精品解析：福建省三明市尤溪县2024-2025学年下学期八年级期中质量监测 数学试题

尤溪县2024～2025学年第二学期八年级期中质量监测 数学 （满分：150分考试时间：120分钟） 座位号：__________姓名：__________ 温馨提示：答案务必填写在答题卡的相应位置，否则一律无效！ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 5. 已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 6. 将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（ ） A. B. C. D. 7. 以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，，则 B. 直角都相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则 8. 如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 9. 如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与17的和比的5倍小，用不等式表示为______． 12. 如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____． 13. 点A的位置如图所示，将点A竖直向下平移3个单位长度，到达点B，则点B的坐标为_________． 14. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 15. 若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 16. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化1，得第④步 （1）以上求解过程的第①步“去分母”的依据是__________，请指出错在第__________步；（填序号） （2）请写出正确的求解过程． 18. 解不等式组并写出它的正整数解． 19. 如图，，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）． （1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标； 21. 如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°． (1)求作线段BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(要求；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CD，求证：AC=CD． 22. 如图，在和中，有四个等式：①；②；③；④，以其中三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程. 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 23. 某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨． （1）分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力． （2）根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 24. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为 ； （2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②直接写出点C的坐标 ； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标． 25. 某数学兴趣小组进行了如下探究活动，请你与他们一起参与吧． （1）问题背景：如图1，在等腰直角中，点C是边上的中点，点D是上一点，连接并延长至点E，使得，连接，请证明：； （2）迁移应用：如图2，和均为等腰直角三角形，，，将绕点B旋转，连接，点E为中点，连接，请你判断与的数量关系以及位置关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，将（2）中等腰直角换成等腰直角，，将绕点O旋转，连接，点E为中点，连接，当点A、C、D三点共线时，若，，请你求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 尤溪县2024～2025学年第二学期八年级期中质量监测 数学 （满分：150分考试时间：120分钟） 座位号：__________姓名：__________ 温馨提示：答案务必填写在答题卡的相应位置，否则一律无效！ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：， ，，，，故A、C、D选项错误， B选项正确， 故选：B． 2. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义：如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 3. 如图，一棵树在一次强风中于离地面米处折断倒下，倒下部分与地面成角，这棵树在折断前的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，给图形标注上字母，由含角的直角三角形的性质得，即可解决问题．解题的关键是掌握：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：如图， 根据题意得：，米， ∵， ∴， ∴（米）， 即这棵树在折断前的高度是9米． 故选：B． 4. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 1，1， C. 6，8，11 D. 5，12，23 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，熟练掌握这个逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴1，1，能构成直角三角形，故本选项符合题意； C、∵， ∴6，8，11不能构成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵， ∴5，12，23不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知等腰三角形中的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 40° B. 100° C. 40°或100° D. 40°或80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分类计算即可； 【详解】∵已知三角形是等腰三角形， ∴当40°是底角时，顶角的度数为； 当40°是顶角时，符合题意； ∴顶角的度数是40°或100°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，准确计算是解题的关键． 6. 将不等式组的解集在数轴上表示出来，应是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式组的解集，再根据定边界，定方向，在数轴上画出不等式的解集即可． 【详解】解：解，得：， 在数轴上表示解集如图： 故选B． 7. 以下命题的逆命题中，属于真命题的是（ ） A. 如果，，则 B. 直角都相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逆命题，逆命题的真假识别，掌握逆命题把原命题的题设变为结论，把结论变为题设，逆命题的真假识别方法是解题关键． 首先明确各个命题的逆命题，再分别分析各逆命题的题设是否能推出结论得出答案． 【详解】解：A．逆命题为：如果，则，，反例，，，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； B．逆命题为：相等角是直角，反例，但不是直角，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； C．逆命题为：同位角相等，两直线平行，根据平行线判定定理知其是真命题，故该选项的逆命题是真命题，符合题意； D．逆命题为：，则，反例，故该选项的逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质结合点到直线垂线段最短，即可得出，此题得解． 【详解】首先过点作于B，由平分，，，根据角平分线的性质，即可求得的值，又由垂线段最短，可求得的最小值． 【解答】解：如图， 过点作于B， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值为3． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，根据角平分线的性质结合垂线段最短，求出的最小值是解题的关键． 9. 如图，一次函数（，为常数）与正比例函数（为常数）的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据两函数图象的交点即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的上方， 关于的不等式的解集是． 10. 如图，已知的两条角平分线，相交于点，是外角的平分线，的延长线与交于点，连接交于点，若，有下列结论： ①； ②； ③点到直线，直线，直线的距离相等； ④． 其中正确的结论个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】依次对每个结论进行分析判断，依据角平分线性质、三角形内角和定理、平行线性质等知识． 【详解】解：∵平分，平分， ∴ ∴，①正确． ∵、是角平分线， ∴， 在中， 又 ∴，②正确． ∵平分，平分，在延长线和上 ∴点到、的距离相等（角平分线性质），点到、的距离相等（角平分线性质） ∴点到直线，直线，直线的距离相等，③正确． ∵ ∴，又平分， ∴， 同理，，又平分， ∴， ∵，平分 ∴， 则，又 ∴，④正确． 综上，①②③④都正确，共个． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理、平行线的性质等知识，熟练掌握角平分线性质（角平分线上的点到角两边距离相等）以及三角形内角和与角平分线角度推导是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 与17的和比的5倍小，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．正确理解题意是解题关键．由题意知，不等式为，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，不等式为， 故答案为：． 12. 如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键． 根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有一条直角边是公共边，由此即可得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， 理由是：在和中， ， ∴； 故答案为：． 13. 点A的位置如图所示，将点A竖直向下平移3个单位长度，到达点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标平移变换，具体涉及竖直平移对坐标的影响（横坐标不变，纵坐标变化），解题的关键是掌握平移规律．根据平移规则，竖直向下平移时，横坐标保持不变，纵坐标减少相应单位，据此回答即可． 【详解】解：点竖直向下平移3个单位长度，横坐标不变，纵坐标减3，则点， 故答案为：． 14. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 【答案】4cm 【解析】 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6， ∵4+6>6， ∴能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm． 故答案为：4cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 15. 若不等式组的解集是，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），即可求解． 【详解】解：∵不等式组的解集是， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）是解题的关键． 16. 如图，在边长为4的等边中，射线于点，将沿射线平移，得到，连接、，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长到点，使得，连接，证明当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为，是等边三角形，，边长为4，则，，则，，由勾股定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，延长到点，使得，连接，     ∵沿射线平移，得到， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵是等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴当点A、G、在同一条直线上时，，此时取得最小值，即的最小值为， ∵是等边三角形，，边长为4， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、轴对称的性质、平移的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 下面是小明同学解不等式的过程： 去分母，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化1，得第④步 （1）以上求解过程的第①步“去分母”的依据是__________，请指出错在第__________步；（填序号） （2）请写出正确的求解过程． 【答案】（1）不等式的基本性质；①④； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． （1）根据解不等式的步骤进行判断即可； （2）根据解不等式的正确步骤解答即可． 【小问1详解】 解：第①步“去分母”的依据是不等式的基本性质，错在第①④步； 故答案为：不等式的基本性质；①④； 【小问2详解】 去分母，得第①步 移项，得第②步 合并同类项，得第③步 系数化1，得第④步 18. 解不等式组并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为1，2，3，4 【解析】 【分析】先求得不等式组的解集，根据解集确定正整数解即可． 本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得. 解不等式②，得. 故原不等式组的解集为. 故正整数解为1，2，3，4. 19. 如图，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先根据，证明，再证明，即可得出结论． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），B（0，－4），C（1，－1）． （1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的图形△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）将（1）中所得△A1B1C1先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标； 【答案】 （1）如图，是所求作的三角形， （2）如图，是所求作的三角形， 【解析】 【分析】（1）分别确定绕点O逆时针旋转90°后的对应点 再顺次连接，再根据的位置写出其坐标即可； （2）分别确定向左平移4个单位，再向上平移2个单位 再顺次连接再根据的位置写出其坐标即可. 【详解】解：（1） （2）， 【点睛】本题考查的是旋转的作图，平移的作图，坐标与图形，熟练的应用平移与旋转的性质进行作图是解本题的关键. 21. 如图，在△ABC中，∠A=80°，∠B=40°． (1)求作线段BC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(要求；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，连接CD，求证：AC=CD． 【答案】 (1)如图，直线DE为所求作的垂直平分线，点D，E就是所求作的点； (2)证明：连接CD. ∵DE垂直平分AB, ∴BD=CD， ∴∠1=∠B=40°. ∴∠2=∠B+∠1=80°， ∵∠A=80°, ∴∠2=∠A. ∴AC=CD. 【解析】 【详解】分析：（1）分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点画直线，交AB于点E，交BC于点D； （2）根据线段垂直平分线的性质得BD=CD，利用三角形的外角性质得∠2=80°，从而AC=DC，从而得出结论. 详解：（1）略 （2）略 点睛：此题主要考查了线段垂直平分线的作法和性质，以及三角形外角的性质，关键是正确掌握垂直平分线的作法，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 22. 如图，在和中，有四个等式：①；②；③；④，以其中三个条件为已知，填入已知栏中，一个为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程. 已知：__________________ 求证：__________________ 证明： 【答案】 解：如果，，，那么． 已知：在和中，，，， 求证：． 证明：，，， ， ， ． 【解析】 【分析】通过证明，然后利用全等三角形的性质解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 23. 某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨． （1）分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力． （2）根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨 （2）购买A型设备3台，B型设备5台 【解析】 【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买A型设备m台，根据题意得到关于m的不等式组，可得，再求出购买费用为元，即可求解． 【小问1详解】 解：设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意得： ， 解得：， 答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨； 【小问2详解】 解：设购买A型设备m台，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴m取3，4，5， 购买费用为元， 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴最省钱的购买方案为购买A型设备3台，B型设备5台． 24. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为 ； （2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； ②直接写出点C的坐标 ； （3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标． 【答案】（1）；（2）①，，②；（3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键． （1）作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证，，，因此； （2）①一次函数，分别令，，即可得点A，点B的坐标； ②过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解决问题； （3）过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标． 【详解】解：（1）如图1，作轴于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． （2）①令，则 ∴， 令，则，解得：， ∴， 故答案为：，； ②如图2，由（1）知，，， ∴，， 过点C作轴于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （3）如图3，过点B作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 某数学兴趣小组进行了如下探究活动，请你与他们一起参与吧． （1）问题背景：如图1，在等腰直角中，点C是边上的中点，点D是上一点，连接并延长至点E，使得，连接，请证明：； （2）迁移应用：如图2，和均为等腰直角三角形，，，将绕点B旋转，连接，点E为中点，连接，请你判断与的数量关系以及位置关系，并证明． （3）拓展延伸：如图3，将（2）中等腰直角换成等腰直角，，将绕点O旋转，连接，点E为中点，连接，当点A、C、D三点共线时，若，，请你求出线段的长． 【答案】（1）证明：∵点C是边上的中点， ∴， 又∵，， ∴在与中， ， ∴． （2） 与的数量关系是，位置关系是． 下面是证明过程： 延长至G，使得，连接， ∵点E为中点，即， ∴在与中， ， ∴． ∴， ∵， 即，， 即，， 即，， 即， 则，又，即， ∴在与中， ， ∴， 则，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵E是的中点，则也是等腰直角三角形， ∴与的数量关系是，位置关系是． （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、旋转性质、勾股定理等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． （1）根据全等三角形的判定“”证明结论即可； （2）延长至G，使得，连接，证明得到，根据等腰直角三角形的性质和三角形的内角和定理进行角度的运算推导出，进而证明得到，则是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得结论； （3）分两种情况，仿照（2）中方法，分别画出图形，延长至G，使得，连接，过O作于H，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，结合勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：情况一：延长至G，使得，连接， ∵点E为中点，即， 在与中， ， ∴． 则，， ∴， 又， ∴， 即， 则在与中， ， ∴，则， 过O作于H， ∵在等腰直角中，，， ∴， 则， 则 ，即； 情况二：与情况一类似，，， ，即， 综上可知，的长为或． 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