实战模拟卷十一-【创新教程】2024-2025学年高二下学期数学期末实战模拟卷

高二下学期期末实战模拟卷十一　 (命题范围:选择性必修第三册＋必修第一册)　　 测试时间:１２０分钟,满分:１５０分 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．设集合 M＝{x|x≤１,或x≥３},N＝{x|log２x≤１},则集合 M∩N＝ (　　) A．(－∞,１]　　　　　　B．(０,１]　　　　　　C．[１,２]　　　　　　D．(－∞,０] ２．已知f(x)＝sinxcosx,则f(x)的最小值与最小正周期分别是 (　　) A．－１２ ,π B．－１２ ,２π C．－２,π D．－２,２π ３．甲、乙两所学校有同样多的学生参加数学能力测验,两所学校学生测验的成绩分布都接 近于正态分布,其中甲校学生的平均分数为１０５分,标准差为１０分;乙校学生的平均分 数为１１５分,标准差为５分．若用粗线表示甲校学生成绩分布曲线,细线表示乙校学生成 绩分布曲线,则下列哪一组分布曲线较为合理? (　　) ４．已知函数f(x)＝２sinωx＋π３ æ è ç ö ø ÷(ω＞０),π３ 是f(x)的一个极值点,则ω的最小值为 (　　) A．１２ B．１ C．２ D． ７ ２ ５．函数y＝sinxln(ex＋e－x)在区间[－π,π]上的图象大致为 (　　) ６．已知某地市场上供应的一种电子产品中,甲厂产品占８０％,乙厂产品占２０％,甲厂产品 的合格率是７５％,乙厂产品的合格率是８０％,则从该地市场上买到一个合格产品的概 率是 (　　) A．０􀆰７５ B．０􀆰８ C．０􀆰７６ D．０􀆰９５ ７．已知定义在R上的函数f(x)满足f(２＋x)＋f(２－x)＝０,f(x＋１)为偶函数且f(１)＝１,则 f(２０２５)＝ (　　) A．－１ B．０ C．１ D．２ ８．若x０ 是方程f(g(x))＝g(f(x))的实数解,则称x０ 是函数y＝f(x)与y＝g(x)的“复合 稳定点”．若函数f(x)＝ax(a＞０且a≠１)与g(x)＝２x－２有且仅有两个不同的“复合稳 定点”,则a的取值范围为 (　　) A．０,２２ æ è ç ö ø ÷ B． ２ ２ ,１ æ è ç ö ø ÷ C．(１,２) D．(２,＋∞) １Ｇ１１ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．一个袋中有大小、形状完全相同的３个小球,颜色分别为红、黄、蓝,从袋中先后无放回地 取出２个球,记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则 (　　) A．P(A)＝１３　　　　　　　　　　　　　　B．A ,B 为互斥事件 C．P(B|A)＝１２ D．A ,B 相互独立 １０．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若f(x)满足f(２＋x)＋f(２－x)＝０,且f(x)在 (－２,０)上单调递增,则以下说法一定正确的是 (　　) A．f(２)＝２ B．f(x)为周期函数 C．f(２０２６)＝０ D．f(x)在(１０,１２)上单调递增 １１．设函数f(x)＝ ３sin２x－cos２x,则下列结论正确的是 (　　) A．f(x)的一个周期为－π B．y＝f(x)的图象关于直线x＝－π６ 对称 C．y＝f(x)的图象关于点 π１２ ,０ æ è ç ö ø ÷对称 D．y＝f(x)在[０,２π]有３个零点 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．请写出一个同时满足以下三个条件的函数:f(x)　　　　 　． (１)f(x)是偶函数;(２)f(x)在[０,＋∞)上单调递增;(３)f(x)的最小值是２． １３．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X 为 该群体的１０位成员中使用移动支付的人数,D(X)＝２．４,P(X＝４)＜P(X＝６),则p＝ 　　　　． １４．已知函数f(x)＝ ax－x２,x≥０ －２x,x＜０{ ,①若对任意x１,x２∈R,且x１≠x２ 都有 f(x２)－f(x１) x２－x１ ＜０,则实数a的取值范围为　　　　　;②若f(x)在[－１,t)上的值域为[０,４],则实数 t的取值范围为　　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)(１)化简: tan(π－α)cos(２π－α)sin π２＋α æ è ç ö ø ÷ cos(－α－π)sin(－α) ; (２)已知π２＜β＜α＜ ３π ４ ,cos(α－β)＝ １２ １３ ,sin(α＋β)＝－ ３ ５ ,求sin２α的值． ２Ｇ１１ １６．(１５分)为了庆祝党的二十大顺利召开,某学校特举办主题为“重温光辉历史 展现坚定 信心”的百科知识小测试比赛．比赛分抢答和必答两个环节,两个环节均设置１０道题, 其中５道人文历史题和５道地理环境题． (１)在抢答环节,某代表队非常积极,抢到４次答题机会,求该代表队至少抢到１道地理 环境题的概率; (２)在必答环节,每个班级从５道人文历史题和５道地理环境题各选２题,各题答对与否 相互独立,每个代表队可以先选择人文历史题,也可以先选择地理环境题开始答题．若 中间有一题答错就退出必答环节,仅当第一类问题中２题均答对,才有资格开始第二类 问题答题．已知答对１道人文历史题得２分,答对１道地理环境题得３分．假设某代表队 答对人文历史题的概率都是３ ５ ,答对地理环境题的概率都是１ ３． 请你为该代表队作出答 题顺序的选择,使其得分期望值更大,并说明理由． １７．(１５分)某学校号召学生参加“每天锻炼１小时”活动,为了了解学生参与活动的情况,随 机调查了１００名学生一个月(３０天)完成锻炼活动的天数,制成如下频数分布表: 天数 [０,５] (５,１０] (１０,１５](１５,２０](２０,２５](２５,３０] 人数 ４ １５ ３３ ３１ １１ ６ (１)由频数分布表可以认为,学生参加体育锻炼天数X 近似服从正态分布N(μ,σ ２),其 中μ近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值),且σ＝６．１,若全校有３０００名学 生,求参加“每天锻炼１小时”活动超过２１天的人数(精确到１); (２)调查数据表明,参加“每天锻炼１小时”活动的天数在(１５,３０]的学生中有３０名男 生,天数在[０,１５]的学生中有２０名男生,学校对当月参加“每天锻炼１小时”活动超过 １５天的学生授予“运动达人”称号．请填写下面列联表: 性别 活动天数 [０,１５] (１５,３０] 合计 男生 女生 合计 并依据小概率值α＝０．０５的独立性检验,能否认为学生性别与获得“运动达人”称号有 关联．如果结论是有关联,请解释它们之间如何相互影响． ３Ｇ１１ 附:参考数据:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝０．６８２７;P(μ－２σ≤X≤μ＋２σ)＝０．９５４５;P(μ－３σ ≤X≤μ＋３σ)＝０．９９７３．χ ２＝ n (ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) (n＝a＋b＋c＋d) α ０􀆰１ ０􀆰０５ ０􀆰０１ ０􀆰００５ ０􀆰００１ xα ２􀆰７０６ ３􀆰８４１ ６􀆰６３５ ７􀆰８７９ １０􀆰８２８ １８．(１７分)已知函数f(x)＝２sin２ωx＋π６ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)． (１)若点 ５π８ ,０ æ è ç ö ø ÷ 是函数f(x)图象的一个对称中心,且ω∈(０,１),求函数f(x)在 ０,３π４ é ë êê ù û úú上的值域; (２)若函数f(x)在 π３ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷上单调递增,求实数ω的取值范围． １９．(１７分)若存在实数对(a,b),使等式f(x)􀅰f(２a－x)＝b对定义域中每一个实数x 都 成立,则称函数f(x)为(a,b)型函数． (１)若函数f(x)＝２x 是(a,１)型函数,求a的值; (２)若函数g(x)＝e １ x 是(a,b)型函数,求a和b的值; (３)已知函数h(x)定义在[－２,４]上,h(x)恒大于０,且为(１,４)型函数,当x∈(１,４]时, h(x)＝－(log２x)２＋m􀅰log２x＋２．若h(x)≥１在[－２,４]恒成立,求实数 m 的取值 范围． ４Ｇ１１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高二下学期期末实战模拟卷十一 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)一十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)一十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)一十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)一十(卡题答学数 ②若a＞４,故h(x)＝(x－a)２ 在 ４３ ,４[ ] 上 单 调 递减, 从而h ４３( )􀅰h(４)＝１,解得a＝１(舍)或a＝ １３ ３ , 从而存在x∈ ４３ ,４[ ]．使得对任意的t∈R,有不等式 x－１３３( ) ２ ≥－t２＋(s－t)x＋４都成立, 即t２＋xt＋x２－ s＋２６３( )x＋ １３３ ９ ≥０ 恒成立, 由 Δ ＝x２ －４ x２－ s＋２６３( )x＋ １３３ ９[ ] ≤０,得 ４ s＋２６３( )x≤３x ２＋５３２９ ． 由x∈ ４３ ,４[ ],可得４s＋２６３( )≤３x＋ ５３２ ９x , 又y＝３x＋５３２９x 在x∈ ４３ ,４[ ] 上单调递减,故当x＝ ４ ３ 时,３x＋５３２９x( )max＝ １４５ ３ , 从而４s＋２６３( )≤ １４５ ３ ,解得s≤４１１２ , 综上,故实数s的最大值为４１１２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高二下学期期末实战模拟卷十一 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B A A A A C C D AC BC ABC １．B　[由题知,N＝{x|log２x≤１}＝{x|０＜x≤２}, 又 M＝{x|x≤１,或x≥３}, 则 M∩N＝{x|０＜x≤１},即x∈(０,１]．] ２．A　 [∵f(x)＝sinxcosx＝ １２sin２x ,∴f(x)min＝ －１２ ,最小正周期T＝２π２＝π． ] ３．A　[依题意,由于甲校的学生成绩平均分低于乙校的 学生成绩平均分,所以甲校的学生成绩正态曲线的对 称轴比乙校的学生成绩的正态曲线的对称轴靠左;由 于甲校的学生成绩的标准差大于乙校的学生成绩的 标准差,所以甲校的学生成绩的正态曲线要“矮胖” 些,乙校的学生成绩的正态曲线要“瘦高”些．] ４．A　[由π３ 是f(x)的一个极值点,结合正弦函数图象 的性质可知,x＝π３ 是f(x)的一条对称轴,即π３ω＋ π ３ ＝kπ＋π２ ,k∈Z,求得ω＝３k＋１２ , ∵ω＞０,∴当k＝０时,ω的最小值为１２． ] ５．A　[对于函数f(x)＝sinxln(ex＋e－x), ∵f(x)＋f(－x)＝sinxln(ex＋e－x)＋sin(－x)ln(ex ＋e－x)＝sinxln(ex＋e－x)－sinxln(ex＋e－x)＝０, 故f(x)为奇函数,图象关于原点对称,B、D错误; 又∵f π２( ) ＝sin π ２ln e π ２ ＋e－ π ２( ) ＝ln e π ２ ＋e－ π ２( ), 且e π ２ ＞e,e－ π ２ ＞０, 故f π２( )＝ln e π ２ ＋e－ π ２( )＞ln(e＋０)＝１,C错误．] ６．C　[设买到的灯泡是甲厂产品为事件A,买到的灯泡 是乙厂产品为事件B, 则P(A)＝０．８,P(B)＝０．２, 记事件C:从该地市场上买到一个合格灯泡,则P(C| A)＝０．７５,P(C|B)＝０．８, 所以P(C)＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P (B)P(C|B)＝０．８×０．７５＋０．２×０．８＝０．７６．] ７．C　[因为f(x＋１)为偶函数,所以f(１＋x)＝f(１－x), 所以f(x)＝f(２－x)． 又f(２＋x)＋f(２－x)＝０,所以f(x＋２)＝－f(x), 所以f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),所以函数f(x)的 一个周期为４, 所以f(２０２５)＝f(５０６×４＋１)＝f(１)＝１．] ８．D　[∵f(x)＝ax(a＞０且a≠１)与g(x)＝２x－２有 且仅有两个不同的“复合稳定点”, ∴a２x－２＝２ax－２,即(ax)２－２a２ax＋２a２＝０有两个 不同实根, 令t＝ax,则t２－２a２t＋２a２＝０在(０,＋∞)上有两个 不同实根, ∴ Δ＝(－２a２)２－８a２＞０ ２a２＞０{ ⇒a ２＞２⇒a＞ ２, 则a的取值范围为(２,＋∞)．] ９．AC　[P(A)＝１３ ,A正确; A,B 可同时发生,即“即第一次取红球,第二次取黄 球”,A,B 不互斥,B错误; 在第一次取到红球的条件下,第二次取到黄球的概率 为１ ２ ,C正确; P(B)＝２３× １ ２＋ １ ３×０＝ １ ３ ,P(AB)＝１３× １ ２＝ １ ６ , P(AB)≠P(A)P(B),∴A,B 不独立,D错误．] １０．BC　[对于 A,由f(２＋x)＋f(２－x)＝０,得f(x)的 图象关于(２,０)对称,又因为定义域为 R,所以f(２) ＝０,故 A 不正确;对于 B,因为f(x)是偶函数,f(４ ＋x)＝－f(－x)＝－f(x),f(８＋x)＝－f(４＋x)＝ f(x),所以f(x)的一个周期为８,故B正确;对于 C, 由于周期性和奇偶性,f(２０２６)＝f(８×２５３＋２)＝ f(２)＝０,故C正确;对于 D,因为f(x)是偶函数且 f(x)在(－２,０)上单调递增,所以f(x)在(０,２)上单 调递减,又f(x)的图象关于(２,０)对称,所以f(x)在 (２,４)上单调递减,由于周期为８,f(x)在(１０,１２)上 的单调性与(２,４)上的单调性相同,所以f(x)在(１０, １２)上单调递减,故 D不正确．] １１．ABC　[利用辅助角公式化简f(x),再根据三角函 数的性质逐个判断即可 f(x)＝ ３sin２x－cos２x＝２sin ２x－π６( ), 对 A,最小周期为T＝２π２＝π ,故－π也为f(x)的周 期,故 A正确; 对B,当x＝－π６ 时,２x－π６＝－ π ２ ,故x＝－π６ 为y ＝sin ２x－π６( ) 的对称轴,故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２􀅰 对C,当x＝π１２ 时,２x－π６＝０ ,故f(x)的对称中心为 π １２ ,０( ),故C正确; 对 D,f(x)＝０则２sin ２x－π６( ) ＝０⇒２x－ π ６＝kπ , (k∈Z), 解得x＝k２π＋ π １２ ,(k∈Z),故f(x)在[０,２π]内有 x＝π１２ ,７π １２ ,１３π １２ ,１９π １２ 共四个零点,故 D错误．] １２．解析:由f(x)＝x２＋２为偶函数,在[０,＋∞)上单调 递增,最小值为f(０)＝２,满足要求．(答案不唯一) 答案:x２＋２(答案不唯一) １３．解析:由题意知,该群体的１０位成员使用移动支付 的概率分布符合二项分布, 所以D(X)＝１０p(１－p)＝２．４,所以p＝０．６或p＝ ０．４． 由P(X＝４)＜P(X＝６),得C４１０p４(１－p)６＜C６１０p６(１ －p)４, 即(１－p)２＜p２,所以p＞０．５,所以p＝０．６． 答案:０􀆰６ １４．解 析:若 对 任 意 x１,x２ ∈ R,且 x１ ≠x２ 都 有 f(x２)－f(x１) x２－x１ ＜０, 则f(x)在(－∞,＋∞)单调递减,则a２≤０ ,即a≤０, 所以实数a的取值范围(－∞,０]; 当a＞０时,若f(x)在[－１,t)上的值域为[０,４], f a２( )＝ a２ ２－ a２ ４＝４ , 解得a＝４或a＝－４(舍去),又f(－１)＝２, f(０)＝f(４)＝０,所以２＜t≤４; 当a≤０时,因为f(x)在[－１,t)单调递减,则f(x) 在[－１,t)上的最大值为f(－１)＝２,不合题意,所以 实数t的取值范围为(２,４]． 答案:①(－∞,０]　②(２,４] １５． 解: (１ ) tan(π－α)cos(２π－α)sin π２＋α( ) cos(－α－π)sin(－α) ＝ －tanα􀅰cosα􀅰cosα －cosα􀅰(－sinα) ＝－１ ; (２)因为π２＜β＜α＜ ３π ４ ,所以π＜α＋β＜ ３π ２ ,０＜α－β ＜π４ , 所以 sin(α－β)＝ １－cos２(α－β)＝ １－ １２ １３( ) ２ ＝５１３ , cos(α＋β)＝－ １－sin２(α＋β)＝－ １－ － ３ ５( ) ２ ＝－４５ , 所以sin２α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos (α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝ ５ １３× － ４ ５( ) ＋ １２ １３ × －３５( )＝－ ５６ ６５． １６．解:(１)从１０道题中随机抽取４道题,所有的基本事 件的个数为C４１０, 将“某代表队没有抢到地理环境题”的事件记为 A, 事件A 的对立事件􀭿A 为“某代表队抢到至少１道地 理环境题”．则 P(A)＝ C４５ C４１０ ＝１４２ ,P(􀭿A)＝１－P(A)＝４１４２． (２)情况一:某代表队先答人文历史题,再答地理环 境题, 设该代表队必答环节的得分为X,X＝０,２,４,７,１０, P(X＝０)＝２５ ,P(X＝２)＝３５× ２ ５＝ ６ ２５ ,P(X＝４)＝ ３ ５( ) ２ ×２３＝ ６ ２５ , P(X＝７)＝ ３５( ) ２ × １３ × ２ ３ ＝ ２ ２５ ,P(X＝１０)＝ ３ ５( ) ２ × １３( ) ２ ＝１２５ , 则X 的分布为: X ０ ２ ４ ７ １０ P ２５ ６ ２５ ６ ２５ ２ ２５ １ ２５ 此时得分期望E(X)＝０×２５＋２× ６ ２５＋４× ６ ２５＋７× ２ ２５＋１０× １ ２５＝ １２ ５． 情况二:某 代 表 队 先 答 地 理 环 境 题,再 答 人 文 历 史题, 设该代表队必答环节的得分为Y,Y＝０,３,６,８,１０, P(Y＝０)＝２３ ,P(Y＝３)＝１３× ２ ３＝ ２ ９ ,P(Y＝６)＝ １ ３× １ ３× ２ ５＝ ２ ４５ , P(Y＝８)＝ １３× １ ３× ３ ５× ２ ５＝ ２ ７５ ,P(X＝１０)＝ １ ３( ) ２ × ３５( ) ２ ＝１２５ , 则Y 的分布为: Y ０ ３ ６ ８ １０ P ２３ ２ ９ ２ ４５ ２ ７５ １ ２５ 此时得分期望E(Y)＝０×２３＋３× ２ ９＋６× ２ ４５＋８× ２ ７５＋１０× １ ２５＝ １１６ ７５． 由于１２ ５＞ １１６ ７５ ,故为了使该代表队必答环节得分期望 值更大,该代表队应该先答人文历史题,再答地理环 境题． １７．解:(１)由频数分布表知μ＝ ４×２．５＋１５×７．５＋３３×１２．５＋３１×１７．５＋１１×２２．５＋６×２７．５ １００ ＝１４．９, 则X~N(１４．９,６．１２),∵P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝ ０．６８２７, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２􀅰 ∴P(X＞２１)＝P(X＞１４．９＋６．１)＝１－０．６８２７２ ＝ ０．１５８６５, ∴３０００×０．１５８６５＝４７５．９５≈４７６, 参加“每天锻炼１小时”活动超过２１天的人数约为 ４７６人． (２)由频数分布表知,锻炼活动的天数在[０,１５]的人 数为:４＋１５＋３３＝５２, ∵参加“每天锻炼１小时”活动的天数在[０,１５]的学 生中有２０名男生, ∴参加“每天锻炼１小时”活动的天数在[０,１５]的学 生中有女生人数:５２－２０＝３２ 由频数分布表知,锻炼活动的天数在(１５,３０]的人数 为３１＋１１＋６＝４８, ∵参加“每天锻炼１小时”活动的天数在(１５,３０]的 学生中有３０名男生, ∴参加“每天锻炼１小时”活动的天数在[０,１５]的学 生中有女生人数:４８－３０＝１８ 列联表如下: 性别 活动天数 [０,１５] (１５,３０] 合计 男生 ２０ ３０ ５０ 女生 ３２ １８ ５０ 合计 ５２ ４８ １００ 零假设为 H０:学生性别与获得“运动达人”称号无关 χ２＝ １００×(３０×３２－２０×１８)２ ５０×５０×５２×４８ ≈５．７６９＞３．８４１ 依据α＝０．０５的独立性检验,我们推断 H０ 不成立, 即:可以认为学生性别与获得“运动达人”称号有关; 而且此推断犯错误的概率不大于０．０５,根据列联表 中的数据得到,男生、女生中活动天数超过１５天的 频率分别为:３０ ５０＝０．６ 和１８ ５０＝０．３６ ,可见男生中获得 “运动达人”称号的频率是女生中获得“运动达人”的 称号频率的０．６ ０．３６≈１．６７ 倍,于是依据频率稳定与概 率的原理,我们可以认为男生获得“运动达人”的概 率大于女生,即男生更容易获得运动达人称号． １８．解:(１)由题意得:ω􀅰５π４＋ π ６＝kπ ,k∈Z,∴ω＝ ４ ５ k－ １ ６( ),k∈Z ∵ω∈(０,１),∴ω＝２３ ∴f(x)＝２sin ２ωx＋π６( )＝２sin ４ ３x＋ π ６( ) ∵x∈ ０,３π４[ ],∴ ４ ３x＋ π ６∈ π ６ ,７π ６[ ] ∴sin ４３x＋ π ６( )∈ － １ ２ ,１[ ], 故函数f(x)在 ０,３π４[ ] 上的值域为[－１,２]． (２)令－π２＋２kπ≤２ωx＋ π ６≤ π ２＋２kπ ,k∈Z,解得 kπ ω－ π ３ω≤x≤ kπ ω＋ π ６ω , ∵函数f(x)在 π３ ,２π ３( ) 上单调递增,∴ π ３ ,２π ３( ) ⊆ k０π ω － π ３ω ,k０π ω ＋ π ６ω æ è ç ö ø ÷,k０∈Z ∴ k０π ω － π ３ω≤ π ３ k０π ω ＋ π ６ω≥ ２π ３ ì î í ï ï ïï , 即 ３k０≤１＋ω ６k０＋１≥４ω{ 又ω＞０,２π３－ π ３≤ １ ２T＝ １ ２ 􀅰２π ２ω ,∴０＜ω≤３２ ∴－１６＜k０≤ ５ ６ ,∴k０＝０,∴０＜ω≤ １ ４ , 所以ω的取值范围为 ０,１４( ]． １９．解:(１)由f(x)＝２x 是(a,１)型函数,得f(x)􀅰f(２a －x)＝２x􀅰２２a－x＝１,即２２a＝１, 所以a＝０． (２)由g(x)＝e １ x 是(a,b)型函数,得g(x)􀅰g(２a－ x)＝e １ x 􀅰e １ ２a－x＝b, 则１ x＋ １ ２a－x＝lnb ,因此x２lnb－２axlnb＋２a＝０ 对定义域{x|x≠０}内任意x恒成立, 于是 lnb＝０ ２alnb＝０ ２a＝０{ ,解得a＝０,b＝１,所以a＝０,b＝１． (３)由h(x)是(１,４)型函数,得h(x)􀅰h(２－x)＝４, ①当x＝１时,h(１)􀅰h(１)＝４,而h(x)＞０,则h(１) ＝２,满足h(x)≥１; ②当x∈(１,４]时,h(x)＝－(log２x)２＋m􀅰log２x＋２ ≥１恒成立, 令log２x＝t,则当t∈(０,２]时,－t２＋mt＋２≥１恒成 立,于是m≥t－１t 恒成立, 而函数y＝t－１t 在(０,２]单调递增,则t－１t≤ ３ ２ ,当 且仅当t＝２时取等号,因此m≥３２ ; ③当x∈[－２,１)时,２－x∈(１,４],则h(x)＝ ４h(２－x) ＝ ４ －[log２(２－x)]２＋m􀅰log２(２－x)＋２ , 由h(x)≥１,得０＜－[log２(２－x)]２＋m􀅰log２(２－x)＋ ２≤４, 令log２(２－x)＝u,则当u∈(０,２]时,０＜－u２＋mu ＋２≤４, 由②知－u２＋mu＋２≥１,则只需u∈(０,２]时,－u２ ＋mu＋２≤４恒成立,即m≤２u＋u 恒成立, 又u＋２u≥２ u 􀅰２ u＝２ ２ ,当且仅当u＝ ２时取等 号,因此m≤２ ２, 所以实数m 的取值范围是３２≤m≤２ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２􀅰