精品解析：江苏省扬州市梅苑双语中学2024-2025学年八年级下学期期中数学考试

2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共计24分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 4. 不透明的袋子中有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到的有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 5. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 6. 已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 7. 设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（ ） A. 四边形可以是平行四边形 B. 四边形可能是矩形 C. 四边形可能是菱形 D. 四边形不可能是正方形 8. 如图，点，，三点在轴的正半轴上，且，过点，，分别作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，连结，，，则为（ ） A 12∶7∶4 B. 3∶2∶1 C. 6∶3∶2 D. 12∶5∶4 二、填空题：（本大题共10小题，每题3分，共计30分） 9. 若函数是反比例函数，则______． 10. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是________． 11. 在今年的体育健康测试中，某校对1000名女生的身高进行测量，身高在m至m这一组的频率为，则该组的人数为______名． 12. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 13. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______． 14. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为_____． 16. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 17. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______． 18. 已知中，，，以、为边作正方形、正方形，连接，取和中点N、M，连接，则的最大值为________． 三、解答题：（本大题共10小题，共计96分） 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）求当时，x的值． 20. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 21. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 22. 今年的清明小长假，扬州各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的扬州旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：瘦西湖；B：东关街；C：大明寺；D：大运河博物馆；E：宋夹城；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为________，并请你将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中，景点D所对应圆心角的度数为________． （3）若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“瘦西湖”与“大运河博物馆”的学生总人数． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 24. 如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 25. 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）_____________； （2）当时，y与x之间的函数关系式为_____________； 当时，y与x之间的函数关系式为_____________； （3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 26. 已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 27. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． （1）求的值； （2）如图，过点分别作平行于轴，轴直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 28. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题：（本大题共8小题，每题3分，共计24分） 1. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、这个图形既是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、这个图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、这个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一进行判断．解决问题的关键是将一般式（）转化为或（）的形式． 【详解】解：A、由原式子得到，符合反比例函数的定义，故符合题意； B、该函数式表示y与成反比例关系，故不符合题意； C、该函数式表示y与x成正比例关系，故不符合题意； D、该函数式不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 3. 为了解某校初二年级名学生的身高情况，从中抽取了名学生的身高进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A. 名学生是总体的一个样本 B. 每位初二年级学生的身高是个体 C. 名学生是总体 D. 样本容量是名学生 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查，涉及总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目，据此逐项判断即可得出结论． 【详解】A、名学生的身高是总体的一个样本，故此选项错误，不符合题意； B、每位初二年级学生的身高是个体，故此选项正确，符合题意； C、名学生的身高是总体，故此选项错误，不符合题意； D、样本容量是，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 不透明的袋子中有3个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件为不可能事件的是（ ） A. 摸到的有红球 B. 摸到的有绿球 C. 摸到的全是红球 D. 摸到的全是绿球 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、摸到的有红球，是随机事件； B、摸到的有绿球，是随机事件； C、摸到的全是红球，是随机事件； D、摸到的全是绿球，是不可能事件； 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 6. 已知点、在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，则可得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小， ∵点、在反比例函数的图象上，且， ∴， ∴四个选项中只有C结论一定正确， 故选C． 【点睛】本题考查比较反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 7. 设是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论不正确的是（ ） A. 四边形可以是平行四边形 B. 四边形可能是矩形 C. 四边形可能是菱形 D. 四边形不可能是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定，反比例函数的对称性，掌握以上知识是解题的关键． 利用反比例函数的对称性，画好图形，结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定可以得到结论，特别是对C的判断可以利用反证法． 【详解】解：如图， 反比例函数的图象关于原点成中心对称， ，， 四边形是平行四边形，故A不符合题意， 如图，若四边形是菱形， 则， ， 显然：， 所以四边形不可能是菱形，故C不正确，符合题意， 如图， 反比例函数的图象关于直线成轴对称， 当垂直于对称轴时， ， ， ， ， 四边形是矩形，故B不符合题意， 四边形不可能是菱形， 四边形不可能是正方形，故D不符合题意， 故选：C． 8. 如图，点，，三点在轴的正半轴上，且，过点，，分别作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，连结，，，则为（ ） A. 12∶7∶4 B. 3∶2∶1 C. 6∶3∶2 D. 12∶5∶4 【答案】C 【解析】 【分析】设，再分别表示出D,E,F的坐标，再求出用含k的式子表示即可求解． 【详解】解：设， ∴，，． ∴， ， ． ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题关键在于，即，因此可以得到，，坐标的关系． 二、填空题：（本大题共10小题，每题3分，共计30分） 9. 若函数是反比例函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如（k为常数，）的函数，叫反比例函数． 根据反比例函数的定义得出且，再求出m即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， 解得． 故答案为：3． 10. 函数的图象与直线没有交点，那么的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，联立两函数解析式得到对应的一元二次方程，根据函数无交点即对应的一元二次方程无解进行求解即可． 【详解】解：联立得， ∵函数的图象与直线没有交点， ∴方程没有解， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 在今年的体育健康测试中，某校对1000名女生的身高进行测量，身高在m至m这一组的频率为，则该组的人数为______名． 【答案】300 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，由概率求对应区间人数．根据题意可知身高在m至m这一组的概率为，再用总数乘以概率即为本题答案． 【详解】解：根据题意可知：（名）， 故答案为：300． 12. 投掷一枚形状规则、质地均匀的骰子，有下列事件：①掷得的点数是6；②掷得的点数是奇数；③掷得的点数不大于4；④掷得的点数不小于2．这些事件发生的可能性由大到小排列是____________． 【答案】④③②① 【解析】 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意得，①掷得的点数是6包含一种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况，分别比较情况数的大小即可选得答案． 【详解】解：根据题意，投掷一枚普通的六面体骰子，共6种情况； 而①掷得的点数是6包含1种情况；②掷得的点数是奇数包括3种情况；③掷得的点数不大于4包括4种情况；④掷得的点数不小于2包括5种情况， 故发生的可能性由大到小的顺序排为④③②①． 故答案为：④③②①． 13. 考察函数的图象，当时，的取值范围是 _______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】作出和的函数图象，通过观察得出直线上方的反比例函数图象均符合题意，解出交点坐标，最终确定的取值范围，本题考查了画反比例函数的图象，一次函数与反比例函数的综合判断，解题的关键是：应用数形结合的方法，理解函数图象与自变量取值范围之间的关系． 【详解】解：画函数和的图象如下： 由图象可知，反比例函数上，第二象限内的一支符合题意，即， 第四象限内，与直线交点及交点上方的图象符合题意， 联立两函数解析式： 解得： 即， 故答案为：或． 14. 如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的长度为________. 【答案】2.5 【解析】 【详解】分析：根据矩形的性质可得AC=BD=10，BO=DO=BD=5，再根据三角形中位线定理可得PQ=DO=2.5． 详解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，BO=DO=BD， ∴OD=BD=5， ∵点P、Q是AO，AD的中点， ∴PQ是△AOD的中位线， ∴PQ=DO=2.5． 故答案为2.5． 点睛：此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，其中点，点的横坐标为6，则满足的的取值范围为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，数形结合是解题的关键．求出反比例函数的表达式为．得到点．由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 反比例函数的表达式为． 点的横坐标为6， 点． 由图象可得：当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即． 故答案为：或 16. 如图，已知菱形的对角线的长分别为，于点E，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，，再由勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；． 17. 如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上， ∴ ∴ 故答案为：． 18. 已知中，，，以、为边作正方形、正方形，连接，取和中点N、M，连接，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，与相交于O点，与交于点，先证，得，，再证，连接，取中点，连接，，分别交，于，，结合三角形中位线可得且，可知，由，当点在上时，取等号，可知，即可求解． 【详解】解：如图，连接、，与相交于O点，与交于点， ∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， 连接，取的中点，连接，，分别交，于，， ∴为的中位线， ∴，且，同理，，且， ∴且， ∴， ∵，当点在上时，取等号， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形的中位线的性质等知识点．证明，，是解决问题的关键． 三、解答题：（本大题共10小题，共计96分） 19. 已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． （1）求y与x的函数关系式； （2）求当时，x的值． 【答案】（1）y与x的函数关系式为 （2）当时， 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义，设，再利用待定系数法求解析式即可； （2）将代入（1）中函数关系式即可求解． 【小问1详解】 解：∵与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点 ∴， ∴， ∴与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数自变量的值，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 20. 在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． 在中，，，． （1）在图中作出以点A为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形． （2）若点A的坐标为，点B的坐标为，请在图中画出平面直角坐标系，并写出点C的坐标． （3）根据（2）中的平面直角坐标系，作出与关于原点对称的． 【答案】（1）见解析 （2）建立平面直角坐标系见解析．点C的坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转作图、平面直角坐标系、关于原点对称点的坐标特征等知识点，正确建立直角坐标系是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画图即可； （2）利用点A、B的坐标画直角坐标系，然后写出C点的坐标即可； （3）先根据关于原点对称点的坐标特点确定点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示．点C的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，即为所求． 21. 在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． 【小问3详解】 摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案：． 小问4详解】 当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 22. 今年的清明小长假，扬州各景区迎来了一波客流小高峰．某校八年级数学兴趣小组就“最想去的扬州旅游景点”，随机调查了本校部分学生，提供六个具体选择：A：瘦西湖；B：东关街；C：大明寺；D：大运河博物馆；E：宋夹城；F：其他．要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图． （1）本次调查的样本容量为________，并请你将条形统计图补充完整． （2）扇形统计图中，景点D所对应的圆心角的度数为________． （3）若八年级数学兴趣小组所在学校共有1200名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“瘦西湖”与“大运河博物馆”的学生总人数． 【答案】（1）60，补全条形统计图见解析 （2） （3）600名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得样本容量，求出选择的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以本次调查中选择的学生所占的百分比即可； （3）根据用样本估计总体，用1200乘以样本中最喜爱“瘦西湖”与“大运河博物馆”学生人数所占的百分比的和，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量为， 选择的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． 故答案为：60； 【小问2详解】 解：扇形统计图中，景点所对应的圆心角的度数为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校最喜爱“瘦西湖”与“大运河博物馆”的学生总人数约为600名． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）为x轴正半轴上的一动点，当的面积为时，求a的值． 【答案】（1）k的值为，的值为6 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数与一次函数的解析式，坐标与图形面积，利用数形结合的思想，建立方程都是解本题的关键． （1）把代入，先求解k的值，再求解A的坐标，再代入反比例函数的解析式可得答案； （2）先求解．由为x轴上的一动点，可得．由，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得． ∴． 把代入， 得． ∴． 把代入， 得． ∴k的值为，的值为6． 【小问2详解】 当时，． ∴． ∵为x轴正半轴上的一动点， ∴． ∴， ． ∵， ∴． ∴或（舍去）． ∴． 24. 如图，在中，点E为中点，延长交于点F， 联结． （1）求证：； （2）当时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证，得，即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，得，再证，得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 25. 某医药研究所研制了一种新药，在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退．血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的函数关系如图，并发现衰退时y与x成反比例函数关系． （1）_____________； （2）当时，y与x之间的函数关系式为_____________； 当时，y与x之间的函数关系式为_____________； （3）如果每毫升血液中含药量不低于10微克时是有效的，求出一次服药后的有效时间多久？ 【答案】（1）19 （2）； （3）135分钟 【解析】 【分析】（1）利用第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.2微克即可得到第100分钟相应的a值； （2）分别代入直线和曲线的一般形式，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （3）分别令两个函数值为10求得相应的时间后相减即可得到结果． 【小问1详解】 解：a＝0.2×（100﹣5）＝19； 【小问2详解】 解：当5≤x≤100时，设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b ∵经过点（5，0），（100，19） ∴ 解得：， ∴解析式为y＝0.2x﹣1； 当x＞100时，y与x之间的函数关系式为y＝， ∵经过点（100，19）， ∴ ＝19 解得：k＝1900， ∴函数的解析式为y＝； 【小问3详解】 解：令y＝0.2x﹣1＝10解得：x＝55， 令y＝＝10，解得：x＝190 ∴190﹣55＝135分钟， ∴服药后能持续135分钟； 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的实际应用，根据已知点得出函数的解析式是解题关键． 26. 已知矩形中，，P是边上一点，连接，将沿着直线BP折叠得到△EBP． （1）如图1，若，当P、E、C三点在同一直线上时，求的长； （2）请在图2上用没有刻度的直尺和圆规，在边上作出一点P，使平分．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）2 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．还考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边三角形的性质． （1）由折叠可知，，根据矩形的性质可知，，，，进而可证得，得，由勾股定理可得，结合即可求解； （2）以为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则，故平分． 【小问1详解】 解：由折叠可知，， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ， ； 【小问2详解】 如图，以为为边在矩形内作等边三角形，作的角平分线与交于点，则平分，点为所作， 27. 在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． （1）求的值； （2）如图，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为含边界， 当时，区域的整点个数为______ ； 当区域的整点个数为时，点横坐标满足，直接写出纵坐标的取值范围：______ ； 直线过一个定点，若点为此定点， 问题：______ ，______ ； 问题：这条直线将分成两部分，直线上方不包含直线的区域记为，直线下方不包含直线的区域记为，当1的整点个数之差不超过时，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②；③问题一：，问题二： 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （1）根据点在的图象上，可求出的值． （2）①标出区域，再统计区域内的整数点即可． ②结合图象可找出这4个整数点，便可得出的取值范围． ③问题一：过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于0，便可解决问题． 问题二：利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可． 【小问1详解】 因为双曲线经过点， 所以． 即的值为4． 【小问2详解】 ①当时，由图1可知， 上的整点有4个， 上的整点有4个， 双曲线上段的整点有3个， 区域内部的整点有3个， 又点，，都被算了2次， 所以区域的整点个数为：． 故答案为：11． ②因为区域的整点个数为4，如图所示， 又，则区域的4个整点如图所示：，，，． 故纵坐标的取值范围是：． 故答案为：． ③问题一：由题知， ， 则不论为何值，时，， 即直线过定点， 所以． 故答案为：5，4． 问题二：如图所示，当时，区域内整点共有15个． 又被分成的区域和的整点个数之差不超过2， 则当直线经过点时，的整点个数是7，的整点个数是5，满足要求． 此时，得． 当直线过点时，的整点个数是5，的整点个数是8，不满足要求．故当点在直线上方时，即可． 此时，得． 故的取值范围是：． 28. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）的长为或 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】解：（1）①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； 故答案为：； ②在中，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：三线段，，间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，， ， ∴； 在与中， ， ∴， ∴，； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$