第01讲 因式分解（知识解读+达标检测）-2024-2025学年七年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版2024）

第01讲 因式分解 【题型1 因式分解的定义】 【题型2 :公因式】 【题型3 提公因式】 【题型4 因式分解-平方差】 【题型5 因式分解-完全平方】 【题型6 提公因式与公式法综合】 【题型7 十字相乘法】 知识点1：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【题型1 因式分解的定义】 【典例1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B．右边不是整式积的形式，不合因式分解的定义，故本选项错误； C．，是因式分解，故本选项正确； D．是单项式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，故本选项错误． 故选：C． 【变式1-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解的定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了因式分解的定义以及整式的乘法运算，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断即可得出答案． 【详解】解：A、，右边不是几个因式乘积的形式，因此由左到右的变形中，不是因式分解，故A不符合题意； B、，是因式分解，故B符合题意； C、，右边不是整式，不是因式分解，故C不符合题意； D、，是整式乘法，不是因式分解，故D不符合题意． 故选：B． 知识点2：公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型2 :公因式】 【典例2】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握提公因式法因式分解是解题关键．各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式，提公因式的方法为：在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑．公因式的系数应取各项系数的最大公约数，字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；如果多项式的第一项为负，要提出负号，使括号内的第一项的系数成为正数．据此即可获得答案． 【详解】解：， 所以，将多项式分解因式，应提取的公因式是． 故答案为：． 【变式2-1】多项式的公因式是： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式，解题的关键是正确理解公因式的定义，本题属于基础题型．根据公因式的定义即可找出该多项式的公因式． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式2-2】把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握相关知识是解题的关键，找公因式的要点是：①公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；②字母取各项都含有的相同字母；③相同字母的指数取次数最低的．根据找公因式的方法解题即可． 【详解】解： ， 的公因式是； 故选：B． 【变式2-3】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了公因式的定义，多项式的公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，据此求解即可． 【详解】解：多项式的公因式是， 故选：C． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【题型3 提公因式】 【典例3】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分解因式； （1）直接提公因式分解因式即可； （2）直接提公因式分解因式即可． 【详解】（1）； （2）． 【变式3-1】将下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，确定各式的公因式是解题关键． （1）提公因式，即可完成因式分解； （2）提公因式，即可完成因式分解； （3）提公因式，即可完成因式分解； （4）提公因式，即可完成因式分解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【变式3-2】把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键； （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）直接利用提公因式法分解因式即可； （4）直接利用提公因式法分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 【变式3-3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握公因式的确定是解本题的关键； （1）直接利用提公因式分解因式即可； （2）直接利用提公因式分解因式即可； （3）直接利用提公因式分解因式即可； （4）直接利用提公因式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 知识点4：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型4 因式分解-平方差】 【典例4】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-1】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了运用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式4-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先把，写成，，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-3】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式，再提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【题型5 因式分解-完全平方】 【典例5】分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式进行分解即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式5-1】分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用公式法进行因式分解．熟练掌握完全平方公式分解因式是解决问题的关键． 根据完全平方公式进行分解即可求得答案．完全平方公式：． 【详解】． 故答案为：． 【变式5-3】因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查利用完全平方公式进行因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 知识点5：提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝ 【题型6 提公因式与公式法综合】 【典例6】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）先提公因式，再用完全平方差公式即可； （2）先提公因式，再用平方差公式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是利用提公因式与公式法分解因式，掌握“因式分解的方法与步骤”是解本题的关键． （1）先提取公因式，再由平方差公式分解； （2）先提取公因式，再由完全平方公式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-2】分解因式 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式，然后根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）原式变形为，然后提取公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式6-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用平方差公式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，进行因式分解， 【详解】（1）解： （2）解： 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型7 十字相乘法】 【典例7】提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题属于阅读理解题型，考查了因式分解的十字相乘法，解题关键是掌握十字相乘法的运算规律． （1）把拆成即可；把拆成即可；把拆成即可； （2）把拆成，把拆成即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式7-1】探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【变式7-2】在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题． 材料一：分解因式： 解： 材料二：分解因式： 解：原式 (1)按照材料一提供的方法分解因式：； (2)按照材料二提供的方法分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案； （2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：原式 ． 【变式7-3】【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢? 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得         ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到. 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_____________； 【知识应用】 （2），则_________，_________； 【拓展提升】 （3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题主要考查某些二次项系数是1的二次三项式分解因式及其应用： （1）根据阅读材料中提供的方法进行解答即可； （2）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得结论； （3）先将等号右边的括号括号展开合并，根据对应项的系数相等可得，根据m，p，q均为整数讨论求解即可. 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）由， ∴， 解得，， 故答案为：； （3）由， ∴， ∵m，p，q均为整数， ∴，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 或者，此时； 综上，的值为： 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不符合题意； B、是整式的乘法，故B不符合题意； C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意； D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确； 故选：D． 2．将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了公因式，根据公因式的定义进行解答即可． 【详解】解：将多项式，因式分解时，应提取的公因式是a． 故选：A． 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，添括号，根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 4．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用平方差公式分解因式，熟知平方差公式分解因式是解题的关键：． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； B、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，符合题意； 故选：D． 5．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 【答案】B 【分析】此题考查平方差公式分解因式，根据平方差公式分解得到，即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故选：B． 6．已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，代数式求值等知识点，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和整体代入的数学思想． 利用矩形的面积和周长公式求出代数式和的值，对原式进行因式分解，然后整体代入即可求出结果． 【详解】解：根据矩形的周长为14得：，所以， 根据矩形的面积为10得：， ∴ 将，代入上式得 原式 故选：A． 7．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用，利用作差法比较大小是解题的关键．先计算，再利用完全平方公式变形即可得出结论． 【详解】解：由题意得， ， ． 故选：B． 二、填空题 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，熟练掌握是解题的关键． 根据提公因式法分解因式，根据题意直接提取公因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为． 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，然后再用平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为 ，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为 ， 由正方形的面积是可得，， ， ，则正方形的边长， 故答案为：． 三、解答题 12．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因数2，再利用平方差公式继续分解即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）先提取公因式x，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）直接提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 14．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，去括号和添括号： （1）仿照题意把看作一个整体，根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴ ． 15．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 【答案】(1)，1 (2) (3), 【分析】本题考查了完全平方公式的配凑、非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等．熟悉完全平方公式的形式是解题关键． （1）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （2）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （3）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 16．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 因式分解 【题型1 因式分解的定义】 【题型2 :公因式】 【题型3 提公因式】 【题型4 因式分解-平方差】 【题型5 因式分解-完全平方】 【题型6 提公因式与公式法综合】 【题型7 十字相乘法】 知识点1：因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【题型1 因式分解的定义】 【典例1】下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　    　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 知识点2：公因式 像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型2 :公因式】 【典例2】将多项式分解因式，应提取的公因式是 ． 【变式2-1】多项式的公因式是： ． 【变式2-2】把分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D．2 【变式2-3】多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 知识点3：提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【题型3 提公因式】 【典例3】分解因式： (1) (2) 【变式3-1】将下列各式分解因式： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】把下列各式分解因式： (1) ； (2)； (3) (4)． 【变式3-3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点4：公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型4 因式分解-平方差】 【典例4】分解因式： ． 【变式4-1】分解因式： ． 【变式4-2】分解因式： ． 【变式4-3】分解因式： ． 【题型5 因式分解-完全平方】 【典例5】分解因式的结果是 ． 【变式5-1】分解因式： ． 【变式5-2】分解因式： ． 【变式5-3】因式分解： ． 知识点5：提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝ 【题型6 提公因式与公式法综合】 【典例6】分解因式： (1) (2) 【变式6-1】分解因式： (1) (2) 【变式6-2】分解因式 (1) (2)． 【变式6-3】把下列各式因式分解： (1)； (2)． 知识点6：十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型7 十字相乘法】 【典例7】提出问题：你能把多项式因式分解吗？ 探究问题：如图1所示，设，为常数，由面积相等可得：，将该式从右到左使用，就可以对形如的多项式进行进行因式分解即．观察多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和． 解决问题： 运用结论： (1)基础运用：把多项式进行因式分解． ①；②；③． (2)知识迁移：对于多项式进行因式分解还可以这样思考：将二次项分解成图2中的两个的积，再将常数项分解成与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为，就是的一次项，所以有．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解： 【变式7-1】探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【变式7-2】在数学学习中，是常见的一类多项式，对这类多项式常采用十字相乘法和配方法来进行因式分解．请阅读材料，按要求回答问题． 材料一：分解因式： 解： 材料二：分解因式： 解：原式 (1)按照材料一提供的方法分解因式：； (2)按照材料二提供的方法分解因式：． 【变式7-3】【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第121页的阅读与思考： 型式子的因式分解 型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢? 在第102页的练习第2题中，我们发现，.这个规律可以利用多项式的乘法法则推导得出： 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得         ① 利用①式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。例如，将式子分解因式。这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，因此这是一个型的式子.利用①式可得. 上述分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（图1）. 这样，我们也可以得到. 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： （1）分解因式：_____________； 【知识应用】 （2），则_________，_________； 【拓展提升】 （3）如果，其中m，p，q均为整数，求m的值. 一、单选题 1．下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 3．若，则的值为（   ） A．3 B． C．12 D． 4．下列各式可以用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．若，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．2或 D．4 6．已知边长为、的矩形的周长为14，面积为10，则的值为（    ） A．70 B．60 C．35 D．24 7．若，，则M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．分解因式： ． 9．因式分解： ． 10．因式分解： ． 11．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ． 三、解答题 12．因式分解： (1)； (2)． 13．因式分解： (1) (2) 14．我们知道，，类似地，我们也可以将看成一个整体，则．整体思想是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简和求值中有着广泛的应用．请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为_____ (2)已知，求的值． (3)已知，，，求的值． 15．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 16．上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$