第一章 三角函数（高效培优单元自测·强化卷）高一数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．函数的周期、振幅、初相分别是 A．,, B．,2, C．,2, D．,2, 4．已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（   ） A． B．1 C． D． 7．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数，下列选项正确的有（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上有三个零点 10．下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．已知角的终边经过点，且，则 D．若角为锐角，则角为钝角 11．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数在上有最小值-1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知扇形的中心角为2，周长为4，则该扇形的面积为_____． 13．设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 14．函数的部分图象如图所示，则_______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． 16．已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 17．已知函数，其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为，且直线是图象的一条对称轴． (1)求，的值，并求出的对称中心； (2)求在上的单调递增区间． 18．已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 19．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角函数单元测试卷·强化卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故选：D. 2．已知函数是定义在上的奇函数，，且，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数周期性和奇函数性质求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 又，即函数是周期为4的周期函数， . 故选：C 3．函数的周期、振幅、初相分别是 A．,, B．,2, C．,2, D．,2, 【答案】C 【解析】根据函数的解析式，写出函数的振幅、周期和初相即可. 【详解】解：由已知函数， 振幅是， 周期是， 初相是. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，是基础题. 4．已知角，则的终边在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由象限角的定义得到结果. 【详解】因为，而，所以的终边在第三象限． 故选：C． 5．已知角的终边过点，则的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边过点，所以， 故选：A. 6．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形圆心角（正角）的弧度数为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积和弧长公式计算. 【详解】设扇形半径为，则由题意得，得， 则扇形圆心角（正角）的弧度数为. 故选：C 7．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合已知条件求解． 【详解】正弦函数的对称中心为，是函数的图象的一个对称中心， ，解得， 的最小值为． 故选：B． 8．如果，那么下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断正负性，再结合三角函数线判断大小即可. 【详解】因为，所以， 如图所示，在单位圆中，， 易知，则，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数，下列选项正确的有（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数在上有三个零点 【答案】AB 【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得， 所以的图象关于点对称，所以A正确； 对于B中，由，的图象关于直线对称，所以B正确； 对于C中，由，可得， 根据余弦函数的性质，可得函数在上先增后减，所以C不正确； 对于D中，由，可得， 令，可得或，解得或， 所以函数在上有两个零点，所以D错误. 故选：AB. 10．下列结论正确的是（    ） A．是第二象限角 B．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 C．已知角的终边经过点，且，则 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】AB 【分析】根据终边相同的角的定义判断A；根据扇形面积公式判断B；根据三角函数的定义判断C；求出的范围即可判断D. 【详解】对于A，由，即与终边相同，为第二象限角，故A正确； 对于B，设扇形的半径为r，则，解得， 则该扇形面积为，故B正确； 对于C，角的终边经过点， 则，解得，故C错误； 对于D，角为锐角，则，所以， 所以角为锐角或者直角或者钝角，故D错误. 故选：AB 11．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递减 D．函数在上有最小值-1 【答案】AB 【分析】根据给定的函数，结合余弦函数的图象性质，逐项分析判断得解. 【详解】对于A，，的图象关于点不对称，A错误； 对于B，，的图象关于直线不对称，B错误； 对于C，由，得，函数在上递减，则在上递减，C正确； 对于D，由，得，D正确. 故选：AB 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知扇形的中心角为2，周长为4，则该扇形的面积为_____． 【答案】1 【分析】根据条件求出半径，再根据面积公式求解. 【详解】设扇形的中心角为，半径为， 则，得，故该扇形的面积为. 故答案为： 13．设，若对任意实数，都有，则满足条件的一组实数的值依次为__________. 【答案】2，3，（答案不唯一） 【分析】利用诱导公式，结合的取值范围和等式恒成立可得的一组值. 【详解】因为， 且当时，等式对任意实数都成立， 所以，，满足条件需求. 故满足条件的一组实数的值依次为：2，3，（答案不唯一）. 14．函数的部分图象如图所示，则_______. 【答案】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出解析式. 【详解】观察图象，得，，则，解得，而，解得， 函数的最小正周期为，且，即， 则，解得，由，得， 解得，因此，此时在的递减区间内，符合题意， 所以. 故答案为： 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，再根据余弦函数的单调性求解即可. （2）先配方，利用二次函数的性质，结合正弦函数的有界性求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又函数在区间上单调递增，在上单调递减， 且，，， 所以函数最小值为0，最大值为1；所以函数的值域为； （2）， 因为，所以当时，函数取最大值0； 当时，函数取得最小值-4， 所以函数的值域为． 16．已知函数，，的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦型函数图象观察可得，利用代入最高点可得，从而可得解析式； （2）利用正弦函数单调递增区间即可解得； （3）利用定义域可得正弦函数的值域，从而可得函数值域. 【详解】（1） 根据图象可得：，， 由，因为，所以解得， 此时，代入最高点可得; ，可得，， 又因为，所以， 即； （2）由，，解得，， 所以的递增区间为； （3）当时，，此时有， 即的值域为. 17．已知函数，其图象上相邻的一组最高点与最低点的距离为，且直线是图象的一条对称轴． (1)求，的值，并求出的对称中心； (2)求在上的单调递增区间． 【答案】(1)，，，． (2)和． 【分析】（1）根据正弦函数的性质求出函数的解析式，令，即可得出答案. （2）先求出的单调递增区间，再令和与取交集，即可得出答案. 【详解】（1）的周期． 最高点与最低点距离为． 解得或（舍）． 又是图象的一条对称轴， ，解得，， ，． ． 令，得，， 的对称中心为点，． （2）令，．得， 的单调递增区间为，． 当时，递增区间为 当时，递增区间为 在上的单调递增区间为和． 18．已知. (1)求函数的最小正周期和单调减区间； (2)若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】(1)函数的最小正周期为，单调减区间为（） (2) 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果； （2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果. 【详解】（1），所以函数的最小正周期为， 由，得：， 所以函数的单调减区间为（）. （2）由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为. 19．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【分析】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $