实战模拟卷六-【创新教程】2024-2025学年高二下学期数学期末实战模拟卷

高二下学期期末实战模拟卷六　　 　　　　(命题范围:必修第一册) 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的． １．已知角α的终边经过点P(－８,m),且tanα＝－３４ ,则cosα是 (　　) A．３５　　　　　　　B．－ ３ ５　　　　　　　C．－ ４ ５　　　　　　　D． ４ ５ ２．“a＞b”是“a＞|b|”的 (　　) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．在下列区间中,函数f(x)＝ex＋２x－１５的零点所在的区间为 (　　) A．(０,１) B．(１,２) C．(２,３) D．(３,４) ４．已知sin(π＋α)＝－１３ ,则tan π２－α æ è ç ö ø ÷的值为 (　　 ) A．２ ２ B．－２ ２ C．２４ D．±２ ２ ５．函数y＝e x－e－x ex 的部分图象大致为 (　　) ６．已知函数f(x)＝log３(３＋３x２＋ ３x)－３,若f(a)＝－１,则f(－a)＝ (　　) A．－７ B．－６ C．－５ D．－４ ７．若正数a,b满足２＋log２a＝３＋log３b＝log６(a＋b),则 １ a＋ １ b＝ (　　 ) A．１２８ B．１０８ C．２ D．１ ８．函数y＝sin(２x＋φ)的图象向左平移 π ６ 个单位长度后与函数y＝cos(２x＋π６ )的图象重 合,则|φ|的最小值为 (　　) A．５π６ B． ２π ３ C． π ３ D． π ６ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合 题目要求,全部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．设α∈(０,π),已知sinα,cosα是方程３x２－x－m＝０的两根,则下列等式正确的是 (　　 ) A．m＝－４３ B．sinα－cosα＝ １７ ３ C．tanα＝７１３ D．cos ２α－sin２α＝－ １７９ １Ｇ６ １０．已知正数x,y满足x＋y＝２,则下列说法错误的是 (　　) A．xy的最大值为１ B．x２＋y２ 的最大值为２ C．x＋ y的最小值为２ D． ２１ x＋ １ y 的最大值为１ １１．已知函数f(x)＝sinωx＋π６ æ è ç ö ø ÷(ω＞０),则下列说法正确的是 (　　) A．当ω＝３时,f(x)在 ４π９ ,７π ９ æ è ç ö ø ÷上单调递增 B．若|f(x１)－f(x２)|＝２,且|x１－x２|min＝ π ２ ,则函数f(x)的最小正周期为π C．若f(x)的图象向左平移π１２ 个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,则ω的最小值 为３ D．若f(x)在[０,２π]上恰有４个零点,则ω的取值范围为 ２３１２ ,２９ １２ é ë êê ö ø ÷ 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知a＞０,f(x)＝sinx＋π３ æ è ç ö ø ÷－asinx的最大值为 ３,则a＝　　　　 　． １３．函数f(x)＝x ２－２x＋４ x－２ (x＞２)取得最小值时,x的值为　　　　 　． １４．设全集U＝{１,２,３,４,５,６},用U 的子集可表示由０,１组成的６位字符串,如{１,３}表示 的是从左往右第１个字符为１,第３个字符为１,其余均为０的６位字符串１０１０００,并规 定空集表示的字符串为００００００． (１)若N＝{２,３,６},则∁UN 表示的６位字符串为　　　． (２)若B＝{５,６},集合A∪B 表示的字符串为０１１０１１,则满足条件的集合A 的个数为 　　　个． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)已知命题p:不等式x２－a≥０,在１≤x≤２时恒成立,命题q:∃x∈R,使得x２＋ ２ax＋２－a＝０． (１)写出命题q的否定． (２)若命题p和命题q均为真命题,求a的范围． ２Ｇ６ １６．(１５分)已知集合A＝{x|x２＋(２－m)x＋３－m＝０},集合B＝{x１,x２},B⊆A． (１)若x２１＋x２２＝６,求实数m 的值; (２)若０＜x１＜x２＜２,求实数m 的取值范围． １７．(１５分)设a＞０,f(x)＝e x a＋ a ex 为偶函数． (１)求a的值; (２)判断f(x)在区间(０,＋∞)上的单调性,并给予证明． ３Ｇ６ １８．(１７分)如图,在扇形OPQ 中,半径OP＝１,圆心角∠POQ＝π３ ,B 是 PQ ︵ 上的动点,矩形ABCD 内接于扇形OPQ,且OA＝OD,设∠BOP＝ α． (１)用α表示线段AB 的长; (２)求矩形ABCD 面积的最大值． １９．(１７分)小红学了高一年级«基本不等式»后,高兴地告诉她正读高三的哥哥小东说:“哥 哥,我知道你以前说的“基本不等式”是怎么回事了,我还可以对它扩充呢”．然后小红在 草稿本上工工整整地写下了“若a＞０,b＞０,则２aba＋b≤ ab≤ a＋b ２ ≤ a２＋b２ ２ ”．小东微笑 着说:“恭喜你获得了新知,加油! 等你上高三了还可以往这个不等式里面补充内容,看 我写一个．”然后小东就把刚才小红写的内容改成了:“若a＞０,b＞０,a≠b,则２aba＋b＜ ab ＜ a－blna－lnb＜ a＋b ２ ＜ a２＋b２ ２ ”．小东看着小红崇拜的眼睛,又补充说:“虽然你现在还不 能完全证明它,但是你可以用‘若a＞０,b＞０,a≠b,则 ab＜ a－blna－lnb＜ a＋b ２ ,作为条件 来证明另一个结论:‘若a≠b,则e a＋b ２ ＜e a－eb a－b＜ ea＋eb ２ ’”． (１)请完成小东所说结论的证明,即用“若a＞０,b＞０,a≠b,则 ab＜ a－blna－lnb＜ a＋b ２ ” 作为条件,证明结论“若a≠b,则e a＋b ２ ＜e a－eb a－b＜ ea＋eb ２ ”成立; (２)请用(１)中的结论解决问题:已知函数f(x)＝x－aex 有两个不同的零点x１,x２,证明 x１＋x２＞２; (３)小红成功完成(２)中的证明后,翻开哥哥小东的高三资料发现这样一道题:若函数 f(x)＝lnx－ax有两个不同的零点x１,x２,证明x１x２＞e２．她兴奋地对哥哥说:“我发现 这个题在本质上跟(２)中的题目是一模一样的!”．请问你认同小红的说法吗? 写出你的 观点并说明理由． ４Ｇ６ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 高二下学期期末实战模拟卷六 数学答题卡 选择题(共５８分) １A B C D ４ A B C D ７A B C D １０ A B C D 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３A B C D ６A B C D ９A B C D 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 非选择题　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(共１５分) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．(１)　　　　　　　　　(２)　　　　　　　　　 解答题(共７７分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) １５．(本小题满分１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)六(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(本小题满分１５分) １７．(本小题满分１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)六(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)六(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(本小题满分１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)六(卡题答学数 高二下学期期末实战模拟卷六 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C B C D A D B C BD BC ABD １．C　[因为tanα＝－m８＝－ ３ ４ ,所以m＝６, 所以cosα＝ －８ (－８)２＋６２ ＝－８１０＝－ ４ ５． ] ２．B　[因为|b|≥b,故当a＞|b|时,有a＞|b|≥b,故a＞ b成立; 取a＝３,b＝－４,此时a＞b,但a＜|b|,即由“a＞b”推 不出“a＞|b|”; 所以“a＞b”是“a＞|b|”的必要不充分条件．] ３．C　[因为f(x)＝ex＋２x－１５在R上是增函数, 而f(０)＝－１４＜０,f(１)＝e－１３＜０,f(２)＝e２－１１＜ ０,f(３)＝e３－９＞０, 所以f(２)􀅰f(３)＜０, 根据零点存在定理,可得函数f(x)＝ex＋２x－１５的 零点所在的区间为(２,３)．] ４．D　[因为sin(π＋α)＝－１３ ,所以sinα＝１３ ,则cosα ＝±２ ２３ ,所以tan π２－α( ) ＝ sin π２－α( ) cos π２－α( ) ＝cosαsinα＝ ±２ ２．] ５．A　[y＝e x－e－x ex ＝１－ １ e２x ,由复合函数的单调性可 知,在R上为递增函数,当x＞０时,e２x＞１,所以０＜ １ e２x ＜１,得０＜１－ １ e２x ＜１,即０＜y＜１,所以 A正确．] ６．D　[对任意的x∈R,则 ３＋３x２＞|３x|≥－ ３x,即 ３＋３x２＋ ３x＞０, 所以,函数f(x)的定义域为R, 所以f(a)＋f(－a)＝log３(３＋３a２＋ ３a)＋ log３(３＋３a２－３a)－６＝log３(３＋３a２－３a２)－６＝－５, 又因为f(a)＝－１,则f(－a)＝－４．] ７．B　[令２＋log２a＝３＋log３b＝log６(a＋b)＝log２４a＝ log３２７b＝t, 则４a＝２t,２７b＝３t,a＋b＝６t, 因为２t×３t＝６t,所以４a􀅰２７b＝a＋b,所以 １a ＋ １ b ＝１０８．] ８．C　[函数y＝sin(２x＋φ)的图象向左平移 π ６ 个单位长 度后为y＝sin ２x＋π３＋φ( ) 又 因 为 y＝cos ２x＋π６( ) ＝sin ２x＋ π ６＋ π ２( ) ＝ sin ２x＋π３＋ π ３( ), 则|φ|的最小值为 π ３． ] ９．BD　[对于 A,由题意sinα,cosα是方程３x２－x－m ＝０的两根,则 sinα＋cosα＝１３ sinαcosα＝－m３ ì î í ïï ï ,由sinα＋cosα＝ １ ３ ,得(sinα＋cosα)２＝１９ ,即sin２α＋cos２α＋２sinαcosα ＝１９ ,解得sinαcosα＝－４９ ,则－m３＝－ ４ ９ ,解得m ＝４３ ,故 A 错误;对于 B,(sinα－cosα)２＝sin２α＋ cos２α－２sinαcosα＝１－２× －４９( )＝ １７ ９ , 因为α∈(０,π),所以sinα＞０,又sinαcosα＝－４９＜ ０,所以cosα＜０, 则sinα－cosα＞０,因此sinα－cosα＝ １７９＝ １７ ３ , 故 B 正 确;对 于 C,由 sinα＋cosα＝１３ sinα－cosα＝ １７３ ì î í ïï ï ,解 得 sinα＝１＋ １７６ cosα＝１－ １７６ ì î í ï ï ïï , 则tanα＝sinαcosα＝－ ９＋ １７ ８ ,故C错误;对于 D,cos２α －sin２α＝ (cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝ １３ × － １７３ æ è ç ö ø ÷＝－ １７９ ,故 D正确．] １０．BC　[因为x＞０,y＞０,x＋y＝２, 所以２＝x＋y≥２ xy,故 xy≤１,当且仅当x＝y 时,取得等号, 所以 xy的最大值为１,故 A正确; 当x＝１２ ,y＝３２ 时,x２＋y２＝１４＋ ９ ４＝ ５ ２＞２ ,故 B 错误; 因为(x＋ y)２＝x＋y＋２ xy＝２＋２ xy≤２＋２ ＝４, 所以 x＋ y≤２,当且仅当x＝y时,取得等号, 即 x＋ y有最大值为２,故C错误; 因为 ２ １ x＋ １ y ＝２xyx＋y＝xy≤ x＋y ２( ) ２ ＝１,当且仅当 x＝y时,取得等号, 所以 ２ １ x＋ １ y 有最大值为１,故 D正确．] １１．ABD　[对于 A,当ω＝３时,若x∈ ４π９ ,７π ９( ),则３x ＋π６∈ ３π ２ ,５π ２( ),所以由复合函数单调性可知f(x) 在 ４π ９ ,７π ９( ) 上 单 调 递 增,故 A 正 确;对 于 B,若 |f(x１)－f(x２)|＝２,且|x１－x２|min＝ π ２ ,则当且仅 当T ２＝ π ２⇒T＝π ,故B正确;对于C,若f(x)的图象 向左平移π １２ 个单位长度后,得到的图象所对应的函 数表达式为:f１(x)＝sinωx＋ ωπ １２＋ π ６( )(ω＞０), 若f１(x)的图象关于y轴对称,则 ωπ １２＋ π ６＝ π ２＋kπ , k∈Z⇒ω＝４＋１２k,k∈Z,注意到ω＞０,所以当且仅 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 当k＝０时,ω的最小值为４,故 C错误;对于 D,ω＞ ０,x∈[０,２π]⇒ωx＋π６∈ π ６ ,π ６＋２ωπ[ ],若f(x)在 f(x)＝sinωx＋π６( )(ω＞０)上恰有４个零点, 则当且仅当 ２ωπ＋π６≥４π ２ωπ＋π６＜５π ì î í ïï ï ⇒２３１２≤ω＜ ２９ １２ ,即ω 的取 值范围为 ２３ １２ ,２９ １２[ ),故 D正确．] １２．解析:由题意知a＞０,f(x)＝sin x＋π３( ) －asinx＝ １ ２－a( )sinx＋ ３ ２cosx , 因为a＞０,f(x)＝sinx＋π３( )－asinx的最大值为 ３, 所以 １ ２－a( ) ２ ＋ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３,解 得a＝２,(a＝－１ 舍去)． 答案:２ １３．解析:f(x)＝x＋ ４x－２＝x－２＋ ４ x－２＋２≥２ ４＋２ ＝６．当且仅当x－２＝ ４x－２ ,即x＝４时, 等号成立．故f(x)的最小值为６． 答案:４ １４．解析:(１)因为U＝{１,２,３,４,５,６},N＝{２,３,６},所 以∁UN＝{１,４,５}, 所以∁UN 表示的６位字符串为１００１１０． (２)因为集合 A∪B 表示的字符串为０１１０１１,所以 A∪B＝{２,３,５,６},又B＝{５,６}, 所以集合A 可能为{２,３},{２,３,５},{２,３,６},{２,３, ５,６},即满足条件的集合A 的个数为４． 答案:１００１１０　　４ １５．解:(１)∵存在量词命题的否定是全称量词命题, ∴命题q:“∃x∈R,使x２＋２ax＋２－a＝０”的否定 是:∀x∈R,使x２＋２ax＋２－a≠０, 故答案为:∀x∈R,使x２＋２ax＋２－a≠０． (２)命题p:“不等式x２－a≥０,在１≤x≤２时恒成 立”, 即a≤x２ 对∀x∈[１,２]恒成立,∴a≤１; 命题q:∃x∈R,使得x２＋２ax＋２－a＝０, ∴Δ＝４a２－４(２－a)≥０,解得a≥１或a≤－２, 若命题p和命题q均为真命题,则a≤－２或a＝１, 所以实数a的取值范围为(－∞,－２]∪{１}, 故答案为:(－∞,－２]∪{１}． １６．解:(１)由题意可知,方程x２＋(２－m)x＋３－m＝０ 有两个不等根x１、x２, 所以,Δ＝(２－m)２－４(３－m)＝m２－８＞０,解得m＜ －２ ２或m＞２ ２, 由韦达定理可得x１＋x２＝m－２,x１x２＝３－m, 所以,x２１＋x２２＝(x１＋x２)２－２x１x２＝(２－m)２－２(３ －m)＝m２－２m－２＝６, 即m２－２m－８＝０,解得m＝－２(舍去)或m＝４． (２)方程x２＋(２－m)x＋３－m＝０在区间(０,２)上有 ２个不等根, 所以, Δ＝m２－８＞０ ０＜m－２２ ＜２ ３－m＞０ ４＋２(２－m)＋３－m＝１１－３m＞０ ì î í ï ï ï ï , 解得２ ２＜m＜３． 因此,实数m 的取值范围是{m|２ ２＜m＜３}． １７．解:(１)∵f(x)为偶函数,∴f(－x)＝f(x), 即f(－x)＝e －x a ＋ a e－x ＝ １ a􀅰ex ＋aex＝f(x)＝e x a ＋a ex , 即 １ a－a( )e －x＝ １a－a( )e x,对任意x∈R恒成立, 所以a＝１; 所以f(x)＝ex＋１ex ． (２)f(x)在区间(０,＋∞)上单调递增．理由如下: 任取x１、x２∈(０,＋∞),当x１＜x２ 时,f(x１)－ f(x２)＝ex１＋ １ ex１ － ex２＋ １ex２( ) ＝e x１ －ex２ ＋e x２－ex１ ex１＋x２ ＝(ex１－ex２)１－ １ex＋x２( )． 由于０＜x１＜x２,所以ex１－ex２＜０,１－ １ ex１＋x２ ＞０, 所以f(x１)－f(x２)＜０,故f(x１)＜f(x２), 所以f(x)在区间(０,＋∞)上单调递增． １８．解:(１)∵∠POQ＝π３ 且OA＝OD,∴△AOD 为等边 三角形,∴∠DAO＝π３ , 又四边形ABCD 为矩形,∴∠DAB＝π２ ,∴∠BAP ＝π６ ; 在扇形OPQ 中,半径OP＝１,过B 作OP 的垂线,垂 足为N, ∴BN＝OBsinα＝sinα, 在△ABN 中,AB＝ BNsin∠BAP＝ BN sinπ６ ＝２sinα． (２)由(１)可知|AB|＝２sinα,| BN|＝sinα, |ON|＝|OB|cosα＝cosα,| AN|＝|AB|cosπ６＝ ３sinα , ∴|OA|＝|ON|－|AN|＝cos α－ ３sinα, ∴S矩形ABCD ＝|AB|􀅰|AD| ＝|AB|􀅰|OA|＝２sinα(cosα － ３sinα) ＝sin２α＋ ３cos２α－ ３＝２sin ２α＋π３( )－ ３, ∵α∈ ０,π３( ),∴２α＋ π ３∈ π ３ ,π( ), ∴当２α＋π３＝ π ２ ,即α＝π１２ 时,矩形ABCD 的面积最 大,最大值为２－ ３．] １９．解:(１)当a＞０,b＞０,a≠b时,有 ab＜ a－blna－lnb ＜a＋b２ , 令a＝ea＞０,b＝eb＞０,则ea≠eb, 所以 eaeb＜ e a－eb lnea－lneb ＜e a＋eb ２ , 即 ea＋b ＜e a－eb a－b ＜ ea＋eb ２ ,所 以 e a＋b ２ ＜e a－eb a－b ＜e a＋eb ２ ． (２)因为 函 数f(x)＝x－aex 有 两 个 不 同 的 零 点 x１,x２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 所以f(x１)＝x１－aex１＝０,f(x２)＝x２－aex２＝０, 即x１＝aex１,x２＝aex２, 将两式相加减可得x１＋x２＝a(ex１＋ex２),x１－x２＝a (ex１－ex２), 要证x１＋x２＞２,只需证x１＋x２＝a(ex１＋ex２)＞２, 即 证 x１－x２ (ex１－ex２) (ex１ ＋ex２ )＞２,即 证 e x１－ex２ x１－x２ ＜e x１＋ex２ ２ , 由(１)问 当a≠b 时,有 e a＋b ２ ＜e a－eb a－b ＜ ea＋eb ２ ,故 ex１－ex２ x１－x２ ＜e x１＋ex２ ２ 显然成立． 所以x１＋x２＞２． (３)认同小红的说法,理由如下: 因为函数f(x)＝lnx－ax 有两个不同的零点x１, x２,且x１,x２＞０,x１≠x２ 所以f(x１)＝lnx１－ax１＝０,f(x２)＝lnx２－ax２ ＝０, 即lnx１＝ax１,lnx２＝ax２, 将两式相加减可得lnx１＋lnx２＝a(x１＋x２),lnx１ －lnx２＝a(x１－x２), 要证x１x２＞e２,即证ln(x１x２)＝lnx１＋lnx２＞lne２ ＝２, 即证lnx１＋lnx２＝a(x１＋x２)＞２, 即证lnx１＋lnx２＝ lnx１－lnx２ x１－x２ (x１＋x２)＞２, 即证 lnx１－lnx２ x１－x２ ＞ ２x１＋x２ , 由题意可知:当a＞０,b＞０,a≠b,有 ab＜ a－blna－lnb ＜a＋b２ , 故 lnx１－lnx２ x１－x２ ＞ ２x１＋x２ 显然成立．故x１x２＞e２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 高二下学期期末实战模拟卷七 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C A D D D C D AD AB BCD １．D　[M＝{x|０≤x＜１６},N＝ x|x≥１３{ },故 M∩N ＝ x １３≤x＜１６{ }．] ２．C　[因为１００× (１４×３４－１６×３６)２ ３０×７０×５０×５０ ＜ １００×(１０×３０－２０×４０)２ ３０×７０×５０×５０ ＜ １００×(２５×４５－５×２５)２ ３０×７０×５０×５０ ,所 以英语成绩与性别有关联性的可能性最大,语文成绩与 性别有关联性的可能性最小．故选C．] ３．A　[因α,β都是第一象限角,则０＜cosα＜１, 则tanα＝sinαcosα＞sinα ,则当sinα＞tanβ时,tanα＞ sinα＞tanβ; 则“sinα＞tanβ”是“tanα＞tanβ”的充分条件; 注意到tanπ３＞tan π ４ ,但sinπ３＜tan π ４ , 则“sinα＞tanβ”不是“tanα＞tanβ”的必要条件． 则“sinα＞tanβ”是 “tanα＞tanβ”的 充 分 不 必 要 条件．] ４．D　[由３cos２α＋１１＝１６cosα,得３(２cos２α－１)－ １６cosα＋１１＝０, 即３cos２α－８cosα＋４＝０,解得cosα＝２(舍去),或cos α＝２３． ∵α∈(０,π),则sinα＝ １－cos２α＝ １－ ２３( ) ２ ＝ ５３ , 故sin２α＝２cosαsinα＝４ ５９ ． ] ５．D　[由题意得 P(A)＝ C１４C１８ A２９ ＝ ４９ ,P(AB)＝ C１４C１５ A２９ ＝５１８ , ∴P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ ５ １８ ４ ９ ＝５８． ] ６．D　[当n＝７时,(a＋b)７ 的展开式有８项,(a＋b)７ 的 展开式中二项式系数 C３７,C４７ 最大,即第四项和第五项 的二项式系数最大; 当n＝８时,(a＋b)８ 的展开式有９项,(a＋b)８ 的展开 式中二项式系数C４８ 最大, 即第五项的二项式系数最大; 当n＝９时,(a＋b)９ 的展开式有１０项,(a＋b)９ 的展 开式中二项式系数C４９,C５９ 最大, 即第五项和第六项的二项式系数最大． 当n＝１０时,(a＋b)１０的展开式有１１项,(a＋b)１０的展 开式中二项式系数C５１０最大, 即第六项的二项式系数最大．] ７．C　[依题意每位同学均有５种选择,则四位同学一共 有５４ 种方案,若小罗看«哪吒之魔童闹海»,且４人中 恰有 两 人 看 同 一 部 电 影,有 两 人 看«哪 吒 之 魔 童 闹 海»,则有C１３A２４ 种方案,有一人看«哪吒之魔童闹海» 电影,则有 C２３A２４ 种方案,即满足小罗看«哪吒之魔童 闹海»,且 ４ 人 中 恰 有 两 人 看 同 一 部 电 影,一 共 有 C１３A２４＋C２３A２４ 种方案,所以所求概率P＝ C１３A２４＋C２３A２４ ５４ ＝７２６２５． ] ８．D　[f(x)＝ln(x＋１)在R上为增函数,且f(０)＝０, 故x＝０是f(x)的唯一零点,要使f(x)和g(x)互为 “π ２ 亲近函数”, 则存在x２－０∈ － π ２ ,π ２( ),使得g(x２)＝f(０)＝０, 即g(x)在 －π２ ,π ２( ) 内存在零点, 所以方程acosx＝cos２x＋１有解, 令t＝cosx,则t∈(０,１],故at＝t２＋１,易知t＝０不是 此方程的解; 当t∈(０,１]时,有a＝t＋１t , 由对勾函数的性质可知,t＋１t∈ [２,＋∞),故a的取 值范围是[２,＋∞)．] ９．AD　[甲取出一张红牌为事件A,乙取出一张红牌为 事件B, 则P(A)＝２４＝ １ ２ ,P(B)＝１４ , 则X 的可能取值为１、２、３,且Y＝３－X, 则P(X＝１)＝１２× ３ ４＝ ３ ８ ,P(X＝２)＝１２× ３ ４＋ １ ２ ×１４＝ １ ２ ,P(X＝３)＝１２× １ ４＝ １ ８ 所以E(X)＝１×３８＋２× １ ２＋３× １ ８＝ ７ ４ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６１􀅰