B． C． D． 【题型6 弧、弦、圆心角的关系】 一.解题两步法 1．判条件：确认是否在同圆或等圆中！ 2．找对应： 证弧等转证弦等或圆心角等； 证弦等转证弧等或圆心角等. 二.易错点 1．忽略前提：未声明＂同圆或等圆＂直接推导！ 2．混淆范围：弧的度数=圆心角，但弧长圆心角（需用公式）. 1．（2024·上海静安·二模）对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 2．（2025·浙江杭州·一模）如图是以为直径的，点C是圆上一点，将圆形纸片沿着折叠，与交于点D，连结并延长与圆交于点E，若，则的值等于 ． 3．（2023·上海宝山·一模）如图，已知圆O的弦与直径交于点，且平分． (1)已知，，求圆O的半径； (2)如果，求弦所对的圆心角的度数． 【题型7 圆周角】 一.核心定理 1．圆周角定理： 圆周角度数对应圆心角度数 2．推论： 同弧所对圆周角相等； 直径所对圆周角； 圆内接四边形对角互补. 二.解题三步法 1．找弧：确定圆周角对应的弧； 2．找圆心角：求该弧的圆心角度数； 3．取半：圆周角=圆心角. 三.易错点 1．不对应同弧：圆周角与圆心角必须针对同一段弧！ 2．漏半：直接使用圆心角度数末。 3．忽略直角：直径相关题必先考虑. 1．（2025·陕西咸阳·一模）如图，是的直径，E是上的一点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么（    ） A． B． C． D． 3．（2025·浙江温州·一模）如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 4．（2024·上海·三模）如图，、、均为等边三角形，边在圆的直径上，点F恰好落在圆上，且，若、D、F三点恰好在同一条线上，则的值为 ． 考向二 正多边形与圆 【题型8 求正多边形的中心角】 一.核心公式 二.解题两步 1．确认边数（如正六边形）； 2．代公式：中心角。 三.易错点 1．混淆边数：如正多边形截角后新边数变化，需重新计算。 2．误作内角：内角公式，与中心角不同！ 1．（2025·陕西西安·三模）如图，是正八边形的两条对角线，则的值为 ． 2．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）如图，正八边形内接于，连接，则 ． 3．（2025·四川南充·一模）如图，正五边形内接于，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北保定·一模）如图，正六边形的边长为，边与相切于点C，F，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型9 己知正多边形的中心角求边数】 一.核心公式 二.关键提醒 1．必为整数：若非整数，检查题目条件或计算错误！ 2．区分概念：中心角内角（内角公式）。 1．（2023·陕西榆林·一模）圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是，则正多边形的边数是 2．（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数为 ． 3．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．10 B．12 C．15 D．20 4．（2022·福建·一模）把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个角，打开后得到一个正多边形，则这个正多边形不可能是（    ） A．正十二边形 B．正十边形 C．正八边形 D．正六边形 【题型10 正多边形和圆的综合】 一.核心公式 1．边长： 2．边心距： 3．面积： 二.解题三步 1．定中心角： 2．分三角形：将正多边形分解为个全等等腰三角形 3．代公式：用三角函数求边长，边心距或面积 三.易错点 1．混撯与：边心距半径！ 2．角度单位：三角函数计算需用角度制（非弧度） 3．面积漏乘：每个小三角形面积需乘边数 1．（2024·上海·模拟预测）正方形的面积为a，内接圆的周长为 ． 2．（2024·上海·模拟预测）已知一个正多边形的外角为，他的边心距为2，则它外接圆的面积为 3．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（   ） A．2 B． C． D． 4．（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，连接，其中一个正六边形的外接圆与交于点A．若外接圆的半径为2，则 ． 【题型11 扇形的面积】 一.核心公式 1．已知圆心角： 2．已知弧长： 二.解题两步 1．确认已知量：选择用圆心角或弧长的公式 2．代值计算：注意单位统一（角度用度数，半径与弧长单位一致） 三.易错点 1．角度单位：非度数需转弧度（若题目用弧度，公式改为） 2．公式混淆：弧长公式面积公式 1．（2022·上海松江·三模）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心作圆心角为的扇形，点恰在弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 2．（2023·上海黄浦·二模）已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且． (1)求弦的长； (2)求图中阴影部分面积（结果保留π）． 3．（2025·广东深圳·二模）如图所示，在中，，弦与弦交于点，弦与交于点，连接．   (1)求证：； (2)若的直径长为，，求图中阴影部分面积． （建议用时：40分钟） 1．（2022·河北石家庄·二模）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 2．（2025·黑龙江佳木斯·一模）如图；平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则k的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西来宾·一模）如图，工人师傅用活口扳手拧一个六角螺丝，六角螺丝的头部为正六边形，边长为，扳手每次旋转度数为六角螺丝中心角的度数，旋转四次后，点经过的弧长为 ． 4．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形，是它的外接圆，连接，，作．若劣弧的长为，则 ． 6．（2025·上海普陀·二模）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以等边三角形的边长为半径，以另两个顶点为端点画圆弧，由首尾相连的三段圆弧可组成一个曲线图形，这个曲线图形叫做莱洛三角形． (1)下面结论中，正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 莱洛三角形是轴对称图形； 莱洛三角形上的任意一点到等边三角形的中心的距离相等； 莱洛三角形的每段圆弧所对的圆心角都为； 莱洛三角形的面积等于． (2)如果、是莱洛三角形上的两点，连接、，满足且，求此时的正切值； (3)已知、分别是、上的两个动点：点沿从点运动到点，点沿从点运动到点，它们同时出发且速度相同，连接．试表述线段的中点的轨迹． 7．（2025·上海杨浦·二模）已知圆O的直径上有一点C（不与A、B重合），，过点C作弦，点F是弧的中点，连接，交于点G． (1)如图1，当点G与点O重合时，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的值； (3)设，，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 8．（2024·上海虹口·模拟预测）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． (1)若是“准互余三角形”，，则________． (2)如图（1），是半圆的直径，是半圆上的点，D是上的点，交于点E． ①若D是的中点，则图中共有_______个“准互余三角形”； ②当是“准互余三角形”时，求的长； ③如图（2）所示，若F是上的点（不与B、C重合），G为射线上一点，且满足．当是“准互余三角形”时，求的长． 1 / 69 学科网（北京）股份有限公司 $$