第37期 三角函数的简单应用-【数理报】2024-2025学年高一数学必修第二册同步学案（北师大版2019）

与莲：台为心东w工军3计种由1吉我·理0 本高海栏通插养该机 的￥装量探装内线 11s1-13ys 25年3月4日五 高中数学 低重日量量游摩线 数理据 37期113 北御大 i51-t213 参蜂箱二番 畅我 一 ￥N论南，销装河 二利用平方关 林士风：内辉着 钱谈 点科每传，税 同角三角函数基本关系式的应用 a- 目卡声研底起争项修， 商春县青制性转花情 思用干组角过斯首的戏植和得角时典函数之到为化授和证具下司 t其用国角三角函数基车关系式连雨面介组儿种达 师本唐中理处，季真买 一一十某个植，家的其三数圆 例1已如-程▣4上，求期■猫 虽，A毛食在手细 卡场前黑城克了众目 解：因为=度=从1天1)， 三，巧有至亚复 刷3已如ann=2.求F各大道 百角。年对在y的参自编上计，a=1,ma不存有： (1非H1本1e1,H6≠g.同角：李刚角 降时净区4m,厘城中0产0，时T得明 响：健过年等为，通可 释-已-得 甲来的内线海：统入 .n-54x4:x2-1. 风老为上用同巨龙同 x卡1 4◆ 时童内 二而角用与数正期公式的位雨 两角 和与差的三角公式的逆 用 风县韩铁中月无下 t。ue)目子e4)形公大能阳确率n视店 有事4，峰4上 ●时两■明 例1已知4年任+不+里▣-2，求ma的 元春风十域导典通 直口堂上，晚事人发业 (hm-号w山}）2+5引-， 其实很钟候我还器会通山速用它的会式进行梨解 轴r,城年其平加号 而l(a）.e以a+于·s+s 生堂地响，程青本两 4 原m一《祥++) 域种中望当象 中5 例1龙蓟式千 时华急来质光高积 光学大4ag+身■云+了红+)释角式， (Is 2+tas 4r +2ax r'g 自是一十定例响高的式 声平的，时 角和导系工每必人的赏和心文 解：n3专m幻卡，720八m ,b,c纪或米角的一个1角山自人 (2e间12Y4ua0山■12·ue601:2 ▣，正(#54集+45414y▣2m 4a41230+5m0”+an0) ▣n第2+3a对te)(1-a0m3刘。 号角作点料来等A我着 点年：话可马商与的明6明，一被地.变里点子里现每 6点身，就下尾速制代是水国的目明丁， 明G粒，▣n多在0，叶上为靠 即6>女L 有拜才颗被表 2H 素养·专练 越捉松 国+非·观卡能目村量楼工a年的6果生 专项小塘一、同角三角函脑的基本关系 专顷小依二，两角和与差的三角函监经式 套项小棒三，兰角函数的是加及其应用 ( (A们三身 直三形 (6)传三和 1)位意三斯毛 之1求线1已地8.18，).n导。=8 名《多感1国下式干询有意义，下列香去 (E2 D-1 专.测h论的是 成拉的是 2(14)-m2,到4)在 T 区视上通增的灵 1:(®经） A+e.山at》4(n二 2 -交，-引 8m4-子 。 c 出引 D-m4子 年。个单企然因.可月价相象关了，位对 1化周g+a·年卡年 称，期=量■足 4看34n期Jm事=25年+的，且=T 日 专两小篷国、朝化和差与和表化积公式 如机，5无3 周捷时：寻号0得h线 2A0在动w上， w 0 ()m 百相围 o og 位上，写我A车一子在户确年树4：升，山 2在△nc中，若nE5,渊mAaC取 0年划料4，及 植油面是 作上an,cw (Ai-1,3 E然，容一士 。+出，-1时。以：出9一，。（售 22 :《风了4花x,利-A一a)▣ 场记，，子小 o-.a .()-(-m L期D在44中 阳认自：：线：年，：，子彩得是 w54:专时冠，1可，函=程量+量，4 1热 .4 11多选}下列大￥苦海的延 区，品@-兰 (A124”+4a36”唐=6 所出自业能也得可带一。。 2 4 4+er十m0-和0” 本相鱼颜维角制 琶 城，V-m,型 416而…于-城宁- 参卡答室见下闲 2宁制行=仔小。3子划“定-山山（传 4+==4a+子 m,子：【7 国waa一子， u+登·圣ma子到火r 用1台子，于满4，，+ 型大， 家▣E7▣1-3-，= 得8大n5: 的上A:1列：：的请道 恒 盆 SEEERRUA0E8E8040高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 数理柄 答案详解 2024~2025学年 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期(2025年3月) 7.如图I,过C作CD⊥AD于D,过C作CB 第36期3,4版 平面向量及其应用核心素养综合测评 上AB于B,在△ADC中，血B=光B=1 一、单项选择题 所以AC= CD :2 sin B 360(m),在 1~4 DCBA 5~8 BBAB m180 图1 提示： 1.根据题意，b=2a=2(1,1)=(2,2). △ABc中，BC=AC·n60=9x号=9(m。 2.由余弦定理可得a2=b2+c2-2 becos A, 8.因为(b+c)2-a2=455, 即1=3+2-2c×, 所以8+2-。2+2c=45,2cimA, 整理得c2-3c+2=0. 即尽+-a+1:inA, 解得c=1或c=2. 2be 3.由题意知1e1=1, 由余弦定理得3sinA-cosA=1, 所以向量a在向量e上的投影向量为： 期2in(4-若）=1， (ao…）=(2s）e=-e 即m(4-）=之 4.设c=(x,y）, 则0·c=2x+y=0, 在△ABC中Ae(0,π) b·c=x+2y=32, 即4-晋e(-爱)， 解得=-2 y=22, 则4-若=石放4=号 由余弦定理得a2=+c2-2 bccos A=4+9-2×2×3 所以IcI=+y=2+8=⑥. 1 5.因为在△ABC中，A,B∈(0，T), ×2=7,所以a=万， 所以cosB=7, 由正弦定理得2R=a, 2=25则R= 5 甲血B:V个-sB=9, 2 由正弦定理可知sinA=asinB。夏 因为时(a+b+er=lcinA,. b 2 即A=号安写，又a<6,则A<B, besin A 2×3x3 2. 所以T= 35 a b+c 5+万5+万 所以4=号不成立，放4=于 万 6.设线段BC的中点为M,则0B+0元=2O丽， 所以R =7+5万 r 35 9 因为2A6=0正+0元，所以M6=0, 5+万 则6=分成-子(A店+d=子(+ 二，多项选择题 9.ACD;10.ACD;11.AB. 子花+ 提示： 9.BC=AC-AB=(3,0),(A)正确： 由B,0,D三点共线得子+名=1，解得1=分 因为2BC-AC=(4,-1), 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 所以A正·(2B元-AC)=-5,(B)错误： 三填空题 因为A店.A元=-1,1A店1=巨，1AC1=5, 2: 13.1.41N:14.[12+22,16] 所以0万文店巴(0)正确： -1 提示： AA正+uA配=(2μ-AH+A)=(3A+1), 12由A=60°，B=45°及正弦定理.a 理品品B可知 所以24-A=业，解得A=-14=1, sin A sin60°_6 4+入=A+1, 6mB=5m45=7 则μ-A=2,(D)正确. 13.如图4，设水平面的单位法向量为n,其中每一根绳子 故选(A)(C)(D) 的拉力均为F, 10.因为a=万，b=3,c=2,所以sinA:simB:sinC= 因为(n,F〉=30°， a:b:c=7:3:2,(A)正确： 所以F在n上的投影向量为 EF n. 由余弦定理得oA-已+-d.2+32(2 2cb = 2×2×3 所以8根绳子拉力的合力为 之.因为Ae(0,),所以A=号，(B)错误： 1T1=8× 1n1=451F11nl, Sam=宁hn4=宁×2x3×号-9(0正角 又因为降落伞匀速下落， 2 所以必有1T1=mg=1×9.8=9.8N, 因为∠DAB的平分线交直线CB于点E,A=号 所以451F1n1=9.8, 所以1F1=98=1.41N 所以∠BME=于 45 所以SaME=Sac+SaE, 仰时×3in号=宁×3x2m号+宁4服x2in 1 3 解得AE=6,(D)正确 故选(A)(C)(D) 11.对于(A),如图2所示.作BD⊥AC于 图4 图5 D,则1C元i=I al cos C,1Ad1=I clcosA. 14.如图5，设单位圆的圆心为0， 因为B配.C=·A店，所以1成1= 则P=(P0+0A2=P市+2Pd.0A+1,i=1,2, 34.5.6.7.8 1AD1,所以D为AC的中点， 图2 由对称性得0A+04=00=1,2,3,4), 所以IAB1=IBCL. 侧PA+PA+…+PA=8P+8, 同理可证1AB!=1AC1 在△0A,A2中，0A=1,0A2=1,∠A,0A=45 所以△ABC为等边三角形.故(A)正确： 所以P=(0A1×c0s22.5)2=cos222.5°= 对于()，丽-之病+之花子丽-子店=之花 1+cs45°_2+2，P0=0M=1, 4 -子矿，即武：元，则点M是边BC的中点，放(B)正确： 2 所以所求取值范围是[12+22,16]. 对于(C),因为过△ABC内一点M任作一条直线， 四、解答题 可将此直线特殊为过点A, 15.解：设AB=m,则AC=m,DE=BC=√2m, 则AD=0,有B正+C序=0. 如图3. BD=DEsin30°=2m, 则有直线AM经过BC的中点， 过点D作DG⊥AB交AB的延长线于点G, 同理可得直线BM经过AC的中点， 作DH⊥AC于点H,易得四边形AGDH为矩形 直线CM经过AB的中点， 1 所以点M是△ABC的重心，故(C)错误； 图3 BG=DG=BDsin45°=2m, 对于(D),A=2A正-A元=Ai-AB=A店-AC,B= 3 1 AG =2m.AH =2m. C正，则点M在边CB的延长线上，故(D)错误， 从面而=花+动=a+b 3 故选(A)(B). 2 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 16.解：(1)在△ABC中， sin C sin(A B)=sin Acos B cos Asin B, 5a=0(-）广-20≤1≤. 由正弦定理可得c=acos B+bcos A, 所以当1=0或：=1时，d.(+)取得最大值，为 所以3b=a+e1·e2=a+acos B+bcosA=a+c, 所以a+c=6=3b,即b=2, 0,当1=方时，励.（风+脑）取得最小值，为-受 所以a+c+b=8, 故网·（风+脑）的取值范围为[-空，0小： 所以△ABC的周长为8. (2)因为B=30°，b=2,c=2. 19.(1)解：①因为m=(2,1),n=(-1,2). 所以由余弦定理可得c0sB=心+-&。+4-2。 则S(m,n)=12×2-1×(-1)1=5: 2ac 4a ②因为m=(1,2),n=(2,4), 解得a=厅±1 所以n=2m,即m与n共线， 所以S(m,n)=0. 17.解：由题意得∠BAC=40°+20°=60°，BC= (2)证明：因为向量m=(x),n=（(2),且向量P 31 km,CD 20 km,BD 21 km, =Am+n(A,H∈R,A2+2≠0)， 由余弦定理得eos LBDC=BD+DC-BC 2BD·DC 则P=(A1+,Ay+), 212+202-312 于是S(P,m)=(Ax+ux2)y1-(Ay+2)x1I= 1 2×21×20=-7 1411x12-x2为， sin ZBDC 1 cos ZBDC =4 同理S(p,n)=1A1xy2-x21, 7, 所以S(p,m)+S(p,n)=(IAI+l4l)S(m,n). 又因为sin∠ABD=sin(∠BDC-60), (3)解：设c与a的夹角为a,c与b的夹角为0，a,0∈[0， 所以sin∠ABD=sin∠BDC·cos60°-cos∠BDC· ],由a1b得0=号-u或0=受-a 14· 在△ABD中，由正弦定得，得。D BD 当0=号-a时.s(c,a)+sc.b)=2:ela1sna sin ZABD=sin 60 所以AD=BDsinABD=15km +2:clb1sm(受-a）=na+n(受-a）=sima sin60° 故这个人还要走I5km的路才能到达A城 +cosa=sin(a+平）， 18.解：(1)设P(14,y), 因为ae[0,m],所以a+年e[年] 则0=(14，y),PB=(-8,-3-y), 由0尿=AP元得(14，y)=A(-8,-3-y), 所以当a+牙=受，即a=子时.S(c,a)+S(c,b)取得 解得A=-子了=-7， 最大值2： 所以点P(14,-7).设点Q(a,b), 当0=-a时，s(c,a）+c.b)=2,c11 alina 则00=(a,b),又AP=(12,-16), 所以由00·AP=0,得3a=46. ① +2cb1sin(-a）=ma+m(-a）=ma 又点Q在边AB上， -cmsa=Eim(a-平） 所以号=产名即3a+6-15=0 ② 联立①②，解得a=4,b=3, 因为ae[0,a,所以a-牙e【-牙，， 所以点Q(4,3). 所以当a-牙=受，即a=要时，s(c,a)+S(c,b)取得 综上，实数入的值为-子点P的坐标为(4，-7)，点Q的 最大值2， 坐标为(4,3). 综上，S(c,a)+S(c,b)的最大值为2 (2)因为R为线段OQ(含端点)上的一个动点， 第37期2版 故设R(4t,3),且0≤t≤1， 专项小练一 则R0=(-4t,-3t),R=(2-4t,9-3t),RB=(6-4t 1.A:2.BD;3.1:4.-1. -3-3),所以R+RB=(8-8t,6-6t), 专项小练二 则RG·(R+RB)=-4t(8-81)-3t(6-61)=50r2- 1.C;2.BCD:3.2. 一3 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 专项小练三 则cos&-sina= 1 12:3得4后：5 5 3 24 两边平方得：2 cos asin a= 专项小练四 25 4 而0°<&<45°，即有c08a>sina>0, 1.C:2.B:3.ABC: 于是eosa+sina=+2 asin a=子， 第37期3,4版 4 同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式 解得cosa=5 同步核心素养测评 一、单项选择题 &函数)=2合（分+0）-（宁+0）】 1 -4 ABBB 5 ~8 DADC =2sm(分+0-号）.图象关于y轴对称，必有0-号=受 提示： 1.sim20°cos10°+c0520°sin10°=sin(20°+10°)= +km(eZ),所以0-行+km(eZ.又因为101<受，所 im30°=立 1 以当k=-1时，0=-石，所以fx)=2sim(分-号） 2.sin(2a +B)sin(a +a +B)sin acos(a B)+ cosain(a+B)=分×(-1)+0a-子 -2os子，所以y=)单调递减区间：由-+2km≤子 ≤2kT,keZ,解得-2π+4kT≤x≤4km,keZ,所以y= 3阴为到）=咖一+之n fx)的单调递减区间是：[-2π+4hπ，4kπ](k∈Z),当k=0 时，单调递减区间是：[-2π，0]，显然(C)正确。 二、多项选择题 所以函数代x)的值域为[-√5,5]. 9.CD;10.ABC:11.BD. 4.ima=子a是第二象限角，则cmsa=-2 提示： 3,cos(a 9.因为C=120°，所以A+B=60°， 60°）=c0sac0s60°+in in60°=5-22 所以2(A+B)=C,所以tan(A+B)=5, 6 所以选项(A),(B)错误； 5.由于a,B均为锐角，co5a= 5 因为taA+tamB=5(1-anA·tanB)=25 3 则sna=专ama=手 所以tamA·amB=了 1 ma-a-]ma二份 25 又tanA+ianB=3, ② 41 3+方 4.1 =3. 联立①②解得amA=amB= 3 1- 3×3 所以cosB=√3sinA,故选项(C),(D)正确. 6.由题可得2 2sin acos B=smE,即1anB=2 nco,放 cos a 故选(C)(D). tanβ 2sin acos a 2 2 1sin a 2sin'a cos'a2sin c cos a22 10sin50+cos30=sim50+sim(受-30） cos a sin a =2sin(0+平）o(40-牙），()不正确： 且仅当血e=csa,即ma=马时等号成立 cos a sin a 2 c0s37.5°·c0s22.50 7.设直角三角形较短的直角边长为a, =2cms(37.5+2259)+em(3n.5°-225月 则较长的直角边长为，： tan o =(os60°+0s15) 因此小正方形的边K为品。a）,大正方形的边长为品。 =(片+62）.()不正确： 因为大正方形与小正方形面积之比为25：1， 1 im(年+am(年+j sin a sin a -=5, cos a sin a cos a-sin a a tan a sin a =[m(得+a+平+p）+m(晋+a-晋-B)] 4 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 =之[sim(受+a+B）+in(a-B)] 2cos 20cos(-8)2cos 20cos 6. 所以sin0+sin20+sin30=2sin20cos0+sin20 =os(a+B)+in(a-B),(C)不正确： =sin20(2cos0+1), c050+c0s20+c0s30=2c0s20c050+c0s20 6os(-平）-es(+平） =cos20(2cos0+1). 所以sin20(2cos0+1)=cos20(2cos0+1). (x-）+(x+母)（-母)-(+平) =-2in 2 所以n20=m20或@0=-之 =-2 sin in(-平）=2in,(D)正确放选(a)(B)(G). 当cos0=-时，0-号+2冰m或0=弩+2m,keZ. 1.因为ma,eosa不一定相等，如a=号时，sna≠ 此时cos0=cos28=- ，不满足集合的互异性，故 cosa,(A)错误； 舍去： 因为1=sin2ax+cos2a=(sina+cosx)2-2 sin acos o =m2-2n,所以m2=2n+1,(B)正确； 当sin20=cos20时，20=平+6m,keZ, 由于a为锐角，所以sina+cosa=-m>0, 所以0=景+复=4专，keZ,满足题意 8 则m<0,sin acos a=n>0,mn<0,所以(C)错误； 四、解答题 因为角a是锐角，即ae(0,号）a+晋e(于，程）： 15解：因为sim(a-)nB-os(a-B)eB=专 所以m=-(sina+cosa) =-n(a+）e[-厄，-)， 所以cma一号又a是第二象限角，所以血a=子 所以m+n+1=m+m,1+1=m车D>0,(D)正 期1ae-子 2 2 确.故选(B)(D). 所以am(牙+a） am子+ma1-子 41 三、填空题 1-tm子ma1+子 3 12.22:13.3:14.4t1)kez 8 提示： 16解0)因为ma=3酒号<< 12因为cos(π+a)=-cosa=子，所以coa=-子 所以sina= 0 又因为sina<0, 所以sina=- 3 ((高)×分3而。画 20 所以tana= sin a =2. cos a (2)由(1)得，ma=-号面mB=-子 13.由0<x<牙可知tamx的值域为(0，+0)， 2 )=am2x-4m+3=4(omx-含）广+2. 所以tan(a+B)= 1-()×() 可知当amx=方时)取得最小值，放an0=之， 1 又因为号<a<,受<B<, tantan π 则am(9+子） 4 2+1 1 =3. 1-m0m子1-7 所以m<a+B<2m,所以a+B=7西 4 14.由题得sin0+sin20+sin30=cos0+cos20+cos30, 解：因为号<a<,0<B<受，所以<受<受 由和差化积公式得 0< & <平所以<a-号<，-<受-B< sin 0+sin30=2sin30cos30 2 2 2sin 26cos(-0)=2sin 20cos 6, 所以m(e-号）：5(受-）= eam0+m30=2m告4we022 2 m=m[(a-号）-（受-）门=m(a- 5 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 是)m(受-）+m(a-是)m(受-p）=-gx号 因为h(x)在x=。处取最大值， 所以2-p=2nm+受，ne乙， 所以2=2nm+号+，ne乙 18.解：(1)因为α是第三象限角， 所以√-coa /1+c05a 1 -cos a (1 cos a) 即tam2x。=tam(2mm+受+e) /1 cos a 1-cos a (1 cos a) 1 cos a 1 cos a m(+)山。k A 1-cos"a I sin al I sin al =-1+os&+1=cs4=-20sa=-2 sin a sin a sin a tan a (2)不妨设直角三角形的一个锐角为a, 又因为2<k<3,且y=x-士在(0，+)上单调递增， 因为方程4x2-2(m+1)x+m=0中，4=4(m+1)2- 4·4m=4(m-1)2≥0，所以当meR,方程恒有两实根， 所以号<k-士<号即子<2< 4 又i血a+cosa="2,sin acos-盟 k一k 4 所以(sina+cosa)2-2 sin acos a= m*12 放am4红，的取值范围为（子号） 第38期2版 解得m=±5， 专项小练 当m=5时，sina+cosa= B +12 0,sin a.cos a= 2 1A:2D:3AC:4子：5 169 5 4 >0,满足题意： 6.解：原式=4sin36c0s36°c0s72 sin36 当m=-5时，sina+cosa= 1二E<0,这与a是镜角 2sin 72 cos 72 sin 144 2 sin 36 sin36°=1 矛盾，应舍去 第38期3,4版 综上，m=5. 二倍角的三角函数公式同步核心素养测评 19.解：(1)由题可得g(x)=sin4x-√3cos4x 一、单项选择题 1~4 DBBC 5~8 DDCA =2im(4-号） 提示： 又由方程g()=手则2sin(4-号）=号 1.cos(m+20)=-(2cos20-1)=7 即m(4-号）=子 2im2x,因为sin2x∈[-1,1， 2.函数y=5inc0sx= 因为e[:罗]所以4-号e[号]。 所以函数y=血o=之n2的值城为-子 设0=4-号e[号]，期in0=子 引 结合正弦函数y=sim0的图象，可得方程s血0=号在区 3.设等腰三角形的顶角为α，底角为B, 则coa=又B=号-受 问[号，]有2个解， 1 cos a 2 设其两根为8,4，且8=4-号.4=4号， 由对称性可知8+乌=3解得名+：臣。 125 3 2 则实根之和为步 4.原式可代换成8sin壹os立=2cos登， (2)由题意得h(x)=ksim2x-cos2x=√+Isin(2x- 2tanx 即tam=子，则tanx 2 p),其中an9=k 1-tam2 =15 6 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 5.由Asin140°-tan40°=5化简得 故选(B)(C). Asin40°- 0s400=V3, sin40° 因为=m(+）= 1-m(2+】 即Asin40°cos40°=sin40°+，√5cos40°， 即7Asin80°=2sn(40°+60）=2sin80, 1+2,a=rg5).6=fg5）=-lg5. 2 因为sin80°>0，解得A=4. 所以a+6=1+i2g2+1-im(2lg5】=1, 2 2 。8+m8 6.lan0+1 sin a=1+sin(2lg5)1-sin(2lg 5)=sin(2lg 5). 2 2 =sin'0+cos'0 1 1 故选(C)(D). sin 6cos 6 1 2 sin 20 =4,所以sin20=2 三，填空题 7.由图形可知，∠A=36,且号∠A=18, 12-5133-25425-2 所以m18=名×g=子x5=5, 提示： 2 41 12.由已知及正弦公式得inx=- 5 所以m6=1-2m18=1-2x(5,'= .12 5+1 又&是第三象限角，所以cosa=-片 4 5 8因为eos（(x+)mx-m(x+y)cosx=是 所以tm受 sin a = -3 =-5. 】+c0s 1+() 所以siny=sin[(x+y)-x] sin(x +y)cos x-cos(x +y)sinx = 12 13.因为tana= 13 2 因为y是第四象限角， 所以905a-sina 1-tan a 1、② 2 =3-22, 所以cosy=√/1-siny= -( =13 cos a sin a 1 tan a 1+ 2 12 由半角公式得an立=+c0sy sin y 13 2 cos 2a cos'a sin'a cos a-sin'a =1-tan'a cos'a sin'a I +tan'a 1*13 二、多项选择题 1-2 =3 9.AD:10.BC:11.CD. 1+ 2 提示： 14.因为180°<0<270°，所以90°< 9.2sina=4in受co号=1+cosa=2cos 2<135°， 2 当cos受=0时，am受不存在， 即号是第二象限角 当co受≠0时，am受= -0.25 所以s号=√ ，且am 2 <0 故选(A)(D): 1- /1-cos 2a 10.(A)不符合√+c02a 2sima=√ama= 所以tan2 /1-c0s0 5 =-1+cos 0 3 2cos'a I tan al 四、解答题 (B)符合，因为a∈(0，r),所以 -cs2a.1= 15.解：(1)由3x+10x+3=(3x+1)(x+3)=0, 2 cos o sin a=tan a; 得tana=-3或tama=-3 cos o 、1-cos2g=2 sinacos (C)符合，im2a 2sin'a 又ae(要a）,所以tma=- -tan a; sin a sin a 2sin o 1 5+4ina+6eos2受-8 (D)不符合1-co2a=2ima (2)原式= 4sin a 3cosa sin a cos a sin a cos a 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 4tana+3 5 tan a -1 4 所以1=EW+N=2sn9”-m8e(0.号）】 16证明：由simA·cos 2+sinC·cos24 (2)令0》=血1-m0)=-(m0-）广+子 得m4lC+m6.1+4=名B, 2 2 血0e(0,号），当且仅当日=时，取得最大值此 6 即sinA+sinC+sinA·cosC+sinC·cosA=3sinB, 时lnn=2a. 所以sinA+sinC+sin(A+C)=3sinB, 所以sinA+sinC+sin(r-B)=3sinB, 第39期3,4版 sin A sin C sin B 3sin B, 三角恒等变换核心素养综合测评 所以sinA+sinC=2sinB. 一、单项选择题 解：由题意得cma=子6B=子 1-4 CCCA 5-8 BCAD 提示： 因为a,B为锐角， 所以os号+sin号+n号 1.由2os2a=sim(号-a）得 +eog+√ eosE+√+eoa /I cos a 2(eoa-sina)上2(cosa-ima月 2 2 2 -3 所以cos&+ima=2. (eos a sin a)2=1-2sin acos a I sin 2a 18解：(1f(x)=cos2xcos牙-sin2xsin至+L-cos2L 7 3 3 所以im2a=-8 2 =w2x-2x+-2x=-2 2.已知ian(a-B)=l→ma-an且=lg(10a）-lga 1 +tan atan B 1 lg(10a)lg a =1→lga+lga=0. 所以当2x=-号+26m,即x=-年+km(ke2Z)时， 所以lga=0或ga=-1,即a=1或a=0 f代x)取得最大值，f(x)a= :1+3 2 3.y=im(3x+号）o-6）+co(3x+号）im( )的最小正周期T=号=， ）=i血(3x+号+-晋）=in(4+君) 故函数x)的最大值为+5，最小正周期为元 2 则对称轴满足4红+石=k红+受ke乙， 解得x=年+受ke乙当k=0时x=受 解得血C=停又C为锐角，所以C=号 4.)=2m(o+e+平） 由emB:兮求得血B:号 因为函数是偶函数，所以当x=0时P+于=受+kmk后 所以sinA=sin[r-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C +mmc:29x+×停.2。 又因为11<受，解得p=平 6 19.解：(1)因为EM=BM,∠B=∠MEN, 又因为T=2红=m,解得w=2, 所以△BMN≌△EMN,所以∠BWM=∠ENM, 因为∠AME=20,所以∠BWM=∠MNE=0, 所以)=2m(2x+受）=cos2x, 设MN=x,在△BMN中，B=xsin0.航以EM=BM=in0, 所以在△EAMM中，AM=EMeos20=xsin 8cos20, 当xe(0,受)时，2xe(0,m), 因为AM+BM=a, 此时函数f八x）=√2cos2x递减. 所以xsin0cos20+xsin0=a, 5.由题得an(a+B)=an+anE=-l, a 1-tan otanβ 所以x=8in9c0s20+sim0' 可得tan atan B=tana+tanB+I, -8 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 所以(1-tana)(1-tanB) 故(D)错误.故选(A)(B)(C). 1 tan a-tan B tan atan B 2. 10.因为sin(a-B)cosa-cos(a-B)sina= 3 6因为a=s60-月n6°=n246。 5 1 2tan13° 1 tan213 所以m(a-B-a）=子n(-)=号n月=- 5 =sin26°，c= /-c0s50° 2 =sin25°，利用正弦函数的性质 所以当B在第三象限时，有cosB=-√1-simB= 可知b>c>a. √f-务=-号，所以m(B+）=sB平 9 4 =2(1-m9）+2(1-m号）+2(-o9) sinsin平=- 9 子-(m9+s号+钙） 当B在第四象限时，有sB=个-imB=√-云 所以em(B+）=-sin in子=x号 2 3 24sin牙 7 故选(B)(D). 11.由题意得M(a,b)在角0的终边上，且IOM1=m, 所以cos0=g,sin0=b m m 8.f(x)sin cos 2x =-2sinx sin+1 则/(0)=6+a=in9+cos6, m g(0)=b-a=sin 0-cos 0. m 因为xe[0,π]，所以0≤sinx1≤1， 当sn气=冬时，)取得最大值？ 则/（君）+g(天）=si血君+co君+血石-o君 当sin1=1时fx,)取得最小值0， =1,故(A)正确： f(0)+f (0)=sin 0+cos+(sin0+cos 0)2, 所以)的值城为[0，号] 令1=sim0+co0=Eim(0+平）e[-万，E], g(）=3sin为+4cos为=5sin(x2+p), 4 3 其中sin9=了，cos9=子， 所以0)+()=1+f=(+)-≥-故 因为为e[0,π]，所以2+pe[p,m+p], (B)错误： 所以ms+p)e【-号小： 份=品8一8=思8片=2解得m0=3, 所以g(x2)的值域为[-4,5]， 又由sin20=2 sin 6cos0= 2sin 0cos 0 2tan 6 sin20 cos20 tan2+1 所以0+(-4)≤m≤5+骨， 兴号=号(C)正确： 甲的取值范得是[-4，号] f(0)g(0)(sin 0+cos 0)sin 0-cos 0) 二，多项选择题 sin2 0 cos2 8 cos 20, 9.ABC;10.BD:11.ACD. 因为y=cos20为周期函数，故(D)正确。 提示： 故选(A)(C)(D) 9.4sin15cos15°=2sin30°=2×分=1，放(A)正确： 三，填空题 127:13子：44 2(m若-im若）=2m号=2×分=1，故(B)正确： 提示： 2tan22.5° -an2.50=tan45°=1，故(C)正确： 12.因为a∥b,所以sin20×1-cos0=0, 即sin20=cos20,所以2sin0cos0=cos2a. 2 2 ≠1 因为0<0<受，所以cos0≠0， 高一数学北师大（必修第二册）第36~39期 所以2n0=ms8,所以tm0=台=之 1 故y=八x)的值域为(1,2] 13.将2cosa-sina=1两边同时平方，得2cos2a+ 1n解：(1)由题可得/)=丛+m2x 2 sin'a -2 cos asin a =1.cos'a =2cos asin a. 又ae(0,号）则esa≠0， 因为利=0，所以sm(24-君）+子=0， 所以tan&=mc= 迈 cos a 4 因为4e0,m)所以24-看e(君，号） 1 1-8 则co2a=-lamc= 7 1 +tan o 1+8 1 91 所以2-石=7石则4=罗 14由已知得A+m≥8， (2)由题可得Ae(0,受)）则4-若∈(-吾，号)： sin'x cos'x 即A≥8ir-m因为x≠空(ke2, 因为（子）=各， 所以cos2xe(0,1),则8sim2x-simx 所以(4-君）=分om(4-）-2。 cos x =8(1-cos2)-1-cos2x)2 所以m4=m[(4-君）+君]=号加(a-活） cos"x =8-8cos x-1+cos'x-2cos 名a-）=受x寸+×29-+9 cos'x 18.解：(1)(x)=a+bsin2x+ceos2x=a+ =8-8cos2x+2- 1+cos x cos'x √+n(2x+e(amg=云）： =10- 1 a+c=1, 由题意，可得{a+b=1, ≤10-2 1 ·9c0s2x=4, Vc0s°x a+√0+c=22-1. 当且仅当os2x=号时等号成立，放人≥4 ra=-1, 解得b=2,所以x)=22i(2x+牙）1 四、解答题 lc=2. 15.解： 2cos'a-1 (2)将f八x)的图象向上平移1个单位得到函数f八x)= 2am-a）sim(牙+a 22.i(2x+平)的图象，再向右平移号个单位得到y= cos 2a 22sim2x的图象，且函数y=22sin2x为奇函数 2iam年-a）cos(年-a） 19.解：(1)b-2c=(sinB-2cosB,4cosB+8sinB), cos 2a 又a与b-2c垂直， 2im(牙-a）cos(开-aj 4cos a(sin B-2cos B)+sin a(4cos B+8sin B)=0. 4cos asin B-8cos acos B+4sin acos B +8sin asin B =0, cos 2a cos 2a =1. m(号-2a) cos 2a 所以4sin(a+B)-8cos(a+B)=0, 得tan(a+B)=2. 16.解：(1)因为f(x)=cos2x+5sin2x (2)b+c=(sin B+cos B.4cos B-4sin B), 所以1b+c1=√/7-15sn2B. =2sim(2x+} 当sin2B=-1时，1b+clm=√3z=42. 所以x)的最小正周期是T=要=m (2)因为0<<号所以后<2x+后<得 所以分<i(2x+若）1 所以1<2m(2x+）≤2 一10