精品解析：2025年四川省内江市威远中学校 九年级中考模拟考试数学试题

威远中学校初2025届九年级下期模拟考试数学 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 2. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 5. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 若和的和是单项式，则的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 9. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位吨），数据为：7，5，6，8，8，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 8.5，8 C. 8，8 D. 7，8 10. 如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 11. 如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 把多项式3m2﹣6mn+3n2分解因式的结果是_______． 14. 按如图所示程序计算，若开始输入，则最后输出的结果为______． 15. 将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 16. 已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 18. 如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 19. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 20. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． （1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? （2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 21. 如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 22. _______． 23. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 24. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是______． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰，点A在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为6，则的值为______________． 五、解答题（本大题共3小题，26、27题各13分，28题14分，共40分） 26. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）求a，b的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 27. 如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 28. 我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0． （1）求c的值； （2）设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值； （3）若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校初2025届九年级下期模拟考试数学 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 将在数轴上对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，正确理解有理数所表示的点左右移动后得到的点所表示的数是解题的关键．将在数轴上对应的点向右平移2个单位，在数轴上找到这个点，即得这个点所表示的数． 【详解】根据题意：数轴上所对应的点向右平移2个单位，则此时该点对应的数是1． 故选B． 2. 一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据从上面看到的图形是几何体的俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看，如图所示： 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，幂的乘方以及同底数幂的除法，合并同类项法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某一个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 如图，，过点作于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和，平行线的性质的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，，即，再根据平行线的同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 6. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据“如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱”可知每头牛的价钱是，“如果每9家共出270钱，又多了30钱” 可知每头牛的价钱是，即可得到答案． 【详解】解：如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱， 每头牛的价钱是； 如果每9家共出270钱，又多了30钱， 每头牛的价钱是； 则可列方程为． 故选：A． 7. 对于实数a，b定义运算“⊗”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程为，再利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，新定义下的实数运算，正确得到关于x的方程为是解题的关键． 8. 若和的和是单项式，则的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得和是同类项，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵和的和是单项式， ∴和是同类项， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，求一个数的平方根，熟练掌握根据题意得到和是同类项是解题的关键． 9. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位吨），数据为：7，5，6，8，8，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 9，8 B. 8.5，8 C. 8，8 D. 7，8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的求法是解题的关键．根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列：5，6，7，8，8，9，10． 所以这组数据的中位数是8，众数是8． 故选：C． 10. 如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键． 根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可． 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 11. 如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键． 作辅助线如图，利用函数表达式设出、两点的坐标，利用，是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果． 【详解】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形ABC中，，是中点， 设，， 由中点为，，故等腰三角形中， ∴， ∴， ∵AC的中点为M， ∴，即， 由在反比例函数上得， ∴， 解得：， 由题可知，， ∴． 故选：B． 12. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的图象经过点， ∴当时，，故①正确； ∵抛物线的图象交x轴于点、， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴； ∵、， ∴， ∴； 在中，当时，， ∴， ∴， 当时，则由勾股定理得， ∴， ∴或（舍去）； 同理当时，可得； 综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误； 当时，，则， 如图所示，取点，连接，则， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得，故④正确， ∴正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 把多项式3m2﹣6mn+3n2分解因式的结果是_______． 【答案】3（m﹣n）2 【解析】 【详解】解：3m2﹣6mn+3n2=3（m2﹣2mn+n2）=3（m﹣n）2． 故答案为： 14. 按如图所示程序计算，若开始输入，则最后输出的结果为______． 【答案】105 【解析】 【分析】此题考查了代数式求值和程序框图，解题的关键是正确运算． 根据题意将代入得到，然后继续将代入得到，进而可得答案． 【详解】当时，， ∴继续运算，当时， ∴最后输出的结果为105． 故答案为：105． 15. 将如图1所示的5个小长方形分别不重叠地放在两个形状、大小完全相同的大长方形中（如图2，3）．已知大长方形的长为，则图3中阴影部分的周长与图2中阴影部分的周长的差是______．（用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为，根据图形，列二元一次方程组；求得图1的长方形的长和宽，再计算两个图形中阴影部分的周长之差 【详解】设图1中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 由图2可知 解得： 由图3可知： 设图2的阴影部分周长为 ，设图3的阴影部分周长为 故答案为：． 16. 已知函数，当时，y随x的增大而减小，且抛物线上有两点、，，，、总满足，则实数a的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，对任意的，，，相应的函数值，总满足，只需最大值与最小值的差小于等于即可，进而求解．将转换为最大值与最小值的差小于等于是解题的关键． 【详解】解：∵函数的对称轴为，而时，函数值随增大而减小， ∴， ∵和， ∴时，函数的最小值为：， ∴函数的最大值在和中产生， 则，中，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴，而， ∴距离更远， ∴当时，函数取得最大值为：， ∵对任意的，，，相应的函数值，总满足， ∴最大值与最小值的差小于等于， 即， ∴， 解得：， ∵， ∴实数的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】（1）原式；（2）， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是整数指数幂、求一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、二次函数的加减运算法则、分式化简求值、完全平方公式、平方差公式，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据零指数幂、求一个数的绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次函数的加减运算法则即可得解； （2）结合分式化简求值、完全平方公式、平方差公式即可得解． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ， ， ， ， 原式． 18. 如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． （1）求证：； （2）当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形和菱形．熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）由题目中的中，O为对角线的中点，可以得出，，结合，可以证得两个三角形全等，进而得出结论；  （2）由（1）中得到的结论可以得到，结合得出四边形是平行四边形，进而利用证明出四边形为菱形，根据即可求出菱形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 19. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图． 请结合图中信息解答下列问题： （1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整； （2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率． 【答案】（1）40； 补全图形如下： （2）72 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形； （2）用360度乘以C组人数所占比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查总人数为（名）， C组人数为（名）， 故答案为：40； 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种， ∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为． 20. 端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． （1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? （2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 【答案】（1）每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元 （2）至少购进600个粽子 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答； （2）设购进个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答． 【小问1详解】 设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则： ． 解得． 答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元； 【小问2详解】 设购进个粽子， 根据题意，得． 解得． 因为是正整数，所以最小值取600． 答：至少购进600个粽子． 21. 如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可； （2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可； （3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解． 【小问1详解】 解∶∵经过， ∴，解得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， ∴不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：设点C的坐标为，， ①以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ②以、为对角线， 则， 解得， ∴， ∴； ③以、为对角线 则， 解得， ∴， ∴； 综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查求一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题等，掌握数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 22. _______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】解:原式 ． 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，．以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以为直径作半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积． 设弓形，连接，，由题意知，即为等边三角形，，即可得出阴影部分面积为，代入数值即可求出结果． 【详解】解：∵以点为圆心，长为半径作弧交于点，，， ∴， ∴以为直径作半圆时，圆心为点， 设弓形，连接，，即，如图： ∴为等边三角形， ∴， 故阴影部分面积为， 代入数值可得， 故答案为． 24. 如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，等腰，点A在轴正半轴上，点在第一象限内，反比例函数的图象与交于点，连接，若的面积为6，则的值为______________． 【答案】5 【解析】 【分析】分别过，两点作轴，轴，垂足分别为，，证明，可得，利用等腰直角三角形的性质设，则，结合三角形的面积可求得值，即可求得的长及，两点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式，即可求出点坐标，再将点代入反比例函数关系式可求得值． 【详解】解：分别过，两点作轴，轴，垂足分别为，， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰，， ， ， 设，则， ，， ， ， 解得，（舍去）， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ， 当时，， 解得， 即， ， 将代入 中， ． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查待定系数法求解反比例函数关系式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，待定系数法求解一次函数关系式等知识的综合运用，求解点坐标是解题的关键． 五、解答题（本大题共3小题，26、27题各13分，28题14分，共40分） 26. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 水果种类 进价（元千克） 售价（元）千克） 甲 a 20 乙 b 23 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要305元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要470元． （1）求a，b的值； （2）该超市决定每天购进甲、乙两种水果共100千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于30千克，且不大于80千克．实际销售时，若甲种水果超过60千克，则超过部分按每千克降价3元销售．求超市当天售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x（千克）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润y（元）取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价m元，若要保证利润率（）不低于，求m的最大值． 【答案】（1） （2） （3）1.2 【解析】 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克，根据题意分两种情况：和，然后分别表示出总利润即可； （3）首先根据题意求出y的最大值，然后根据保证利润率（）不低于列出不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意列方程组为：， 解得； 【小问2详解】 设购进甲种水果的数量的数量为x千克，则购进乙种水果的数量的数量为千克， ∴当时， ； 当时， ； 综上所述，； 【小问3详解】 当时，， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 当时，， ∴（元）， ∴由上可得：当时，y取最大值520（元）， ∴由题意可得，， ∴解得． ∴m的最大值为1.2． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 27. 如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点． （1）判断直线是否为的切线，并说明理由； （2）如果，，求的长． （3）将线段以直线为对称轴作对称线段，点正好在圆上，如图2，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）直线为的切线， 理由如下： 如图1，连接，     是的直径， ， ， 又， ， ， ，即， 是的半径， 直线为的切线； （2） （3） 证明：如图2，连接，     由题意得：，， ，，， ， ∴， ，， ， 为切线， ， ， 四边形为平行四边形， 、为切线， ， 四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，由是圆的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线； （2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可； （3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为切线， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ∴的长为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 28. 我们定义：平面直角坐标系中点到x轴的距离称为点P的偏离距离，如的偏离距离为2．已知抛物线 与直线相交于不同的两点A，B，其中点A在y轴负半轴，且偏离距离为点 B的坐标为 其中a，b，c，m，n为实数， 且a，m不为0． （1）求c的值； （2）设抛物线 上偏离距离为0的两个点的横坐标分别为和，求的值； （3）若函数图象在上所有点的偏离距离的最大值记为d，如函数 在 上的最大偏离距离 求抛物线在上的最大偏离距离d的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，一元二次方程根与系数的关系，以及二次函数的图象和性质． （1）根据题意得出点A的坐标，将其代入，即可求出c的值； （2）先得出该直线的解析式为，把代入得出，则，把代入得出，进而得出，最后根据一元二次方程根与系数的关系，即可解答； （3）根据题意得出抛物线为，则y有最小值，当时，，当时，，令，，，画出的函数图象，根据图象，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点A在y轴负半轴，且偏离距离为 ∴， 把代入得：； 【小问2详解】 解：把代入得：， ∴该直线的解析式为， 把代入得：， 整理得：， ∵点A和点B为不同两点，点A在y轴上， ∴， ∴， 把代入得：， 整理得：， 把代入得：， ， ， ， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵抛物线 上偏离距离为0的两个点在x轴上， ∴和为方程的两根， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴抛物线为， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 令，，， 画出的函数图象如图所示： 由图可知，当时，d取最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $