第10讲矩形、菱形、正方形（9个知识清单+13类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

第10讲矩形、菱形、正方形 课程标准 学习目标 1 菱形的性质 2 菱形的判定 3菱形的判定与性质 4矩形的性质 5 矩形的判定 6矩形的判定与性质 7正方形的性质 8正方形的判定 9正方形的判定与性质 1.经历探索矩形、菱形、正方形有关判定的过程，掌握其判定定理，并能运用其解决简单的问题； 2.在积极参与教学的过程中，掌握矩形、菱形、正方形的有关判定定理； 3.在认识几种特殊的平行四边形的过程中，学习观察事物的方法，体会事物特殊与一般间的联系与区别。 学习重点：矩形、菱形、正方形的判定定理 学习难点：运用矩形、菱形、正方形的判定定理解决问题 知识点01 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 【即学即练1】 1．（2023春•潘集区期末）若一个菱形的周长为，一条对角线长为，则它的面积为 　　． 【即学即练2】 2．（2024•瑶海区校级模拟）如图，在菱形中，，经过点的直线分别与，的延长线相交于点，，，相交于点． （1）线段，，之间的数量关系为 　　； （2）若，，则的长为 　　． 知识点02 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 3．（2023春•南陵县期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，如果添加一个条件，可推出平行四边形是菱形，那么这个条件可以是　　 A． B． C． D． 知识点03菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【即学即练1】 4．（2023春•雨山区校级期末）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　　． 知识点04矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【即学即练1】 5．（2024•蜀山区一模）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为　　 A． B． C． D． 知识点05 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【即学即练1】 6．（2024•霍邱县模拟）如图，在四边形中，，相交于点，且，点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列选项不正确的是　　 A．四边形是矩形 B．当点是的中点时， C．当，时，线段长度的最大值为4 D．当点在边上，且时，是等边三角形 知识点06矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【即学即练1】 7．（2023•淮南一模）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为 　　． 知识点07正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【即学即练1】 8．（2023春•包河区期中）如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，，如此反复下去，那么第个正方形的对角线长为　　． 知识点08正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【即学即练1】 37．（2023春•蜀山区期末）如图，在平行四边形中，，且，，经过中点分别交、于点、，连接、，则下列结论错误的是　　 A．四边形为平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．四边形不可能为正方形 知识点09正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【即学即练1】 10．（2021春•淮北期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 题型01正方形性质理解 1．（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）在一次数学抢答题环节中，同学们遇到这样一道判断正误题：①一组邻边相等的矩形是正方形；②两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形，以上说法不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点（网格线的交点）A，B已给出．（要求：画出2个不同的正方形） 题型02根据正方形的性质求角度 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是 ； （2）连接，则与之间的位置关系是 ． 题型03根据正方形的性质求线段长 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图1，在正方形 的边上有一个动点P 以的速度从点 B开始按 匀速运动，到点A 停止．设点 P 的运动时间为，的面积为S． S关于t的函数关系如图2所示，则下列结论：①图1中的长是；②图2中的a的值是8；③当时，；④当t为或时，．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 6．（22-23八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，点E、F分别在边和上，且满足是等边三角形，连接交于点G．    (1)求证：； (2)已知 ①点P是正方形边上一点，且满足，求的长； ②求出等边的边长． 题型04 根据正方形的性质求面积 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图1中画一个以点及另两个格点为顶点，直角边的直角三角形； (2)请你在图2中画一个以点D及另三个格点为顶点，面积是13的正方形． 题型05 利用菱形的性质求角度 9．（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °． 题型06利用菱形的性质求线段长 11．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，C，D是射线上的点，，分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点 E，连接与交于点F.若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2012米停下，则这个微型机器人停在 点． 题型07利用菱形的性质证明 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．2．4 14．（20-21八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）． 题型08添一个条件使四边形是菱形 15．（21-22八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线与交于点O，下列结论不正确的是（    ）    A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 16．（八年级下·安徽安庆·期末）如图已知四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD要使四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母）. 题型09证明四边形是菱形 17．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列说法，不正确的是（　　） A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动． (1)填空：当移动时间为4秒时， ①四边形的形状为 ； ②的值为 ． (2)若连接，当时，求移动时间为多少？ 题型10矩形的判定定理理解 19．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 20．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中作出平行四边形ABCD，且点B、D都在小正方形的顶点上，并直接写出四边形ABCD的周长为 ； （2）在图2中作出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B、D都在小正方形的顶点上． 题型11 证明四边形是矩形 21．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 22．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知矩形和点P，当点P在上任一位置（如图1所示）时，易证得结论： ，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，，，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论． (1)对图2的探究结论为 ； (2)对图3的探究结论为 ． 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 23．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 题型13 根据正方形的性质与判定证明 25．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 26．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 一、单选题 1．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，若将矩形木框变形为平行四边形的形状，并使其面积为原矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的等于（    ） A． B． C． D． 3．平行四边形两邻边之比为3：4，两条对角线长都是10，则这个平行四边形的周长是（    ） A．14 B．20 C．28 D．无法确定 4．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 5．如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为(    ) A． B． C． D． 6．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（   ） A．一般平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 7．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 8．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 9．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①；②：③；④当时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为 ． 12．如图，直角内的任意一点到这个角的两边的距离之和为8，则图中四边形的周长为 ． 13．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= . 14．如图，的两条直角边，．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，，则的值为 ，的值为 ． 三、解答题 15．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 16．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M． （1）求证：BE＝DE； （2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由． 17．如图，矩形中，，若将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长． 18．如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 19．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G． (1)如图1，求证：AE⊥BF； (2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值． 20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形． 21．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于和上，且．证明两条直路且． 22．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点，若，求的长． 23．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲矩形、菱形、正方形 课程标准 学习目标 1 菱形的性质 2 菱形的判定 3菱形的判定与性质 4矩形的性质 5 矩形的判定 6矩形的判定与性质 7正方形的性质 8正方形的判定 9正方形的判定与性质 1.经历探索矩形、菱形、正方形有关判定的过程，掌握其判定定理，并能运用其解决简单的问题； 2.在积极参与教学的过程中，掌握矩形、菱形、正方形的有关判定定理； 3.在认识几种特殊的平行四边形的过程中，学习观察事物的方法，体会事物特殊与一般间的联系与区别。 学习重点：矩形、菱形、正方形的判定定理 学习难点：运用矩形、菱形、正方形的判定定理解决问题 知识点01 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 【即学即练1】 1．（2023春•潘集区期末）若一个菱形的周长为，一条对角线长为，则它的面积为 　　． 【分析】根据菱形四条边都相等求出边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理列式求出另一对角线的一半，从而得到另一对角线的长度，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【解答】解：已知，菱形对角线互相垂直平分， ， 又菱形周长为， ， ， ， 菱形的面积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键，难度一般． 【即学即练2】 2．（2024•瑶海区校级模拟）如图，在菱形中，，经过点的直线分别与，的延长线相交于点，，，相交于点． （1）线段，，之间的数量关系为 　　； （2）若，，则的长为 　　． 【分析】（1）由平行线的性质得，，证明得，再证明是等边三角形可证结论成立； （2）证明得，再证明得，代入数值可求出的长． 【解答】解：（1）四边形是菱形， ，，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 知识点02 菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 【即学即练1】 3．（2023春•南陵县期末）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，如果添加一个条件，可推出平行四边形是菱形，那么这个条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解答】解：、平行四边形中，，不能推出平行四边形是菱形，故选项不符合题意； 、平行四边形中，， 平行四边形是矩形，不一定是菱形，故选项不符合题意； 、平行四边形中，， 平行四边形是菱形，故选项符合题意； 、平行四边形中，，不能推出平行四边形是菱形，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键． 知识点03菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 【即学即练1】 4．（2023春•雨山区校级期末）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和，则它的面积为　　． 【分析】根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案． 【解答】解：平行四边形两条对角线互相平分， 它们的一半分别为2和， ， 两条对角线互相垂直， 这个四边形是菱形， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一半． 知识点04矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【即学即练1】 5．（2024•蜀山区一模）小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯底面与水平面的夹角为时，的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】过点作，交于，由平行线的性质可得，可求，即可求解． 【解答】解：过点作，交于， ， ， ， ，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 知识点05 矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 【即学即练1】 6．（2024•霍邱县模拟）如图，在四边形中，，相交于点，且，点从点开始，沿四边形的边运动至点停止，与相交于点，点是线段的中点．连接，下列选项不正确的是　　 A．四边形是矩形 B．当点是的中点时， C．当，时，线段长度的最大值为4 D．当点在边上，且时，是等边三角形 【分析】根据矩形的判定得出选项，根据中位线定理判断选项，根据当点与点重合时，的值最大得出选项，进而根据等边三角形的判定解答即可． 【解答】解：、， 四边形是矩形，故正确，不符合题意． 、点，分别是，的中点， 是的中位线． 又点是的中点， ． ，即，故正确，不符合题意． 、当点与点重合时，的值最大． ， 的最大值是8． ，即线段长度的最大值是4，故正确，不符合题意． 、当时，， 又， ， ， ， ， 不是等边三角形，故错误，符合题意； 故选：． 【点评】此题考查矩形的判定和三角形中位线定理，关键是根据矩形的判定和三角形的中位线定理以及等边三角形的判定解答． 知识点06矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 【即学即练1】 7．（2023•淮南一模）如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，则四边形的面积为 　　． 【分析】（1）由，得，即可证明，得，则四边形是平行四边形，而，即可根据矩形的定义证明四边形是矩形； （2）先根据平行四边形的性质和矩形的性质得，，则，，再由勾股定理求得，即可根据梯形的面积公式求出四边形的面积． 【解答】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． （2）四边形是平行四边形，四边形是矩形， ，， ，， ， ，， ， 四边形的面积为18． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、梯形的面积公式等知识，证明是解题的关键． 知识点07正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 【即学即练1】 8．（2023春•包河区期中）如图，先画一个边长为1的正方形，以其对角线为边画第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边画第三个正方形，，如此反复下去，那么第个正方形的对角线长为　　． 【分析】第1个正方形的边长是1，对角线长为；第二个正方形的边长为，对角线长为，第3个正方形的对角线长为；得出规律，即可得出结果． 【解答】解：第1个正方形的边长是1，对角线长为； 第二个正方形的边长为，对角线长为 第3个正方形的边长是2，对角线长为；， 第个正方形的对角线长为； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理；求出第一个、第二个、第三个正方形的对角线长，得出规律是解决问题的关键． 知识点08正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 【即学即练1】 37．（2023春•蜀山区期末）如图，在平行四边形中，，且，，经过中点分别交、于点、，连接、，则下列结论错误的是　　 A．四边形为平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．四边形不可能为正方形 【分析】利用证明，得出，进而证明四边形为平行四边形，即可判断选项结论正确；利用反证法证明选项结论错误；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，从而得到为菱形，即可判断选项结论正确；当时，为菱形，此时为斜边的中点，证明，得出四边形不可能为正方形，即可判断选项结论正确． 【解答】解：，，， ． 四边形是平行四边形， ， ， 在与中， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 故选项结论正确，不符合题意； 假设当时，四边形为矩形，那么， ， ， ， 假设不成立，即当时，四边形不是矩形， 故选项结论错误，符合题意； ，， 为斜边的中点， ， 为菱形， 故选项结论正确，不符合题意； 当时，为菱形，此时为斜边的中点， 为中点， ， 菱形的对角线不相等， 四边形不可能为正方形， 故选项结论正确，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各定理与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 知识点09正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【即学即练1】 10．（2021春•淮北期末）四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接． （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【分析】（1）作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； （2）通过计算发现是中点，点与重合，是等腰直角三角形，由此即可解决问题． （3）分两种情形考虑问题即可； 【解答】（1）证明：作于，于， ， ， ，， ， 在和中，， ， ， 矩形是正方形； （2）如图2中，在中，， ， ， 点与重合，此时是等腰直角三角形，易知； （3）①如图3，当与的夹角为时， ， ， ， ， ， ②如图4，当与的夹角为时， ， ， 综上所述，或． 【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 题型01正方形性质理解 1．（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）在一次数学抢答题环节中，同学们遇到这样一道判断正误题：①一组邻边相等的矩形是正方形；②两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形；③对角线相等的菱形是正方形；④有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形，以上说法不正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正方形性质理解 【分析】根据矩形的性质和正方形的判定即可判断①；根据平行四边形的判定即可判断②；根据菱形的性质和正方形的判定即可判断③；画出图形后根据正方形的判定判断④即可． 【详解】解：①如图， ∵四边形ABCD是矩形，AD＝AB， ∴四边形ABCD是正方形，故①正确； ②当两个直角三角形不全等时，不一定能拼成平行四边形，故②错误； ③如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形，故③正确； ④如图， ∠B＝90°，AD＝CD， 但是四边形ABCD不是正方形，故④错误； 即不正确的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的性质和判定，正方形的判定等知识点，能熟记矩形的性质、菱形的性质和正方形的判定是解此题的关键． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在正方形网格中作出以A，B，C，D为顶点的正方形，其中格点（网格线的交点）A，B已给出．（要求：画出2个不同的正方形） 【答案】见解析 【知识点】无刻度直尺作图、正方形性质理解 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特征和正方形的性质是解题的关键．根据正方形四条边相等且每个角都是90度，分为边及对角线两种情况作出正方形即可． 【详解】 题型02根据正方形的性质求角度 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质 【分析】本题考查了正方形、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质等知识，先根据正方形、等边三角形的性质得出，，，从而可求出的度数，然后利用等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可. 【详解】解：∵在正方形内作等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，在正方形中，点分别是边的中点，相交于点，连接． （1）若，则的度数是 ； （2）连接，则与之间的位置关系是 ． 【答案】 32° 垂直平分（是的垂直平分线） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求角度 【分析】本题是四边形综合题，难度较大，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握基本图形的证明和结论． 连接，由四边形是正方形与点、、分别是、、的中点，易证得与，根据全等三角形的性质，易证得与，根据垂直平分线的性质，从而求出，也由等腰三角形性质证得． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为． （2）如图， 同理可得：， ， ， 垂直平分（是的垂直平分线）． 故答案为：垂直平分（是的垂直平分线）． 题型03根据正方形的性质求线段长 5．（22-23八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图1，在正方形 的边上有一个动点P 以的速度从点 B开始按 匀速运动，到点A 停止．设点 P 的运动时间为，的面积为S． S关于t的函数关系如图2所示，则下列结论：①图1中的长是；②图2中的a的值是8；③当时，；④当t为或时，．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求线段长、动点问题的函数图象 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、三角形面积的计算．①由图甲、乙可知，从B点移动到C点所经过的时间为，那么所经过的路程=速度×时间，即为的长，得出①正确；②根据题目说明及图甲、乙，甲图中C点对应乙图中E点，甲图中的D点对应乙图中的F，即乙图中的段反映了P点从C点移动到D点，由图中可看出a实际就是的面积，得出②正确；③求出当；得出③错误；④观察图甲可知，当P运动在段、段时，S有可能等于，因而分这两种情况讨论，得出④正确；即可得出结论． 【详解】解：①由图1、2知，从B点点所经过的时间为， 从B点点所经过的路程为 ∴的长是，①正确； ②由图甲、乙得，②正确； ③当；③错误； ④当P点从B点移动到C点时，， 则， 解得； 当P点从D点移动到A点时，， 则， 解得：；④正确； 故选：B． 6．（22-23八年级下·安徽六安·期末）在正方形中，点E、F分别在边和上，且满足是等边三角形，连接交于点G．    (1)求证：； (2)已知 ①点P是正方形边上一点，且满足，求的长； ②求出等边的边长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①或；② 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，由此证明得到，即可证明结论； （2）①先求出正方形的边长为4，再分别讨论点P在正方形四边上，根据和勾股定理进行求解即可；②设，则，由勾股定理建立方程，进而求出，则等边的边长为． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，当点P在上时， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴；    如图所示，当点P在上时， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴；    当点P在上时，由于，此时不满足题意； 当P在上时，得最大值为，此时有最小值，此时的最大值为，不满足题意； 综上所述，或； ②设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∴等边的边长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质等等，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键． 题型04 根据正方形的性质求面积 7．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分，的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求面积、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，先求出，设点E到的距离为h，由角平分线的性质得到，再利用等面积法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， 设点E到的距离为h， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的面积是， 故选：D 8．（23-24八年级下·安徽池州·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图1中画一个以点及另两个格点为顶点，直角边的直角三角形； (2)请你在图2中画一个以点D及另三个格点为顶点，面积是13的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据正方形的性质求面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计，正方形性质，勾股定理等知识，关键在于用已经学过的知识在实际当中的应用； （1）根据网格构造直角三角形，同时利用网格确定直角边为1，2的直角三角形即可得出，再画出它的过端点的垂线即可得解； （2）利用数形结合思想构造边长为的正方形即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求作的图形；（答案不唯一，合理即可） （2）如图所示，正方形即为所求作的图形．（答案不唯一，合理即可） 题型05 利用菱形的性质求角度 9．（20-21八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，在菱形中，，分别在，上，且，与交于点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ∵， ∴， ． 故选：B． 10．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则 °． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求角度、等边对等角、含30度角的直角三角形 【分析】根据菱形的性质得出，进而得出，据此即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，含度角的直角三角形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键． 题型06利用菱形的性质求线段长 11．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，C，D是射线上的点，，分别以点C，D为圆心，长为半径作弧，两弧交于点 E，连接与交于点F.若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，根据题目意思，判断四边形是菱形，是解答本题的关键．根据题目意思，四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得，因为菱形的对角线互相垂直平分，可根据勾股定理求出的长． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，四边形面积为， ∴， ∴， ∴， ∵在中，由勾股定理可得， ∴， 故选：B． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A 点开始按的顺序沿菱形的边循环运动，行走2012米停下，则这个微型机器人停在 点． 【答案】E 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的四条边都相等可知，微型机器人行走一周的路程为8米，用2012除以8，再根据余数确定停靠的点即可．本题考查了菱形的性质．注意根据菱形的四条边都相等确定飞行一周的路程为8米是解题的关键． 【详解】解：两个全等菱形的边长为1米， 一个微型机器人由点开始按的顺序沿菱形的边行走一周走过的路程为（米）， ， 行走2012米与行走4米后停下的点相同， 由图可知，行走4米后停在点， 这个微型机器人停在点． 故答案为：E． 题型07利用菱形的性质证明 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，交于点E，连接，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．2．4 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键． 由菱形的性质可得，由勾股定理可求的长，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：A． 14．（20-21八年级下·安徽六安·期末）如图，在菱形中，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②④ 【知识点】利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】①由菱形的性质可得△ABD是等边三角形，从而得到DE、BF都是高，所以可得∠GBE=30°，∠GEB=90°，再根据外角性质和对顶角相等可知①正确； ②由①可得DG=BG=，从而得知②正确； ③由①可得GF⊥DF，从而DG>FD即BG>FD，所以③错误； ④根据三角形面积公式和直角三角形性质可知正确． 【详解】解：①∵，由菱形的性质可得、是等边三角形， ∵E、F为AB、AD的中点， ∴DE⊥AB，BF⊥AD，∠GBE=30°， ∴，故①正确； ②∵不难证得DE⊥DC，BF⊥BC，△CDG≌△CBG， ∵∠DCB=∠A=60°， ∴， ∴，， 故可得出，即②也正确； ③首先可得对应边，因为，， 故可得与不全等，即③错误； ④，即④正确， 故答案为①②④ ． 【点睛】本题考查菱形的综合应用，熟练掌握菱形的性质、等腰及等边三角形的性质、直角三角形的性质及三角形全等的判定方法是解题关键． 题型08添一个条件使四边形是菱形 15．（21-22八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线与交于点O，下列结论不正确的是（    ）    A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、添一条件使四边形是矩形 【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断． 【详解】解：A、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断是菱形，正确，故此选项不符合题意； B、当时，，根据有一个角是的平行四边形是矩形可判断是矩形，正确， 故此选项不符合题意； C、当时，对角线平分，所以是菱形，正确， 故此选项不符合题意； D、当时，不能判定是矩形， 故此选项符合题意；． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定定理、矩形的判定定理，正确记忆定义和判定定理是关键． 16．（八年级下·安徽安庆·期末）如图已知四边形ABCD中，AB=CD，AB//CD要使四边形ABCD是菱形，应添加的条件是 （只填写一个条件，不使用图形以外的字母）. 【答案】ACBD，或AB=AD（答案不唯一） 【详解】【分析】首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AD=AB．也可以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形添加条件ACBD. 【详解】可添加的条件为AD=AB， ∵AB∥CD，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AD=AB， ∴四边形ABCD为菱形， 故答案为AB=AD（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 题型09证明四边形是菱形 17．（22-23八年级下·安徽芜湖·阶段练习）下列说法，不正确的是（　　） A．有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【知识点】证明四边形是正方形、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故不符合题意； C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意； D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动． (1)填空：当移动时间为4秒时， ①四边形的形状为 ； ②的值为 ． (2)若连接，当时，求移动时间为多少？ 【答案】(1)①菱形；②30 (2)或秒 【知识点】证明四边形是菱形、矩形性质理解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据运动时间求出线段长度，再结合矩形的性质即可证明四边形是平行四边形，再运用邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论；②利用点的坐标，分别计算和的长度，再相乘即可； （2）设移动时间为秒，过点作于点，根据勾股定理，得，利用方程思想列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：（1）①如图，连接， 四边形为矩形，且点的坐标为，的坐标为， ， 移动时间为4秒， ，则， 在中，， 即， ∵四边形矩形， , 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为菱形， ②由①知，， ，， ． （2）设移动时间为秒，，如图，过点作于点， ，， 则， 在中，， 即， 解得或， 当时，移动时间为或秒． 【点睛】本题考查了矩形的综合应用，主要考查矩形的性质、坐标与图形、菱形的判定、勾股定理等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型10矩形的判定定理理解 19．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线垂直的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】B 【知识点】证明四边形是菱形、矩形的判定定理理解、证明四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的定义、判定定理，矩形、菱形的判定定理即可判断． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意； B、对角线垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误，符合题意； C、有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项正确，不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形和矩形、菱形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形、菱形的判定方法，属于中考常考题型． 20．（20-21八年级下·安徽阜阳·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图1中作出平行四边形ABCD，且点B、D都在小正方形的顶点上，并直接写出四边形ABCD的周长为 ； （2）在图2中作出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B、D都在小正方形的顶点上． 【答案】（1）画图见解析，（2）画图见解析 【知识点】矩形的判定定理理解、在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）利用网格作平行四边形的即可，再利用勾股定理计算边长即可得到答案； （2）出一个以线段AC为对角线，面积为6的矩形ABCD即可． 【详解】解：（1）如图 ∵ ；； ∴平行四边形ABCD的周长为； （2）如图所示 【点睛】此题考查的是作平行四边形和矩形，掌握勾股定理是解题的关键． 题型11 证明四边形是矩形 21．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，的对角线，相交于点，下列哪个条件能够使得是矩形（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】证明四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的判定，熟悉掌握判定的方法是解题的关键． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形的基础上，需要加一个角为或对角线相等，才可以证明出矩形， ∴，，均不能判定出为矩形，故A，B，C错误； ∵是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； 故选：B． 22．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）已知矩形和点P，当点P在上任一位置（如图1所示）时，易证得结论： ，请你探究：当点P分别在图2、图3中的位置时，，，和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图2证明你的结论． (1)对图2的探究结论为 ； (2)对图3的探究结论为 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】证明四边形是矩形、利用矩形的性质证明 【分析】本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法． 结论均是，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等． （1）根据矩形和直角三角形的性质，过点P作，交于点M，交于点 N，可在，，和分别用勾股定理表示出，，，，然后我们可得出与，我们不难得出四边形是矩形，于是，，然后我们将等式右边的值进行比较发现． （2）如图3方法同（1），过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点 N，易证． 【详解】（1）解： 如解图1，过点P作，交于点M，交于点 N， ∴ 四边形和四边形均为矩形． 根据题干中的结论，可得在矩形中， 在矩形中， 有 两式相加得 （2）解： 如解图2，过点P作，交的延长线于点M，交的延长线于点 N， ∴ 四边形和四边形均为矩形， 同样根据题干中的结论可得， 在矩形中，有 在矩形中，有 两式相加得 题型12 根据矩形的性质与判定求线段长 23．（23-24八年级下·安徽池州·期末）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点作于点，于点，连接，点为的中点，则线段的最小值为（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】本题考查勾股定理，垂线段最短，矩形判定及性质等．根据题意先分析出，当点运动到时，有最小值，此时，再利用勾股定理及等积法即可求出本题答案． 【详解】解：∵中，，且，， ∴， ∵当点运动到时，有最小值，此时线段有最小值， ∵点作于点，于点， ∴四边形为矩形， ∴，解得：， ∴， 故选：D． 24．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形对角线交于点，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的面积为 【知识点】利用菱形的性质证明、根据矩形的性质与判定求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质可得，，推出平行四边形是矩形，得到，即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，再结合菱形的性质求出、，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 平行四边形是矩形， ， ； （2）四边形是矩形， ，， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为：． 题型13 根据正方形的性质与判定证明 25．（22-23八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为9，为对角线上一点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连接，下列结论中不正确的是（　　） A．矩形是正方形 B． C．平分 D． 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、二次根式的应用 【分析】过点E分别作，垂足分别为K，L，则，根据角平分线的性质，可得，可证明四边形是矩形，再证明，可得，从而得到矩形是正方形，可判断A选项；证明，可得，，从而得到平分，可判断C选项；再由勾股定理可得，可判断D选项；再由 与的大小无法判断，可得不一定成立，可判断B选项． 【详解】解：如图，过点E分别作，垂足分别为K，L，则，    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，故A选项正确，不符合题意； ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，平分，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故D选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵与的大小无法判断， ∴不一定成立，故B选项不正确，符合题意； 故选：B 【点睛】此题是四边形综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理及其推论以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 26．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）如图，已知四边形和都是正方形，在上截取，延长到点，使，求证：四边形是正方形， 【答案】证明见解析 【知识点】根据正方形的性质与判定证明、证明四边形是菱形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握特殊四边形的判定是解题关键．根据正方形的性质，易证，得到，，推出四边形是菱形，再得出，即可证明结论． 【详解】解：四边形和都是正方形， ，，， ， ， ， ，， 在、、、中， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， 四边形是正方形 一、单选题 1．用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 【答案】B 【详解】由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形．故选B． 2．如图，若将矩形木框变形为平行四边形的形状，并使其面积为原矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，可得AB=2AE，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，    ∵平行四边形ABCD的面积等于矩形面积的一半， ∴ ， ∴ ， 在Rt△ABE中，， ∴∠B=30°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的面积，熟练掌握直角三角形中角若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°是解题的关键． 3．平行四边形两邻边之比为3：4，两条对角线长都是10，则这个平行四边形的周长是（    ） A．14 B．20 C．28 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意，两条对角线相等，则此平行四边形为矩形，根据勾股定理结合已知条件即可求得矩形的边长，进而求得周长 【详解】依题意，两条对角线长都是10，则此平行四边形为矩形， 如图，设 四边形是矩形， ， ， ， 周长为， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键． 4．如图，正方形中，点是边的中点，，交于点，、交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ）    A．①③ B．①②③④ C．①②③ D．①③ 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，可证，，，，由此即可求解． 【详解】解：正方形中，点是边的中点， ∴，，， ∴， ∴，故结论①正确； ∵，，为公共边， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论②正确； ∵与是等底等高的两个三角形， ∴与的面积相等，，即， ∵，， ∴，故结论③正确； 由结论①，②可知，， ∵， ∴， ∴．故结论④正确． 综上所述，正确的有①②③④． 故选：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判断和性质，等底等高的两个三角形面积相等知识的综合，掌握正方形的性质，三角形全等的判断和性质是解题的关键． 5．如图，菱形的对角线，交于点，，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由菱形性质得到AO，BO长度，然后在利用勾股定理解出即可 【详解】由菱形的性质得 为直角三角形 故选：C 【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形的两条边 6．两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的平分线相交所成的四边形是（   ） A．一般平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】C 【分析】这两组内错角，其实可以看作两组同旁内角．同旁内角的角平分线的夹角为90度，又证得邻补角的角平分线的夹角为90度，因而得证两组内错角的平分线相交所成的四边形是矩形．提示，若度，，，则度．本题考查了矩形的判定，正确运用有一个角是直角的平行四边形是矩形，是解题的关键． 【详解】解：已知直线，分别与，相交于， 两组内错角的平分线分别相交于， 则有， ，则 即 同理 四边形为平行四边形 度 平行四边形有一个内角为90度 四边形为矩形． 故选：C． 7．如图，菱形的对角线交于点O，菱形的周长为32，过点O作于点E，若，则菱形的面积是（   ） A．16 B．32 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式等知识，根据菱形的周长求出菱形的边长，再根据三角形面积公式求出的面积，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为32， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（    ） A．60° B．65° C．75° D．80° 【答案】C 【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中， ∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点 ∴OM=ON， ∵∠MPN=90°， ∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°， ∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算． 9．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作交CD于点F，交AC于点M，过点D作交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①；②：③；④当时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出②，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出③，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形． 【详解】∵ 故①正确． ∵AB∥CD ∴∠NAE=∠MCF 又∵∠DNA=∠BMC=90° ∴∠ANE=∠CMF=90° 在△ANE与△CMF中 ∵ ∴△ANE≌△CMF（ASA） ∴，NE=FM，AE=CF，故②正确． 在△NFM与△MEN中 ∵ ∴△NFM≌△MEN（SAS） ∴，故③正确． ∵AE=CF ∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB 又根据矩形性质可知DF∥EB ∴四边形DEBF为平行四边形 根据矩形性质可知OD=AO， 当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形 ∴∠ADO=60° 又∵DN⊥AC 根据三线合一可知∠NDO=30° 又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30° 故DE=EB ∴四边形DEBF为菱形，故④正确． 故①②③④正确 故选D． 【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键． 10．如图，在正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交于点、，为的中点，连接、、、．下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的有（ 　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形的性质得出和的关系，再根据和的关系即可判断①，先证明，再证明，从而得出，然后根据四边形的内角和可判断②，根据全等三角形的判定定理，即可判断③；若，则，过点作于点，设，则，，，求出，即可判断④． 【详解】解：是正方形的对角线， ，， ∵， ∴，四边形是矩形， ，， ， 故①正确， ，， ， 又是的中点， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 故②正确， ∵， ， 在和中， ， ∴， 故③正确； ∵，， 为等腰直角三角形， ， ，， 过点作于点，如图所示： 设，则，，，，， 则，， ，故④正确； 故选：D．    【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 二、填空题 11．已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为 ． 【答案】48 【分析】如图，先根据勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】解：在矩形ABCD中，，， ∴在中，(cm)， ∴． 故答案为：48． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知上述知识． 12．如图，直角内的任意一点到这个角的两边的距离之和为8，则图中四边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】先由图证明四边形为矩形,再根据矩形周长的算法计算即可. 【详解】题图中有3个直角，可得四边形是矩形，那么其周长为16． 故答案为：16 【点睛】本题考查矩形的判定和周长计算,关键在于牢记基础知识. 13．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4,则FD= . 【答案】4 【分析】根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG，然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可证得DF=GF；设FD=x，表示出FC、BF，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可． 【详解】∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE， ∴AE=EG，AB=BG， ∴ED=EG， ∵在矩形ABCD中， ∴∠A=∠D=90°， ∴∠EGF=90°， 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ， ∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL）， ∴DF=FG， 设DF=x，则BF=6+x，CF=6-x， 在Rt△BCF中，（4）2+（6-x）2=（6+x）2， 解得x=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，拓展一元一次方程，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件ED=EG是解题的关键． 14．如图，的两条直角边，．分别以的三边为边作三个正方形．若四个阴影部分面积分别为，，，，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 0 【分析】根据的三边为边作三个正方形得，，，， ，，即可得，，利证明，即可得，利用证明，得，即可得，， 设，，根据四边形，四边形，四边形都是正方形，得，，,，则，可得，即可得． 【详解】解：∵的三边为边作三个正方形， ∴，，，， ，，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵四边形，四边形，四边形都是正方形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，0． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 三、解答题 15．如图，在平行四边形ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且∠QPA＝∠PCB． 求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】见解析 【分析】根据垂直的性质可得，利用各角之间的等量关系可得，再由矩形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形． 【点睛】题目主要考查矩形的判定定理及各角之间的等量代换，理解题意，结合图形，熟练运用矩形的判定定理是解题关键． 16．如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M． （1）求证：BE＝DE； （2）试判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析. 【分析】（1）由矩形的性质得出∠ADB＝∠CBD，由已知条件∠CBD＝∠EBD，证出∠ADB＝∠EBD，即可得出结论； （2）延长MP交BC于Q，先由角的平分线性质得出PQ＝PN，再由AB＝MQ，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠CBD＝∠EBD， ∴∠ADB＝∠EBD， ∴BE＝DE； （2）解：PM+PN＝AB；理由如下： 延长MP交BC于Q，如图所示： ∵AD∥BC，PM⊥AD， ∴PQ⊥BC， ∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE， ∴PQ＝PN， ∴AB＝MQ＝PM+PQ＝PM+PN． 故答案为（1）见解析；（2）PM+PN＝AB；理由见解析. 【点睛】本题考查矩形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 17．如图，矩形中，，若将矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】设ED为x，则AE=（8-x），列方程求出ED长，再利用勾股定理求出OE、OF即可． 【详解】解：连接BE， ∵将矩形折叠，使点B与点D重合，则折痕EF⊥BD，且OB＝OD＝BD，BE=ED，设ED为x，则AE=（8-x）， 在Rt△ABE中， ， 解得，， ∵AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，BD＝＝＝10，OD＝BD＝×10＝5cm， ∴OE＝； 同理可得OF＝；EF＝OE+OF＝＝． 所以折痕EF的长为7.5cm． 【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理，解题关键是恰当设未知数，根据勾股定理列出方程求解． 18．如图，菱形花坛的边长为，，沿着菱形的对角线修建了两条小路和．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）． 【答案】两条小路长和，面积 【分析】先由菱形的性质证明 再求解 结合菱形的对角线互相平分可得两条小路的长，再利用菱形的面积等于 从而可得答案. 【详解】解：∵花坛的形状是菱形， ∴ 在中， ， ． ∴花坛的两条小路长 ， ． 花坛的面积 ． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直平分，菱形的面积是两条对角线长度的乘积的一半是解题的关键. 19．在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AE与BF相交于点G． (1)如图1，求证：AE⊥BF； (2)如图2，将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，延长FP交BA的延长线于点Q，若AB=4，求QF的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)QF=5 【分析】（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF； （2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点， ∴CF=BE， 在△ABE和△BCF中， ∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS）， ∴∠BAE=∠CBF， 又∵∠BAE+∠BEA=90°， ∴∠CBF+∠BEA=90°， ∴∠BGE=90°， ∴AE⊥BF； （2）解：∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF， ∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠ABF， ∴∠ABF=∠PFB， ∴QF=QB， 设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2， ∴QB=x，PQ=x﹣2， 在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42， 解得：x=5， 即QF=5． 20．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，EF∥BC． （1）求证：△BDE≌△CDF； （2）若BC=2AD，求证：四边形AEDF是正方形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】试题分析： （1）用ASA证明△BDE≌△CDF； （2）由BC=2AD，得∠BAC=90°，从而四边形AEDF是矩形，再由AE=AF即可得证. 试题解析： 证明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C， ∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE， ∴AE=AF，∴BE=CF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°， 在△BED和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CDF． （2）∵△BDE≌△CDF，∴BD=DC，DE=DF， ∵BC=2AD，∴AD=BC，∴∠BAC=90°， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAF=∠AED=∠AFD=90°，∴四边形AEDF是矩形， ∵AE=AF，∴四边形AEDF是正方形． 21．如图，A，B，C，D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上．仓库P和Q分别位于和上，且．证明两条直路且． 【答案】见解析 【分析】由已知易证△ABP≌△DAQ，从而可得BP=AQ，∠ABP=∠DAQ，再由∠ABP+∠APB=90°，即可得 ∠DAQ+∠APB=90°，从而证得． 【详解】∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=AD=CD，∠BAP=∠ADQ =90° ∵PD=QC ∴AD-PD=CD-CQ 即AP=DQ 在△ABP和△DAQ中 ∴△ABP≌△DAQ(SAS) ∴BP=AQ，∠ABP=∠DAQ ∵∠ABP+∠APB=90° ∴ ∠DAQ+∠APB=90° ∴BP⊥AQ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明△ABP≌△DAQ． 22．倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．利用上述方法解决以下问题：如图，在正方形中，E为边的中点，G，F分别为边上的点，若，求的长． 【答案】6 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识，关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 延长交的延长线于M．只要证明，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于M．    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵E为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 23．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为、、、，顺次连接、、、，得到四边形即四边形的中点四边形． (1)四边形的形状是______，请证明你的结论； (2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形； (3)你学过的哪种特殊的平行四边形的中点四边形是菱形？请写出一种． 【答案】(1)平行四边形．证明见解析 (2)； (3)矩形的中点四边形是菱形． 【分析】（1）连接，根据三角形的中位线定理得到，，，，推出，，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形； （2）根据有一组是邻边的平行四边形是菱形，可知当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形； （3）矩形的中点四边形是菱形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，，再根据矩形对角线相等，然后根据四边相等的四边形是菱形． 【详解】（1）四边形的形状是平行四边形．理由如下： 如图，连接． 、分别是、中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形； （2）当四边形的对角线满足的条件时，四边形是菱形．理由如下： 如图，连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，， ， ， 又四边形是平行四边形 平行四边形是菱形； 故答案为：； （3）矩形的中点四边形是菱形．理由如下： 连接、． 、、、分别为四边形四条边上的中点， ，，，，，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$