第34期 18.1 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理（答案见36期）-【数理报】2024-2025学年八年级下册数学学案（沪科版 安徽专版）

书 上期检测卷 一、１．Ｃ；　２．Ａ； ３．Ｄ；　４．Ｄ； ５．Ｂ；　６．Ｃ； ７．Ｃ；　８．Ｂ； ９．Ｄ；　１０．Ｂ． 二、１１．ｘ１ ＝ ３ ２，ｘ２ ＝－３２； １２．答案不惟一，如 ０； １３．８； １４．０或１； １５．２８ｃｍ２． 三、１６．（１）ｘ１ ＝１ ＋槡３，ｘ２ ＝１－槡３； （２）ｘ１ ＝ ２，ｘ２ ＝ －５； （３）ｘ１ ＝ ３＋ 槡２３ ３ ， ｘ２ ＝ ３－ 槡２３ ３ ． １７．设售价应降低 ｘ元，则每天可售出３００ ＋１００ｘ２ ＝（３００＋５０ｘ） 千克． 根据题意，得（２８－ １２－ｘ）（３００＋５０ｘ）＝ ６０００． 解得 ｘ１ ＝４，ｘ２ ＝ ６． 因为要尽量减少库 存， 所以ｘ＝６． 答：售价应降低 ６元． １８．（１）因为 Δ＝ （２ｍ）２－４（ｍ２－１）＝ ４ｍ２－４ｍ２＋４＝４＞０， 所以不论 ｍ为何值，该 方程总有两个不相等的 实数根． （２）把ｘ＝－２代入 方程，得４－４ｍ＋ｍ２－１ ＝０．所以 －ｍ２＋４ｍ＝ ３．所以２７４－ｍ２＋４ｍ＝ ２７７． １９．（１）解 ２ｘ２ － 槡２３ｘ＋１＝０，得 ｘ１ ＝ 槡３＋１ ２ ，ｘ２ ＝ 槡３－１ ２ ． 因 为 槡 ３＋１ ２ ＝ 书 ３２期２版 １７．３一元二次方程根的判别式 基础训练　１．Ｄ；　２．Ｂ；　３．Ａ；　４．±８ｘ；　５．＝． ６．（１）当ｎ＝ｍ－２时，Δ＝ｎ２－４ｍ×（－２）＝（ｍ－２）２ ＋８ｍ＝ｍ２－４ｍ＋４＋８ｍ＝ｍ２＋４ｍ＋４＝（ｍ＋２）２≥０．所 以当ｎ＝ｍ－２时，方程总有两个实数根． （２）因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ＝ｎ２－４ｍ× （－２）＝ｎ２＋８ｍ＞０．当ｍ＝ｎ＝１时，符合题意，此时原方程 为ｘ２＋ｘ－２＝０，即（ｘ－１）（ｘ＋２）＝０．解得ｘ１＝１，ｘ２＝－２． 能力提高　７．（１）根据题意，得Δ＝４－４（ｍ－１）＞０．解 得ｍ＜２． （２）由（１），得ｍ＝１．此时方程为ｘ２＋２ｘ＝０．解得ｘ１＝ ０，ｘ２ ＝－２． １７．４一元二次方程的根与系数的关系 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．－１８；　５．２． ６．由题意设另一根为ａ．由根与系数的关系，得ａ＋２＋槡３ ＝４．解得ａ＝２－槡３．所以ｍ＝（２＋槡３）（２－槡３）＝１． （２）由根与系数的关系，得ｘ１＋ｘ２ ＝４，ｘ１ｘ２ ＝１． 所以原式 ＝（ｘ１ｘ２）２０２４·ｘ２＋ｘ１ ＝ｘ１＋ｘ２ ＝４． １７．５一元二次方程的应用 １７．５．１第一课时 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ；　３．２４；　４．１５． ５．设该企业参加这次一日游活动的优秀员工一共有ｘ人． 因为３０×８０＝２４００＜２８００，所以ｘ＞３０．根据题意，得ｘ［８０ －（ｘ－３０）］＝２８００．解得ｘ１＝４０，ｘ２＝７０．当ｘ＝４０时，８０ －（ｘ－３０）＝７０＞５５；当ｘ＝７０时，８０－（ｘ－３０）＝４０＜５５， 舍去． 答：该企业参加这次一日游活动的优秀员工一共有４０人． １７．５．２第二课时 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｂ；　３．５０；　４．８． ５．（１）设该宾馆这两年的床位数的年平均增长率为ｘ． 根据题意，得２００（１＋ｘ）２ ＝２８８． 解得ｘ２ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝－２．２（舍去）． 答：该宾馆这两年的床位数的年平均增长率为２０％． （２）设每张床位应定价为ｍ元． 依题意，得ｍ（２８８－２０·ｍ－４０１０ ）＝１４８８０． 整理，得ｍ２－１８４ｍ＋７４４０＝０． 解得ｍ１ ＝６０，ｍ２ ＝１２４． 因为要减轻游客的经济负担，所以ｍ＝６０． 答：每张床位应定价为６０元． ３２期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ａ Ｂ 二、９．９４；　１０．３；　１１． １ ２；　１２．９． 三、１３．根据题意，得Δ＝（２ｋ－１）２－４ｋ（３４ｋ＋１）＝１． 解得ｋ１ ＝０（舍去），ｋ２ ＝８．所以ｋ的值是８． １４．方程整理，得ｘ２－（ｍ＋２）ｘ＋２ｍ＝０． （１）因为Δ＝（ｍ＋２）２－８ｍ＝（ｍ－２）２≥０，所以不论 ｍ为何值，该方程总有实数根． （２）设另一个根为ａ．由根与系数的关系，得３ａ＝２ｍ，３＋ ａ＝ｍ＋２．解得ｍ＝３，ａ＝２．所以方程的另一个根为２． １５．设每次降价的百分率为ｘ． 根据题意，得２００（１－ｘ）２ ＝１２８． 解得ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝１．８（舍去）． 答：每次降价的百分率为２０％． １６．（１）根据题意，得Δ＝４（ａ－１）２－４（ａ２＋５）＞０．解 得ａ＜－２，即ａ的取值范围为ａ＜－２． （２）由根与系数的关系，得ｘ１＋ｘ２＝２（ａ－１），ｘ１ｘ２＝ａ２ ＋５．所以ｘ２１＋ｘ２２－ｘ１ｘ２＝（ｘ１＋ｘ２）２－３ｘ１ｘ２＝４（ａ－１）２－ ３（ａ２＋５）＝２２．整理，得ａ２－８ａ－３３＝０．解得ａ１＝１１，ａ２＝ －３．因为ａ＜－２，所以ａ的值为 －３． １７．（１）设ＡＢ＝ｘ米，则ＢＣ＝（４０－２ｘ）米．依题意，得 ｘ（４０－２ｘ）＝１５０．整理，得ｘ２－２０ｘ＋７５＝０．解得ｘ１＝５，ｘ２ ＝１５．当ｘ＝５时，４０－２ｘ＝３０＞２５，不合题意，舍去；当ｘ＝ １５时，４０－２ｘ＝１０＜２５，符合题意． 答：ＡＢ的长度为１５米． （２）这个提议不可行．理由如下： 设ＡＢ＝ｙ米，则ＢＣ＝（４０－２ｙ）米．依题意，得ｙ（４０－２ｙ） ＝２１０．整理，得ｙ２－２０ｙ＋１０５＝０．因为Δ＝（－２０）２－４×１ ×１０５＝－２０＜０，所以该方程无实数根．所以不能围成面积为 ２１０平方米的长方形花园． 附加题　（１）因为Δ＝（２ｋ＋３）２－４（ｋ２＋３ｋ＋２）＝１ ＞０，所以无论ｋ取何值，该方程总有两个不相等的实数根． （２）因为△ＡＢＣ是等腰三角形，所以有两种情况：①当ＡＢ ＝ＡＣ时，Δ＝ｂ２－４ａｃ＝０，即（２ｋ＋３）２－４（ｋ２＋３ｋ＋２）＝ ０，此时ｋ不存在；②当ＡＢ＝ＢＣ时，即ＡＢ＝５，由根与系数的 关系，得５＋ＡＣ＝２ｋ＋３，５ＡＣ＝ｋ２＋３ｋ＋２．解得ｋ＝３或４． 所以ＡＣ＝４或６．此时△ＡＢＣ的周长为１４或１６． 书 勾股定理在实际问题中的应用十分广泛，现举例如 下，供同学们参考． 例１　如图１，某海滨浴场 岸边Ａ处救生员发现水中的 Ｂ 处有人求救，救生员没有直接从 Ａ处游向 Ｂ处，而是沿岸边自 Ａ 处跑到离Ｂ处最近的Ｃ处，然后 从Ｃ处游向Ｂ处．若救生员在岸 边行进的速度是５ｍ／ｓ，在水中行进的速度是２ｍ／ｓ，请 问：救生员的选择合理吗？ 解：救生员的选择合理．理由如下： 由题意易知∠Ｃ＝９０°． 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，根据勾股定理，得ＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２ ＝４００２＋３００２ ＝２５００００．所以ＡＢ＝５００ｍ． 所以沿ＡＢ方向行进的时间为：５００÷２＝２５０（ｓ）； 沿ＡＣ＋ＣＢ方向行进的时间为：４００÷５＋３００÷２＝ ２３０（ｓ）． 因为２３０ｓ＜２５０ｓ， 所以救生员的选择合理． 例２　如图２，在甲村至乙 村的公路旁有一块山地正在开 发，现有一 Ｃ处需要爆破，已知 点Ｃ与公路上的停靠站 Ａ的距 离为６００米，与公路上另一停靠 站Ｂ的距离为８００米，且ＣＡ⊥ＣＢ，为了安全起见，爆破 点Ｃ周围半径５００米范围内不得进入．请问：在进行爆破 时，公路ＡＢ段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过 计算进行说明． 解：公路ＡＢ段有危险，需要暂时封锁．理由如下： 如图２，过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ． 根据勾股定理，得ＡＢ２ ＝ＢＣ２＋ＡＣ２ ＝８００２＋６００２ ＝１００００００． 所以ＡＢ＝１０００米． 因为Ｓ△ＡＢＣ ＝ １ ２ＡＢ·ＣＤ＝ １ ２ＢＣ·ＡＣ， 所以ＣＤ＝ＢＣ·ＡＣＡＢ ＝４８０（米）． 因为４８０米 ＜５００米， 所以公路ＡＢ段有危险，需要暂时封锁． 例３　如图３，长方体的底面边长分别为２ｃｍ和 ４ｃｍ，高为５ｃｍ．若一只蚂蚁从Ｐ点开始经过４个侧面爬 行一圈到达 Ｑ点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 ｃｍ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　解：如图４，将长方体沿侧面展开成一个长方形，则 ＰＱ的长即为蚂蚁爬行的最短路径．由题意可知，ＰＡ＝４ ＋２＋４＋２＝１２（ｃｍ），ＡＱ＝５ｃｍ．在Ｒｔ△ＡＰＱ中，由勾 股定理，得ＰＱ２＝ＰＡ２＋ＡＱ２，即ＰＱ２＝１２２＋５２．解得ＰＱ ＝１３．故填１３． 书 一、“赵爽弦图”验证法 三国时期的数学家赵爽，利用图 １ 验证了勾股定理，这个图形被称为“弦 图”．在边长为ｃ的正方形中有四个斜边 长为ｃ的全等直角三角形，已知它们的直 角边长分别为ａ，ｂ．请利用这个图形验证 勾股定理． 验证：大正方形中的小正方形的边长为ａ－ｂ． 所以Ｓ大正方形 ＝ １ ２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２． 同时也有Ｓ大正方形 ＝ｃ ２． 所以 １ ２ａｂ×４＋（ａ－ｂ） ２ ＝ｃ２． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 二、火柴盒推倒验证法 一个直立的火柴盒在桌面倒 下，启迪人们发现了勾股定理的 一种新的验证方法．如图２，火柴 盒的一个侧面 ＡＢＣＤ倒下到 ＡＢ′Ｃ′Ｄ′的位置，连接 ＡＣ，ＡＣ′， ＣＣ′．设ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＡＣ＝ｃ，请利用四边形ＢＣＣ′Ｄ′ 的面积验证勾股定理． 验证：因为四边形ＢＣＣ′Ｄ′为直角梯形， 所以Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′＝ １ ２（ＢＣ＋Ｃ′Ｄ′）·ＢＤ′＝ （ａ＋ｂ）２ ２ ． 因为Ｒｔ△ＡＢＣ≌Ｒｔ△ＡＢ′Ｃ′， 所以∠ＢＡＣ＝∠Ｂ′ＡＣ′． 所以 ∠ＣＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋∠Ｂ′ＡＣ′＝∠ＣＡＢ′＋ ∠ＢＡＣ＝９０°． 所以Ｓ梯形ＢＣＣ′Ｄ′＝Ｓ△ＡＢＣ ＋Ｓ△ＣＡＣ′＋Ｓ△Ｄ′ＡＣ′＝ １ ２ａｂ＋ １ ２ｃ ２＋１２ａｂ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ． 所以 （ａ＋ｂ）２ ２ ＝ ｃ２＋２ａｂ ２ ． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． 三、等面积验证法 如 图 ３， 已 知 Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ Ｓ正方形ＭＮＯＰ，Ｉ表示边长分别为ａ，ｂ，ｃ的 直角三角形．请利用这个图形来验证 勾股定理． 验证：因为Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝Ｓ正方形ＭＮＯＰ， 而 Ｓ正方形ＣＤＥＦ ＝ｃ ２＋４×１２ａｂ，Ｓ正方形ＭＮＯＰ ＝ａ ２＋ｂ２＋ ４×１２ａｂ，所以ｃ ２＋４×１２ａｂ＝ａ ２＋ｂ２＋４×１２ａｂ． 整理，得ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! !" # $ ! " ! ! # $ % & ' &! %! '! ! " # " ! $ % & ' ( ) * + , - - - - - - ! " # . ! # - " %& '() ! " & $'% ! " ! ! & $ % $%% & #%% & ! $ $ / . ! # . / " '& $ '& ( '& ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 书 如果一个三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２， 那么这个三角形是直角三角形．根据这个条件，我们可以 判别直角三角形．判别直角三角形的基本思路是：①确定 最长边ｃ；②分别计算ｃ２和ａ２＋ｂ２的值；③若ａ２＋ｂ２＝ ｃ２，则△ＡＢＣ是直角三角形；若ａ２＋ｂ２≠ｃ２，则△ＡＢＣ不 是直角三角形． 方法一、已知具体线段长度判别直角三角形 例１　小华想用老师提供的三条线段首尾相连围 成一个直角三角形，则他应该选择的三条线段长度是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．２，３，４ Ｂ．３，４，５ Ｃ．４，５，６ Ｄ．５，６，７ 解：Ａ．２２＋３２≠４２，不能构成直角三角形，故不符合 题意；Ｂ．３２＋４２＝５２，能构成直角三角形，故符合题意；Ｃ． ４２＋５２≠６２，不能构成直角三角形，故不符合题意；Ｄ．５２ ＋６２≠７２，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选Ｂ． 方法二、已知三角形的对应比判别直角三角形 例２　满足下列条件的三角形中，不是直角三角形 的是 （　　） Ａ．三内角的度数之比为１∶２∶３ Ｂ．三边长的平方之比为１∶２∶３ Ｃ．三边长之比为９∶４０∶４１ Ｄ．三内角的度数之比为３∶４∶５ 解：Ａ．根据三角形内角和公式可求得各角分别为 ３０°，６０°，９０°，所以此三角形是直角三角形；Ｂ．设三边长 的平方分别为ｘ，２ｘ，３ｘ（ｘ≠０），因为ｘ＋２ｘ＝３ｘ，符合勾 股定理的逆定理，所以此三角形是直角三角形；Ｃ．设三 边长分别为９ｘ，４０ｘ，４１ｘ（ｘ≠０），因为（９ｘ）２＋（４０ｘ）２＝ （４１ｘ）２，符合勾股定理的逆定理，所以此三角形是直角 三角形；Ｄ．根据三角形内角和公式可求得各角分别为 ４５°，６０°，７５°，所以此三角形不是直角三角形．故选Ｄ． 方法三、已知三角形三边长满足的关系式判别直角 三角形 例３　若三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足｜ｃ２－ａ２－ｂ２｜＋ （ａ－ｂ）２ ＝０，则此三角形的形状是 ． 解：因为｜ｃ２－ａ２－ｂ２｜＋（ａ－ｂ）２＝０，所以ｃ２－ａ２ －ｂ２ ＝０，ａ－ｂ＝０．所以ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２，ａ＝ｂ．所以此三 角形是等腰直角三角形．故填等腰直角三角形． 四、已知网格信息判别直角三角形 例４　如图，在４×４的正方 形网格中，每个小正方形的边长 均为１，点 Ａ，Ｂ，Ｃ都在格点上，则 ∠ＢＡＣ＝ °． 解：根据勾股定理，得 ＡＣ２ ＝ １２＋２２ ＝５，ＡＢ２ ＝２２＋４２ ＝２０， ＢＣ２ ＝３２＋４２ ＝２５．所以 ＡＣ２＋ ＡＢ２ ＝ＢＣ２．所以△ＡＢＣ是直角三 角形，且∠ＢＡＣ＝９０°．故填９０． 书 在有关直角三角形的折叠问题中，除了注意折叠 前、后图形能够相互重合外，还要注意勾股定理的运用， 恰当运用勾股定理可以帮助我们快速、准确地解决问 题． 例１　如图１，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ＡＢ＝９，ＢＣ ＝６，∠Ｂ ＝９０°，将 △ＡＢＣ折叠，使点Ａ与ＢＣ的中点Ｄ 重合，折痕为 ＭＮ，则线段 ＢＮ的长 为 （　　） Ａ．５３　　　　Ｂ． ５ ２　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．５ 解：设ＢＮ＝ｘ．由折叠的性质，得ＤＮ＝ＡＮ＝９－ｘ． 因为Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＣ＝６，所以ＢＤ＝３．在Ｒｔ△ＮＢＤ 中，由勾股定理，得ｘ２＋３２ ＝（９－ｘ）２．解得ｘ＝４．所以 线段ＢＮ的长为４． 故选Ｃ． 例２　如图２，在Ｒｔ△ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝９０°，ＡＢ ＝３，ＢＣ ＝４，将 △ＡＢＣ折叠，使点Ｂ恰好落在边ＡＣ 上且与点 Ｂ′重合，ＡＥ为折痕，则 ＥＢ＝ ． 解：根据折叠，得ＥＢ′＝ＥＢ，ＡＢ′＝ＡＢ＝３，∠ＡＢ′Ｅ ＝∠Ｂ＝９０°．所以∠ＣＢ′Ｅ＝１８０°－∠ＡＢ′Ｅ＝９０°．设 ＥＢ＝ＥＢ′＝ｘ，则ＥＣ＝ＢＣ－ＥＢ＝４－ｘ．因为∠Ｂ＝ ９０°，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，所以ＡＣ２ ＝ＡＢ２＋ＢＣ２ ＝２５．所以 ＡＣ＝５．所以Ｂ′Ｃ＝ＡＣ－ＡＢ′＝２．在Ｒｔ△Ｂ′ＥＣ中，由勾 股定理，得ｘ２＋２２ ＝（４－ｘ）２．解得ｘ＝１．５． 故填１．５． 例３　如图３，在三角形纸片ＡＢＣ 中，ＡＣ＝１０，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°，在 ＢＣ上取一点Ｅ，以ＡＥ为折痕折叠，使 ＡＣ的一部分与ＡＢ重合，点Ｃ与ＡＢ延 长线上的点Ｄ重合，则ＤＥ的长为 （　　） Ａ．８ Ｂ．７ Ｃ．６ Ｄ．５ 解：在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＡＣ＝１０，ＡＢ＝６，∠ＡＢＣ＝９０°， 所以ＢＣ２ ＝ＡＣ２－ＡＢ２ ＝６４．所以ＢＣ＝８．由折叠的性 质，得ＡＤ＝ＡＣ＝１０，ＤＥ＝ＥＣ．所以ＢＤ＝ＡＤ－ＡＢ＝ ４．设ＤＥ＝ｘ，则ＥＣ＝ｘ．所以ＢＥ＝ＢＣ－ＥＣ＝８－ｘ．在 Ｒｔ△ＢＤＥ中，由勾股定理，得ｘ２＝４２＋（８－ｘ）２．解得ｘ＝ ５．所以ＤＥ的长为５． 故选Ｄ． 书 如果三角形的三边长ａ，ｂ，ｃ满足ａ２＋ｂ２＝ｃ２，那么 这个三角形是直角三角形．如何证明它呢？教材中没有 给出，但我们不妨探讨一下． 探究一：构造法 如图１，在△ＡＢＣ中，三边长 ａ，ｂ，ｃ满足ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２．过点 Ｃ 作ＤＣ⊥ＡＣ，在ＣＤ上取一点Ｅ， 使ＣＥ＝ａ，连接ＡＥ． 因为ＤＣ⊥ＡＣ， 所以△ＡＣＥ是直角三角形． 所以ＡＥ２ ＝ＣＥ２＋ＡＣ２ ＝ａ２＋ｂ２． 又因为ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２， 所以ＡＥ２ ＝ｃ２ ＝ＡＢ２，即ＡＥ＝ＡＢ． 所以△ＡＥＣ≌△ＡＢＣ（ＳＳＳ）． 所以∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＝９０°． 所以△ＡＢＣ是直角三角形． 探究二：统一法 如图２，假设∠Ｃ≠９０°，过点Ｂ作 ＢＤ⊥ＡＣ交ＡＣ（或ＡＣ的延长线）于点 Ｄ． 设ＣＤ＝ｘ，ＢＤ＝ｙ． 所以ＡＤ＝ｂ－ｘ（此处只探讨ＡＤ＜ ＡＣ的情况）． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，ｃ２ ＝（ｂ－ｘ）２＋ｙ２． 在Ｒｔ△ＢＤＣ中，ａ２ ＝ｘ２＋ｙ２． 又因为ａ２＋ｂ２ ＝ｃ２， 所以ａ２＋ｂ２ ＝（ｂ－ｘ）２＋ｙ２， 即ｘ２＋ｙ２＋ｂ２ ＝ｂ２－２ｂｘ＋ｘ２＋ｙ２． 所以 －２ｂｘ＝０． 解得ｘ＝０，即线段ＣＤ＝０．所以点Ｄ与点Ｃ重合． 所以ＢＣ⊥ＡＣ．所以△ＡＢＣ是直角三角形． 经过上面的探究，我们发现，要借助教材中的问题 进行拓展研究，选择不同方法解决问题．所以，在研究 教材时，就要对教材中的有关问题进行思考、拓展，采 用不同方法进行问题的研究，时间长了，我们解决问题 的能力就能得到提高． ! " 0" " 1# " ! ! !"#$ ! " #! !!"# " $"% !" "%"(&"'!)( *+,-./01234!"56 #$ 7 !"#$%&'" ()*+,-'. " %8 9:; $ % & ( '! ! " # ! ! ' ! " & % $ ! " # 2 3 %*$ ' & + ! ! ! # &( ' % $ " <= >"? !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !*+! @ABC -DEFG#$%&'()*+ ,-./0%&'(12345678+ HIJKG!+9:;<=+,%&'(+ "+/>0%&'(12?@AB78C?D78 E+ !*+" @ABCLMBC -DEFG#FGHIHJKLMNO-./ PQRSK>0+ HIJKG#F%&'()TU'(K VWXYM+ ! " & ( % $ %! ! 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了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们 仅仅少走了几步路，却踩伤了花草，则他们少走的路长 为 ． ５．如图４是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为４， ２，９，用一根细线绕侧面绑在点 Ａ，Ｂ处，不计线头，则细 线的最短长度为 ． ６．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定 理，是我国古代数学的骄傲．如图５所示的“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形，设直角三角形较长直角边长为 ａ，较短直 角边长为ｂ．若ａｂ＝８，大正方形的面积为２５，求小正方 形的边长． ７．如图６，某渡船从点Ｂ处沿着与河岸垂直的路线 ＡＢ横渡，由于受水流的影响，实际沿着ＢＣ航行，上岸地 点Ｃ与欲到达地点Ａ相距７０米，结果发现ＢＣ比河宽ＡＢ 多１０米． （１）求该河的宽度ＡＢ（两岸可近似看作平行）； （２）设实际航行时，速度为每秒５米，从 Ｃ回到 Ａ 时，速度为每秒４米，求航行总时间． ８．我国古代有这样一道数学 问题：“枯木一根直立地上，高三 丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而 上，五周而达其顶，问葛藤之长几 何？”题意是：如图７，把枯木看作 一个圆柱体，因一丈是十尺，则该 圆柱的高为３丈，底面周长为８尺，有葛藤自点Ａ处缠绕 而上，绕五周后其末端恰好到达点Ｂ处，则问题中葛藤 的最短长度是 丈． １８．２勾股定理的逆定理 １．下面四组数，其中是勾股数组的是 （　　） Ａ．７，２４，２５ Ｂ．０．３，０．４，０．５ Ｃ．３２，４２，５２ Ｄ．６，７，８ ２．有五根小木棒，其长度（单位：ｃｍ）分别为８，９， １２，１５，１７，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的 是 （　　） ３．一个三角形的三边长分别为１５，２０，２５，则这个 三角形最长边上的高线为 ． ４．在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，如果ａ，ｂ 满足（ａ＋５）（ａ－５）－ｂ２ ＝０，那么 △ＡＢＣ的形状是 ． ５．如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＣ＝１５，Ｄ是ＡＣ 上一点，且ＣＤ＝９，ＢＤ＝１２． （１）求证：△ＢＣＤ是直角三角形； （２）求ＡＢ的长． ６．定义：如图２，点Ｍ，Ｎ把线段ＡＢ分割成ＡＭ，ＭＮ， ＮＢ．若以 ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ为边的三角形是一个直角三角 形，则称点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点． （１）已知Ｍ，Ｎ把线段 ＡＢ分割成 ＡＭ，ＭＮ，ＮＢ，若 ＡＭ ＝１．５，ＭＮ＝２．５，ＮＢ＝２，则点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的 勾股分割点吗？请说明理由． （２）已知点Ｍ，Ｎ是线段ＡＢ的勾股分割点，且 ＡＭ 为直角边，若ＡＢ＝２４，ＡＭ ＝６，求ＮＢ的长 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 槡３－１ ２ ＋１，所以２ｘ ２－ 槡２３ｘ＋１＝０是“邻根 方程”． （２）解方程 ｘ２ － （ｍ－１）ｘ－ｍ＝０，得ｘ１ ＝ｍ，ｘ２ ＝－１．因为方 程ｘ２－（ｍ－１）ｘ－ｍ＝ ０（ｍ是常数）是“邻根 方程”，所以ｍ１＝－１＋ １＝０，ｍ２ ＝－１－１＝ －２．所以ｍ的值为０或 －２． ２０．（１）设 Ｂ种节 能产品的单价为ｍ万元 ／件，则Ａ种节能产品的 单价为（ｍ＋４）万元 ／ 件． 由题意，得 １２０ ｍ＋４ ＝８０ｍ． 解得ｍ＝８． 经检验，ｍ ＝８是 原方程的解，且符合题 意． 所以ｍ＋４＝１２． 答：Ａ种节能产品 的单价为１２万元，Ｂ种 节能产品的单价为８万 元． （２）设Ａ种节能产 品的售价为ｘ万元／件， 则Ｂ种节能产品的售价 为（ｘ－２）万元 ／件． 由题意，得（ｘ－ １２）（－ｘ＋２０）＋［（ｘ－ ２）－８］［－（ｘ－２）＋ ２０］＝５２． 解得ｘ１＝ｘ２＝１６． 答：当这两种节能 产品每周的总销售利润 为５２万元时，Ａ种节能 产品的售价为１６万元． ２１．设ｘ２－ｘ＝ｔ，则 原方程可化为ｔ２－４ｔ－ １２＝０． 解得 ｔ１ ＝６，ｔ２ ＝ －２． 当ｔ＝６时，则ｘ２－ ｘ＝６，解得 ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－２； 当ｔ＝－２时，则ｘ２ －ｘ＝－２， 整理，得ｘ２－ｘ＋２ ＝０， 由Δ＝（－１）２－４ ×１×２＝１－８＝－７＜ ０，得方程无解． 所以原方程的解为 ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－２． 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．如图１，直角三角形的三边上分别有一个正方形， 其中两个正方形的面积分别是２５和１６９，则字母Ｂ所代 表的正方形的面积是 （　　） Ａ．１４４ Ｂ．１９４ Ｃ．１２ Ｄ．１３ ２．在一个直角三角形中，如果斜边长是２６，一条直 角边长是１０，那么另一条直角边长是 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１６ Ｃ．２０ Ｄ．２４ ３．如图２，Ｏ为原点，点Ａ在数轴上表示的数为５，过 点Ａ作直线ｌ⊥ＯＡ，点Ｂ在直线ｌ上，ＡＢ＝２，以点Ｏ为 圆心，ＯＢ长为半径画弧，与ＯＡ的延长线交于点Ｃ，则点 Ｃ表示的数的平方是 （　　） Ａ．７ Ｂ．２１ Ｃ．２９ Ｄ．３１ ４．如图３，长为８．５ｍ的竹竿靠在墙上，竹竿的底端 离墙脚线的距离为４ｍ，则竹竿顶端的高度ｈ是（　　） Ａ．４．５ｍ Ｂ．７．５ｍ Ｃ．５．５ｍ Ｄ．６．５ｍ ５．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） Ａ．２，３，５ Ｂ．５，８，１０ Ｃ．２，６，９ Ｄ．３２，２， ５ ２ ６．若直角三角形的两边长分别为 ａ，ｂ，且满足（ａ－ ７）２＋｜ｂ－５｜＝０，则该直角三角形的第三边长的平方为 （　　） Ａ．７４ Ｂ．２４ Ｃ．７４或２５ Ｄ．７４或２４ ７．如图４是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图， 它是由四个全等的直角三角形围成的．若 ＡＣ＝１２，ＢＣ ＝７，将四个直角三角形中边长为１２的直角边分别向外 延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的 外围周长是 （　　） Ａ．１４８ Ｂ．１００ Ｃ．１９６ Ｄ．１４４ ８．如图 ５，正方形 ＡＢＣＤ的边长为２，面积标 记为Ｓ１；以 ＣＤ为斜边作 等腰直角三角形，以该等 腰直角三角形的一条直 角边为边向外作正方形， 其面积标记为 Ｓ２；…，按 照此规律继续下去，则Ｓ８７的值为 （　　） Ａ．１ ２８３ Ｂ．１ ２８４ Ｃ．１ ２８５ Ｄ．１ ２８６ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图６，一个大正方形被两条线段分割成两个正 方形和两个长方形．在长方形ＡＢＣＤ中，连接ＢＤ．若两个 正方形的面积分别为１０和６，则ＢＤ的长为 ． １０．如图７，在高为３ｍ，斜坡长为５ｍ的楼梯台阶上 铺地毯，则地毯的长度至少要 ｍ． １１．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证 明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将４个直 角边长分别为ａ，ｂ，斜边长为ｃ的直角三角形拼成如图８ 所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明 用两种方法表示五边形的面积分别是Ｓ１＝ ，Ｓ２ ＝ （用含有ａ，ｂ，ｃ的式子表示）． １２．如图９，一个无盖的圆柱体盒子的高为８ｃｍ，底 面圆的周长为２４ｃｍ，点Ａ距离下底面３ｃｍ．一只位于圆 柱体盒子外表面点 Ａ处的蚂蚁想爬到盒子内表面对侧 中点Ｂ处吃东西，则蚂蚁需要爬行的最短路径长为 ｃｍ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）计算图１０中四边形ＡＢＣＤ的面积． １４．（１０分）如图１１，甲、乙两船同时从Ａ港出发，甲 船沿北偏东３５°的方向航行，航速是１２海里／时，乙船沿 南偏东５５°的方向航行，２小时后，两船同时到达目的地 Ｂ，Ｃ岛．若Ｂ，Ｃ两岛的距离为３０海里，问乙船的航速是 多少？ １５．（１０分）如图１２，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝５，ＢＣ ＝６，点Ｍ为ＢＣ的中点，ＭＮ⊥ＡＣ于点Ｎ，求ＭＮ的长． １６．（１２分）如图１３，在△ＡＢＣ中，过点Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ 于点Ｄ，点Ｅ在线段ＢＤ上，且ＡＥ＝ＢＥ．已知ＢＤ＝１６， ＡＤ＝１２，ＡＣ＝１５． （１）求线段ＤＥ的长； （２）求证：∠ＢＡＣ＝９０°． １７．（１２分）如图１４是放在地面上的一个长方体盒 子，其中ＡＢ＝１８ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＢＦ＝１０ｃｍ，点Ｍ在 棱ＡＢ上，且ＡＭ＝６ｃｍ，点Ｎ是ＦＧ的中点，一只蚂蚁要 沿着长方体盒子的表面（不考虑底面）从点Ｍ爬行到点 Ｎ，它需要爬行的最短路程是多少？ （以下试题供各地根据实际情况选用） 勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习 了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了 如图所示的拼图： 两个全等的直角三角板ＡＢＣ和直角三角板ＤＥＦ，顶 点Ｆ在ＢＣ边上，顶点Ｃ，Ｄ重合，连接ＡＥ，ＢＥ．设ＡＢ，ＤＥ 交于点Ｇ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ＝９０°，ＢＣ＝ＥＦ＝ａ，ＡＣ＝ ＤＦ＝ｂ（ａ＞ｂ），ＡＢ＝ＤＥ＝ｃ．请你回答以下问题： （１）填空：∠ＡＧＥ＝ °； （２）请用两种方法计算四边形 ＡＣＢＥ的面积，并以 此为基础验证勾股定理                                                                                                                                                                 ． ! 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