实战模拟卷十二-【创新教程】2024-2025学年高二下学期数学期末实战模拟卷

高二下学期期末实战模拟卷十二　 　　　　 (命题范围:综合素养卷)　 测试时间:１２０分钟,满分:１５０分 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．已知集合A＝{x|x＞１},B＝{y|y＝２０２５－x},则∁R(A∩B)＝ (　　) A．[－１,１] B．(－∞,１] C．[－１,＋∞) D．(１,＋∞) ２．已知i是虚数单位,复数z满足(１＋i)z＋１－i１＋i＝３＋i ,则z的虚部是 (　　) A．１２ B． １ ２i C．－ １ ２ D．－ １ ２i ３．在等比数列{an}中,已知a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝４８,a１a２a３a４a５＝３２,则 １ a１ ＋１a２ ＋１a３ ＋１a４ ＋ １ a５ ＝ (　　) A．１２ B．１６ C．２４ D．３６ ４．已知a＝０．９５０．９５,b＝１．０５０．９５,c＝log１．９５０．９５,则a,b,c的大小关系为 (　　) A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c ５．中国古代哲学用五行“金、木、水、火、土”来解释世间万物的形成 和联系,如图,现用３ 种 不 同 的 颜 色 给 五“行”涂 色,要 求 相 邻 的 两“行”不能同色,则不同的涂色方法种数有 (　　) A．２４ B．３６ C．３０ D．２０ ６．已知函数f(x)＝ax|x|的图象经过点(２,８),则关于x的不等式９f(x)＋f(４－x２)＜０的 解集为 (　　 ) A．(－∞,－４)∪(１,＋∞) B．(－４,１) C．(－∞,－１)∪(４,＋∞) D．(－１,４) ７．“学如逆水行舟,不进则退;心似平原跑马,易放难收”(明􀅰«增广贤文»)是勉励人们专心 学习的,如果每天的“进步”率都是１％,那么一年后是(１＋１％)３６５＝１．０１３６５;如果每天的 “退步”率都是１％,那么一年后是(１－１％)３６５＝０．９９３６５,一年后“进步”的是“退步”的 １．０１３６５ ０．９９３６５ ＝ １．０１０．９９ æ è ç ö ø ÷ ３６５ ≈１４８１倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是２０％,则要使“进步”的 是“退步”的１００倍以上,最少要经过(参考数据:lg２≈０．３０１,lg３≈０．４７７) (　　) A．１０天 B．１１天 C．１２天 D．１３天 ８．已知函数f(x)＝xex,g(x)＝xlnx,若f(m)＝g(n)＝t(t＞０),则mn􀅰lnt的取值范围为 (　　) A．－∞,１e æ è ç ö ø ÷ B．１e２ ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ C．１e ,＋∞ æ è ç ö ø ÷ D．－１e ,＋∞é ë êê ö ø ÷ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知直线l:kx－y－k＝０与圆 M:x２＋y２－４x－２y＋１＝０,则下列说法正确的是 (　　) A．直线l恒过定点(１,０) B．圆 M 的圆心坐标为(２,１) C．存在实数k,使得直线l与圆M 相切 D．若k＝１,直线l被圆M 截得的弦长为２ １Ｇ２１ １０．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)其中A,ω,φ是常数,A＞０,ω＞０,－ π ２＜φ＜ π ２ æ è ç ö ø ÷的部 分图象如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A．f(x)的值域为[－ ２,２] B．f(x)的最小正周期为π C．φ＝ π ６ D．将函数f(x)的图象向左平移π６ 个单位,得到函数g(x)＝ ２cos２x的图象 １１．下列说法正确的是 (　　) A．数据１、２、３、４、５、６、８、９的第２５百分位数是２ B．“事件A、B 对立”是“事件A、B 互斥”的充分不必要条件 C．若随机变量X 服从正态分布N(３,σ２),且P(X≤４)＝０．７,则P(３＜X＜４)＝０．２ D．若随机变量η、X 满足η＝３X－２,则D(η)＝３D(X)－２ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．围棋起源于中国,据先秦典籍«世本»记载:“尧造围棋,丹朱善之”,围棋至今已有四千多 年历史,蕴含着中华文化的丰富内涵．在某次国际比赛中,中国派出包含甲、乙在内的５ 位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有３位,另外一个小组有２位,则甲 和乙不在同一个小组的概率为　　　　． １３．写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝　　　　　． ①f(x＋４)＝f(x);②∀x１,x２∈[０,１], f(x１)－f(x２) x１－x２ ＜０;③f(x)是奇函数． １４．已知正三棱柱ABCＧA１B１C１ 的六个顶点都在球O 的表面上,若这个三棱柱的体积为 ９ ３,AB＝３,则AA１＝　　　　　,球O的表面积为　　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acosB＝(２c－b)cosA． (１)求角A 的大小; (２)若a＝ ７,△ABC的面积S＝３ ３２ ,求△ABC的周长． ２Ｇ２１ １６．(１５分)甲、乙两人进行猜灯谜游戏,每次猜同一个灯谜,若一人猜对另一人猜错,则猜对 的人得１分,猜错的人得－１分,若两人都猜对或都猜错,则为平局,两人均记０分,已知 游戏中,每次甲猜对的概率都为３ ４ ,每次乙猜对的概率都为２ ３ ,且甲、乙猜对与否互不影 响,每次猜灯谜的结果也互不影响． (１)求在１次游戏中,甲的得分ξ的分布列和期望; (２)求在３次游戏中至少有一局为乙赢的条件下甲得分之和为正的概率． １７．(１５ 分)如图,在四棱锥 P－ABCD 中,底 面 ABCD 为 正 方 形, △PBD 为等边三角形,E 为PC 的中点,平面EBD⊥底面ABCD． (１)求证:PA⊥底面ABCD; (２)求二面角A－DE－B 的余弦值． ３Ｇ２１ １８．(１７分)已知双曲线E:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)过点P(２,２),且P 与E 的两个顶点连线 的斜率之和为４． (１)求E 的方程; (２)过点 M(１,０)的直线l与双曲线E 交于A,B 两点(异于点P)．设直线BC 与x 轴垂 直且交直线AP 于点C,若线段BC的中点为N,证明:直线 MN 的斜率为定值,并求该 定值． １９．(１７分)已知函数f(x)＝ln(ax)－１３x ３(a≠０)． (１)当a＝２时,求曲线y＝f(x)在点 １２ ,f １２ æ è ç ö ø ÷ æ è ç ö ø ÷处的切线方程; (２)讨论函数f(x)的单调性; (３)当a＝１时,设g(x)＝f(x)＋t,若g(x)有两个不同的零点,求参数t的取值范围． ４Ｇ２１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高二下学期期末实战模拟卷十二 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)二十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)二十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)二十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)二十(卡题答学数 高二下学期期末实战模拟卷十二 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B C A B C C C D AB AB BC １．B　[由题意B＝{y|y＝２０２５－x}＝{y|y＞０}, ∴A∩B＝(１,＋∞),故∁R(A∩B)＝(－∞,１]．] ２．C　[因为(１＋i)z＋１－i１＋i＝３＋i ,可得(１＋i)z－i＝３＋ i,即(１＋i)z＝３＋２i,则z＝３＋２i１＋i＝ (３＋２i)(１－i) (１＋i)(１－i)＝ ５ ２ －１２i ,所以z的虚部为－１２． ] ３．A　[在等比数列{an}中,a１a２a３a４a５＝a５３＝３２,解得 a３＝２, 所以,a１a５＝a２a４＝a２３＝４, 所以,１ a１ ＋１a２ ＋１a３ ＋１a４ ＋１a５ ＝ a１＋a５ a１a５ ＋ a２＋a４ a２a４ ＋ a３ a２３ ＝ a１＋a２＋a３＋a４＋a５ a２３ ＝４８４＝１２． ] ４．B　[根据幂函数y＝x０．９５在(０,＋∞)上为增函数,可 得０＜０．９５０．９５＜１．０５０．９５,即０＜a＜b, 又c＝log１．９５０．９５＜log１．９５１＝０,所以c＜a＜b．] ５．C　[设３种不同的颜色为a、b、c, 对于“火、土”两个位置有３×２＝６种不同的涂色方 法,不妨设“火、土”两个位置分别为a、b, １．若“金”位涂色为a,则有: ①若“水”位涂色为b,则“木”位涂色为c,共１种不同 的涂色方法; ②若“水”位涂色为c,则“木”位涂色为b,共１种不同 的涂色方法; 共２种涂色可能; ２．若“金”位涂色为c,则有: ①若“水”位涂色为a,则“木”位涂色为b或c,共２种 不同的涂色方法; ②若“水”位涂色为b,则“木”位涂色为c,共１种不同 的涂色方法; 共３种涂色可能; 综上所述,共６×(２＋３)＝３０种不同的涂色方法．] ６．C　[由题意知f(２)＝４a＝８,解得a＝２,所以f(x)＝ ２x|x|,其在R上单调递增, 又因为f(－x)＝－２x|－x|＝－２x|x|＝－f(x),所 以函数f(x)为奇函数,９f(x)＝f(３x), 所以不等式９f(x)＋f(４－x２)＜０可化为f(３x)＜－ f(４－x２)＝f(x２－４), 于是３x＜x２－４,即x２－３x－４＞０,解得x＞４或x＜ －１．] ７．C　[设经过x 天后,“进步”的是“退步”的１００倍以 上,则１００×(１－０．２)x≤１．２x,即 １．２０．８( ) x ≥１００,∴x ≥log１．２０．８１００＝ lg１００ lg１．２０．８ ＝ ２lg３－lg２≈ ２ ０．１７６≈１１．３６ (天)． 故最少要经过１２天．] ８．D　[由于f(m)＝g(n)＝t(t＞０), 即mem＝nlnn＝t＞０,所以m＞０,n＞１, 当x＞０时,f′(x)＝(x＋１)􀅰ex＞０,f(x)递增, 所以f(m)＝t有唯一解． 当x＞１时,g′(x)＝１＋lnx＞０,g(x)递增, 所以g(n)＝t有唯一解． 由mem＝nlnn得m􀅰em＝elnn􀅰lnn⇒m＝lnn, 所以mn􀅰lnt＝(nlnn)􀅰(lnt)＝tlnt． 令h(t)＝tlnt,h′(t)＝１＋lnt, 所以h(t)在区间 ０,１e( ) 上,h′(t)＜０,h(t)递减;在区 间 １ e ,＋∞( ) 上,h′(t)＞０,h(t)递增． 所以h(t)≥h １e( )＝－ １ e , 所以mn􀅰lnt的取值范围为 －１e ,＋∞[ )．] ９．AB　[l:kx－y－k＝０变形为y＝k(x－１),故直线l 恒过定点(１,０),A正确; M:x２＋y２－４x－２y＋１＝０变形为(x－２)２＋(y－１)２ ＝４,圆心坐标为(２,１),B正确; 令圆 心 (２,１)到 直 线 l:kx－y－k＝０ 的 距 离 |２k－１－k| １＋k２ ＝２, 整理得:３k２＋２k＋３＝０,由Δ＝４－３６＝－３２＜０可 得,方程无解, 故不存在实数k,使得直线l与圆M 相切,C错误; 若k＝１,直线方程为l:x－y－１＝０,圆心(２,１)在直线 l:x－y－１＝０上, 故直线l被圆M 截得的弦长为直径４,D错误．] １０．AB　[对A:由题图可知:A＝２,即f(x)＝２sin(ωx＋φ), ∵sin(ωx＋φ)∈[－１,１],则f(x)＝ ２sin(ωx＋φ)∈ [－ ２,２], 故f(x)的值域为[－ ２,２],A正确; 对B:由题图可得:T４＝ ７π １２－ π ３＝ π ４ ,则T＝π, B正确; 对C:∵T＝２π|ω|＝π ,且ω＞０,可得ω＝２, ∴f(x)＝ ２sin(２x＋φ), 由题图可得:f(x)的图象过点 ７π１２ ,－ ２( ), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３􀅰 即 ２sin ２×７π１２＋φ( )＝－ ２,则sin ７π ６＋φ( )＝－１, 且－π２＜φ＜ π ２ ,可得２π ３＜ ７π ６＋φ＜ ５π ３ , 可得７π ６＋φ＝ ３π ２ ,则φ＝ π ３ ,C错误; 对 D:可得:f(x)＝ ２sin ２x＋π３( ), 将函数f(x)的图象向左平移π６ 个单位,得到g(x)＝ f x＋π６( )＝ ２sin ２x＋ π ６( )＋ π ３[ ]＝ ２sin ２x＋π６( )＋ π ２[ ]＝ ２cos２x＋ π ６( ), D错误．] １１．BC　[对于 A 选项,数据１、２、３、４、５、６、８、９共８个 数,且８×０．２５＝２,所以,数据１、２、３、４、５、６、８、９的 第２５百分位数是２＋３２ ＝２．５ ,A 错误;对于 B选项, 若事件A、B 对立,则事件A、B 一定互斥,反之,若事 件A、B 互斥,则事件A、B 不一定对立,即“事件A、B 对立”可推出“事件A、B 互斥”,且“事件A、B 互斥” 推不出“事件A、B 对立”,所以,“事件A、B 对立”是 “事件A、B 互斥”的充分不必要条件,B正确;对于 C 选项,若随机变量X 服从正态分布N(３,σ２),且P(X ≤４)＝０．７, 则P(３＜X＜４)＝P(X＜４)－P(X≤３)＝０．７－０．５ ＝０．２,C正确;对于 D选项,若随机变量η、X 满足η ＝３X－２,则D(η)＝D(３X－２)＝９D(X),D错误．] １２．解析:５人分成２个小组,一组３位,一组２位,共有 C２５＝１０种方法, 甲和乙不在同一个小组,则甲所在组有２人或３人, 则有C１３＋C２３＝６种方法, 所以甲和乙不在同一个小组的概率P＝６１０＝ ３ ５． 答案:３ ５ １３．解析:由题设性质知:f(x)在[０,１]上递减,周期为４ 的奇函数, 显然f(x)＝－sin πx２( ) 满足上述性质．(答案不唯一) 答案:－sin πx２( )(答案不唯一) １４．解析:由题意设高AA１＝b,由 题意V＝S􀅰b＝ ３４ 􀅰３２􀅰b＝ ９ ３,解得:b＝４; 外接球的球心为过 底 面 外 接 圆的圆心做底面的 垂 线 与 中 截面的交点, 设外接球的半径为 R,底面半径为r,则 R２＝r２＋ b ２( ) ２ ,因为底面为等边三角形, 所以２r＝ ３ sinπ３ ,即r＝ ３,所以R２＝３＋４＝７,所以 球O 的表面积为４π􀅰７＝２８π． 答案:４　２８π １５．解:(１)由正弦定理及acosB＝(２c－b)cosA, 得sinAcosB＝(２sinC－sinB)cosA, 即sinAcosB＋sinBcosA＝２sinCcosA, 所以sin(A＋B)＝sinC＝２sinCcosA, 因为sinC≠０,所以cosA＝１２ , 因为A∈(０,π),所以A＝π３． (２)由题意得 １ ２bcsinA＝ ３ ３ ２ a２＝b２＋c２－２bccosA { , 所以 bc＝６ b２＋c２＝１３{ , 所以(b＋c)２＝b２＋c２＋２bc＝２５,所以b＋c＝５, 所以a＋b＋c＝５＋ ７, 故△ABC的周长为５＋ ７． １６．解:(１)依题意,ξ可能的取值为１,０,－１, P(ξ＝１)＝ ３ ４× １－ ２ ３( )＝ １ ４ ,P(ξ＝０)＝ ３ ４× ２ ３＋ １－３４( )× １－ ２ ３( ) ＝ ７ １２ ,P(ξ＝－１)＝ １－ ３ ４( ) × ２ ３＝ １ ６ , 所以ξ的分布列为: ξ １ ０ －１ P １４ ７ １２ １ ６ 期望E(ξ)＝１× １ ４＋０× ７ １２＋ (－１)×１６＝ １ １２． (２)设事件A:至少有一局为乙赢,事件B:甲的得分 之和为正, 由(１)知,一局为乙赢的概率p＝１６ ,则P(A)＝１－ (１－p)３＝１－１２５２１６＝ ９１ ２１６ ,一局为甲赢的概率为１ ４ , 甲的得分之和为正的事件有４种情况:甲三局都赢; 甲赢两 局 平 一 局;甲 赢 两 局 输 一 局;甲 赢 一 局 平 两局, 事件A,B 同时发生,即甲赢两局输一局的事件发生, 因此P(AB)＝C２３× １ ４( ) ２ ×１６＝ １ ３２ , 所以P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １ ３２ ９１ ２１６ ＝２７３６４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１３􀅰 １７．解:(１)如图,连接AC交BD 于点 O,则点 O 为AC,BD 的中点,连接PO,EO． 因为△PBD 为等边三角形, 所以PO⊥BD, 因为底面ABCD 为正方形, 所以AC⊥BD 因为AC∩PO＝O,AC,PO ⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC, 又OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE, 因为平 面 EBD⊥ 底 面 ABCD,平 面 EBD∩ 底 面 ABCD＝BD,OE⊂平面EBD, 所以OE⊥底面ABCD, 又E 为PC 的中点,所以PA∥OE,所以PA⊥底面 ABCD． (２)如图,以A 为坐标原 点,分别 以 AB,AD,AP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 A－xyz,连接AC, 设 AB＝２a(a＞０),则 AD＝２a, 因 为 BD ＝ PD, 即 AD２＋AB２ ＝ AD２＋PA２, 所以PA＝２a, 所以A(０,０,０),C(２a,２a,０),D(０,２a,０),P(０,０, ２a),E(a,a,a), 则AD→＝(０,２a,０),AE→＝(a,a,a),AC→＝(２a,２a,０)． 易知AC⊥BD,因为平面EBD⊥底面 ABCD,平面 EBD∩底面ABCD＝BD,AC⊂底面ABCD, 所以AC⊥平面EBD,所以平面EBD 的一个法向量 为AC→＝(２a,２a,０)． 设 平 面 AED 的 法 向 量 为 n ＝ (x,y,z),则 AD→􀅰n＝０ AE→􀅰n＝０{ ,即 ２ay＝０ ax＋ay＋az＝０{ , 故y＝０,令x＝１,则z＝－１,所以n＝(１,０,－１), 所以cos‹AC→,n›＝ AC →􀅰n |AC→||n|＝ １ ２ , 由图可知二面角A－ED－B 为锐二面角,所以二面 角A－ED－B 的余弦值为１２． １８．解:(１)双曲线的两顶 点 为(±a,０),所 以, ２２＋a＋ ２ ２－a＝ ８ ４－a２ ＝４,即a２＝２, 将P(２,２)代入E 的方程可得,b２＝４,故E 的方程为 x２ ２－ y２ ４＝１． (２)依题意,可设直线l:y＝k(x－１)(k≠２),A(x１, y１),B(x２,y２)． y＝k(x－１)与x ２ ２－ y２ ４＝１ 联立,整理得(k２－２)x２－ ２k２x＋k２＋４＝０, 所以k２≠２,Δ＝(２k２)２－４(k２－２)(k２＋４)＞０,解 得,k２＜４且k２≠２, x１＋x２＝ ２k２ k２－２ ,x１x２＝ k２＋４ k２－２ ,所以３(x１＋x２)－ ２x１x２＝４．(∗) 又AP:y＝ y１－２ x１－２ (x－２)＋２,所 以 C 的 坐 标 为 x２, y１－２ x１－２ (x２－２)＋２ æ è ç ö ø ÷, 由 y１ ＝k(x１ －１)可 得, y１－２ x１－２ (x２ －２)＋２ ＝ k(x１－１)(x２－２)＋２(x１－x２) x１－２ , 从而可得N 的纵坐标yN＝ １ ２ k(x１－１)(x２－２)＋２(x１－x２) x１－２ ＋k(x２－１)[ ]＝ k[２x１x２－３(x１＋x２)＋４]＋２(x１－x２) ２(x１－２) , 将 (∗ )式 代 入 上 式,得 yN ＝ x１－x２ x１－２ ,即 N x２, x１－x２ x１－２ æ è ç ö ø ÷． 所以,kMN＝ x１－x２ (x１－２)(x２－１) ＝ x１－x２ x１x２－２x２－x１＋２ , 将(∗)式代入上式,得kMN ＝ ２(x１－x２) ３(x１＋x２)－４x２－２x１ ＝２． １９．解:(１)由题设f(x)＝ln(２x)－１３x ３,则f′(x)＝１x －x２,故f １２( )＝－ １ ２４ ,f′ １２( )＝ ７ ４ , 所以在点 １ ２ ,f １２( )( ) 处的切线方程为y＋ １ ２４＝ ７ ４ x－１２( ),即２１x－１２y－１１＝０． (２)由f′(x)＝１x－x ２＝１－x ３ x , 当a＜０,定义域为x∈(－∞,０),此时１－x３＞０,故 f′(x)＜０,即f(x)在(－∞,０)上递减; 当a＞０,定义域为x∈(０,＋∞), 若x∈(０,１),则f′(x)＞０,f(x)在(０,１)上递增; 若x∈(１,＋∞),则f′(x)＜０,f(x)在(１,＋∞)上 递减; (３)由题设,f(x)＝lnx－１３x ３,故g(x)＝lnx－１３x ３＋ t在∈(０,＋∞)上有两个不同零点, 所以t＝１３x ３－lnx在x∈(０,＋∞)上有两个不同根, 令h(x)＝１３x ３－lnx,则h′(x)＝x ３－１ x , 当x∈(０,１)时,h′(x)＜０,h(x)在(０,１)上递减, 当x∈(１,＋∞)时,h′(x)＞０,h(x)在(１,＋∞)上递 增,且h(１)＝１３ , x趋向于０或＋∞时h(x)都趋向于＋∞,故只需t＞ １ ３ ,满足题设． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２３􀅰