精品解析：江西省南昌市南昌县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

南昌县2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，得到，求解即可． 【详解】要使在实数范围内有意义， ∴ 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式和分式有意义的条件．二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断． 【详解】解：.，所以选项错误； .，所以选项错误； .，所以选项正确； .，所以选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理对四个选项依次判断即可． 【详解】解：对于A选项． ∵∠A=∠B-∠C， ∴∠A+∠C=∠B． ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠B=180°． ∴∠B=90°． ∴△ABC为直角三角形． 故A选项不符合题意． 对于B选项． ∵∠A：∠B：∠C=1:2:3， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故B选项不符合题意． 对于C选项． ∵， ∴． ∴△ABC为直角三角形． 故C选项不符合题意． 对于D选项． ∵， ∴设，则，． ∵， ∴△ABC不是直角三角形． 故D选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，勾股定理逆定理，熟练掌握这些知识点是解题关键． 4. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 的值可以是， 故选：． 5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 6. 如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，先判断出是的中垂线，可得，从而可得出的周长为，再由的周长为，即可得出答案．解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 7. 如图，将三角尺沿边所在直线平移后得到，连接下列结论错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 四边形是平行四边形 C. 四边形是矩形 D. 四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，特殊四边形的判定；根据平移的性质得出特殊四边形的判定条件；熟知平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵三角尺沿边所在直线平移后得到， ，， ∴四边形是平行四边形 ∴四边形是矩形 是等腰三角形 故A、B、C正确； 在中， ∴四边形不是菱形； 故选：D． 8. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“，或”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，根据即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知则____________________. 【答案】-2 【解析】 【分析】直接代入，根据二次根式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：当时， 原式 【点睛】本题考查了学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型． 11. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 【答案】24 【解析】 【分析】已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：该菱形的面积是S=ab=×6×8=24cm2， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式． 12. 在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB边上的中线CD=______． 【答案】## 【解析】 【分析】先运用勾股定理求出斜边AB，然后再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：由勾股定理得，AB= ∵∠C=90°，CD为AB边上的中线， ∴CD=AB= ， 故答案为． 【点睛】本题考查的是勾股定理和直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解答本题的关键． 13. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质；根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等腰三角形的判定即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故答案为：2． 14. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①如图1，当时，在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；②如图2，当时，在正方形的外部，同理可解答；③如图3，当时，证明，可得，从而可解答． 【详解】解：分三种情况： ①如图1，当时，在正方形的内部， 是的中点，且， ， 四边形是正方形， ，， ， ； ②如图2，当时，在正方形的外部， 同理可得； ③如图3，当时， ，，， ， ， ， 综上，的长是或或； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出边BC的中点； （2）在图2中，作出边CD的中点． 【答案】（1） 如图所示，点F即为所求； （2） 如图所示，点H即为所求 【解析】 【分析】（1）连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F，点F即为所求； （2）如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，连接AC，BD交于O，连接EO并延长交BC于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB=OC，即点C在BC的线段垂直平分线上， 同理可证E在线段BC的垂直平分线上， ∴EO是BC的线段垂直平分线， ∴F即为BC的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，连接DF交AC于G，连接BG并延长交CD于H，点H即为所求； ∵四边形ABCD是正方形， ∴CB=CD，∠BCG=∠DCG=45°， 又∵CG=CG， ∴△BCG≌△DCG（SAS）， ∴∠BGC=∠DGC， 又∵∠BGF=∠DGH， ∴∠HGC=∠FGC， ∵CG=CG，∠CGH=∠CGF， ∴△CFG≌△CHG（ASA）， ∴CH=CF， ∵F是BC的中点，即BC=2CF， ∴BC=CD=2CH，即点H为CD的中点； 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟知正方形的性质是解题的关键． 17. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． 【答案】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O， ∴AO=CO，ADBC， ∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中 ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF． 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，ADBC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案． 【详解】略 18. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】，7，7；（1）；（2）无解 【解析】 【分析】学习新知，类比求解：根据题意补充完整即可； （1）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可； （2）移项得，，根据原题提供的方法进行求解即可． 【详解】学习新知，类比求解：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． 答案为：，7，7 ； 学会转化，解决问题： （1）， 解：移项得，， 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）， 移项， 去根号，两边同时平方得方程， 解这个方程，得， 经检验，不是是原方程的解．原方程无解． 20. 已知：如图，平行四边形，延长边到点E，使，连接、和，设交于点O， （1）求证：四边形是平行四边形 （2）试证明当时，四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形得到，，结合即可得到，即可得到证明； （2）根据四边形是平行四边形得到，结合，，从而得到即可得到，结合四边形是平行四边形即可得到，即可得到证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的内外角关系，解题的关键是得到． 21. 如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，交于点G，作交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明结论； （2）如图，连接，根据菱形的性质证明可得、进而得到，然后再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴，解得：． 五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分） 22. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究，的平方和与，的平方和之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 【答案】（1） 四边形是垂美四边形． 理由：如图，连接，， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，即四边形是垂美四边形； （2） ． 理由：如图， ∵四边形是垂美四边形， ∴． ∴， 由勾股定理得， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可； （3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接、， 在正方形和正方形中， ， ∴，即． ∴． ∴． 又， ∴． ∴，即． ∴四边形是垂美四边形． 由(2)得， ∵ ∴ ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县2024-2025学年度第二学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是( ) A. B. C. D. 且 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. △ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，对角线、相交于点，交于点，连接，若的周长为，则的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将三角尺沿边所在直线平移后得到，连接下列结论错误的是（ ） A. 是等腰三角形 B. 四边形是平行四边形 C. 四边形是矩形 D. 四边形是菱形 8. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：________（填“，或”）． 10. 已知则____________________. 11. 若菱形的两条对角线长分别是6cm，8cm，则该菱形的面积是____cm2． 12. 在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则AB边上的中线CD=______． 13. 如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为________． 14. 如图正方形边长为2，为边中点，为射线上一点不与重合），若为直角三角形，则__________． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，点E是正方形ABCD内一点，且，请仅用无刻度的直尺按要求作图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，作出边BC的中点； （2）在图2中，作出边CD的中点． 17. 如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF． 18. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． 【学习新知，类比求解】解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程________________，解这个方程，得________．经检验，________是原方程的解． 【学会转化，解决问题】运用上面的方法解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图，平行四边形，延长边到点E，使，连接、和，设交于点O， （1）求证：四边形是平行四边形 （2）试证明当时，四边形是矩形． 21. 如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，交于点G，作交于点F，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 五、（本大题共1小题，每小题10分，共10分） 22. 若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形． （1）概念理解：如图1，在四边形中，，，判断四边形是否为垂美四边形，并说明理由； （2）性质探究：如图2，试在垂美四边形中探究，的平方和与，的平方和之间的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $