第43期 数据的频数分布-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 附加题 　（１）因为四 边形ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＡＢＣ＝９０°．所以∠ＥＢＧ ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所 以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩 形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ， 图略．因为正方形ＡＢＣＤ和 平行四边形 ＢＥＦＧ，所以 ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ ＢＣ．所以 ＤＣ∥ ＧＦ．所以 ∠ＨＤＰ ＝ ∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ ＝∠ＦＧＰ．因为 Ｐ是线段 ＤＦ的中点，所以ＤＰ＝ＦＰ． 所 以 △ＤＨＰ ≌ △ＦＧＰ（ＡＡＳ）．所以 ＨＰ＝ ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当∠ＣＰＧ＝ ９０°时，ＰＧ⊥ ＰＣ．所以 ＣＨ ＝ＣＧ．所以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ －ＣＧ，即 ＤＨ＝ＢＧ．所以 ＢＧ＝ＦＧ．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知四 边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四 边形ＢＥＦＧ是正方形． 上期检测卷 一、１．Ｃ；　２．Ｂ； ３．Ｂ；　４．Ｂ； ５．Ｃ；　６．Ｄ； ７．Ｄ；　８．Ｂ； ９．Ｂ；　１０．Ｄ． 二、１１．２０； １２．答案不惟一，如ＡＣ ＝ＢＤ； １３．３０°；　１４．４５°； １５．槡２２或槡１０或２． 三、１６．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ∠Ａ＝∠Ｃ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ ＝ ∠ＣＢＦ，所 以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（ＡＳＡ）．所以 ＡＥ＝ ＣＦ．所以ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ ＣＦ，即ＢＥ＝ＤＦ． １７．因为ＣＥ⊥ＢＡ，ＢＦ ⊥ ＣＡ，所 以 ∠ＢＥＣ ＝ ∠ＣＦＢ＝９０°．因为 Ｍ是 ＢＣ的中点，所以 ＥＭ ＝ １ ２ＢＣ＝ＢＭ，ＦＭ＝ １ ２ＢＣ ＝ＣＭ．所以 ∠ＢＥＭ ＝ ∠ＡＢＣ，∠ＣＦＭ ＝∠ＡＣＢ． 所以 ∠ＣＭＥ＝∠ＢＥＭ ＋ ∠ＡＢＣ ＝５６°，∠ＢＭＦ ＝ ∠ＣＦＭ＋∠ＡＣＢ＝９６°．所 以∠ＥＭＦ＝１８０°－∠ＣＭＥ －∠ＢＭＦ＝２８°． １８．四边形ＡＤＣＢ是菱 形．理由如下： 因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ．又因为 ＯＡ ＝ ＯＣ，∠ＡＯＢ ＝ ∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＢ≌ △ＣＯＤ．所以 ＡＢ＝ＣＤ．所 以四边形 ＡＤＣＢ是平行四 边形．因为四边形ＯＤＥＣ是 矩形，所以 ∠ＣＯＤ＝９０°． 所以ＢＤ⊥ＡＣ．所以四边形 ＡＤＣＢ是菱形． 书 在具体问题中，权往往有多种表现形式，所以计算加 权平均数的关键是又快又准地找出隐含在问题中的权． 一、以个数的形式出现 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１ 为了提高大家的环境保护意识，某小区在假 期开展了废旧电池回收的志愿者活动，该小区有１０名 中学生参加了此项活动，他们回收的旧电池数量如下 表： 电池数量 ２ ５ ６ ８ １０ 人数 １ ４ ２ ２ １ 根据以上数据，这１０名中学生收集废旧电池的平 均数为 节． 解：这 １０名中学生收集废旧电池的平均数为： ２×１＋５×４＋６×２＋８×２＋１０×１ １０ ＝６（节）． 故填６． 二、以百分数的形式出现 例２　某校评选卫生先进班集体，从教室、楼梯、操 场、宿舍四项进行考核打分，各项满分均为１００分，八年 级二班这四项得分依次为８０分、９０分、８４分、７０分．若这 四项所占比重分别为４０％，２５％，１５％，２０％，则该班的 综合得分为 （　　） Ａ．８１分 Ｂ．８１．１分 Ｃ．８１．５分 Ｄ．８２分 解：该班的综合得分为：８０×４０％ ＋９０×２５％ ＋８４ ×１５％ ＋７０×２０％ ＝８１．１（分）． 故选Ｂ． 三、以比的形式出现 例３　某校举行科技创新比赛，理论知识、创新设 计、现场展示的综合成绩按照２∶５∶３的比例确定．某同 学本次比赛的各项成绩分别为理论知识９５分，创新设 计８８分，现场展示 ９０分，则该同学的综合成绩是 分． 解：该同学的综合成绩是： ９５×２＋８８×５＋９０×３ ２＋５＋３ ＝９０（分）． 故填９０． 书 统计图条件下的“三数”问题在近几年的中考模拟 中屡见不鲜．解题的关键在于从题中所给出的统计图中 捕捉有关的数据信息，然后确定“三数”，从而解决问题． 一、条形统计图中的“三数” 例１　某高校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中， 组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情况， 学校随机抽查了１００名学生的植树情况，将调查数据 绘制成如图１所示的条形统计图，那么这组数据的众 数是 ，中位数是 ，平均每人植树 棵． 解：由统计图可知４出现了３０次，出现的次数最多， 所以众数是４；将数据从小到大排列，位于中间位置的数 据是５，６，所以中位数是５．５；平均每人植树：（４×３０＋５ ×２０＋６×２５＋８×１５＋１０×１０）÷１００＝５．９（棵）． 故填４，５．５，５．９． 二、折线统计图中的“三数” 例２　 为激励青少年爱读 书、读好书、善读书，某校积极开 展全员阅读活动．小吴为了解本 班同学一个月的课外阅读量，随 机选取班上部分同学进行调查， 并将调查结果绘制成如图２所示的折线统计图．下列说 法中，正确的是 （　　） Ａ．调查随机选取了１４名同学 Ｂ．中位数是２本 Ｃ．众数是４本 Ｄ．平均数是２．４本 解：由图可知选取的同学有：１＋２＋４＋６＋２＝ １５（名），故Ａ选项错误；将选取的１５名同学的阅读量按 从低到高排列，第８位同学的阅读量为中位数，中位数 是３本，故Ｂ选项错误；由折线统计图可知众数是３本， 故Ｃ选项错误；总阅读量为：０×１＋１×２＋２×４＋３× ６＋４×２＝３６（本），平均数是：３６÷１５＝２．４（本），故Ｄ 选项正确． 故选Ｄ． 三、扇形统计图中的“三数” 例３　某公司决定招聘一名职员，一位应聘者三项 素质测试的成绩如下表： 测试项目 创新能力 专业知识 语言表达 测试成绩 ／分 ７０ ８０ ９２ 这三项成绩按照如图 ３所示 的比例确定综合成绩，则这位应聘 者最后的得分为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．７８分 Ｂ．７９．５分 Ｃ．８０．５分 　　Ｄ．８２分 解：这位应聘者最后的得分 为：７０×３５％ ＋８０×４０％ ＋９２×２５％ ＝７９．５（分）． 故选Ｂ． 书 统计图中的“四频”是指频数、频率、频数分布表、 频数直方图．其中，频数、频率用数据描述，频数分布表 用表格表示，频数直方图用图形反映．它们既相互独立， 又相互联系．现撷取几例，与同学们共赏． 一、由频数直方图求频率 例１　 某校为了解八年级 学生的体能情况，随机抽查了其 中的３０名学生，测试了１分钟仰 卧起座的次数，并绘制成如图１ 所示的频数直方图，请根据图示 计算，仰卧起座次数在１５～２０ 次之间的频率是 （　　） Ａ．０．１　　　Ｂ．０．１７　　　Ｃ．０．３３　　　Ｄ．０．４ 解：由图１可知，１５～２０次的人数是：３０－１０－１２－ ５＝３．所以１５～２０次之间的频率是：３３０＝０．１．故选Ａ． 二、补全频数分布表与频数直方图 例２　光明中学组织全校１０００名学生进行校园安 全知识竞赛．为了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从 中随机抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 １００分），并绘制了如下的频数分布表和如图２所示的频 数直方图（不完整）． 分组 频数 频率 ５０．５～６０．５ １０ ａ ６０．５～７０．５ ｂ ７０．５～８０．５ ０．２ ８０．５～９０．５ ５２ ０．２６ ９０．５～１００．５ ０．３７ 合计 ｃ １ 请根据以上提供的信息，解答下列问题： （１）直接写出频数分布表中 ａ，ｂ，ｃ的值，并补全频 数直方图； （２）若８０分为优秀，那么这次知识竞赛的优秀率是 多少？ （３）学校将对成绩在９０．５～１００．５分之间的学生进 行奖励，请估计全校１０００名学生中约有多少名获奖？ 解：（１）根据题意，得ｃ＝５２÷０．２６＝２００， ａ＝１０÷２００＝０．０５， ｂ＝２００×（１－０．０５－０．２－０．２６－０．３７）＝２４． 在７０．５～８０．５分小组的频数为：２００×０．２＝４０， 在５０．５～６０．５分小组的频数为１０． 补全的频数直方图如图３所示． （２）由频数直方图，得这次知识竞赛的优秀率是： ０．２６＋０．３７＝０．６３＝６３％． （３）由频数分布表知全校１０００名学生成绩在９０．５ ～１００．５分之间的频率为０．３７． 所以全校１０００名学生中获奖的约有：１０００×０．３７ ＝３７０（人）． 书 我们知道，频率是指某一事件实际发生的次数与所 有可能发生的所有次数的比值，即频率 ＝频数 总数 ．它可以 用来衡量某一事件发生可能性的大小：频率越大，它对 应的事件发生的可能性就越大；频率越小，它对应的事 件发生的可能性就越小．由此，在我们的实际生活中，若 能注意灵活运用某一事件发生的频率对总体进行估算， 往往能给我们解决生活中的许多问题带来方便． 例１　某工厂生产了一批零件，共１６００件，从中任 意抽取了８０件进行检查，其中合格产品７８件，其余不合 格，则可估计这批零件中有 件不合格． 解：因为在任意抽取的８０件中，有７８件合格，即有 ２件不合格， 所以不合格的频率为： ２ ８０＝ １ ４０． 所以这批零件的不合格频率也等于 １ ４０． 所以这批零件中不合格的约有：１６００× １４０ ＝ ４０（件）． 故填４０． 例２　池塘中放养了鲤鱼８０００条，鲢鱼若干．在几 次随机捕捞中，共抓到鲤鱼３２０条，鲢鱼４００条．估计池 塘中原来放养了鲢鱼 条． 解：因为池塘中放养了鲤鱼８０００条，在捕捞中，共 抓到鲤鱼３２０条， 所以鲤鱼对应的频率为： ３２０ ８０００＝０．０４． 所以池塘中鲢鱼的频率也等于０．０４． 所以池塘里约有鲢鱼：４００÷０．０４＝１００００（条）． 故填１００００． 例３　一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这 个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出２０颗 幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇 匀；再从瓶中取出３０颗幸运星，发现有６颗幸运星带有记 号．请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数． 解：因为从瓶中取出３０颗幸运星，发现有６颗幸运 星带有记号， 所以对应的频率为： ６ ３０＝ １ ５． 所以该瓶中装有这些有记号的幸运星的频率也等 于 １ ５． ２０÷１５ ＝１００（颗）． 答：原来瓶中幸运星约有１００颗． 书 ４１期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（正方形） １９．３．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ ＡＦ，即ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ． 因为点Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点 Ｅ作 ＥＧ⊥ ＡＣ于点 Ｇ，图略．所以 ∠ＥＧＡ＝ ∠ＥＧＣ＝９０°．因为ＡＥ平分∠ＣＡＤ，所以ＥＤ＝ＥＧ．因为ＡＥ＝ ＡＥ，所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以 ＣＧ＝ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＡＣＤ＝４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝４５°．所以ＥＧ＝ ＣＧ＝槡２－１．由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２－槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得 ＥＦ２ ＝ＡＦ２＋ ＡＥ２ ＝３２．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ ＝９０°．所以∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．所以 △ＡＤＥ≌ △ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以 ＤＥ＝ＢＦ＝２， ∠ＡＥＤ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°． 根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ ⊥ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＥ ⊥ＥＦ，所以∠ＢＥＦ＝９０°．因为∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．因为 ＡＢ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ， ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所 以ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为 ＢＣ＝ＣＥ，所以 ＦＣ⊥ ＢＥ．所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１１． 槡１５２； １２．８． 三、１３．∠ＥＤＡ的度数是２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所 以∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．因为ＡＦ＝ ＤＥ，所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形 ＡＢＣＤ是正方形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＤＡＥ＝ ∠ＢＣＦ＝４５°，ＡＤ ＝ＢＣ．因为 ＡＥ ＝ＣＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ ＝９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ， 所以 ＨＧ＝ＫＥ＝ＡＢ．所以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理， 得ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ ＝４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形ＥＦＧＨ为菱形， 所以 ∠Ｄ ＝∠Ａ＝９０°，ＨＥ ＝ＧＨ．因为 ＡＨ ＝ＤＧ，所以 Ｒｔ△ＡＨＥ≌ Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）．所以 ∠ＡＥＨ ＝∠ＤＨＧ．因为 ∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ＝９０°，所以 ∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以 ∠ＥＨＧ＝９０°．所以四边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ －ＡＨ ＝４，ＣＧ ＝ＤＣ－ＤＧ ＝５．由勾股定理，得 ＨＧ ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５．因为四边形ＥＦＧＨ是正方形，所以ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾 股定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． !" #" $" %" &" '" (" )" !" " &"*& '"*& ("*& )"*& +"*& !""*& #$!% ! $ ! !" # $ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! %& '() &" '" !# !" & " !& #" #&$" $& ! ! " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " !" #" $" %" &" '" (" )" !" " &"*& '"*& ("*& )"*& +"*& !""*& ()!* ! # 书 一、用平均数决策 例１　某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、 丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 测试成绩（百分制） 面试 ８６ ９２ ９０ ８３ 笔试 ９０ ８３ ８３ ９２ 如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔 试成绩更重要，并分别赋予它们６和４的权．根据四人 各自的平均成绩，公司将录取 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 解：甲的平均成绩为：（８６×６＋９０×４）÷１０＝ ８７．６（分）；乙的平均成绩为：（９２×６＋８３×４）÷１０＝ ８８．４（分）；丙的平均成绩为：（９０×６＋８３×４）÷１０＝ ８７．２（分）；丁的平均成绩为：（８３×６＋９２×４）÷１０＝ ８６．６（分）．因为８８．４＞８７．６＞８７．２＞８６．６，所以公司 将录取乙． 故选Ｂ． 二、用中位数决策 例２　在某学校“我的中国梦”演讲比赛中，有７名 学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一 名学生想知道自己能否进入前３名，不仅要知道自己的 成绩，还要了解这７名学生成绩的 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．平均数 Ｂ．中位数 Ｃ．众数 Ｄ．方差 解：将７人的成绩从小到大排列后，处在第４名学 生的成绩就是这组数据的中位数，在知道自己成绩的 同时，若再知道中位数，比较自己的成绩与中位数的大 小，就可以知道自己是否进入前３名． 故选Ｂ． 三、用众数决策 例３　小明妈妈经营一家服装专卖店，为了合理利 用资金，小明帮妈妈对上个月各种型号的服装销量进 行了一次统计分析，决定在这个月的进货中多进某种 型号的服装，此时小明应重点考虑 （　　） Ａ．中位数 Ｂ．平均数 Ｃ．加权平均数 Ｄ．众数 解：由于众数是数据中出现次数最多的数，因此应 重点考虑众数． 故选Ｄ． """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! *+ ,-. +,-"% & ' ) $& $" #& #" !& !" & " '" ! ! !" ./ 0!1 123*456789 :;.<0=>?@A ! # '" ' % # " ! # $ % ! ! $ #&, BC DE %", FGHI $&, JK LM ! /0 123 ! 45 ' 6 ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" #"#&&%'#$( 789:;<=>?@A!"BC #$ D !"#$%&'" ()*+,-'. %&'( 9EFG9HI :JKLM!*5NOP"QRSTUV!"W!X 9YZ[\]* #*^I_N`a!"bcAdef"Q* NOPQMgh!"ia9jkTlma?@9 nopqrsWtursvLM* #"*#*! 9EFR8ST :JKLM!*UVwxyz"9{ZTN|6} "Q9wxyz"* #*N|6}"Q9~"€"* $* g‚?@Aƒ„"Q9yz"W ~"€ "* NOPQM!*…Nx9†‡ˆ‰Šyz "9‹Œ* #*tyz"W~"€"Ž ‘9’“€”•* $*L–—a˜Ž"™OPš@* AUV #W$ X8YB AUV !W% X8YB AZ[ % X\]^_B "#$% %&'()*!"+ /5`ab:cd /5`bef=ghiRj 9klmnopX m(Mqrs tuvwxypXz{M-. !%/"("(0|1B )*+,-./0 1 23-.456789/ "$&!2&#(!#') 23:;456789/ "$&!2&#(!"#$ #}l~~X #€„…pX #no†‡ˆM"$&!2&#(!#&' #}l‰ŠM/5‹ŒŽ‘’“” #"# {•–„lb—9klm789:no† #˜™nšM"$"""' #Ž›†œlžM"$&!%&#(!#'+ !&&$''$'))(|Ÿ ¡{B #œ¢M£¤¥¦Ž›†Š§¨©tª«˜¬|­B #˜™œ¢žM!!!)& #®¯°±œ²³œ´µœ # } ¦ ¶ © t ª ‹|ŽB@ e · ¸ ¹ ¦ # } ¦ º / 5 … Š » ¼ ½ ¾ ¿ ÀAŒ  Ž Á  à ‘ Ä Å ÆBÇ » W È ½ » É Ê Ë Ì Í W £ ¤ ¥ ¦ Ž › † Š § Î Ï 书 １９．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＤ＝ ＣＤ，∠ＤＡＥ＝∠ＤＣＦ．因为 ＤＥ⊥ ＡＢ，ＤＦ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°．所 以△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． （２）因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以 ＡＥ＝ＣＦ．因 为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所 以ＡＢ＝ＢＣ．所以 ∠ＭＡＥ ＝∠ＮＣＦ．又因为 ∠ＡＥＭ ＝∠ＣＦＮ ＝９０°，所以 △ＡＭＥ≌ △ＣＮＦ（ＡＳＡ）． 所以ＡＭ＝ＣＮ． ２０．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．因为 ＡＤ＝２ＡＢ，点Ｍ是ＡＤ的中 点，所以ＡＢ＝ＡＭ＝ＤＭ＝ ＣＤ．所以∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ ＝４５°．所以 ∠ＢＭＣ ＝ １８０°－∠ＡＭＢ－∠ＤＭＣ＝ ９０°．因为ＰＥ⊥ＭＣ，ＰＦ⊥ ＢＭ，所以∠ＰＥＭ＝∠ＰＦＭ ＝９０°．所以四边形 ＰＥＭＦ 为矩形． （２）当点Ｐ为ＢＣ的中 点时，矩形ＰＥＭＦ变为正方 形．理由如下： 在 △ＡＢＭ和 △ＤＣＭ 中，因为 ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝ ∠Ｄ，ＡＭ ＝ ＤＭ， 所 以 △ＡＢＭ ≌ △ＤＣＭ（ＳＡＳ）． 所以 ＢＭ ＝ＣＭ．因为点 Ｐ 为ＢＣ的中点，所以点Ｐ在 ∠ＢＭＣ的平分线上．所以 ＰＥ＝ＰＦ．所以矩形ＰＥＭＦ 为正方形． ２１．问题解决：（１）因 为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所 以∠ＤＡＢ＝∠ＡＢＦ＝９０°． 所以 ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＧ ＝ ９０°．因为 ＤＥ⊥ ＡＦ，所以 ∠ＡＧＤ＝９０°．所以∠ＡＤＥ ＋∠ＤＡＧ ＝ ９０°．所 以 ∠ＡＤＥ＝∠ＢＡＦ．因为 ＤＥ ＝ ＡＦ，所 以 △ＡＤＥ≌ △ＢＡＦ（ＡＡＳ）．所以 ＡＤ ＝ ＢＡ．因为四边形 ＡＢＣＤ是 矩形，所以四边形ＡＢＣＤ是 正方形． （２）△ＡＨＦ是等腰三 角形．理由如下： 因 为 △ＡＤＥ ≌ △ＢＡＦ，所以 ＡＥ＝ＢＦ．因 为 ＢＨ ＝ＡＥ，所以 ＢＨ ＝ ＢＦ．因为∠ＡＢＦ＝９０°，所 以 ＡＢ⊥ ＨＦ．所以 ＡＨ ＝ ＡＦ，即 △ＡＨＦ是等腰三角 形． 类比迁移：延长 ＣＢ到 点 Ｈ，使 ＢＨ ＝ＡＥ，连接 ＡＨ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＨ ＝∠ＤＡＥ．在 △ＤＡＥ和 △ＡＢＨ中，因为ＡＥ＝ＢＨ， ∠ＤＡＥ ＝ ∠ＡＢＨ，ＡＤ ＝ ＢＡ， 所 以 △ＤＡＥ ≌ △ＡＢＨ（ＳＡＳ）．所以 ＡＨ ＝ ＤＥ，∠Ｈ＝∠ＤＥＡ＝６０°． 因为ＤＥ＝ＡＦ，所以ＡＨ＝ ＡＦ．所以 △ＡＨＦ是等边三 角形．所以ＡＨ＝ＨＦ．所以 ＤＥ＝ＨＦ＝ＢＨ＋ＢＦ＝９． 书 ２０．１数据的频数分布 １．一个容量为８０的样本中最大数是１４２，最小数是 ５０，取组距为１０，则可以分成 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１０组 Ｂ．９组 Ｃ．８组 Ｄ．７组 ２．为推广全民健身运动，某单位组织员工进行爬 山比赛，在 ５０名报名者中，青年组有 ２０人，中年组 １７人，老年组１３人，则中年组的频率是 （　　） Ａ．０．４ Ｂ．０．３４ Ｃ．０．２６ Ｄ．０．６ ３．一组数据共５０个，分为６个小组，第１～４组的 频数分别是５，７，８，１０，第５组的频率是０．２，则第６组的 频数是 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１２ Ｃ．１１ Ｄ．１０ ４．在期末体育考核中，成绩分为优秀、合格、不合 格三个档次，初二（３）班有５２名学生，达到优秀的学生 有１４名，合格的学生有２５名，则这次体育考核中，不合 格学生的频率是 ． ５．已知数据总数是３０，在样本频数分布直方图（如 图１）中，各小长方形的高之比为ＡＥ∶ＢＦ∶ＣＧ∶ＤＨ＝ ２∶４∶３∶１，则第二小组的频数为 ． ６．某学校为加强学生的安全意识，组织了全校 ２０００名 学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分 学生成绩进行统计．请根据尚未完成的频率分布表 和频数分布直方图（如图２），解答下列问题： 　频率分布表 分数段 频数 频率 ５０．５～６０．５ １６ ０．０８ ６０．５～７０．５ ４０ ０．２ ７０．５～８０．５ ５０ ０．２５ ８０．５～９０．５ ｍ ０．３５ ９０．５～１００．５ ２４ ｎ （１）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其 中：ｍ＝ ，ｎ＝ ； （２）补全频数分布直方图； （３）若成绩在７０分以下的学生为安全意识不强， 有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学 生约有多少人？ ２０．２．１数据的集中趋势 ２０．２．１．１平均数 １．某校开展“文明伴成长”画展，其中彩铅、水墨、 水彩、速写四个类别的幅数分别为１８，１２，１８，２０，则这 组数据的平均数为 （　　） Ａ．１５ Ｂ．１６ Ｃ．１７ Ｄ．１８ ２．某博物馆要招聘一名讲解员，一名应聘者笔试、 试讲、面试三轮测试的得分分别为９０分、９４分，９５分，综 合成绩中笔试占３０％，试讲占５０％，面试占２０％，则该 应聘者的综合成绩为 （　　） Ａ．８８分 Ｂ．９０分 Ｃ．９２分 Ｄ．９３分 ３．已知一组数据２，４，１，３，ｘ的平均数是３，则 ｘ的 值是 ． ４．有５个数据的平均数是１２，另有１０个数据的平 均数是１５，则所有这１５个数据的平均数是 ． ５．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学 历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者 进行测试，测试成绩如下表： 应聘者 项目 学历 经验 能力 态度 甲 ９ ８ ７ ５ 乙 ８ ６ ８ ６ 丙 ８ ９ ８ ５ （１）若将学历、经验、能力和态度四项得分按１∶１∶ １∶１的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录 用者，则谁将被录用？ （２）如果这家公司较看重员工的学历和态度，且学 历与态度的得分比例相同，经验与能力的得分比例相 同，请你帮该公司设计一个四项得分的比例，并以此为 依据确定录用者，则谁将被录用？ ２０．２．１．２中位数和众数 １．某体育用品专卖店在一段时间内销售了２０双学 生运动鞋，各种尺码运动鞋的销售量如下表： 尺码 ／ｃｍ ２４ ２４．５ ２５ ２５．５ ２６ 销售量 １ ３ １０ ４ ２ 这２０双运动鞋的尺码组成的一组数据的众数是 （　　） Ａ．２５ Ｂ．１０ Ｃ．２６ Ｄ．２ ２．某校为了培养学生爱国主义情怀，举行了主题 为“捍卫和平，让历史照亮未来”的演讲比赛，其中九年 级的５位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为８５， ９３，８７，９５，９０，则这５个数据的中位数是 （　　） Ａ．８７ Ｂ．９０ Ｃ．９３ Ｄ．９５ ３．为了提高物品使用率，减少浪费，把废置物品通 过义卖的形式变换成现金，用来帮助那些需要帮助的 人，某中学举办了“聚沙成塔，让爱心助力梦想”的校园 爱心义卖活动，下表是随机抽取的２０名学生义卖获得 现金钱数的统计： 义卖获得现金 ／元 ５ ８ １０ １２ １５ 人数 ６ ４ ３ ５ ２ 请根据学生义卖获得的现金数，判断下列说法正 确的是 （　　） Ａ．样本为２０名学生 Ｂ．众数是１５元 Ｃ．中位数是８元 Ｄ．平均数是９．１元 ４．郴州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼 翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老 百姓美好生活的好去处．到今年年底各县市区预设完 成碧道试点建设的长度（单位：千米）分别为５，５．２，５， ５，５，６．４，６，５，６．６８，４８．４，６．３，则这组数据的众数是 ． ５．已知一组数据１，ａ，３，６，７，它的平均数是５，则这 组数据的中位数是 ． ６．学校组织“四大名著”知识竞赛，每班派２０名学 生参加，成绩分为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，其中相应等级的 得分依次记为１００分、９０分、８０分、７０分，现将八年级 １班和２班的成绩整理如下图所示： （１）填写表格： 班级 平均数 众数 中位数 八年级１班 ９０分 八年级２班 ９２分 ９０分 （２）结合（１）中的统计量，你认为哪个班级的竞赛 成绩更优秀？请说明理由． ７．下表是某少年足球俱乐部学员的年龄分布，其 中一个数据被遮盖了．若这组数据的中位数为１３．５，则 这个俱乐部共有学员 人． 年龄 １３ １４ １５ １６ 人数 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ２８ ２２ ２３ !"#$%&' !"#! $"#!%"#!&"#!'"#! (""#! ()!# !" ! ) " )" *" $" &" 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．已知一组数据的最大值为４６，最小值为２７，在绘 制频数分布直方图时，取组距为３，则这组数据应分成 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．５组 Ｂ．６组 Ｃ．７组 Ｄ．８组 ２．数据２，４，３，４，５，３，４的众数是 （　　） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．２ Ｄ．３ ３．某市２０２４年１１月５日至８日的最高气温如下表 所示，则这几天的最高平均温度是 （　　） 日期 １１月５日 １１月６日 １１月７日 １１月８日 温度 ／℃ ２７ ２５ ２６ ２６ Ａ．２７℃ Ｂ．２６℃ Ｃ．２５℃ Ｄ．２３℃ ４．根据第七次全国人口普查，华东 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ 六省６０岁及以上人口占比情况如图１所示，则这六省 ６０岁及以上人口占比的中位数是 （　　） Ａ．１８．７％ Ｂ．１８．８％ Ｃ．１８．９％ Ｄ．１８．７５％ ５．大课间活动在我市各校蓬勃开展，某班大课间活 动抽查了２０名学生每分钟跳绳次数，获得如下数据：５０， ６３，７７，８３，８７，８８，８９，９１，９３，１００，１０２，１１１，１１７，１２１，１３０， １３３，１４６，１５８，１７７，１８８，则跳绳次数在１３０～１８９这一组 的频率是 （　　） Ａ．０．１ Ｂ．０．２ Ｃ．０．３ Ｄ．０．７ ６．若Ａ种糖的单价为１０元 ／千克，Ｂ种糖的单价为 ２０元 ／千克，则ｍ千克Ａ种糖和ｎ千克Ｂ种糖混合而成 的什锦糖的单价为 （　　） Ａ．１５元 ／千克 Ｂ．ｍ＋ｎ２ 元 ／千克 Ｃ．１０ｍ＋２０ｎｍ＋ｎ 元 ／千克 Ｄ． ２ｍ＋４ｎ ３ 元 ／千克 ７．为了解某种电动汽车一次充电后行驶的里程数， 抽检了１０辆车，对一次充电后行驶的里程数进行了统 计，结果如图２所示，在这组数据中，众数和中位数分别 是 （　　） Ａ．２２０，２２０ Ｂ．２２０，２１５ Ｃ．２１０，２１０ Ｄ．２１０，２１５ ８．某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投 篮（每人投１０个）的情况，投进篮框的个数分别为６，１０， ５，３，４，８，４．后来发现，第一位同学的投篮个数统计错 误，比实际个数要多．与实际相比，这组数据的平均数和 中位数的变化情况分别是 （　　） Ａ．变大、不变 Ｂ．变大、变小 Ｃ．变大、变大或不变 Ｄ．变小、变小或不变 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．某班级准备定做一批底色相同的Ｔ恤衫，征求了 全班４０名同学的意向，每个人都选择了一种底色，得到 如下数据： 底色 灰色 黑色 白色 紫色 红色 粉色 频数 ３ ６ １８ ４ ７ ２ 为了满足大多数人的需求，此次定做的Ｔ恤衫的底 色为 ． １０．某中学为有效预防流感，购买 了Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四种艾条进行消毒，它们 的单价分别是 ３０元、２４元、２０元、 １６元．四种艾条的购买比例如图３所 示，则所购买艾条的平均单价是 ． １１．已知一组数据 １８，２２，１５，１３， ｘ，７的中位数是１６，则ｘ的值是 ． １２．九年级（１）班同学分６个小组参加植树活动，６个 小组的植树棵数记录如下：５，７，３，ｘ，６，４．若这组数据的众 数是５，则该组数据的平均数是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）某校为了解本校学生所在家庭使用塑料 袋的数量情况，随机调查了１０名学生所在家庭月使用塑 料袋的数量（单位：只），结果如下：６５，７０，８５，７５，８５，７９， ７４，９１，８１，９５．计算这１０名学生所在家庭平均月使用塑 料袋多少只？并求出这１０名学生所在家庭月使用塑料袋 数量的中位数与众数． １４．（１０分）为深入学习贯彻习近平法治思想，推动 青少年宪法学习宣传教育走深走实，某校开展了宪法知 识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，下表是参 加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩（单位：分）： 选手 在线学习 知识竞赛 演讲比赛 甲 ８４ ９６ ９０ 乙 ８９ ９９ ８５ （１）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩 的平均分作为最后成绩，谁将获得冠军？ （２）若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按 ２∶３∶５的比例计算最后成绩，谁将获得冠军？ １５．（１０分）阳阳同学参加周末社会实践活动，来到了 闽侯县南通镇瓜山村某蔬菜基地，在大棚中收集到２０株西 红柿秧上小西红柿的个数：２８，３２，３６，３７，３９，４０，４１，４４， ４５，４５，４６，４６，４７，５１，５３，５４，５５，５６，６０，６０． （１）若对这２０个数按组距８进行分组，请补全频数 分布表及频数分布直方图（图４）： 分组 频数 ２８≤ｘ＜３６ ２ ３６≤ｘ＜４４ ４４≤ｘ＜５２ ５２≤ｘ＜６０ ６０≤ｘ＜６８ ２ （２）据了解该大棚有３６００株西红柿，请根据收集 到的２０株样本估计该大棚每株西红柿上小西红柿的个 数在３６≤ｘ＜４４的有多少株？ １６．（１２分）某直销公司现有３０名推销员，５月份每 个人完成的销售额（单位：万元）数据如下表： 销售额 １０ １３ １５ １７ １８ ２２ ２３ ２４ ２６ ２８ 人数 ２ ３ １ ７ １ ４ ３ ３ ４ ２ （１）该公司５月份销售额的平均数是 ，众数 是 ，中位数是 ； （２）６月起，公司为了提高推销员的积极性，将采取绩 效工资制度：规定一个基本销售额，在基本销售额内，按 ２％抽成．从公司低成本与员工愿意接受两个层面考虑， 你认为基本销售额应定为多少万元？请说明理由． １７．（１２分）为了解同学的体能情况，乐乐将全班同 学３月份的体育测试成绩（单位：分）绘制成下表： ６６ ６９ ７７ ７３ ７２ ６２ ７９ ７８ ６６ ８２ ８６ ８４ ８３ ８４ ８６ ８７ ８９ ８５ ８６ ８８ ９６ ９７ ９１ ９８ ９０ ９５ ９６ ９３ ９２ ９９ 设测试成绩为ｘ分，当ｘ≥９０时记为Ａ等级，８０≤ｘ ＜９０时记为Ｂ等级，７０≤ｘ＜８０时记为Ｃ等级，ｘ＜７０时 记为Ｄ等级．请根据表格信息，解答下列问题： （１）试求出３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的 平均成绩； （２）全班同学积极响应学校号召，经过一个多月的 强化训练，并参加对比式体育测试．乐乐再次统计成绩 后，发现Ｄ等级的同学平均成绩提高１５分，Ｃ等级的同学 平均成绩提高１０分，Ｂ等级的同学平均成绩提高５分，Ａ 等级的同学平均成绩提高０．９分．请求出强化训练后该班 同学平均成绩所提高的分数． （以下试题供各地根据实际情况选用） 某花店每天以每枝５元的价格从农场购进若干枝玫 瑰花，然后以每枝１０元的价格出售，如果当天卖不完，剩 下的玫瑰花作垃圾处理． （１）若花店一天购进１６枝玫瑰花，求当日的利润ｙ关 于当日需求量ｎ（ｎ是自然数）的函数表达式； （２）花店记录了１００天玫瑰花的日需求量（单位： 枝），整理后如下表： 日需求量ｎ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０ 频数 １０ ２０ １６ １６ １５ １３ １０ ①这１００天日需求量所组成的一组数据的中位数和 众数分别是 ， ； ②以１００天记录的各日需求量的频数作为计算平均 日需求量对应的权重，求平均日需求量．若花店计划一天 购进１６枝或１７枝玫瑰花，从盈利的角度分析，你认为应 购进１６枝还是１７枝？请说明理由                                                                                                                                                                 ． !" !#$%"& '()*+,-./ *+ ,- .) ! ! 0123456789'!":; #$ . !"#$ ! " 0123456789'!":; #$ . %&'( !" !#$%"& '()*+,-.: /0+ )*12.) 3456' /0+ (*12() 7456' (" & $ * ) 8+ " (" ) 9" $ ) + , - . ,+ ++ *!/ -+ (!/ 0!/ .+ !/ !" <=>?@A%&'()%&'%'(B )) )" (& ($ :;<= $">?@A9BCDEF56' CD1/ =G " + , - . 2 3 (&#% )"#' (&#& )(#& ($#' ($#" ! ( * 0 ) ( HI!JK " * "L!M )"" )(" ))" )0" ( 0 ) ! ) - *"/ . )!/ +("/ , )!/ ! 0 )& 0$**!)$" $& N" !" " ( ) 0 * ! $ % ! * CDE (F* G1H/ CIJK/ !" "O " # $ % & ' ( ) ! ( " 书 答案详解 　　　 ２０２４～２０２５学年　初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期　（２０２５年４月）　　　 ４０期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（菱形） １９．３．２．１菱形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．２０；　４．７０°． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因 为ＤＥ⊥ＢＤ，所以ＤＥ∥ＡＣ．所以四边形ＡＣＤＥ是平行四边形． ６．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ，∠ＡＢＰ＝ ∠ＣＢＰ．又因为ＢＰ＝ＢＰ，所以△ＡＢＰ≌△ＣＢＰ（ＳＡＳ）．所以ＡＰ ＝ＣＰ． ７．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＡＤ．所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ．因为 ＡＥ＝ＡＢ，所以 ＡＥ＝ＡＤ．所以 ∠Ｅ＝ ∠ＡＤＥ．所以２∠ＡＤＢ＋２∠ＡＤＥ＝１８０°．所以∠ＢＤＥ＝∠ＡＤＢ ＋∠ＡＤＥ＝９０°．所以△ＢＤＥ为直角三角形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＡＥ＝ＡＢ，所以ＯＣ＝ＯＡ＝ １２ＤＥ＝３ｃｍ． ８．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ １ ２ＡＣ＝４ｃｍ，ＯＢ＝ １ ２ＢＤ＝３ｃｍ．根据勾股定理，得 ＡＢ＝ ＯＡ２＋ＯＢ槡 ２ ＝５ｃｍ．因为Ｓ菱形ＡＢＣＤ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＨ， 所以ＤＨ＝ＡＣ·ＢＤ２ＡＢ ＝ ２４ ５ｃｍ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＯＢ＝ＯＤ，∠ＤＡＨ＝ ２∠ＯＡＢ．所以ＯＨ＝ＯＢ．所以∠ＯＨＢ＝∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．因为∠ＯＡＢ＝９０°－∠ＯＢＨ，所以 ∠ＤＡＨ＝ １８０°－２∠ＯＢＨ．所以∠ＢＯＨ＝∠ＤＡＨ． 能力提高　９．槡１７． １９．３．２．２菱形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ； ３．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； ４．（２，槡２２）或（２，－ 槡２２）． ５．在 △ＡＢＣ和 △ＡＤＣ中， ＡＢ＝ＡＤ， ＡＣ＝ＡＣ， ＢＣ＝ＤＣ { ， 所以 △ＡＢＣ≌ △ＡＤＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以 ＡＢ＝ＣＢ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． ６．（１）因为 ＡＥ∥ ＣＦ，所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＦＣＤ，∠ＡＥＤ＝ ∠ＣＦＤ．因为ＢＡ＝ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，所以ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＤ＝ ＣＤ．所以△ＡＥＤ≌△ＣＦＤ（ＡＡＳ）．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以四边形 ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＢＤ⊥ＡＣ，所以四边形ＡＥＣＦ是菱 形． （２）因为四边形 ＡＥＣＦ是菱形，所以 ＤＥ＝ＤＦ＝２．在 Ｒｔ△ＡＤＢ中，由勾股定理，得 ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２，即４２＋（２＋ ＢＥ）２ ＝（４＋ＢＥ）２．解得ＢＥ＝１．所以ＢＦ＝５． 能力提高　７．（１）能．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＰＢＥ＝∠ＡＤＢ＝３０°，ＢＣ⊥ ＣＤ．根据题意，得ＢＰ＝２ｔ，ＤＱ＝ｔ．因为ＰＥ⊥ＢＣ，所以ＰＥ∥ ＣＤ，∠ＢＥＰ＝９０°．所以 ＰＥ＝ １２ＢＰ＝ｔ＝ＤＱ．所以四边形 ＰＥＱＤ是平行四边形．因为ＡＢ＝４，所以ＢＤ＝８．所以ＤＰ＝８ －２ｔ．当ＤＰ＝ＰＥ时，四边形ＰＥＱＤ为菱形．所以８－２ｔ＝ｔ．解 得ｔ＝ ８３． （２）①当∠ＥＰＱ＝９０°时，四边形ＥＰＱＣ为矩形，所以ＰＥ ＝ＱＣ，所以ｔ＝４－ｔ，解得ｔ＝２； ②当∠ＰＱＥ＝９０°时，由（１），得ＰＤ∥ＥＱ，所以∠ＤＰＱ＝ ∠ＰＱＥ＝９０°，在Ｒｔ△ＤＰＱ中，∠ＰＱＤ＝３０°，所以ＤＱ＝２ＤＰ， 所以ｔ＝２（８－２ｔ），解得ｔ＝１６５； ③不存在∠ＰＥＱ＝９０°的情况． 综上所述，当ｔ＝２或１６５时，△ＰＱＥ为直角三角形． ４０期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．６０°；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ； １１．２４；　１２．１６                                                        ． —１— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以四边形 ＢＣＦＥ是平行四边形， ∠ＥＭＢ＝∠ＣＢＤ．所以ＢＥ＝ＣＦ，∠ＡＢＤ＝∠ＥＭＢ．所以ＢＥ＝ ＥＭ．所以ＣＦ＝ＥＭ． １４．因为∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＥ，所以∠ＢＡＦ－∠ＥＡＦ＝∠ＤＡＥ －∠ＥＡＦ，即∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边 形，所以 ∠Ｂ ＝∠Ｄ．又因为 ＢＥ ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． １５．（１）因为点Ｅ为ＡＢ的中点，所以ＡＢ＝２ＡＥ＝２ＢＥ．因 为ＡＢ＝２ＣＤ，所以ＣＤ＝ＡＥ．因为ＡＥ∥ＣＤ，所以四边形ＡＥＣＤ 是平行四边形．因为ＡＣ平分∠ＤＡＢ，所以∠ＤＡＣ＝∠ＥＡＣ．因 为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＤＣＡ＝∠ＣＡＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ．所以 ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为四边形ＡＥＣＤ是菱形，∠Ｄ＝１２０°，ＣＤ＝２，所以 ＡＢ＝４，ＣＥ＝ＡＥ＝２，∠ＡＥＣ＝∠Ｄ＝１２０°．所以ＣＥ＝ＢＥ， ∠ＣＥＢ＝１８０°－∠ＡＥＣ＝６０°．所以∠ＡＣＥ＝∠ＣＡＥ＝３０°， △ＣＥＢ是等边三角形．所以ＢＣ＝２，∠ＥＣＢ＝６０°．所以∠ＡＣＢ ＝∠ＡＣＥ ＋∠ＥＣＢ ＝９０°．根据勾股定理，得 ＡＣ ＝ ＡＢ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３．所以Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＣ·ＢＣ＝ 槡２３． １６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ．因为ＤＦ＝ＢＥ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ ＝ＯＦ．所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．又因为ＡＣ⊥ＥＦ，所以 四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）△ＡＤＥ是直角三角形．理由如下： 因为ＡＣ＝４，ＢＤ＝８，所以ＯＡ＝２，ＯＢ＝ＯＤ＝４．因为ＢＥ ＝３，所以ＯＥ＝ＯＢ－ＢＥ＝１，ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝５．因为ＡＣ⊥ ＢＤ，所以∠ＡＯＥ＝∠ＡＯＤ＝９０°．根据勾股定理，得ＡＥ２＝ＯＡ２ ＋ＯＥ２ ＝５，ＡＤ２＝ＯＡ２＋ＯＤ２＝２０．所以ＡＥ２＋ＡＤ２＝ＤＥ２．所 以△ＡＤＥ是直角三角形． １７．（１）连接ＡＣ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ．因为∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＤ＝１８０°－ ∠Ｂ＝１２０°，△ＡＢＣ是等边三角形．因为Ｅ是ＢＣ的中点，所以 ＡＥ⊥ＢＣ．所以∠ＡＥＣ＝９０°．因为∠ＡＥＦ＝６０°，所以∠ＦＥＣ＝ ∠ＡＥＣ－∠ＡＥＦ＝３０°．所以∠ＣＦＥ＝１８０°－∠ＦＥＣ－∠ＥＣＦ ＝３０°．所以∠ＦＥＣ＝∠ＣＦＥ．所以ＥＣ＝ＣＦ．因为ＣＥ＝１２ＢＣ， 所以ＣＦ＝ １２ＣＤ，即Ｆ是ＣＤ的中点． （２）连接ＡＣ，图略．由（１），得△ＡＢＣ是等边三角形．所以 ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以 ∠ＡＣＦ＝∠ＢＣＤ－ ∠ＡＣＢ＝６０°＝∠Ｂ．因为∠ＥＡＦ＝６０°，所以∠ＢＡＣ－∠ＥＡＣ ＝∠ＥＡＦ－∠ＥＡＣ，即 ∠ＢＡＥ ＝∠ＣＡＦ．所以 △ＡＢＥ≌ △ＡＣＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＥ＝ＡＦ．所以△ＡＥＦ是等边三角形．所以 ∠ＡＥＦ＝６０°．因为 ∠ＡＥＦ＋∠ＦＥＣ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＥ，所以 ∠ＦＥＣ＝２０°． 附加题　（１）因为点Ｅ与点Ｆ关于直线 ＣＤ对称，所以ＦＤ ＝ＥＤ，ＦＧ＝ＥＧ，∠ＥＤＧ＝∠ＦＤＧ．因为ＥＧ∥ＡＦ，所以∠ＥＧＤ ＝∠ＦＤＧ．所以∠ＥＧＤ＝∠ＥＤＧ．所以ＥＧ＝ＥＤ．所以ＦＤ＝ＥＤ ＝ＦＧ＝ＥＧ．所以四边形ＤＥＧＦ是菱形． （２）连接ＦＣ，ＥＣ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，所以∠Ａ＋ ∠Ｂ＝１８０°．所以ＡＦ∥ ＣＢ．因为 ＡＦ＝ＢＣ＝８，所以四边形 ＡＢＣＦ是平行四边形．所以ＣＦ＝ＡＢ＝１０．根据轴对称的性质， 得ＣＥ＝ＣＦ＝１０．根据勾股定理，得ＢＥ＝ ＣＥ２－ＢＣ槡 ２ ＝６． 所以ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝４．在Ｒｔ△ＡＤＥ中，根据勾股定理，得ＡＥ２ ＋ＡＤ２ ＝ＤＥ２，即４２＋（８－ＤＦ）２ ＝ＤＦ２．解得 ＤＦ＝５．所以 Ｓ四边形ＤＥＧＦ ＝ＤＦ·ＡＥ＝２０． ４１期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（正方形） １９．３．３．１正方形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１１５． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ， ∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０°．因为ＡＥ＝ＡＦ，所以ＡＢ－ＡＥ＝ＡＤ－ＡＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ．所以△ＢＣＥ≌△ＤＣＦ（ＳＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＦ．因为点 Ｍ是ＥＦ的中点，所以ＣＭ⊥ＥＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是边长为１的正方形，所以ＡＤ＝ ＣＤ＝１，∠Ｄ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．所以∠ＤＡＥ＝∠Ｆ．因为ＡＥ平 分∠ＣＡＤ，所以∠ＣＡＥ＝∠ＤＡＥ．所以∠ＣＡＥ＝∠Ｆ．根据勾股 定理，得ＣＦ＝ＡＣ＝ ＡＤ２＋ＣＤ槡 ２ ＝槡２． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＡＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＡ＝∠ＥＧＣ ＝９０°．因为ＡＥ平分∠ＣＡＤ，所以ＥＤ＝ＥＧ．因为ＡＥ＝ＡＥ，所 以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＡＧＥ（ＨＬ）．所以ＡＤ＝ＡＧ＝１．所以ＣＧ＝ ＡＣ－ＡＧ＝槡２－１．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＣＤ＝ ４５°．所以∠ＣＥＧ＝９０°－∠ＧＣＥ＝４５°．所以ＥＧ＝ＣＧ＝槡２－ １．由勾股定理，得ＣＥ＝ ＥＧ２＋ＣＧ槡 ２ ＝２－槡２． 能力提高　６．槡４２． ７．连接 ＢＦ，图略．根据题意，得 ∠ＥＡＦ＝９０°，∠ＡＦＥ＝ ∠ＡＥＦ＝４５°，ＡＦ＝ＡＥ＝４．根据勾股定理，得ＥＦ２＝ＡＦ２＋ＡＥ２ ＝３２．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＡＤ，∠ＤＡＢ＝ ９０°．所以 ∠ＥＡＦ－∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＢ－∠ＤＡＦ，即 ∠ＥＡＤ＝ ∠ＦＡＢ．所以△ＡＤＥ≌△ＡＢＦ（ＳＡＳ）．所以ＤＥ＝ＢＦ＝２，∠                                                                      ＡＥＤ —２— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ＝∠ＡＦＢ＝４５°．所以∠ＢＦＥ＝∠ＡＦＢ＋∠ＡＦＥ＝９０°．根据勾 股定理，得ＢＥ＝ ＥＦ２＋ＢＦ槡 ２ ＝６． １９．３．３．２正方形的判定 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．不一定． ４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＯＡ＝１，所以ＯＢ＝１．因为 ＡＢ＝槡２，所以ＯＡ ２＋ＯＢ２＝ＡＢ２．所以∠ＡＯＢ＝９０°．所以ＡＣ⊥ ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ５．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＥ ⊥ＥＦ，所以 ∠ＢＥＦ＝９０°．因为 ∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ＝４５°，所以 ∠ＣＥＢ＋∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＦ－∠ＣＥＦ＋∠ＡＢＣ－∠ＡＢＥ＝１８０° －（∠ＡＢＥ＋∠ＣＥＦ）＝１３５°．所以∠ＢＣＥ＝１８０°－（∠ＣＥＢ＋ ∠ＣＢＥ）＝４５°．所以∠ＢＡＣ＝９０°－∠ＢＣＥ＝４５°．所以ＡＢ＝ ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ６．（１）因为ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ．因为 ＡＢ＝ＣＢ，ＢＤ＝ＢＤ，所以△ＡＢＤ≌△ＣＢＤ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＤＢ ＝∠ＣＤＢ． （２）因为ＰＭ∥ＣＤ，ＰＮ∥ＡＤ，所以四边形ＭＰＮＤ是平行 四边形，∠ＭＰＤ＝∠ＮＤＰ．所以∠ＭＰＤ＝∠ＭＤＰ．所以ＰＭ＝ ＤＭ．所以四边形 ＭＰＮＤ是菱形．所以当 ＭＮ＝ＰＤ时，四边形 ＭＰＮＤ是正方形． ７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ ＝ＢＣ．因为ＡＣ∥ＤＥ，所以四边形ＡＣＥＤ是平行四边形．所以 ＡＤ＝ＣＥ．所以ＢＣ＝ＣＥ． （２）因为四边形ＡＣＥＤ是平行四边形，所以ＣＤ＝２ＣＦ．因 为ＡＤ＝２ＣＦ，所以ＡＤ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形．因为 ＡＤ∥ＥＣ，所以∠ＤＡＦ＝∠ＦＥＢ．因为 ∠ＤＡＦ＝∠ＦＢＥ，所以 ∠ＦＢＥ＝∠ＦＥＢ．所以ＦＢ＝ＦＥ．因为ＢＣ＝ＣＥ，所以ＦＣ⊥ＢＥ． 所以∠ＢＣＦ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． ４１期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｄ Ｃ 二、９．槡６；　１０．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ； １１． 槡１５２；　１２．８． 三、１３．∠ＥＤＡ的度数是２２．５°． １４．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ｂ＝∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＦ＝９０°．因为ＡＦ⊥ＤＥ，所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以 ∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＝∠ＡＤＥ．因为ＡＦ＝ＤＥ， 所以△ＡＢＦ≌△ＤＡＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＤＡ．所以四边形ＡＢＣＤ 是正方形． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ ＝４５°，ＡＤ＝ＢＣ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ．因为 ＡＢ＝ＡＤ＝４，所以 ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝ 槡４２＝ＡＣ．所以ＯＡ＝ＯＢ＝ 槡２２．因为ＡＥ＝ ＣＦ＝槡２，所以ＯＥ＝ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ＝ＯＦ＝槡２．所以四 边形ＢＥＤＦ为菱形，ＤＥ＝ ＯＤ２＋ＯＥ槡 ２ ＝槡１０．所以四边形 ＢＥＤＦ的周长为：４ＤＥ＝ 槡４ １０． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ和ＣＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＧＣ＝ＣＥ＝ ＥＦ＝ＦＧ，∠Ｅ＝∠ＣＧＦ＝９０°．所以∠ＡＤＨ＝１８０°－∠ＡＤＣ＝ ９０°，∠ＨＧＦ＝１８０°－∠ＣＧＦ＝９０°．因为ＤＨ＝ＣＥ＝ＢＫ，所以 ＨＧ ＝ ＫＥ ＝ ＡＢ．所 以 △ＡＤＨ≌ △ＡＢＫ≌ △ＫＥＦ≌ △ＨＧＦ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＡＫ＝ＫＦ＝ＨＦ，∠ＤＡＨ＝∠ＢＡＫ．所 以四边形ＡＫＦＨ是菱形，∠ＫＡＨ＝∠ＤＡＨ＋∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＫ＋ ∠ＫＡＤ＝∠ＢＡＤ＝９０°．所以四边形ＡＫＦＨ是正方形． （２）连接ＡＥ，图略．因为四边形 ＡＫＦＨ的面积为１０，所以 ＫＦ＝槡１０．因为ＣＥ＝１，所以ＢＫ＝ＥＦ＝１．根据勾股定理，得 ＫＥ＝ ＫＦ２－ＥＦ槡 ２ ＝３．所以ＡＢ＝ＫＥ＝３，ＢＥ＝ＢＫ＋ＫＥ＝ ４．所以点Ａ，Ｅ之间的距离为：ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ为矩形，四边形 ＥＦＧＨ为菱形， 所以∠Ｄ＝∠Ａ＝９０°，ＨＥ＝ＧＨ．因为ＡＨ＝ＤＧ，所以Ｒｔ△ＡＨＥ ≌Ｒｔ△ＤＧＨ（ＨＬ）．所以∠ＡＥＨ＝∠ＤＨＧ．因为∠ＡＨＥ＋∠ＡＥＨ ＝９０°，所以∠ＡＨＥ＋∠ＤＨＧ＝９０°．所以∠ＥＨＧ＝９０°．所以四 边形ＥＦＧＨ为正方形． （２）因为ＡＤ＝６，ＤＣ＝７，ＤＧ＝ＡＨ＝２，所以ＤＨ＝ＡＤ－ ＡＨ＝４，ＣＧ ＝ＤＣ－ＤＧ ＝５．由勾股定理，得 ＨＧ ＝ ＤＧ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ 槡２５．因为四边形ＥＦＧＨ是正方形，所以ＦＧ＝ 槡２５，∠ＥＦＧ＝９０°．所以∠ＣＦＧ＝１８０°－∠ＥＦＧ＝９０°．由勾股 定理，得ＣＦ＝ ＣＧ２－ＦＧ槡 ２ ＝槡５． 附加题　（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以∠ＡＢＣ＝ ９０°．所以 ∠ＥＢＧ＝１８０°－∠ＡＢＣ＝９０°．所以平行四边形 ＢＥＦＧ是矩形． （２）９０．理由如下： 延长ＧＰ交ＤＣ于点Ｈ，图略．因为正方形ＡＢＣＤ和平行四边 形ＢＥＦＧ，所以ＡＢ∥ＤＣ，ＢＥ∥ＧＦ，ＤＣ＝ＢＣ．所以ＤＣ∥ＧＦ． 所以∠ＨＤＰ＝∠ＧＦＰ，∠ＤＨＰ＝∠ＦＧＰ．因为Ｐ是线段ＤＦ的 中点，所以ＤＰ＝ＦＰ．所以△ＤＨＰ≌△ＦＧＰ（ＡＡＳ）．所以ＨＰ＝ ＧＰ，ＤＨ＝ＦＧ．当∠ＣＰＧ＝９０°时，ＰＧ⊥ＰＣ．所以ＣＨ＝ＣＧ．所 以ＤＣ－ＣＨ＝ＢＣ－ＣＧ，即ＤＨ＝ＢＧ．所以ＢＧ＝ＦＧ．                                                                      所以平行 —３— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 四边形ＢＥＦＧ是菱形．由（１）知四边形ＢＥＦＧ是矩形．所以四边 形ＢＥＦＧ是正方形． ４２期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ 二、１１．２０；　１２．答案不惟一，如ＡＣ＝ＢＤ；　１３．３０°； １４．４５°；　１５．槡２２或槡１０或２． 三、１６．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ａ＝∠Ｃ， ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ．又因为 ∠ＡＤＥ＝∠ＣＢＦ，所以 △ＡＤＥ≌ △ＣＢＦ（ＡＳＡ）．所以 ＡＥ＝ＣＦ．所以 ＡＢ－ＡＥ＝ＣＤ－ＣＦ，即 ＢＥ＝ＤＦ． １７．因为ＣＥ⊥ＢＡ，ＢＦ⊥ＣＡ，所以∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＢ＝９０°． 因为Ｍ是ＢＣ的中点，所以ＥＭ＝１２ＢＣ＝ＢＭ，ＦＭ＝ １ ２ＢＣ＝ ＣＭ．所以∠ＢＥＭ ＝∠ＡＢＣ，∠ＣＦＭ ＝∠ＡＣＢ．所以 ∠ＣＭＥ＝ ∠ＢＥＭ＋∠ＡＢＣ＝５６°，∠ＢＭＦ＝∠ＣＦＭ＋∠ＡＣＢ＝９６°．所以 ∠ＥＭＦ＝１８０°－∠ＣＭＥ－∠ＢＭＦ＝２８°． １８．四边形ＡＤＣＢ是菱形．理由如下： 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＯ．又因为ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ，所以△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ．所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四 边形ＡＤＣＢ是平行四边形．因为四边形 ＯＤＥＣ是矩形，所以 ∠ＣＯＤ＝９０°．所以ＢＤ⊥ＡＣ．所以四边形ＡＤＣＢ是菱形． １９．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ＝ＣＤ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＤＣＦ．因为ＤＥ⊥ＡＢ，ＤＦ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°． 所以△ＡＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＡＳ）． （２）因为 △ＡＤＥ≌ △ＣＤＦ，所以 ＡＥ＝ＣＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ．所以 ∠ＭＡＥ＝∠ＮＣＦ．又因为 ∠ＡＥＭ＝∠ＣＦＮ＝９０°，所以△ＡＭＥ≌△ＣＮＦ（ＡＳＡ）．所以ＡＭ ＝ＣＮ． ２０．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°， ＡＢ＝ＣＤ．因为ＡＤ＝２ＡＢ，点Ｍ是ＡＤ的中点，所以ＡＢ＝ＡＭ＝ ＤＭ ＝ＣＤ．所以∠ＡＭＢ＝∠ＤＭＣ＝４５°．所以∠ＢＭＣ＝１８０° －∠ＡＭＢ－∠ＤＭＣ＝９０°．因为 ＰＥ⊥ ＭＣ，ＰＦ⊥ ＢＭ，所以 ∠ＰＥＭ ＝∠ＰＦＭ ＝９０°．所以四边形ＰＥＭＦ为矩形． （２）当点Ｐ为ＢＣ的中点时，矩形ＰＥＭＦ变为正方形．理由 如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，∠Ａ＝∠Ｄ，ＡＭ＝ ＤＭ，所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（ＳＡＳ）．所以ＢＭ＝ＣＭ．因为点Ｐ为 ＢＣ的中点，所以点Ｐ在∠ＢＭＣ的平分线上．所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以矩形ＰＥＭＦ为正方形． ２１．问题解决：（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＤＡＢ ＝∠ＡＢＦ＝９０°．所以∠ＢＡＦ＋∠ＤＡＧ＝９０°．因为ＤＥ⊥ＡＦ， 所以∠ＡＧＤ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＋∠ＤＡＧ＝９０°．所以∠ＡＤＥ＝ ∠ＢＡＦ．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＤ＝ ＢＡ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以四边形ＡＢＣＤ是正方形． （２）△ＡＨＦ是等腰三角形．理由如下： 因为△ＡＤＥ≌△ＢＡＦ，所以ＡＥ＝ＢＦ．因为ＢＨ＝ＡＥ，所以 ＢＨ＝ＢＦ．因为∠ＡＢＦ＝９０°，所以ＡＢ⊥ＨＦ．所以ＡＨ＝ＡＦ，即 △ＡＨＦ是等腰三角形． 类比迁移：延长ＣＢ到点Ｈ，使ＢＨ＝ＡＥ，连接ＡＨ，图略．因 为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ．所以∠ＡＢＨ ＝∠ＤＡＥ．在 △ＤＡＥ和 △ＡＢＨ中，因为 ＡＥ＝ＢＨ，∠ＤＡＥ＝ ∠ＡＢＨ，ＡＤ＝ＢＡ，所以△ＤＡＥ≌△ＡＢＨ（ＳＡＳ）．所以ＡＨ＝ＤＥ， ∠Ｈ＝∠ＤＥＡ＝６０°．因为ＤＥ＝ＡＦ，所以ＡＨ＝ＡＦ．所以△ＡＨＦ 是等边三角形．所以ＡＨ＝ＨＦ．所以ＤＥ＝ＨＦ＝ＢＨ＋ＢＦ＝９． ４３期２版 ２０．１数据的频数分布 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．０．２５；　５．１２． ６．（１）７０，０．１２．　（２）补图略． （３）２０００×（０．０８＋０．２）＝５６０（人）． 答：该校安全意识不强的学生约有５６０人． ２０．２．１数据的集中趋势 ２０．２．１．１平均数 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｄ；　３．５；　４．１４． ５．（１）甲的最终得分是：１４×（９＋８＋７＋５）＝７．２５；乙的 最终得分是： １ ４×（８＋６＋８＋６）＝７；丙的最终得分是： １ ４× （８＋９＋８＋５）＝７．５．因为７＜７．２５＜７．５，所以丙将被录用． （２）学历、经验、能力和态度四项得分按４∶１∶１∶４的比例 确定．甲的最终得分是：（９×４＋８×１＋７×１＋５×４）÷（４＋ １＋１＋４）＝７．１；乙的最终得分是：（８×４＋６×１＋８×１＋６ ×４）÷（４＋１＋１＋４）＝７；丙的最终得分是：（８×４＋９×１＋ ８×１＋５×４）÷（４＋１＋１＋４）＝６．９．因为６．９＜７＜７．１， 所以甲将被录用． ２０．２．１．２中位数和众数 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．５；　５．６． ６．（１）表格从左到右、从上到下依次填入 ９０分、９０分、 １００分． （２）八年级２班的竞赛成绩更优秀．理由如下： 因为八年级１班和八年级２班竞赛成绩的中位数相同，                                                                      但 —４— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 从平均数和众数两方面来分析，２班比１班的成绩好，所以八年 级２班的竞赛成绩更优秀． 能力提高　７．１４６． ４３期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．白色；　１０．２１元；　１１．１７；　１２．５． 三、１３．这１０名学生所在家庭平均月使用塑料袋：１１０×（６５ ＋７０＋８５＋７５＋８５＋７９＋７４＋９１＋８１＋９５）＝８０（只）．中位 数是８０只，众数是８５只． １４．（１）甲的最后成绩为：１３×（８４＋９６＋９０）＝９０（分）； 乙的最后成绩为： １ ３×（８９＋９９＋８５）＝９１（分）． 因为９１＞９０，所以乙将获得冠军． （２）甲的最后成绩为：（８４×２＋９６×３＋９０×５）÷（２＋３ ＋５）＝９０．６（分）； 乙的最后成绩为：（８９×２＋９９×３＋８５×５）÷（２＋３＋５） ＝９０（分）． 因为９０．６＞９０，所以甲将获得冠军． １５．（１）频数分布表从上到下依次填入５，７，４．补图略． （２）３６００×５２０＝９００（株）． 答：该大棚每株西红柿上小西红柿的个数在３６≤ ｘ＜４４ 的约有９００株． １６．（１）２０万元，１７万元，２２万元． （２）基本销售额应定为２２万元．理由如下： 本组数据的平均数、众数、中位数这三个量作为基本销售 额都具有合理性，其中中位数２２万元最大，选择中位数作为基 本销售额对公司最有利，付出成本最低；对员工来说，这只是个 中等水平，可以接受．所以基本销售额应定为２２万元． １７．（１）Ｃ等级的同学有５人，成绩（单位：分）分别为７７， ７３，７２，７９，７８．所以３月份体育测试成绩为Ｃ等级的同学的平均 成绩为： １ ５×（７７＋７３＋７２＋７９＋７８）＝７５．８（分）． （２）由表中数据可知，３０名同学中，Ａ等级的有１０人，Ｂ等 级的有１１人，Ｃ等级的有５人，Ｄ等级的有４人．所以强化训练 后该班同学平均成绩所提高的分数为： １ ３０×（０．９×１０＋５×１１ ＋１０×５＋１５×４）＝５．８（分）． 附加题　（１）当ｎ≥１６时，ｙ＝１６×（１０－５）＝８０；当０ ≤ｎ＜１６时，ｙ＝１０ｎ－１６×５＝１０ｎ－８０． 所以当日的利润ｙ关于当日需求量ｎ的函数表达式为ｙ＝ １０ｎ－８０（０≤ｎ＜１６）， ８０（ｎ≥１６）{ ． （２）①１７，１５． ②应购进１７枝．理由如下： 平均日需求量为： １ １００×（１４×１０＋１５×２０＋１６×１６＋１７ ×１６＋１８×１５＋１９×１３＋２０×１０）＝１６．８５（枝）． 若购进１６枝，由（１）知盈利８０元； 若购进１７枝，则盈利为：１０×１７－８０＝９０（元）． 因为８０＜９０，所以应购进１７枝． ４４期２版 ２０．２．２数据的离散程度 基础训练　 １．Ａ；　２．Ｂ；　３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．２； ６．３．６；　７．８７． ８．该班应选择甲参加学校的展示活动．理由如下： 甲的平均成绩为： １ ６×（１２．１＋１２．１＋１２．０＋１１．９＋１１．８ ＋１２．１）＝１２，方差为：１６×［３×（１２．１－１２） ２＋（１２．０－１２）２ ＋（１１．９－１２）２＋（１１．８－１２）２］＝ １７５； 乙的平均成绩为： １ ６×（１２．２＋１２．０＋１１．８＋１２．０＋１２．３ ＋１１．７）＝１２，方差为：１６×［（１２．２－１２） ２＋２×（１２．０－１２）２ ＋（１１．８－１２）２＋（１２．３－１２）２＋（１１．７－１２）２］＝１３３００． 因为１２＝１２，１７５＜ １３ ３００， 所以该班应该选择甲参加学校的展示活动． 能力提高　９．Ａ；　１０．１或６． １１．（１）表格从左到右、从上到下依次填入８５，８５，８０． （２）初中代表队与高中代表队选手决赛成绩的平均数相 同，初中代表队选手决赛成绩的中位数高，故初中代表队的决 赛成绩较好． （３）初中代表队选手决赛成绩的方差为：１５ ×［（７５－ ８５）２＋（８０－８５）２＋２×（８５－８５）２＋（１００－８５）２］＝７０； 高中代表队选手决赛成绩的方差为： １ ５ ×［（７０－８５） ２＋ （７５－８５）２＋（８０－８５）２＋２×（１００－８５）２］＝１６０． 因为７０＜１６０，所以初中代表队选手的成绩较为稳定                                                                      ． —５— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期 ４４期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ 二、１１．乙；　１２．５８；　１３．９；　１４．６； １５．１９５或４或 ２１ ５． 三、１６．甲的平均成绩为：８５×７＋９０×３７＋３ ＝８６．５（分）； 乙的平均成绩为： ９２×７＋８２×３ ７＋３ ＝８９（分）． 因为８６．５＜８９，所以乙将被录取． １７．（１）１１，７９，７８．８． （２）１１＋４＝１５（人）．１５＜１８，人数不超． ７９×１１＋５２．３×４＝１０７８．２（ｋｇ）＜１１００ｋｇ，总重不超． 所以这队运动员和这４位女士能一起安全地搭乘这部电 梯． １８．何亮的成绩更稳定．理由如下： 赵明在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２５＋２３＋ ２７＋２９＋２１）＝２５，方差为：１５×［（２５－２５） ２＋（２３－２５）２＋ （２７－２５）２＋（２９－２５）２＋（２１－２５）２］＝８； 何亮在训练中排球垫球个数的平均数为： １ ５×（２４＋２５＋ ２３＋２６＋２７）＝２５，方差为：１５×［（２４－２５） ２＋（２５－２５）２＋ （２３－２５）２＋（２６－２５）２＋（２７－２５）２］＝２． 因为２５＝２５，８＞２，所以何亮的成绩更稳定． １９．（１）８，７２． （２）小明的说法错误．理由如下： 本次调查中平均每周家务劳动时长的中位数是３．５ｈ． 因为小明平均每周家务劳动时长是３．６ｈ，比中位数大，所 以他做家务劳动的时长超过一半的人． （３）本次调查中，获奖的学生有：５０－５－８－１５＝ ２２（名）． １５００×２２５０＝６６０（名） 答：获奖的学生约有６６０名． ２０．（１）ａ＝６，ｂ＝４．７，ｃ＝４．７５． （２）若选择众数４．７ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了：３００×（５ －４．７）＝９０（千克）； 若选择平均数或中位数４．７５ｋｇ，这３００箱大枣共损坏了： ３００×（５－４．７５）＝７５（千克）． （３）若选择众数，１０×５×３００÷（３００×５－９０）≈ １０．６４（元），所以至少定价１０．７元才不亏本； 若选择平均数或中位数，１０×５×３００÷（３００×５－７５）≈ １０．５３（元），所以至少定价１０．６元才不亏本． ２１．（１）１４４．乙车间４月份工资为５千元的有：１０－５－２－ １＝２（名）．补图略． （２）由扇形统计图，得甲车间员工工资为４千元、５千元、 ６千元、７千元、８千元的员工分别有１名、２名、４名、２名、１名． 所以甲车间员工的平均工资为： １ １０×（４×１＋５×２＋６× ４＋７×２＋８×１）＝６（千元）， 方差为： １ １０×［（４－６） ２＋２×（５－６）２＋４×（６－６）２＋ ２×（７－６）２＋（８－６）２］＝１．２． 因为１．２＜７．６， 所以甲车间员工的工资收入比较稳定． （３）原来甲车间员工工资的中位数为：６＋６２ ＝６（千元）． 因为甲车间员工工资低于６千元的有３名，不低于６千元的有 ７名，所以新数据的中位数小于原来甲车间工资的中位数，所 以ｎ的最小值为：７－３＝４．所以当这４名员工工资低于６千元， 且是较高工资时，这４名员工的工资和取得最大值．所以这４名 员工的工资分别为４千元、４千元、５千元、５千元．所以这４名员 工的工资和的最大值为：４＋４＋５＋５＝１８（千元）                                                       ． —６— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第４０～４４期