精品解析：福建省厦门市第十一中学2024—2025学年下学期八年级期中教学质量检测数学试题

2024-2025学年厦门市第十一中学第二学期期中教学质量检测 八年级数学 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 以下各数是最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（ ） A B. C. D. 5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了50m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为 D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是100m 8. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 10. 如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：（）______；（）______． 12. 已知点在函数的图象上，则的值为______． 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 14. 如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为和的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中阴影部分），则大正方形的边长为______cm． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 16. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为______． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，四边形是平行四边形，延长到点E，使得，连接交于点F．证明：． 20. 如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是菱形？ 21. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 22. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为　　　； （2）小田和小旭游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断的序号是　　　． 23. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 24. 正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）边取点，使得，过点作交于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 25. 实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： （1）设，则图④中的值为______； （2）小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； （3）连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年厦门市第十一中学第二学期期中教学质量检测 八年级数学 （试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 以下各数是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，理解最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：是最简二次根式，故此选项符合题意； B：，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C：，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D：，不最简二次根式，故此选项不符合题意．   故选：A ． 2. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A. 5，11，12 B. 3，4，5 C. 4，6，8 D. 6，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故本选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数，根据函数的定义逐项判断即可求解，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 故选：． 4. 用一个的值说明“”是错误的，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，由知要说明“”是错误的，则，据此解答即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴要说明“”是错误的，则， ∴的值可以是， 故选：． 5. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法逐项判断即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、一组对边平行，另一组对边不平行，不能判断四边形是平行四边形，该选项不合题意； 、只知道一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，该选项不合题意； 、只知道一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，该选项不合题意； 、一组对边平行且相等，能判断四边形平行四边形，该选项符合题意； 故选：． 6. 下是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ） A. 由②推出③，由③推出① B. 由①推出②，由②推出③ C. 由③推出①，由①推出② D. 由①推出③，由③推出② 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和矩形的性质定理解题即可． 【详解】根据正方形特点由②可以推理出③，再由矩形的性质根据③推出①， 故选A． 【点睛】此题考查正方形和矩形的性质定理，难度一般． 7. 甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（ ） A. 5s时，两架无人机都上升了50m B. 10s时，两架无人机的高度差为20m C. 乙无人机上升的速度为 D. 10s时，甲无人机距离地面的高度是100m 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象分别判断即可． 【详解】解：A、5s时，甲无人机上升了50m，乙无人机上升了m，故错误，符合题意； B、10s时，两架无人机的高度差为 m，故正确，不符合题意； C、乙无人机上升的速度为，故正确，不符合题意； D、10s时，甲无人机距离地面的高度是100m，故正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象的意义是解题的关键． 8. 如图，一根长的吸管置于底面直径为，高为的杯子中，则吸管露在杯子外面的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出吸管露在杯子外面的长度的最短距离，再求出吸管露在杯子外面的长度的最长距离，进而可得出结论． 【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，吸管露在杯子外面的长度最短， 此时， 故吸管露在杯子外面的长度的最短距离； 当吸管垂直杯子底面时，吸管露在杯子外面的长度为， 即吸管在杯子外端的长度范围是， 选项D不符合题意， 故选：D 9. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ） A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是 C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是 【答案】A 【解析】 【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证； 乙方案：由，可得,即可得， 再利用对角线互相平分得证； 丙方案:方法同乙方案． 【详解】连接交于点 甲方案：四边形是平行四边形 四边形为平行四边形． 乙方案： 四边形是平行四边形 ，， 又 (AAS) 四边形为平行四边形． 丙方案: 四边形是平行四边形 ，，， 又分别平分 ， 即 （ASA） 四边形为平行四边形． 所以甲、乙、丙三种方案都可以． 故选A． 【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键． 10. 如图，，和都是等边三角形，F为中点， 交于G点，下列结论中，正确的结论有（ ）个． ①；②四边形是菱形；③；④． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由和都是等边三角形，可得，，则，，如图，连接，则，由，，可得垂直平分，即，可判断①的正误；，，由，可得，则四边形不是菱形，可判断②的正误；由是等边三角形，F为中点，可得，即，证明，，可证四边形是平行四边形，则，，即，可判断③的正误；由，，，可证，可判断④的正误． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，， 如图，连接， ∵，F为中点， ∴， ∵，， ∴垂直平分，即，①正确，故符合要求； ∴， ∴， ∵， ∴，四边形不是菱形，②错误，故不符合要求； 是等边三角形，F为中点， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，，即，③正确，故符合要求； ∵，，， ∴，④正确，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，垂直平分线的判定，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：（）______；（）______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质化简即可； （）根据二次根式的性质化简即可； 本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （）原式， 故答案为：． 12. 已知点在函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，把点代入一次函数解析式解答即可求解，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E两点间的距离为30m，则A，B两点间的距离为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】先判断出DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解． 【详解】解：∵点D，E分别是AC和BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵DE＝30， ∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）． 故答案为：60． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键． 14. 如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为和的两个小正方形，余下两个全等的矩形（图中阴影部分），则大正方形的边长为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减， 根据正方形的面积表示出边长，再相加可得答案． 【详解】解：设两个小正方形的边长为a，b， ∴， ∴， ∴大正方形的边长为（）． 故答案为：． 15. 如图，已知四边形是矩形，，点E在上，．若平分则的长为___． 【答案】10 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，由角平分线和平行线的性质可证，由勾股定理可求解．本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：平分， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 16. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等，由正方形 的性质可得，，即得，得到，即可得，再根据为等腰直角三角形得即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据二次根式的性质和运算法则计算即可； （）利用平方差公式、二次根式的运算法则计算即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算和代入求值，涉及到了分式的加法和除法运算、二次根式分母有理化等知识，解题关键是掌握分式的混合运算的方法，能熟练进行通分与约分．先化简原式，再将的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 如图，四边形是平行四边形，延长到点E，使得，连接交于点F．证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的证明． 由平行四边形的性质可得，，从而，，又，通过“”证得． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴在和中， ， ∴． 20. 如图，的对角线，交于点，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，连接，． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是菱形？ 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）当对角线满足时,四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形性质得出，，证出，，则可得出结论； （2）由菱形的判定可得出结论． 【小问1详解】 四边形为平行四边形． 理由：四边形为平行四边形， ，， 以点，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点， ，， 四边形为平行四边形； 小问2详解】 当对角线满足时,四边形是菱形 ， ∵， ∴， 又∵四边形是平行四边形 ， ∴四边形是菱形． 21. 如图，矩形中，，． （1）利用尺规在边上求作点，使得（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连结，过点作，垂足为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）利用基本作图，作即可； （2）先利用矩形的性质得到，，则，然后证明得到，据此即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 点为所求作的点； 【小问2详解】 解：由（1）作图知，， 在矩形中有，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是此类问题的关键．也考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质． 22. 北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园．小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图所示． 记录得到以下信息： a．小田和小旭从永定塔出发行走的路程和（单位：）与游览时间x（单位：）的对应关系如下图： b．在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如下表： 景点 济南园 忆江南 北京园 锦绣谷 路程（） 1 2 3 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为　　　； （2）小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在　　　相遇（填写景点名称），此时距出发经过了　　　； （3）下面有三个推断： ①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是； ②小旭比小田晚到达国际展园； ③时，小田比小旭多走了． 所有合理推断的序号是　　　． 【答案】（1）4 （2）忆江南， （3）②③ 【解析】 【分析】（1）由图象可知，，则永定塔到国际展园的路程为4； （2）由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇，由图象可知，小田的运动速度为，则小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为，计算求解即可；（3）由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，可判断①的正误；小旭比小田晚到达国际展园，可判断②的正误；时，小田走的路程为，则小田比小旭多走了，可判断③的正误． 【小问1详解】 解：由图象可知，， ∴永定塔到国际展园的路程为4， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：由图象可知，当时，小田和小旭在忆江南相遇， 由图象可知，小田的运动速度为， ∴小田和小旭在忆江南相遇时的相遇时间为（）， 故答案为：忆江南，； 【小问3详解】 解：由图象可知，小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是，①错误，故不符合要求； 小旭比小田晚到达国际展园，②正确，故符合要求； 时，小田走的路程为， ∴小田比小旭多走了，③正确，故符合要求； 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了函数图象，有理数减、乘、除运算的应用．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 23. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． （1）求水池的深度； （2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】（1）12尺 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【小问1详解】 解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； 【小问2详解】 证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确． 24. 在正方形中，点在边上，点在边上，，连接，． （1）求证：； （2）在边取点，使得，过点作交于点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析②，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质以及勾股定理： （1）设相交于点H，根据证明，得由得，由三角形内角和定理得，即； （2）①根据题意补全图形即可；②延长到点Q，使，连接，证明，根据证明，得，再证明，得是等腰直角三角形，得到，从而可得结论 【小问1详解】 证明：设相交于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，即为所作： ②,理由如下： 延长到点Q，使，连接，如图， 由（1）得，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∵ ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∴． 25. 实践操作： 在数学活动课上，老师叫同学们每人都拿出一张矩形纸条，如下图，按以下步骤操作：第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．第二步，如图②，把这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平．第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处．第四步，如图④，展平纸片，按照所得的点D折出，使． 问题解决： （1）设，则图④中的值为______； （2）小聪量得他的矩形纸片长为，宽为，如图⑤所示，于是他在第一步的基础上沿着过点A的直线折叠，点H恰好落在上的点F处，折痕为，他延长交直线于点D，又知点D到点M的距离为点D到点C的距离的，请帮他计算的长； （3）连接（2）中得到的正方形的两条对角线和交于点H，如图⑥G是的中点，E是上的一点，且，仍为，F是上的一动点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由折叠的性质得出结合勾股定理得出，再把数值代入进行化简，即可作答． （2）先由正方形的性质得出，结合勾股定理算出，，设，则．列式，解出，过点D作于点G．，则，即可作答． （3）作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点，当点F运动到点时，取得最大值，因为G是的中点，所以是的中点．过点H作于点K，显然K是的中点，证明是的中位线，得．则，而，即可作答． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵这个正方形折成两个相同的矩形和再把纸片展平 ∴ ∵折出内侧矩形的对角线，并把折到图③中所示的处 ∴ ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，． ∵，四边形是正方形， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 解得． 如图1，过点D作于点G． 显然是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问3详解】 解：如图2，作点G关于的对称点，连接并延长交BN于点， 即当点F运动到点时，取得最大值． ∵，，四边形是正方形， ∴易得，． ∵G是的中点， ∴是的中点． 过点H作于点K，显然K是的中点， ∴， ∴E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 显然是等腰直角三角形， ∴． 显然， 而， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段的最值，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$