类型1 与圆周角、垂径定理有关的计算 强化巩固练-【一战成名新中考】2025陕西中考数学·提分必刷小卷

24~26 题专练·陕西数学 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第三部分　 24~ 26 题专练 24 ~26 题 专 练 　 24 题　 圆的综合题 类型 1 与圆周角、垂径定理有关的计算 (2023.24) 1.如图,△ABC 内接于☉O,AB =AC,连接 AO, CO,延长 CO 交 AB 于点 D. (1)多解法 ∙∙∙ 　 求证:AO 平分∠BAC; (2)若 BC = 12,sin∠BAC = 3 5 ,求 AC 和 CD 的长. 第 1 题图 (1)证明:如解图,延长 AO 交 BC 于点 H, 连接 BO,∵AB=AC,OB=OC, ∴A,O在线段 BC 的垂直平分线上, ∴AH⊥BC, 又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC; 在 Rt△EBC 中,BC CE = 3 5 ,∴CE= 5 3 BC=20, ∴ BE = CE2-BC2 = 16,OA = OC = OE = 1 2 CE=10,由(1)知 AH⊥BC,∴BE∥AH, ∴OA EB =OD ED ,即10 16 = OD 10-OD ,解得 OD=50 13 , ∴CD=OC+OD=10+50 13 = 180 13 , ∵BE∥AH,OC=OE, 2.多解法 ∙∙∙ 　 如图,△ABC 内接于☉O,AB 为 ☉O 的直径,点 D 在☉O 上,连接 CD、BD, CD 与 AB 交于点 F,BD =BC,延长 DB 到点 E,使得 BE=BD,连接 CE. (1)求证:∠A+∠E= 90°; (2)若☉O 的半径为25 6 ,BC= 5,求 CE 的长. 第 2 题图 (1)证明:∵BD=BC,∴∠BCD=∠D, ∵BE=BD,BD=BC,∴BC=BE, ∴∠BCE=∠E, ∵∠BCE+∠E+∠BCD+∠D=180°, ∴∠E+∠D= 1 2 ×180°=90°, ∵BC ( =BC ( ,∴∠A=∠D,∴∠A+∠E=90°; (2)解:如解图,连接 OC,则 OC=OB=25 6 , ∵BC=BD,∴BC ( =BD ( ,∴OB⊥CD,CF=DF, 在 Rt△OCF 中,CF2 =OC2 -OF2 = (25 6 ) 2 - (25 6 -BF) 2, 在 Rt△BCF 中,CF2 =BC2-BF2 =52-BF2, ∴ (25 6 ) 2-(25 6 -BF) 2 =52-BF2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 54 24~26 题专练·陕西数学 24 ~26 题 专 练 3.如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AB=AC,D, C,E 三点共线,连接 BE 交☉O 于点 M, ∠ABD=∠CBE. (1)求证:BE∥AD; (2)若 AD= 6,cosE= 1 3 ,求 CE 的长. 第 3 题图 (1)证明:∵∠ABD=∠CBE, ∴∠ABC=∠DBE, ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB, ∴∠DBE=∠ACB, ∵∠ADB=∠ACB, ∴∠DBE=∠ADB, ∴BE∥AD; (2) 解:如解图,连接 MC,作 MN⊥ CE 于 N, ∵∠ABC=∠DBE,∠BDE=∠BAC, ∴∠E=∠ACB, ∵∠DBE=∠ACB,∴∠E=∠DBE, ∵四边形 DBMC 内接于☉O, ∴∠DBE+∠DCM=180°, ∵∠MCE+∠DCM=180°, ∴∠MCE=∠DBE, ∴∠MCE=∠E,∴ME=MC, ∵MN⊥CE,∴CE=2NE, ∵∠ABD=∠CBE, ∴AD ( =MC ( ,∴MC=AD=6, ∵cosE=NE ME = 1 3 , ∴EN 6 = 1 3 ,∴EN=2, ∴CE=4. 4.如图,△ABC 为☉O 的内接三角形,AD⊥ BC,垂足为 D,直径 AE 平分∠BAD,交 BC 于点 F,连接 BE. (1)求证:BE=BF; (2)若 AB= 10,BE= 5,求 DF 的长. 第 4 题图 (1)证明:∵AE 为☉O的直径, ∴∠ABE=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵AD⊥BC,∴∠ADF=90°, ∴∠AFD+∠FAD=90°, ∵AE 平分∠BAD, ∴∠BAE=∠FAD, ∴∠AEB=∠AFD, ∵∠AFD=∠BFE, ∴∠AEB=∠BFE, ∴BE=BF; (2) 解:如解图,过点 F 作 FM⊥ AB 于 点 M, ∴∠AMF=∠ABE=90°, ∵∠MAF=∠BAE, ∴△AMF∽△ABE, ∴AM MF =AB BE =10 5 =2, 设 MF=x(0<x<5),则 AM=2x, ∴BM=AB-AM=10-2x, ∵BE=5,∴BF=BE=5, 在 Rt△BMF 中,BM2+MF2 =BF2, ∴ (10-2x) 2+x2 =52, 解得 x=3 或 x=5(舍去), ∴MF=3, ∵AE 平分∠BAD,FD⊥AD,FM⊥AB, ∴DF=MF=3, ∴DF 的长为 3. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64 参考答案及重难题解析·陕西数学 提 分 必 刷 小 卷 19~23 题题组训练(十一) 19.解:设应调往甲处 x 人,则调往乙处(20-x)人, 根据题意得 23+x-2[17+(20-x)] = 3, 解得 x= 18. 答:应调往甲处 18 人. 20.解:(1) 1 5 ; (2)列表如下: 春 雨 云 月 花 春 — (春,雨) (春,云) (春,月) (春,花) 雨 (雨,春) — (雨,云) (雨,月) (雨,花) 云 (云,春) (云,雨) — (云,月) (云,花) 月 (月,春) (月,雨) (月,云) — (月,花) 花 (花,春) (花,雨) (花,云) (花,月) — 由列表图知,共有 20 种等可能的结果,其中第一组和第 二组至少有一组抽到自己擅长的主题字的结果有 14 种, ∴ 第一组和第二组至少有一组抽到自己擅长的主题字的 概率为 14 20 = 7 10 . 21.解:(1)设购进苹果 m 箱,则购进橙子(1 000-m)箱, ∴ W=(60-40)m+(88-60)(1 000-m)= 28 000-8m, ∴ 获利 w(元)与购进苹果箱数 m(箱)之间的函数表达式 为:w= 28 000-8m; (2)依题意得 28 000-8m= 25 000, 解得 m= 375. 答:若要此次活动该专区获得总利润为 25 000 元,则需购 进苹果 375 箱. 22.解:由题意得∠ACB=∠ECD, ∵ AB⊥BH,ED⊥BH,GF⊥BH, ∴ ∠B=∠EDC=∠GFH= 90°,∴ △ABC∽△EDC, ∴ AB ED =BC DC ,∴ AB 1.5 =BC 2 ,解得 BC= 4 3 AB, ∵ ∠H=∠H,∴ △GFH∽△ABH, ∴ GF AB =FH BH ,∴ 1.8 AB = 2.6 2.6+3.5+2+ 4 3 AB , 解得 AB= 72.9. 答:楼 AB 的高度为 72.9 米. 23.解:(1)25,3; (2) 4×1+8×2+15×3+10×4+3×5 40 = 3(h) . 答:该校此次抽查的学生一周内平均课外劳动时间为 3 h. (3) 15+10+3 40 ×2 000= 1 400(名) . 答:估计该校学生一周内课外劳动时间不小于 3 h 的人数 为 1 400. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三部分　 24~26 题专练 24 题　 圆的综合题 类型 1　 与圆周角、垂径定理有关的计算 1.(1)证明:解法 1:如解图,延长 AO 交 BC 于 H,连接 BO, 第 1 题解图 ∵ AB=AC,OB=OC, ∴ A,O 在线段 BC 的垂直平分线上, ∴ AH⊥BC, 又∵ AB=AC,∴ AO 平分∠BAC; 解法 2:如解图,连接 BO, ∵ AB=AC,AO=AO,BO=CO, ∴ △ABO≌△ACO,∴ ∠BAO=∠CAO, ∴ AO 平分∠BAC; (2)解:如解图,延长 CD 交☉O 于 E,连接 BE,则 CE 是 ☉O 的直径, ∴ ∠EBC= 90°,BC⊥BE, ∵ ∠E=∠BAC,∴ sinE=sin∠BAC= 3 5 , 在 Rt△EBC 中, BC CE = 3 5 ,CE= 5 3 BC= 20, ∴ BE= CE2-BC2 = 16,OA=OC=OE= 1 2 CE= 10, 由(1)知 AH⊥BC,∴ BE∥AH, ∴ OA EB =OD ED ,即 10 16 = OD 10-OD ,解得 OD= 50 13 , ∴ CD=OC+OD= 10+ 50 13 = 180 13 , ∵ BE∥AH,OC=OE,∴ OH 是△CEB 的中位线, ∴ OH= 1 2 BE= 8,CH= 1 2 BC= 6, ∴ AH=OA+OH= 10+8= 18, 在 Rt△ACH 中,AC= AH2+CH2 = 182+62 = 6 10 . 2.(1)证明:解法 1:∵ BD=BC,∴ ∠BCD=∠D, ∵ BE=BD,BD=BC,∴ BC=BE,∴ ∠BCE=∠E, ∵ ∠BCE+∠E+∠BCD+∠D= 180°, ∴ ∠E+∠D= 1 2 ×180° = 90°, ∵ BC ( =BC ( ,∴ ∠A=∠D, ∴ ∠A+∠E= 90°; 解法 2:∵ BD=BC,BE=BD, ∴ BC=BD=BE,BC= 1 2 DE, ∴ △DCE 是直角三角形,∠DCE= 90°, ∴ ∠D+∠E= 90°,∵ ∠A=∠D,∴ ∠A+∠E= 90°; (2)解:解法 1:如解图,连接 OC, 第 2 题解图 则 OC=OB= 25 6 , ∵ BC=BD,∴ BC ( =BD ( , ∴ OB⊥CD,CF=DF, 在 Rt△OCF 中,CF2 = OC2 -OF2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26 参考答案及重难题解析·陕西数学 提 分 必 刷 小 卷 =( 25 6 ) 2-( 25 6 -BF) 2, 在 Rt△BCF 中,CF2 =BC2-BF2 = 52-BF2, ∴ ( 25 6 ) 2-( 25 6 -BF) 2 = 52-BF2, 解得 BF= 3, ∵ BD=BE,DF=CF, ∴ BF 为△DCE 的中位线, ∴ CE= 2BF= 6. 解法 2:∵ ☉O 的半径为 25 6 ,BC= 5,∴ AB= 25 3 ,DE= 10, ∵ ∠ACB=∠DCE= 90°,∠A=∠D, ∴ △ACB∽△DCE,∴ AB DE =CB CE , 即 25 3 10 = 5 CE ,解得 CE= 6. 3.(1)证明:∵ ∠ABD=∠CBE,∴ ∠ABC=∠DBE, ∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠ACB,∴ ∠DBE=∠ACB, ∵ ∠ADB=∠ACB,∴ ∠DBE=∠ADB, ∴ BE∥AD; (2)解:如解图,连接 MC,作 MN⊥CE 于 N, ∵ ∠ABC=∠DBE,∠BDE=∠BAC, ∴ ∠E=∠ACB, 由(1)知∠DBE=∠ACB,∴ ∠E=∠DBE, 第 3 题解图 ∵ 四边形 DBMC 内接于☉O, ∴ ∠DBE+∠DCM= 180°, ∵ ∠MCE+∠DCM= 180°, ∴ ∠MCE=∠DBE,∴ ∠MCE=∠E, ∴ ME=MC, ∵ MN⊥CE,∴ CE= 2EN, ∵ ∠ABD=∠CBE,∴ AD ( =MC ( , ∴ ME=MC=AD= 6, ∵ cosE= EN ME = 1 3 ,∴ EN 6 = 1 3 , ∴ EN= 2,∴ CE= 2EN= 4. 4.(1)证明:∵ AE 为☉O 的直径, ∴ ∠ABE= 90°,∴ ∠BAE+∠AEB= 90°, ∵ AD⊥BC,∴ ∠ADF= 90°,∴ ∠AFD+∠FAD= 90°, ∵ AE 平分∠BAD,∴ ∠BAE=∠FAD,∴ ∠AEB=∠AFD, ∵ ∠AFD=∠BFE,∴ ∠AEB=∠BFE,∴ BE=BF; (2)解:如解图,过点 F 作 FM⊥AB 于点 M, 第 4 题解图 ∴ ∠AMF=∠ABE= 90°, ∵ ∠MAF=∠BAE, ∴ △AMF∽△ABE, ∴ AM MF = AB BE = 10 5 = 2, 设 MF= x(0<x<5),则 AM= 2x, ∴ BM=AB-AM= 10-2x, ∵ BE= 5,∴ BF=BE= 5, 在 Rt△BMF 中,BM2+MF2 =BF2, ∴ (10-2x) 2+x2 = 52,解得 x= 3 或 x= 5(舍去), ∴ MF= 3, ∵ AE 平分∠BAD,FD⊥AD,FM⊥AB, ∴ DF=MF= 3, ∴ DF 的长为 3. 类型 2　 与圆的切线有关的计算 1.(1)证明:∵ AD 是☉O 的切线, ∴ ∠DAB= 90°,∴ ∠DAC+∠CAB= 90°, ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ACB= 90°, ∴ ∠CAB+∠B= 90°,∴ ∠DAC=∠B, ∵ OC=OB,∴ ∠B=∠OCB. 又∵ ∠DCE=∠OCB,∴ ∠DAC=∠DCE; (2)解:∵ AB= 2,∴ AO=OC= 1, 在 Rt△DAO 中,∵ sinD= 1 3 ,∴ OD= 3,∴ DC= 2, 在 Rt△DAO 中,由勾股定理,得 AD= OD2-OA2 = 2 2 , ∵ ∠DAC=∠DCE,∠D=∠D,∴ △DCA∽△DEC, ∴ DC AD =DE CD ,即 2 2 2 =DE 2 ,解得 DE= 2 , ∴ AE=AD-DE= 2 2 - 2 = 2 . 2.(1)证明:∵ EF∥BC,AB⊥BG,∴ EF⊥AD, ∵ E 是 AD 的中点,∴ FA=FD,∴ ∠FAD=∠D, ∵ GB⊥AB,∴ ∠GAB+∠G=∠D+∠DCB= 90°, ∴ ∠DCB=∠G, ∵ ∠DCB=∠GCF,∴ ∠G=∠GCF; (2)解:连接 AC,如解图: 第 2 题解图 ∵ AB⊥BG,∴ AC 是☉O 的直径, ∵ FD 是☉O 的切线,切点为 C, ∴ ∠DCB=∠CAB, ∵ ∠DCB=∠G, ∴ ∠CAB=∠G, ∵ ∠CBA=∠GBA= 90°, ∴ △ABC∽△GBA,∴ AB GB =BC AB , ∵ BC= 4,BG= 6,∴ AB2 =BC·BG= 4×6= 24, ∴ AB= 2 6 . 3.(1)证明:∵ ∠A= 90°,∴ BD 是☉O 的直径, ∵ DF 是☉O 的切线,∴ ∠BCD=∠BDF= 90°, ∵ D 是AC ( 的中点,∴ ∠ABD=∠CBD,∴ ∠BDA=∠BDC, ∵ ∠BDF= 90°, ∴ ∠BDA+∠FDE= 90°,∠BDC+∠CDF= 90°, ∴ ∠FDE=∠CDF, ∴ DF 是∠CDE 的平分线; (2)解:∵ ∠E= 30°,∠A= 90°,∴ ∠ABE= 60°, ∴ ∠ABD=∠EBD= 30°,即∠EBD=∠E, ∴ DB=DE, 由(1)知∠BCD= 90°,∴ BC=CE= 1 2 BE= 3, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 36