第38期 平行四边形-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 答案详解 　　　 ２０２４～２０２５学年　初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期　（２０２５年３月）　　　 ３６期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｃ Ａ 二、１１．ｘ≥－６；　１２．－２；　１３．９０°；　１４．槡２２； １５．７６． 三、１６．（１） 槡８７７；　（２）槡２３－１． １７．（１）ｘ１ ＝３＋ 槡２５，ｘ２ ＝３－ 槡２５； （２）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－４． １８．（１）由题意，得ＯＡ＝６０米，ＯＤ＝８０米，∠ＡＯＤ＝９０°． 在Ｒｔ△ＯＡＤ中，由勾股定理，得ＡＤ＝ ＯＡ２＋ＯＤ槡 ２ ＝１００米． 因为ＢＤ＝１００米，ＡＢ＝ 槡１００２米，所以ＡＤ ２＋ＢＤ２ ＝２００００， ＡＢ２ ＝２００００．所以ＡＤ２＋ＢＤ２ ＝ＡＢ２．所以∠ＡＤＢ＝９０°． （２）过点Ｂ作ＢＥ⊥ＯＤ交ＯＤ的延长线于点Ｅ，图略．所以 ∠ＢＥＤ＝９０°＝∠ＡＯＤ．所以 ∠ＥＢＤ＋∠ＢＤＥ＝９０°．因为 ∠ＡＤＢ＝９０°，所以 ∠ＡＤＯ＋∠ＢＤＥ＝９０°．所以 ∠ＡＤＯ＝ ∠ＥＢＤ．又因为 ＡＤ＝ＢＤ，所以 △ＡＯＤ≌ △ＤＥＢ（ＡＡＳ）．所以 ＢＥ＝ＯＤ＝８０米，ＤＥ＝ＯＡ＝６０米．所以ＯＥ＝ＯＤ＋ＤＥ＝ １４０米．在Ｒｔ△ＢＥＯ中，由勾股定理，得ＯＢ＝ ＢＥ２＋ＯＥ槡 ２ ＝ 槡２０ ６５米． 答：地铁Ｂ出口与学校Ｏ之间的距离是 槡２０ ６５米． １９．（１）设全天包车数的月平均增长率为ｘ． 根据题意，得２５（１＋ｘ）２ ＝６４． 解得ｘ１ ＝０．６＝６０％，ｘ２ ＝－２．６（舍去）． 答：全天包车数的月平均增长率为６０％． （２）设应将每辆车的全天包车租金降价ｙ元，则十一月份 的全天包车数达到（６４＋ｙ１０×８）次． 根据题意，得（１２０－ｙ）（６４＋ｙ１０×８）＝７９２０． 整理，得ｙ２－４０ｙ＋３００＝０． 解得ｙ１ ＝１０，ｙ２ ＝３０． 因为要尽可能地让利顾客，所以ｙ＝３０． 答：应将每辆车的全天包车租金降价３０元． ２０．（１）４，槡１７－４． （２）５－槡２３，槡２３－４． （３）槡２３ｘ－ｘｙ＋１７＝槡２３（５－槡２３）－（５－槡２３）（槡２３ －４）＋１７＝ 槡５ ２３－２３－ 槡５ ２３＋２０＋２３－ 槡４ ２３＋１７＝３７ － 槡４ ２３． ２１．（１）因为ａ＝１，ｂ＝－２（ｎ－２），ｃ＝ｎ２－４ｎ，所以Δ＝ ｂ２－４ａｃ＝［－２（ｎ－２）］２－４（ｎ２－４ｎ）＝１６＞０．所以方程有 两个不相等的实数根． （２）因为ｘ２－２（ｎ－２）ｘ＋ｎ２－４ｎ＝（ｘ－ｎ）（ｘ－ｎ＋４） ＝０，所以ｘ１＝ｎ，ｘ２＝ｎ－４．由题意，得ＡＢ≠ＡＣ．因为△ＡＢＣ 是等腰三角形，所以有两种情况： 当ｎ＝１０时，ｎ－４＝６．因为６，１０，１０能组成等腰三角形， 所以ｎ＝１０符合题意． 当ｎ－４＝１０时，ｎ＝１４．因为１０，１０，１４能组成等腰三角 形，所以ｎ＝１４符合题意． 综上所述，ｎ的值为１０或１４时，△ＡＢＣ是等腰三角形． ３６期３，４版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｂ Ｂ Ｂ 二、１１．ｘ（ｘ－１）＝１８２；　１２．２０２６；　１３．５２ｃｍ； １４．６；　１５．２或１＋槡２． 三、１６．（１）ｘ１ ＝２＋槡６，ｘ２ ＝２－槡６； （２）ｘ１ ＝－２，ｘ２ ＝４． １７．（１）原式 ＝－ａ２＋ａ－５．当ａ＝槡２－１时，原式 ＝ 槡３２ －９． （２）原式 ＝ｍ－１＋１ｍ．当ｍ＝２＋槡３时，原式 ＝３． １８．（１）是． （２）因为关于ｘ的一元二次方程ａｘ２－槡３ａｘ＋ｃ＝０（ａ≠ ０）是“倍根方程”，所以设方程的两根分别为 ｍ，２ｍ．由根与系 数的关系，得ｍ＋２ｍ＝槡３， ｃ ａ ＝２ｍ ２．解得ｍ＝槡３３， ｃ ａ ＝ ２ ３． 所以ｃ＝ ２３ａ． １９．（１）槡２－１． （２）３ｘ－ １２ ＝ １ １＋槡３ ＋ １ 槡３＋槡５ ＋ １ 槡５＋槡７ ＋… ＋ １ 槡９７＋槡９９ ＝ 槡３－１ （槡３＋１）（槡３－１） ＋ 槡５－槡３ （槡５＋槡３）（槡５－槡３） ＋ 槡７－槡５ （槡７＋槡５）（槡７－槡５） ＋… ＋ 槡９９－槡９７ （槡９９＋槡９７）（槡９９－槡９７） ＝ １ ２（槡３－１＋槡５－槡３＋槡７－槡５＋…＋槡９９－槡９７）＝ １ ２（槡９９ －１）． 解得ｘ＝槡１１２ ． ２０．（１） ４＋（８－ｘ）槡 ２ ＋ １＋ｘ槡 ２                                                        ． —１— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 （２）槡７３． （３）已知ＡＢ＝１，ＤＥ＝２，ＢＤ＝３，取Ｐ为线段ＢＤ上一动 点，分别过点Ｂ，Ｄ作ＡＢ⊥ＢＤ，ＥＤ⊥ＢＤ，连接ＡＰ，ＥＰ．设ＢＰ＝ ｘ．根据勾股定理，得ＡＰ＝ ｘ２＋槡 １，ＰＥ＝ （３－ｘ） ２＋槡 ４．所 以ＡＰ＋ＰＥ＝ ｘ２＋槡 １＋ （３－ｘ） ２＋槡 ４．要使ＡＰ＋ＰＥ的值 最小，则需满足Ａ，Ｐ，Ｅ三点共线，即最小值为 ＡＥ的长．过点 Ａ 作ＡＣ⊥ＤＥ，交ＥＤ的延长线于点Ｃ，连接ＡＥ，图略．所以ＡＣ＝ ＢＤ＝３，ＣＥ ＝ ＡＢ＋ＤＥ ＝３．所以代数式 ｘ２＋槡 １ ＋ （３－ｘ）２＋槡 ４的最小值为：ＡＥ＝ ＡＣ ２＋ＣＥ槡 ２ ＝ 槡３２． ２１．（１）过点Ｐ作ＰＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，图略．设经过ｘｓ，Ｐ，Ｑ两 点之间的距离是１０ｃｍ．根据题意，得（１６－２ｘ－３ｘ）２＋６２ ＝ １０２．解得ｘ１ ＝ ８ ５，ｘ２ ＝ ２４ ５． 答：经过 ８ ５ｓ或 ２４ ５ｓ，Ｐ，Ｑ两点之间的距离是１０ｃｍ． （２）设经过ｙｓ，△ＰＢＱ的面积为１２ｃｍ２． ①当０≤ｙ≤１６３时，ＰＢ＝１６－３ｙ．所以 １ ２ＰＢ·ＢＣ＝ １ ２ ×（１６－３ｙ）×６＝１２．解得ｙ＝４； ②当１６３ ＜ｙ≤ ２２ ３时，ＢＰ＝３ｙ－１６，ＱＣ＝２ｙ．所以 １ ２ＢＰ· ＱＣ＝ １２×（３ｙ－１６）×２ｙ＝１２．解得 ｙ１ ＝６，ｙ２ ＝－ ２ ３（舍 去）； ③当２２３ ＜ｙ≤８时，ＰＱ＝ＣＱ－ＰＣ＝２２－ｙ．所以 １ ２ＰＱ· ＢＣ＝ １２×（２２－ｙ）×６＝１２．解得ｙ＝１８（舍去）． 答：经过４ｓ或６ｓ，△ＰＢＱ的面积为１２ｃｍ２． ３７期２版 １９．１多边形内角和 １９．１．１多边形的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　 ４．（１）３，１２． （２）因为△ＡＢＣ边界上的格点数是８，Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２×３×４ ＝６，正方形ＤＥＦＧ内的格点数是４，Ｓ正方形ＤＥＦＧ ＝３×３＝９，所以 ３ｍ＋８ｎ－１＝６， ４ｍ＋１２ｎ－１＝９{ ．解得 ｍ＝１， ｎ＝ １２ { ． （３）１８． 能力提高　５．原多边形纸片的边数为３或４或５．图略． １９．１．２多边形的内角和 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．１０． ５．因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝７０°，所以 ∠Ｃ＝１８０°－∠Ｂ＝ １１０°．因为五边形的内角和为：（５－２）×１８０°＝５４０°，所以ｘ° ＋１２０°＋１４０°＋７０°＋１１０°＝５４０°．解得ｘ＝１００． ６．（１）６０． （２）因为ＣＥ∥ＡＤ，∠Ｄ＝１４０°，所以∠ＤＣＥ＝１８０°－∠Ｄ ＝４０°．因为ＣＥ平分∠ＢＣＤ，所以∠ＢＣＤ＝２∠ＤＣＥ＝８０°．所 以∠Ｂ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠ＢＣＤ－∠Ｄ＝４０°． 能力提高　７．根据题意，得１７８０°＜（ｎ－２）×１８０°＜ １７８０°＋１８０°．解得１１８９ ＜ｎ＜１２ ８ ９．因为ｎ为正整数，所以 ｎ＝１２．所以除去的内角的度数为：（１２－２）×１８０°－１７８０°＝２０°． １９．１．３多边形的外角和 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．４０°；　５．７２°． ６．因为 ∠ＡＢＥ是四边形 ＡＢＣＤ的外角，所以 ∠ＡＢＥ＋ ∠ＡＢＣ＝１８０°．因为∠ＡＢＥ＝∠Ｄ，所以∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°． 又因为四边形的内角和等于３６０°，所以 ∠Ａ＋∠Ｃ＝３６０°－ （∠ＡＢＣ＋∠Ｄ）＝１８０°． ７．设这个正多边形的一个外角的度数为ｘ．根据题意，得ｘ ＋３２ｘ＝１８０°．解得ｘ＝７２°．所以这个正多边形的边数为：３６０° ÷７２°＝５． 能力提高　８．根据题意，得王明所走路径是一个正多边 形．因为王明第一次回到Ａ点时走了７２米，每次沿直线走６米 转弯，所以这个正多边形的边数为：７２÷６＝１２．所以θ＝３６０° ÷１２＝３０°． ３７期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ 二、９．２ｎ；　１０．５４；　１１．８，１３５°；　１２．３６６． 三、１３．图略． １４．延长ＡＧ，ＣＤ交于点Ｈ，图略．因为∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ∠ＣＤＥ＝∠ＡＧＦ＝９０°，所以∠Ｈ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠Ｂ －∠Ｃ＝９０°，∠ＥＤＨ＝１８０°－∠ＣＤＥ＝９０°，∠ＦＧＨ＝１８０°－ ∠ＡＧＦ＝９０°．所以∠Ｆ＝（５－２）×１８０°－∠ＥＤＨ－∠Ｅ－ ∠ＦＧＨ－∠Ｈ＝１３０°≠１４０°．所以这个零件不合格． １５．（１）六边形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为：（６－２）×１８０°＝ ７２０°． （２）因为六边形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为７２０°，∠１＋∠２＋ ∠３＋∠４＋∠５＝４７０°，所以∠ＧＢＣ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＧ＝７２０°－ ４７０°＝２５０°．所以∠Ｇ＝３６０°－（∠ＧＢＣ＋∠Ｃ＋∠ＣＤＧ）＝ １１０°． １６．设这个多边形的边数是ｍ．根据题意，得１２８０°－１８０° ＜（ｍ－２）×１８０°＜１２８０°．解得８１９ ＜ｍ＜９ １ ９．因为ｍ是 正整数，所以ｍ＝９．所以他重复加的那个角的度数是：１２８０° －（９－２）×１８０°＝２０°． １７．（１）∠ＡＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ． （２）因为∠Ａ＋∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＋∠Ｄ＝（４－２）×１８０°＝ ３６０°，所以∠ＢＣＤ＝３６０°－∠Ａ－∠Ｂ－∠Ｄ．因为∠ＤＣＥ是四 边形ＡＢＣＤ的外角，所以∠ＤＣＥ＝１８０°－∠ＢＣＤ＝∠Ａ＋∠Ｂ ＋∠Ｄ－１８０°． （３）ｙ－ｘ＝１８０（ｎ－３）． 附加题　（１）正确． （２）设应加内角的度数为ｘ，所加外角的度数为ｙ．根据题 意，得（ｎ－２）×１８０°＝２０２０°－ｙ＋ｘ．因为－１８０°＜ｘ－ｙ＜ １８０°，所以２０２０°－１８０°＜（ｎ－２）×１８０°＜２０２０°＋１８０°．解 得１２２９ ＜ｎ＜１４ ２ ９．因为ｎ是正整数，所以ｎ＝１３或１４．所 以嘉嘉求的是十三边形或十四边形的内角和． ３８期２版 １９．２平行四边形 １９．２．１平行四边形的性质 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１．５                                                                      ． —２— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 ４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ ＡＤ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ．因为△ＢＣＥ和△ＣＤＦ都是等边三角形， 所以ＣＤ＝ＤＦ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＥＢＣ＝∠ＣＤＦ＝６０°．所以ＡＢ＝ ＤＦ，ＢＥ＝ＡＤ，∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＦ，即∠ＡＢＥ＝ ∠ＦＤＡ．所以△ＡＢＥ≌△ＦＤＡ（ＳＡＳ）．所以ＡＥ＝ＡＦ． ５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∠Ｂ＝６０°，所以 ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｄ＝∠Ｂ＝６０°．所以∠ＢＡＤ＝１８０°－∠Ｂ＝１２０°． 因为ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ⊥ ＣＤ，所以 ∠ＡＥＢ＝∠ＡＦＤ＝９０°．所以 ∠ＢＡＥ＝９０°－∠Ｂ＝３０°，∠ＤＡＦ＝９０°－∠Ｄ＝３０°．所以 ∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＤ－∠ＢＡＥ－∠ＤＡＦ＝６０°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＣ＝６，所以ＡＤ＝ ＢＣ＝６．由（１）知∠ＤＡＦ＝３０°．所以ＤＦ＝１２ＡＤ＝３．由勾股 定理，得ＡＦ＝ ＡＤ２－ＤＦ槡 ２ ＝ 槡３３． 能力提高　６．Ｂ． １９．２．２平行四边形的判定 基础训练　１．Ｂ；　２．Ａ；　３．Ｄ；　４．是． ５．因为ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２＝２ａｃ＋２ｂｄ，所以（ａ－ｃ）２＋（ｂ－ ｄ）２ ＝０．所以ａ＝ｃ，ｂ＝ｄ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． ６．由对顶角相等，得∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ．在△ＡＯＥ和△ＣＯＤ 中，因为 ∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ，ＡＯ＝ＣＯ，∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＤ，所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＤ（ＡＳＡ）．所以ＯＥ＝ＯＤ．所以四边形ＡＥＣＤ是 平行四边形． 能力提高　７．４． １９．２．３三角形的中位线 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．４． ５．因为Ｐ是ＢＤ的中点，Ｅ是ＡＢ的中点，Ｆ是ＣＤ的中点，所 以ＰＥ＝１２ＡＤ，ＰＦ＝ １ ２ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所以ＰＥ＝ＰＦ．所 以∠ＰＦＥ＝∠ＰＥＦ＝１８°． ６．因为 ＣＤ是 △ＡＢＣ的中线，所以 ＡＤ＝ＤＢ．因为 ＥＦ＝ ＡＥ，所以ＤＥ∥ＢＦ．又因为ＣＦ∥ＡＢ，所以四边形ＤＢＦＣ是平行 四边形． 能力提高　７．４． ３８期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 二、９．１４；　１０．答案不惟一，如ＡＢ＝ＣＤ；　１１．３０°； １２．６； 三、１３．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，所以ＯＡ＋ＡＥ＝ＯＣ＋ＣＦ，即ＯＥ＝ ＯＦ．因为ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＢ－ＢＧ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＧ＝ＯＨ．所 以四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ．所以∠ＡＥＢ＝∠ＤＡＥ．因为ＡＢ＝ＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＥＢ． 所以∠Ｂ＝∠ＤＡＥ．在△ＡＢＣ和△ＥＡＤ中，因为ＡＢ＝ＥＡ，∠Ｂ ＝∠ＤＡＥ，ＢＣ＝ＡＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＳＡＳ）． １５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝４，所以 ＣＤ＝ ＡＢ＝４，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠ＡＣＢ＝３０°，所以∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＢ＝ ３０°．根据折叠的性质，得ＡＥ＝ＡＤ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＤ＝９０°．所 以∠Ｄ＝９０°－∠ＤＡＣ＝６０°．所以△ＡＤＥ是等边三角形．所以 ＡＤ＝ＡＥ＝ＤＥ＝２ＣＤ＝８．所以△ＡＤＥ的周长为：８×３＝２４． １６．（１）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＣＢＤ＝ ∠ＥＢＤ．因为ＥＤ∥ＢＣ，所以∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ．所以∠ＥＢＤ＝ ∠ＥＤＢ．所以ＢＥ＝ＥＤ．因为ＢＥ＝ＣＦ，所以ＥＤ＝ＣＦ．所以四 边形ＥＦＣＤ是平行四边形． （２）因为 ＢＤ是 △ＡＢＣ的角平分线，∠ＡＢＣ＝６０°，所以 ∠ＡＢＤ＝ １２∠ＡＢＣ＝３０°．因为 ∠ＡＤＢ＝１００°，所以 ∠Ａ＝ １８０°－∠ＡＢＤ－∠ＡＤＢ＝５０°．因为四边形ＥＦＣＤ是平行四边 形，所以ＥＦ∥ＡＣ．所以∠ＡＥＦ＝１８０°－∠Ａ＝１３０°． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ＝ＣＤ， ＡＢ∥ＣＤ．因为ＣＥ＝ＡＢ，所以ＣＥ＝ＣＤ．所以∠ＣＤＥ＝∠ＣＥＤ ＝ １２（１８０°－∠ＤＣＥ）＝９０°－ １ ２∠ＤＣＥ．所以 ∠ＡＥＤ ＝ ∠ＣＤＥ＝９０°－１２∠ＤＣＥ． （２）延长ＤＡ，ＦＥ交于点Ｍ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｍ＝∠ＥＦＢ．因为Ｅ是ＡＢ的 中点，所以ＡＥ＝ＢＥ．由对顶角相等，得∠ＡＥＭ＝∠ＢＥＦ．所以 △ＡＥＭ≌△ＢＥＦ（ＡＡＳ）．所以ＭＥ＝ＦＥ，ＡＭ＝ＢＦ＝２．所以ＤＭ ＝ＡＤ＋ＡＭ ＝６．因为ＤＦ⊥ＢＣ，ＡＤ∥ＢＣ，所以ＤＦ⊥ＡＤ，即 ∠ＭＤＦ ＝９０°．在 Ｒｔ△ＭＤＦ中，由勾股定理，得 ＭＦ ＝ ＤＭ２＋ＤＦ槡 ２ ＝ 槡６２．所以ＥＦ＝ １ ２ＭＦ＝ 槡３２． 附加题　（１）因为 ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，所以 ＡＢ⊥ ＣＥ， ∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ，∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ．所以 ∠ＡＥＣ＋∠ＢＥＣ＝ ∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥ，即∠ＡＥＢ＝∠ＡＣＢ．因为∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，所 以∠ＡＣＢ＝∠ＣＡＤ．所以ＢＣ∥ＡＤ．因为ＣＤ⊥ＣＥ，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． （２）过点Ａ作ＡＧ⊥ＣＤ于点Ｇ，图略．所以ＡＧ∥ＣＦ．因为 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ⊥ＣＥ，所以ＣＦ＝ＡＧ．根据勾股定理，得ＡＣ２－ＣＧ２ ＝ＡＤ２－ＤＧ２，即４２－（３－ＤＧ）２ ＝３２－ＤＧ２．解得ＤＧ＝１３． 所以ＣＦ＝ＡＧ＝ ＡＤ２－ＤＧ槡 ２ ＝ 槡４５３．因为 ＡＣ＝ＡＥ，ＡＢ⊥ ＣＥ，所以ＣＥ＝２ＣＦ＝ 槡８５３． ３９期２版 １９．３矩形、菱形、正方形（矩形） １９．３．１．１矩形的性质 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｄ；　３．１１０． ４．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ，∠Ｂ＝ ９０°．所以∠ＤＡＦ＝∠ＡＥＢ．因为ＤＦ⊥ＡＥ，所以∠ＡＦＤ＝９０°＝ ∠Ｂ．又因为ＤＡ＝ＡＥ，所以△ＤＦＡ≌△ＡＢＥ．所以ＤＦ＝ＡＢ． （２）因为ＡＢ＝４，所以ＤＦ＝４．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形， 所以∠ＡＤＣ＝９０°．因为∠ＦＤＣ＝３０°，所以∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＦＤＣ＝６０°．所以∠ＤＡＦ＝９０°－∠ＡＤＦ＝３０°．所以ＡＤ＝ ２ＤＦ＝８． 能力提高　５．槡４３． ６．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＣ＝∠ＦＣＯ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．又因为 ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ．所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）连接ＯＢ，图略．因为△ＡＯＥ≌△ＣＯＦ，所以ＯＡ＝ＯＣ， 即Ｏ为矩形ＡＢＣＤ对角线的交点．所以ＯＡ＝ＯＢ．所以∠ＢＡＣ ＝∠ＡＢＯ．因为ＢＥ＝ＢＦ，ＯＥ＝ＯＦ，所以ＢＯ⊥ＥＦ．在Ｒｔ△ＢＥＯ 中，∠ＢＥＦ＋∠ＡＢＯ ＝９０°．因为 ∠ＢＥＦ ＝２∠ＢＡＣ，                                                                      所以 —３— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 ２∠ＢＡＣ＋∠ＢＡＣ＝９０°．解得∠ＢＡＣ＝３０°．因为四边形ＡＢＣＤ 是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°．因为ＢＣ＝２，所以ＡＣ＝２ＢＣ＝４． 根据勾股定理，得ＡＢ＝ ＡＣ２－ＢＣ槡 ２ ＝ 槡２３． １９．３．１．２直角三角形斜边上的中线 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｃ；　３．Ｃ；　４．１３２． ５．连接ＣＥ，图略． （１）因为ＣＤ＝ＣＢ，Ｅ为ＢＤ的中点，所以ＣＥ⊥ＢＤ．所以 ∠ＡＥＣ＝９０°．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ＝ １２ＡＣ＝１． （２）ＢＣ＝ＡＭ＋ＤＭ．理由如下： 因为∠ＢＡＣ＝４５°，所以∠ＡＣＥ＝９０°－∠ＢＡＣ＝４５°．所 以ＡＥ＝ＣＥ．因为Ｆ为ＡＣ的中点，所以ＥＦ垂直平分ＡＣ．所以 ＡＭ ＝ＣＭ．所以ＢＣ＝ＣＤ＝ＣＭ＋ＤＭ ＝ＡＭ＋ＤＭ． １９．３．１．３矩形的判定 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ； ３．答案不惟一，如ＤＥ＝ＦＧ；　４．１３． ５．因为 ＢＥ∥ ＤＦ，所以 ∠ＤＦＣ＝∠ＡＥＢ．所以 １８０°－ ∠ＤＦＣ＝１８０°－∠ＡＥＢ，即∠ＤＦＡ＝∠ＢＥＣ．因为ＤＦ＝ＢＥ，ＡＦ ＝ＣＥ，所以△ＡＦＤ≌△ＣＥＢ．所以∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ，ＡＤ＝ＣＢ． 所以ＡＤ∥ＢＣ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．又因为∠ＢＡＤ ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． 能力提高　６．４． ７．（１）因为ＡＤ∥ＢＣ，所以∠Ｄ＋∠Ｃ＝１８０°．因为∠Ａ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°．所以四边形ＡＢＣＤ是 矩形． （２）根据折叠的性质，得∠ＢＧＥ＝∠Ａ＝９０°，ＢＧ＝ＡＢ＝ ６，ＡＥ＝ＧＥ．所以∠ＥＧＦ＝１８０°－∠ＢＧＥ＝９０°．因为Ｅ是ＡＤ 的中点，所以 ＡＥ＝ＤＥ．所以 ＤＥ＝ＧＥ．因为 ＥＦ＝ＥＦ，所以 Ｒｔ△ＤＥＦ≌Ｒｔ△ＧＥＦ（ＨＬ）．所以ＤＦ＝ＧＦ．所以ＢＦ＝ＢＧ＋ＧＦ ＝６＋ＤＦ．因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＣＤ＝ＡＢ＝６．在 Ｒｔ△ＢＣＥ中，根据勾股定理，得ＢＣ２＋ＣＦ２ ＝ＢＦ２，即８２＋（６－ ＤＦ）２ ＝（６＋ＤＦ）２．解得ＤＦ＝ ８３． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｃ Ｄ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ｂ 二、９．３５°；　１０．４５；　１１．６；　１２．７２． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＢＣ＝ＡＤ＝ ８．因为ＡＢ＝６，ＡＣ＝１０，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２．所以∠Ｂ＝ ９０°．所以平行四边形ＡＢＣＤ是矩形． １４．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所以∠Ｆ ＝∠ＢＣＥ．因为Ｅ是ＡＢ的中点，所以ＡＥ＝ＥＢ．由对顶角相等， 得∠ＡＥＦ＝∠ＢＥＣ．所以△ＡＥＦ≌△ＢＥＣ（ＡＡＳ）． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠Ｄ＝９０°．因为∠Ｆ ＝３０°，所以ＣＦ＝２ＣＤ＝８． １５．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＥ∥ＢＣ． 又因为ＣＥ∥ＢＤ，所以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形．所以ＣＥ＝ ＢＤ．因为ＣＥ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＢＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠ＢＡＤ＝９０°，ＢＣ＝ ＡＤ＝３．根据勾股定理，得ＢＤ＝ ＡＢ２＋ＡＤ槡 ２ ＝５．所以四边形 ＢＣＥＤ的周长为：２（ＢＣ＋ＢＤ）＝１６． １６．因为矩形 ＡＢＣＤ≌ 矩形 ＡＥＦＧ，所以 ＡＢ＝ＡＥ＝１， ∠ＤＡＢ＝∠ＦＥＡ＝９０°，ＡＤ＝ＢＣ＝２．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ， ∠ＡＢＥ＋∠ＡＤＢ＝９０°，∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＦ＝１８０°－∠ＦＥＡ＝ ９０°．所以∠ＤＥＦ＝∠ＡＤＢ．所以ＥＨ＝ＤＨ．在Ｒｔ△ＡＥＨ中，根 据勾股定理，得ＥＨ２＋ＡＥ２＝ＡＨ２，即（２－ＡＨ）２＋１２＝ＡＨ２．解 得ＡＨ＝ ５４． １７．（１）因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，所以ＡＤ ⊥ ＢＣ，∠ＣＡＤ ＝ １２∠ＢＡＣ．所以 ∠ＡＤＣ＝９０°．因为 ＡＮ为 △ＡＢＣ外角∠ＣＡＭ的平分线，所以 ∠ＣＡＮ＝ １２∠ＣＡＭ．所以 ∠ＤＡＥ＝∠ＣＡＤ＋∠ＣＡＮ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＡＮ，所以∠ＡＥＣ＝ ９０°．所以四边形ＡＤＣＥ是矩形． （２）四边形ＡＢＤＥ是平行四边形．证明如下： 由（１）知，四边形ＡＤＣＥ是矩形．所以ＡＥ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＤＥ． 又因为ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ＝ＣＤ，所以ＡＢ＝ＤＥ，ＡＥ＝ＢＤ．所以四边 形ＡＢＤＥ是平行四边形． （３）ＤＦ∥ＡＢ，ＤＦ＝ １２ＡＢ． 附加题 　（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＣ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°，ＡＢ＝ＣＤ．由折叠的性质，得ＡＢ＝ ＰＤ，∠Ａ＝∠Ｐ＝９０°，∠Ｂ＝∠ＰＤＦ＝９０°．所以 ＰＤ＝ＣＤ， ∠ＰＤＦ＝∠ＡＤＣ，∠Ｐ＝∠Ｃ．所以∠ＰＤＦ－∠ＡＤＦ＝∠ＡＤＣ－ ∠ＡＤＦ，即∠ＰＤＥ＝∠ＣＤＦ．所以△ＰＤＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）． （２）过点Ｅ作ＥＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，图略．所以∠ＥＧＦ＝∠ＥＧＢ ＝９０°．所以四边形ＡＢＧＥ和四边形ＥＧＣＤ都是矩形．所以ＡＥ＝ ＢＧ，ＤＥ＝ＣＧ，ＥＧ＝ＣＤ＝４．在Ｒｔ△ＥＧＦ中，由勾股定理，得ＦＧ ＝ ＥＦ２－ＥＧ槡 ２ ＝３．由（１），得 △ＰＤＥ≌ △ＣＤＦ．所以 ＰＥ＝ ＣＦ，ＤＥ＝ＤＦ＝ＣＧ＝ＣＦ＋３．由折叠的性质，得ＡＥ＝ＰＥ．在 Ｒｔ△ＣＤＦ中，由勾股定理，得ＣＤ２＋ＣＦ２ ＝ＤＦ２，即ＣＦ２＋４２ ＝ （ＣＦ＋３）２．解得ＣＦ＝ ７６．所以ＢＣ＝２ＣＦ＋ＦＧ＝ １６ ３                                                         ． —４— 初中数学·沪科八年级（ＡＨ）　第３６～３９期 书 １５．（１）六 边 形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为： （６－２）×１８０°＝７２０°． （２）因为六边形 ＡＢＣＤＥＦ的内角和为 ７２０°，∠１＋∠２＋∠３＋ ∠４＋∠５＝４７０°， 所以∠ＧＢＣ＋∠Ｃ ＋∠ＣＤＧ＝７２０°－４７０° ＝２５０°． 所以∠Ｇ＝３６０°－ （∠ＧＢＣ ＋ ∠Ｃ ＋ ∠ＣＤＧ）＝１１０°． １６．设这个多边形 的边数是ｍ．根据题意， 得１２８０°－１８０°＜（ｍ －２）×１８０°＜１２８０°． 解得８１９ ＜ｍ ＜ ９１９． 因为 ｍ是正整数， 所以ｍ＝９． 所以他重复加的那 个角的度数是：１２８０°－ （９－２）×１８０°＝２０°． １７．（１）∠ＡＣＤ ＝ ∠Ａ＋∠Ｂ． （２）因 为 ∠Ａ ＋ ∠Ｂ＋∠ＢＣＤ＋∠Ｄ＝ （４－２）×１８０°＝３６０°， 所 以 ∠ＢＣＤ ＝ ３６０°－∠Ａ－∠Ｂ － ∠Ｄ． 因为 ∠ＤＣＥ是四 边形ＡＢＣＤ的外角， 所 以 ∠ＤＣＥ ＝ １８０°－∠ＢＣＤ＝∠Ａ＋ ∠Ｂ＋∠Ｄ－１８０°． （３）ｙ－ｘ＝１８０（ｎ －３）． 附加题 　（１）正 确． （２）设应加内角的 度数为 ｘ，所加外角的 度数为ｙ． 根据题意，得（ｎ－ ２）×１８０°＝２０２０°－ｙ ＋ｘ． 因为－１８０°＜ｘ－ ｙ＜１８０°， 所以２０２０°－１８０° ＜（ｎ－２）×１８０°＜ ２０２０°＋１８０°． 解得１２２９ ＜ｎ＜ １４２９． 因为ｎ是正整数， 所以ｎ＝１３或１４． 所以嘉嘉求的是十 三边形或十四边形的内 角和． 书 平行四边形具有丰富的性质，与平行四边形相关 的考题也多种多样，其中与角平分线有关的问题是近 几年模拟命题的热点．下面选取几例加以说明，供同学 们参考． 一、已知平行四边形一个角的平分线 例１　如图１，在ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，且 ∠ＢＥＡ＝３０°，则∠Ａ的大小为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１５０° Ｂ．１３０° Ｃ．１２０° Ｄ．１００° 分析：由平行四边形的性质和平行线的性质得出 ∠ＡＥＢ＝∠ＣＢＥ，由角平分线的定义得出 ∠ＡＢＥ的度 数，再由三角形内角和定理即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．因为∠ＢＥＡ＝３０°，所以∠ＣＢＥ＝∠ＢＥＡ＝３０°．因 为ＢＥ平分∠ＡＢＣ，所以 ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ＝３０°．所以 ∠Ａ＝１８０°－∠ＡＢＥ－∠ＢＥＡ＝１２０°．故选Ｃ． 二、已知平行四边形一组邻角的平分线 例 ２　 如图 ２，在 ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，∠ＢＣＤ 的平分线交ＡＤ于点Ｆ．若ＡＢ＝３，ＡＤ ＝４，则ＥＦ的长是 ． 分析：根据平行四边形的性质和 角平分线的性质得到ＤＦ＝ＤＣ，ＡＥ＝ＡＢ，进而可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ∥ ＣＢ，ＡＢ＝ＤＣ＝３．所以 ∠ＣＢＥ＝∠ＡＥＢ，∠ＢＣＦ＝ ∠ＣＦＤ．因为 ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＡＢＥ ＝∠ＣＢＥ，∠ＤＣＦ ＝∠ＢＣＦ．所以 ∠ＡＢＥ ＝ ∠ＡＥＢ，∠ＤＦＣ＝∠ＤＣＦ．所以ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＤＦ＝ＤＣ ＝３．因为ＡＤ＝４，所以ＡＦ＝ＡＤ－ＤＦ＝１．所以ＥＦ＝ ＡＥ－ＡＦ＝２．故填２． 三、已知平行四边形一组对角的平分线 例３　如图３，点 Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢＣＤ的ＢＣ，ＡＤ边上．若ＡＥ平分 ∠ＢＡＤ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，求证：ＡＦ ＝ＣＥ． 分析：根据平行四边形的性质证得 △ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ，可得ＢＥ＝ＤＦ，进而可得结论． 证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ｂ＝ ∠Ｄ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ．因为ＡＥ平分 ∠ＢＡＤ，ＣＦ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＥＡＢ ＝ １２∠ＢＡＤ， ∠ＦＣＤ＝１２∠ＢＣＤ．所以∠ＥＡＢ＝∠ＦＣＤ．在△ＡＢＥ和 △ＣＤＦ中，因为∠Ｂ＝∠Ｄ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＥＡＢ＝∠ＦＣＤ， 所以△ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＥ＝ＤＦ．所以ＡＤ－ ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＣＥ． 书 上期２版 １９．１多边形内角和 １９．１．１多边形的概念 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ａ．　 ４．（１）３，１２． （２）因为△ＡＢＣ边界上的格点数是８，Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２× ３×４＝６，正方形ＤＥＦＧ内的格点数是４，Ｓ正方形ＤＥＦＧ ＝３× ３＝９， 所以 ３ｍ＋８ｎ－１＝６， ４ｍ＋１２ｎ－１＝９{ ． 解得 ｍ＝１， ｎ＝ １２ { ． （３）１８． 能力提高　５．原多边形纸片的边数为３或４或５．图 略． １９．１．２多边形的内角和 基础训练　１．Ｃ；　２．Ｃ；　３．１８；　４．１０． ５．因为ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝７０°， 所以∠Ｃ＝１８０°－∠Ｂ＝１１０°． 因为五边形的内角和为：（５－２）×１８０°＝５４０°， 所以ｘ°＋１２０°＋１４０°＋７０°＋１１０°＝５４０°． 解得ｘ＝１００． ６．（１）６０． （２）因为ＣＥ∥ＡＤ，∠Ｄ＝１４０°， 所以∠ＤＣＥ＝１８０°－∠Ｄ＝４０°． 因为ＣＥ平分∠ＢＣＤ， 所以∠ＢＣＤ＝２∠ＤＣＥ＝８０°． 所以∠Ｂ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠ＢＣＤ－∠Ｄ＝ ４０°． 能力提高 　７．根据题意，得 １７８０°＜（ｎ－２）× １８０°＜１７８０°＋１８０°． 解得１１８９ ＜ｎ＜１２ ８ ９． 因为ｎ为正整数， 所以ｎ＝１２． 所以除去的内角的度数为：（１２－２）×１８０°－１７８０° ＝２０°． １９．１．３多边形的外角和 基础训练　１．Ａ；　２．Ｄ；　３．Ａ；　４．４０°；　５．７２°． ６．因为∠ＡＢＥ是四边形ＡＢＣＤ的外角， 所以∠ＡＢＥ＋∠ＡＢＣ＝１８０°． 因为∠ＡＢＥ＝∠Ｄ， 所以∠ＡＢＣ＋∠Ｄ＝１８０°． 又因为四边形的内角和等于３６０°， 所以∠Ａ＋∠Ｃ＝３６０°－（∠ＡＢＣ＋∠Ｄ）＝１８０°． ７．设这个正多边形的一个外角的度数为ｘ． 根据题意，得ｘ＋３２ｘ＝１８０°． 解得ｘ＝７２°． 所以这个正多边形的边数为：３６０°÷７２°＝５． 能力提高　８．根据题意，得王明所走路径是一个正 多边形． 因为王明第一次回到Ａ点时走了７２米，每次沿直线 走６米转弯， 所以这个正多边形的边数为：７２÷６＝１２． 所以θ＝３６０°÷１２＝３０°． 上期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ 二、９．２ｎ；　１０．５４；　１１．８，１３５°；　１２．３６６． 三、１３．图略． １４．延长ＡＧ，ＣＤ交于点Ｈ，图略． 因为∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝∠ＣＤＥ＝∠ＡＧＦ＝９０°， 所以∠Ｈ＝（４－２）×１８０°－∠Ａ－∠Ｂ－∠Ｃ＝ ９０°，∠ＥＤＨ＝１８０°－∠ＣＤＥ＝９０°，∠ＦＧＨ＝１８０°－ ∠ＡＧＦ＝９０°． 所以∠Ｆ＝（５－２）×１８０°－∠ＥＤＨ－∠Ｅ－∠ＦＧＨ －∠Ｈ＝１３０°≠１４０°． 所以这个零件不合格． 书 折叠问题是轴对称性 质的应用，同时考查空间想 象能力，此类问题可以涵盖 三角形的全等、等腰三角形、 平行线等众多知识．下面我 们就一起学习折叠型问题 在平行四边形中的应用． 一、求角的度数 例 １　 如 图 １， 将 ＡＢＣＤ沿对角线ＢＤ折叠， 使点Ａ落在点 Ｅ处．若 ∠１ ＝５６°，∠２＝４２°，则∠Ａ的 度数为 （　　） Ａ．１０８°　　　Ｂ．１０９° Ｃ．１１０° Ｄ．１１１° 分析：根据平行四边形的性质得出ＡＢ∥ＣＤ，从而 得到∠ＡＢＥ＝∠１，根据折叠的性质得出 ∠ＡＢＤ的度 数，最后由三角形内角和定理得出∠Ａ的度数即可． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠ＡＢＥ＝∠１＝５６°．由折叠的性质，得∠ＡＢＤ ＝１２∠ＡＢＥ＝２８°．因为∠２＝４２°，所以∠Ａ＝１８０°－ ∠２－∠ＡＢＤ＝１１０°．故选Ｃ． 二、求线段的长度 例２　 如图２，将 ＡＢＣＤ 进行折叠，折叠后ＡＤ恰好经过 点Ｃ得到ＡＤ′．若∠ＢＡＣ＝９０°， ＤＥ＝５，ＣＥ＝４，则线段 ＡＣ的 长度为 ． 分析：由平行四边形的性质可得 ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，进而求得∠ＥＣＤ′的度数，由折叠的性质 得到Ｄ′Ｅ＝ＤＥ，ＡＤ＝ＡＤ′，由勾股定理可求ＣＤ′的长， 运用方程思想即可得解． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＤＥ＋ＣＥ＝９，ＡＢ∥ＣＤ．所以∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＡＣ＝９０°．所以∠ＥＣＤ′＝１８０°－∠ＡＣＤ＝９０°．根 据折叠的性质，得Ｄ′Ｅ＝ＤＥ＝５，ＡＤ′＝ＡＤ．所以ＣＤ′ ＝ Ｄ′Ｅ２－ＣＥ槡 ２ ＝３．所以ＢＣ＝ＡＤ′＝ＡＣ＋ＣＤ′＝ＡＣ ＋３．在Ｒｔ△ＡＢＣ中，由勾股定理，得ＢＣ２ ＝ＡＢ２＋ＡＣ２， 即（ＡＣ＋３）２ ＝９２＋ＡＣ２．解得ＡＣ＝１２．故填１２． 三、证明三角形全等 例３　如图３，将ＡＢＣＤ沿 对角线ＢＤ翻折，点Ａ落在点Ｅ处， ＢＥ交ＣＤ于点Ｆ．求证：△ＢＣＦ≌ △ＤＥＦ． 分析：由折叠的性质，得 ∠Ｅ ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ，根据平行四边形 的性质，得∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ＤＡ，根据“ＡＡＳ”即可得解． 证明：由折叠的性质，得∠Ｅ＝∠Ａ，ＤＥ＝ＤＡ．因 为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以∠Ｃ＝∠Ａ，ＢＣ＝ ＤＡ．所以 ∠Ｃ＝∠Ｅ，ＢＣ＝ＤＥ．由对顶角相等，得 ∠ＢＦＣ＝∠ＤＦＥ．在△ＢＣＦ和△ＤＥＦ中，因为∠ＢＦＣ ＝∠ＤＦＥ，∠Ｃ ＝∠Ｅ，ＢＣ ＝ＤＥ，所以 △ＢＣＦ≌ △ＤＥＦ（ＡＡＳ）． 书 三角形中位线定理在一个题设下，有两个结论：一 个是线段之间的位置关系，另一个是线段之间的数量关 系．这个定理在证明、计算、作图中都有广泛的应用，是 三角形的重要性质之一．当三角形中有中点时，往往借 助三角形中位线定理来解决相关问题． 一、求角度 例１　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ａ＝３０°，点 Ｄ，Ｅ分别是直角边 ＡＣ，ＢＣ的中点，连接ＤＥ，则∠ＣＥＤ 的度数是 （　　） Ａ．７０°　　　　　　　Ｂ．６０° Ｃ．３０° Ｄ．２０° 分析：根据直角三角形的性质求出 ∠Ｂ的度数，根 据三角形中位线定理得到ＤＥ∥ＡＢ，根据平行线的性质 解答即可． 解：在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝３０°，所以 ∠Ｂ＝９０°－ ∠Ａ＝６０°．因为Ｄ，Ｅ分别是ＡＣ，ＢＣ的中点，所以ＤＥ∥ ＡＢ．所以∠ＣＥＤ＝∠Ｂ＝６０°．故选Ｂ． 二、求周长 例２　如图２，在△ＡＢＣ中，Ｄ， Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点．若 ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，则四边形ＢＤＥＦ的 周长是 （　　） Ａ．２８ Ｂ．１４ Ｃ．１０ Ｄ．７ 分析：根据三角形中位线定理解答即可． 解：因为Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＡＣ，ＡＢ的中点，所以ＤＥ ＝ＢＦ＝１２ＡＢ＝３，ＦＥ＝ＢＤ＝ １ ２ＢＣ＝４．所以四边形 ＢＤＥＦ的周长是：２（ＤＥ＋ＦＥ）＝１４．故选Ｂ． 三、求面积 例３　如图３，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点，Ｄ，Ｅ 为ＢＣ边上的点，连接ＮＤ，ＭＥ．若ＡＢ ＝１３ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ，ＤＥ＝５ｃｍ，则 图中阴影部分的面积为 （　　） Ａ．２５ｃｍ２　　　　　Ｂ．３５ｃｍ２ Ｃ．３０ｃｍ２ Ｄ．４２ｃｍ２ 分析：连接ＭＮ，ＭＥ与ＮＤ相交于点Ｏ，根据三角形 中位线定理，可得出 ＭＮ＝５ｃｍ，图中阴影部分的面积 为△ＡＭＮ，△ＯＭＮ与△ＯＤＥ的面积和，由图可知，这三 个三角形的底相等，高的和是从点 Ａ到 ＢＣ的垂线段的 长，利用勾股定理即可得解． 解：如图３，连接ＭＮ，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，设 ＭＥ与ＮＤ相交于点 Ｏ．因为 ＢＣ＝１０ｃｍ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＡＣ的中点，所以ＭＮ＝１２ＢＣ＝５ｃｍ．因为ＡＢ＝ＡＣ， ＡＧ⊥ＢＣ，所以ＢＧ＝ １２ＢＣ＝５ｃｍ．由勾股定理，得ＡＧ ＝ ＡＢ２－ＢＧ槡 ２ ＝１２ｃｍ．所以图中阴影部分的面积为： Ｓ△ＡＭＮ ＋Ｓ△ＯＭＮ＋Ｓ△ＯＤＥ ＝ １ ２×５×１２＝３０（ｃｍ ２）．故选Ｃ． ! !" #$% """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " """""""""""""""""""" ! " # $ % ! ! ! " # $ & % ! " ! " # $ % $! ! " ! " # $ ! " % ! ! ! " # $ & % ! # ! & ' ( ) ! " #$ & %' ( ) ! # * 书 平行四边形的判定方法较多，综合性较强，涉及平 行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质 联系．判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四 边形的性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判 定定理是本节的重点． 方法一、两组对边分别平行的四边形是平行四边形 例１　如图１，在ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝８，点Ｅ是ＡＢ上一点，ＡＥ＝３， 连接ＤＥ，过点Ｃ作ＣＦ∥ＤＥ，交ＡＢ 的延长线于点Ｆ，则ＢＦ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２ 解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＡＢ＝８，所以 ＤＣ＝ＡＢ＝８，ＡＢ∥ＣＤ．因为ＡＥ＝３，所以ＢＥ＝ＡＢ－ ＡＥ＝５．因为ＣＦ∥ＤＥ，所以四边形 ＤＥＦＣ是平行四边 形．所以ＥＦ＝ＤＣ＝８．所以ＢＦ＝ＥＦ－ＢＥ＝３． 故选Ｃ． 方法二、两组对边分别相等的四边形是平行四边形 例２　如图２，对于几何作图 “过直线ｌ外一点 Ｐ作这条直线的 平行线”，甲、乙两位同学均设计出 自己的尺规作图方案： 甲：在直线ｌ上取点Ａ，以点Ｐ为圆心，ＰＡ长为半径画 弧，交直线 ｌ于点 Ｂ，然后延长 ＡＰ作射线 ＡＣ，最后作 ∠ＣＰＢ的平分线ＰＱ，ＰＱ所在的直线即为所求； 乙：在直线ｌ上取Ａ，Ｂ两点（点Ｂ在点Ａ的右侧），分 别以点Ｐ为圆心，ＡＢ长为半径；再以点Ｂ为圆心，ＰＡ长 为半径画弧，两弧相交于点Ｑ（点Ｑ和点Ａ在直线ＰＢ的 两侧），ＰＱ所在的直线即为所求． 对于以上两个方案，判断正确的是 （　　） Ａ．甲、乙均正确 Ｂ．甲错误、乙正确 Ｃ．甲正确、乙错误 Ｄ．甲、乙均错误 解：甲所画如图３－①，ＰＡ＝ＰＢ，所以 ∠ＰＡＢ＝ ∠ＰＢＡ．因为ＰＱ平分∠ＣＰＢ，所以∠ＣＰＱ＝∠ＢＰＱ．所 以∠ＣＰＢ＝∠ＰＡＢ＋∠ＰＢＡ＝∠ＣＰＱ＋∠ＢＰＱ．所以 ∠ＰＢＡ＝∠ＢＰＱ．所以ＰＱ∥直线ｌ．所以甲正确． 乙所画如图３－②，ＰＡ＝ＢＱ，ＰＱ＝ＡＢ，所以四边形 ＡＢＱＰ是平行四边形．所以ＰＱ∥直线ｌ．所以乙正确． 故选Ａ． 方法三、两组对角分别相等的四边形是平行四边形 例３　如图４，在四边形ＡＢＣＤ 中，ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ．求证：四 边形ＡＢＣＤ为平行四边形． 证明：因为ＡＢ∥ＣＤ， 所以∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°，∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 因为∠Ｂ＝∠Ｄ，所以∠Ａ＝∠Ｃ． 所以四边形ＡＢＣＤ为平行四边形． 方法四、对角线互相平分的四边形是平行四边形 例 ４　 如图 ５，ＡＢＣＤ 中，Ｅ，Ｆ两点在对角线ＢＤ上， 且ＢＥ＝ＤＦ，连接ＡＥ，ＥＣ，ＣＦ， ＦＡ．求证：四边形 ＡＥＣＦ是平 行四边形． 证明：如图５，连接ＡＣ交ＢＤ于点Ｏ． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ． 因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＯＢ－ＢＥ＝ＯＤ－ＤＦ，即ＯＥ＝ＯＦ． 所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形． 方法五、一组对边平行且相等的四边形是平行四边 形 例 ５　 如图 ６，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，ＢＥ ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ ＡＣ，垂足分别为点 Ｅ，Ｆ，且 ＢＥ ＝ ＤＦ，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＢＤＣ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形． 证明：因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，所以 ＡＢ∥ ＣＤ．所以 ∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ．因为ＢＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＡＣ，所以∠ＡＥＢ ＝∠ＣＦＤ＝９０°．在△ＡＢＥ和△ＣＤＦ中，因为∠ＢＡＥ＝ ∠ＤＣＦ，∠ＡＥＢ ＝∠ＣＦＤ，ＢＥ ＝ＤＦ，所以 △ＡＢＥ≌ △ＣＤＦ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形． # $ ! " ! $ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! *+ , - ! ./ 012 ! ! # % " $ ! & + , ! " ! " # $ & * % ! % ! " # $ % ! ! ! " # $ & % ! " ! " # $ & % ! # ! " # $ & * % ! & ! " + - ! ! " # + - ! ! # , , ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" "'"%&#'!(( 3456789:;<=!">? #$ @ !"#$%&'" ()*+,-'. #ABCDCE #NOPQRI'#%!*%"+!"%& #STPQRI'#%!!%"+!"%% #UVWXIY/Z[\]^_`abc !#" d5eVf3456gOP #higjI'#'''& #]kPlVmnI'#%!!%"+!!"% '#%!!%"+!"#+=op> #lqIrsUV]tuXvwxyz{h|=}> #hilqmnI!!!,% #~€l‚ƒl„…l #UV†xyzZ=]><‡ˆ‰ŠV #ST‹Œ~ŽdI!$''''$'''!!' #I---)./012345)657 #UV‘’'“”o•–—˜™š›=œ+]ž`Ÿ ¡¢£9¤¥ !! d>¦–§¨˜–©ª«¬­§rsUV]tuXv®¯ !()" °±C²³ 6´µ¶I!)!"#$%&'()*+,-. /0) ") !"#$%12&'()*+3 4) #)$%56*7892!+:;! ·¸¹ºI!)<=;&'()*+/0" >?@+ABCD.EF+GHD) ")$%&'()*+122!I/0 2!+JK:;" =x»¼> "#$% %&'()*!"+ )*+,-./0 1 23-.456789/ '#%!*%"+!"&, 23:;456789/ '#%!*%"+!"#$ =½¾ !§$ E4¿> =ÀÁ $ EÂÃÄÅ> Y/ÆÇÈ6ÉÊ Y/ÆȇË9¤Ì•ÍÎ 5eVfgOÏE fÐIÑ»Ò yÓÔÕÖ×ÏEØdI89 !$*'+'+:=;> !"#$%&'( )* !"#$%&' ()*+,-./01 234.56789: ;3<4.=>?.@ A.BCDEFGH I8JK !LMNOP QR:S.TUVW0X YZ[0\]^_`a .=<4@>?Bb c _`defghij kkl@mnijk kl:opefklB qr:stuGvwx yz !" *{j|}~ €y‚ƒ„:…† #$%‡ˆ€?‰Š Ff ! y‹b !LfŒ ŽGc3€- .CD$fQROP @‘’“”b +, A./•–:—• ˜™:šˆ›3A.C D6œ‘’89* ž.Ÿb MN:•˜™ 9Ž ¡¢A.*£ ¤OP@¥¦<§b ¨ ©¡ªfA.“«:• ˜™3¬$(­®¯ °˜±²³.´µ$ .¶A·.¸:\3% ¹A.¶º»¼½¾ $¿ÀÁÂ:ÃÄÅÆ oÇÈf8ÂÉFÊ Ë: ˆ89ÌzÍ Î:Ž Gc‘’*A .“”@Ïr”Ðb c *ÏrjÑÒÓÔÕ: Ö×zؕjÑÙ:3% ¹A.ÚÛÜGQR ÝÞb •˜™Ößàá âã³.A.-.. äåæ:oçèf8 é8GMê-ëìí fîï.ðb 3ñ) ò:có23.ð5ô  çè:;3õöA. ½÷$¿ÉÁÂ:Õø š3ù8úû.üA .½÷5:cˆýþÿ !"Ê#p€$î” %:&'G(«B,ñ 3)"÷*$f+, >›b •˜™3A.C DE-G"./_ `®Ž:Õøš301 23?‰Bqr5:c f_`8J֐€% ¹+,A.)45ô @67b c88z%¹ A.Úfˆ9:;Ò <:=>?@@A/f BCb DA.,Ef Œ*ó2ŽGcF 3A.CDfG¡8 9@‘’HI:;k  GcFJKóLMNO PQfR–STb cF fŒ*UVœWEó ,XŠ-.Y?MNZ -.[\b 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，直线ａ∥ｂ，则直线ａ，ｂ之间的距离是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．线段ＡＢ Ｂ．线段ＡＢ的长度 Ｃ．线段ＣＤ Ｄ．线段ＣＤ的长度 ２．如图２，Ａ，Ｂ两点被一座山隔开，Ｍ，Ｎ分别是ＡＣ， ＢＣ的中点，测量ＭＮ的长度为３０ｍ，那么ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．３０ｍ Ｂ．６０ｍ Ｃ．１２０ｍ Ｄ．１６０ｍ ３．如图３，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝１１０°，则 ∠Ｄ的度数为 （　　） Ａ．７０° Ｂ．８０° Ｃ．１１０° Ｄ．１２０° ４．已知四边形 ＡＢＣＤ中 ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数 之比，能判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的是 （　　） Ａ．１∶２∶３∶４ Ｂ．１∶２∶２∶１ Ｃ．２∶２∶３∶４ Ｄ．２∶３∶２∶３ ５．如图４，ＡＢＣＤ纸片中，∠Ａ＝１２０°，ＡＢ＝４，ＢＣ ＝５，剪掉两个角后，得到图形 ＡＥＦＣＧＨ．已知 ∠ＥＦＣ＝ ∠ＡＨＧ＝１２０°，且ＥＦ＝１，ＨＧ＝２，则这个图形的周长为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ６．某街区街道如图５所示，其中 ＣＥ垂直平分 ＡＦ， ＢＤ∥ＣＦ，ＢＣ∥ＤＦ．从Ｂ站到Ｅ站有两条公交线路；线 路１是Ｂ→Ｄ→Ａ→Ｅ，线路２是Ｂ→Ｃ→Ｆ→Ｅ，则两 条线路的长度关系为 （　　） Ａ．线路１较短 Ｂ．线路２较短 Ｃ．两条线路长度相等 Ｄ．两条线路长度无法确定 ７．如图６，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于Ｏ，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＣ交ＡＤ于点Ｅ．若ＡＥ＝２，ＤＥ ＝１，ＡＢ＝槡５，则ＡＣ的长为 （　　） 槡Ａ．２２ Ｂ．槡 ５２ ２ 槡 槡Ｃ．４２ Ｄ．３２ ８．如图７，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ ∥ＢＣ，ＢＣ＝３，ＡＢ＝５，ＡＤ＝６．若 点Ｍ是线段 ＢＤ的中点，则 ＣＭ的 长是 （　　） Ａ．３２ Ｂ．２ Ｃ． ５ ２ Ｄ．３ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图８，当ｘ＝ 时，四边形ＡＢＣＤ是平行 四边形． １０．如图 ９，四边形 ＡＢＣＤ的对角线相交于点 Ｏ， ∠ＡＢＤ＝∠ＣＤＢ，请添加一个条件 ，使四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形（只填一种情况即可）． １１．如图 １０，在 ＡＢＣＤ的 ＡＢ，ＣＤ边上截取线段 ＡＦ，ＣＥ，使ＡＦ＝ＣＥ，连接ＥＦ，点Ｍ，Ｎ是线段ＥＦ上的两 点，且ＥＮ＝ＦＭ，连接ＡＮ，ＣＭ．若∠ＣＭＦ＝１００°，∠ＣＥＭ ＝７０°，则∠ＮＡＦ＝ ． １２．如图１１，在 ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的平分线 ＢＥ与 ＡＤ交于点Ｅ，Ｆ为ＣＤ的中点，且ＥＦ平分∠ＢＥＤ．若ＡＢ ＝４，ＤＥ＝１，则ＢＥ＝ ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相 交于点Ｏ，点Ｅ在ＣＡ的延长线上，点Ｆ在 ＡＣ的延长线 上，且ＡＥ＝ＣＦ，点Ｇ，Ｈ均在线段ＢＤ上，且ＢＧ＝ＤＨ．求 证：四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １４．（１０分）如图１３，在ＡＢＣＤ中，Ｅ为ＢＣ边上一 点，且ＡＢ＝ＡＥ．求证：△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ． １５．（１０分）如图 １４，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，将 △ＡＤＣ沿ＡＣ折叠后，点Ｄ恰好落在ＤＣ延长线上的点Ｅ 处．若∠ＡＣＢ＝３０°，ＡＢ＝４，求△ＡＤＥ的周长． １６．（１２分）如图１５，已知ＢＤ是△ＡＢＣ的角平分线， 点Ｅ，Ｆ分别在ＡＢ，ＢＣ边上，且ＢＥ＝ＣＦ，ＥＤ∥ＢＣ． （１）求证：四边形ＥＦＣＤ是平行四边形； （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，∠ＡＤＢ＝１００°，求∠ＡＥＦ的度 数． １７．（１２分）如图１６，平行四边形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是 ＡＢ边上一点，ＣＥ＝ＡＢ，ＤＦ⊥ ＢＣ，交 ＣＥ于点 Ｇ，连接 ＤＥ，ＥＦ． （１）求证：∠ＡＥＤ＝９０°－１２∠ＤＣＥ； （２）若点Ｅ是ＡＢ边的中点，ＡＤ＝４，ＢＦ＝２，ＤＦ＝ ６，求ＥＦ的长． （以下试题供各地根据实际情况选用） 如图，已知ＡＣ＝ＡＥ，ＢＣ＝ＢＥ，∠ＡＥＢ＝∠ＣＡＤ，ＣＤ ⊥ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形； （２）若ＡＤ＝ＣＤ＝３，ＡＣ＝４，求ＣＥ的长                                                                                                                                                                 ． 书 １９．２平行四边形 １９．２．１平行四边形的性质 １．在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝５０°，则∠Ｄ的度数是 （　　） 　　　 　　　　 　　　　　 　　　Ａ．６５° Ｂ．５５° Ｃ．５０° Ｄ．４０° ２．如图１，若ＡＢＣＯ的顶点Ｏ，Ａ，Ｃ的坐标分别是 （０，０），（５，０），（２，３），则点Ｂ的坐标是 （　　） Ａ．（３，７） Ｂ．（５，３） Ｃ．（７，３） Ｄ．（８，２） ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，线段ＥＦ经过点Ｏ，ＡＨ⊥ＢＣ于点Ｈ．若ＡＨ＝２，ＢＣ＝ ３，则图中阴影部分的面积是 ． ４．如图３，在ＡＢＣＤ中，∠ＢＣＤ＝１２０°，分别以ＢＣ 和ＣＤ为边作等边△ＢＣＥ和等边△ＣＤＦ，连接ＡＥ，ＡＦ． 求证：ＡＥ＝ＡＦ． ５．如图４，在ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝６０°，ＡＥ⊥ ＢＣ，ＡＦ ⊥ＣＤ，垂足分别为点Ｅ，Ｆ． （１）求∠ＥＡＦ的度数； （２）若ＢＣ＝６，求线段ＡＦ的长． ６．如图５，ＡＢ∥ＤＣ，ＥＤ∥ＢＣ， ＡＥ∥ＢＤ，则图中和△ＡＢＤ面积相 等的三角形（不包括△ＡＢＤ）有 （　　） Ａ．１个 　　Ｂ．２个 Ｃ．３个 　　Ｄ．４个 １９．２．２平行四边形的判定 １．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只 要使互相平行的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以 了，依据是：两条铁轨和夹在铁轨之间的两根枕木构成 一个平行四边形，即可得到两条铁轨平行．判定铁轨和 枕木构成平行四边形的依据是 （　　） Ａ．平行线之间的距离处处相等 Ｂ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 Ｃ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 Ｄ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ２．如图１是由４个全等的正三角形拼成的，则图中 平行四边形有 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．４个 Ｂ．３个 Ｃ．２个 Ｄ．１个 ３．如图２，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＣＤ，ＢＣ的 延长线上，ＡＥ∥ＢＤ，ＥＦ⊥ＢＦ，ＣＦ＝槡３，ＥＦ＝３，则ＡＢ 的长是 （　　） Ａ．２３ Ｂ．１ Ｃ． ３ ２ 槡Ｄ．３ ４．在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝∠Ｃ＝６０°，∠Ｂ＝∠Ｄ ＝１２０°，则四边形ＡＢＣＤ 平行四边形（填“是” 或“不是”）． ５．已知四边形 ＡＢＣＤ的四条边顺次为 ａ，ｂ，ｃ，ｄ，且 ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋ｄ２ ＝２ａｃ＋２ｂｄ．求证：四边形ＡＢＣＤ是平 行四边形． ６．如图３，在四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与 ＢＤ相交于点 Ｏ，且ＡＯ＝ＣＯ，点Ｅ在ＢＤ上，满足∠ＥＡＯ＝∠ＤＣＯ．求 证：四边形ＡＥＣＤ是平行四边形． ７．如图４，等边三角形 ＡＢＣ是 一块周长为１２的草坪，点Ｐ是草坪 内的任意一点，过点 Ｐ有三条小路 ＰＤ，ＰＥ，ＰＦ，且满足ＰＤ∥ＡＣ，ＰＥ∥ ＡＢ，ＰＦ∥ＢＣ，则三条小路的总长度 为 ． １９．２．３三角形的中位线 １．如图１，ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ，Ｆ分别是ＡＣ，ＤＣ 的中点，ＥＦ＝１，则ＢＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．如图２，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别是ＡＢ，ＡＣ的中 点．若∠Ｂ＝４０°，则∠ＢＤＥ的度数是 （　　） Ａ．５０° Ｂ．４０° Ｃ．１５０° Ｄ．１４０° ３．如图３，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＢＣ＝１０，ＢＤ平分 ∠ＡＢＣ交ＡＣ于点Ｄ，点Ｆ在ＢＣ上，且ＢＦ＝４，连接ＡＦ， 点Ｅ是ＡＦ的中点，连接ＤＥ，则ＤＥ的长是 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ４．如图４，在四边形 ＡＢＣＤ中，∠ＡＤＣ＝１４０°，Ｅ，Ｆ 分别是ＡＢ，ＡＤ的中点，且∠ＡＦＥ＝５０°．若ＢＣ＝１０，ＣＤ ＝６，则ＥＦ＝ ． ５．如图５，在四边形ＡＢＣＤ中，点Ｐ是对角线ＢＤ的 中点，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＣＤ的中点．若ＡＤ＝ＢＣ，∠ＰＥＦ＝ １８°，求∠ＰＦＥ的度数． ６．如图６，ＣＤ是△ＡＢＣ的中线，Ｅ是ＣＤ上的一点， 连接ＡＥ并延长至点Ｆ，使得ＥＦ＝ＡＥ，连接ＢＦ，ＣＦ．若 ＣＦ∥ＡＢ，求证：四边形ＤＢＦＣ是平行四边形． ７．如图７，在△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝ ４５°，∠Ｃ＝６０°，ＡＤ⊥ＢＣ于点Ｄ， ＢＤ＝ 槡４３．若Ｅ，Ｆ分别为ＡＢ，ＢＣ 的中点，则ＥＦ的长为 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． ! " # $ % & ! ! ! # ! " # ' ( ) ! " # ' ( ) ! $ ! " # ' ) ! % ! ! ! " # ' ) $ ! # ! $ ! " # ' ( ) * ! " # ' ) ! & ! " # ' ( ) ! $ ! " # ' ( ) * ! % ! " # ' ( ) ! ' ! " # ' ( ) ! ! ! " # ' ( ) ! # ! " # ' ( ) ! ( ! " # ' ( ) ! & ! " # ' ( ) $ + ! & -. , /01.2 3456789:; ·] ^, 8 ! ! <=!">?@ABC3!";D #$ : !"#$ ! " <=!">?@ABC3!";D %& : %&'( -. , /01.2 3456789:; ! EFGHIJ'()*K ! " # ' ( ) ! " # ' - . ! ! ! " # / 0 ! & ! # ! " # ' ! $ ! " # ' ( + 1 ) ! ' ! " # ' ) $ ! % ! " # ' ( ) ! ( ! " # ' / ! " # ' $ %)% $ * ! + ! * ! " # ' $ ! " # ' ( ) / 0 ! !" ! " # ' ( ) ! !! ! " # ' ( 1 ) $ + ! !& # ' ) ! " ! !# ! " # ' ) ! !$ ! " # ' ( ) ! !% ! " # ' ( ) 1 ! !'