2025年北京市海淀区中考二模数学模拟练习卷

2025年北京市海淀区数学中考二模模拟练习卷 一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（　　） A． B． C． D． 2．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿7千万人，用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．如图，用剪刀沿虚线将三角形纸片剪去一个角，发现剩下纸片的周长比原纸片的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．经过一点有无数条直线 4．小美家所在楼层有6户人家．小美周日约小丽到家里一起写作业，但忘记了说房号，小丽上到小美家所在楼层后能一次敲对小美家门的概率是（　　） A． B．1 C．0 D． 5．实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 6．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A．4 B．5 C．2 D．3 7． 下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②过一点有且只有一条直线与这条直线平行；③过直线l外一点P向这条直线作垂线，这条垂线段就是点P到直线l的距离；④两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补；⑤无理数都是无限小数.其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，时水量为，此时再打开出水管排水，时水量为，此时关闭进水管，直至容器中的水全部排完．在整个过程中，容器中的水量与时间之间的函数关系的图象如图所示，则当容器中的水全部排完时，图象与轴的交点的值为（　　） A．9 B． C． D．8 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分） 9．要使二次根式有意义，则实数x的取值范围是　 　． 10．分解因式：　 　． 11．对于实数x，y定义一种新运算“*”：，例如：，当分式方程解为正数时，则m的取值范围　 　． 12．已知M是满足不等式 的所有整数的和，N是 的整数部分，则 的平方根为　 　． 13．如图，菱形的对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接．若，则　 　(用含的代数式表示)；若，，则菱形的面积为　 　 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是　 　． 15．如图，正五边形的边长为1，以点为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留）． 16．某批电子产品进价为300元/件，售价为400元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于20%，则最多可降价　 　元. 三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解方程或计算： （1）； （2） 18．解不等式组：． 19．先化简，再求值：，其中． 20．如图，在中，，.点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接. （1）求证：为等边三角形； （2）求证：； 21．（1）如图1，在矩形中，，，是上一点，连接，，且，求的值． （2）如图2，四边形是某市工业区的外环路，是工业区内的一条公路，长．为了缓解交通，需过处修建一条笔直的公路，并与所在的公路垂直，与所在的公路相交于点．已知，，，，求该工业区四边形的面积． 22．已知一次函数的图象与坐标轴交于点，，与正比例函数的图象交于点C． （1）求一次函数的表达式： （2）请直接写出时x的取值范围． 23．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB； （3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长． 24．甲、乙两工厂为某公司生产同一款衬衫，质检员在两个工厂各抽查六次进行质检，每次随机抽取100件，获得数据后绘制成如下统计图，并对数据统计如下表．公司规定合格率大于等于92%视作本次质检通过． 工厂 通过次数（件） 平均数（件） 中位数（件） 众数（件） 甲工厂 a c 94.5 97 乙工厂 b 94 d 94 （1）求a，b，c，d的值． （2）公司打算从甲、乙两工厂中选择一个继续生产．请你以质检员的身份向公司推荐一家工厂从多个角度分析数据，简述推荐理由． 25．某九年一贯制学校由于学生较多，学校食堂采取错时用餐，初中部每个同学必须在30分钟用好午餐.为了给食堂管理提出合理的建议，小明同学调查了某日11：30下课后15分钟内进入食堂累计人数（人）与经过的时间分钟（为自然数）之间的变化情况，部分数据如下： 经过的时间/分钟 0 1 2 3 4 5 ... 10 累计人数（人） 0 95 180 255 320 375 ... 500 当时与之间的函数关系式. 已知每位同学需排队取餐，食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐. （1）根据上述数据，请利用已学知识，求出当时，与之间的函数关系式. （2）排队人数最多时有多少人? （3）若开始取餐分钟后增设个窗口（受场地限制，窗口总数不能超过10个），以便在11点40分时（第10分钟）正好完成前300位同学的取餐，求的值. 26．已知二次函数（其中a、c为常数，），且满足. （1）若函数图象经过点，求函数的表达式及其顶点坐标； （2）若点在此二次函数图象上，且当时，随的增大而增大，求的最小值. 27．已知：正方形，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点处，使三角板绕点旋转. （1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想与的数量关系，并加以证明； （2）在（1）的条件下，若，求的度数； （3）若，点是边的中点，连结，与交于点，当三角板的边与边重合时（如图2），若，求的长. 28．在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点” （1）如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则　 　 ，在点，，，中，矩形的“关联点”是　 　 ． （2）如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”求的取值范围； （3）已知点，图形是以为圆心，为半径的若线段上存在点，使点为的“关联点“，直接写出的取值范围． 参考答案 1．A 2．B 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B 9． 10． 11．且 12．±3 13．； 14．或 15． 16．40 17．（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 （2）解：原式 18．解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为 ​​​​​ 19．解：原式， 当时，原式． 20．（1）解：∵在中，， ∴， 又∵点D是的中点 ∴ ∴ ∴为等腰三角形 又∵ ∴为等边三角形 （2）解：由（1）可知为等边三角形 ∴ ∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ 即 在和中 ∴ （SAS） ∴ 21．（1）；（2） 22．（1） （2） 23．（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）． 24．（1）解：甲工厂： 由折线统计图可得：大于等于92%的有4次，故a=4； 通过的平均数为：，故c=94； 乙工厂： 由折线统计图可得：大于等于92%的有5次，故 ； 排列后居于中间的两个数为94，94，故， ∴ ， ， ，； （2）推荐甲工厂，虽然甲工厂的质检通过次数比乙少一次，但是平均数与乙相同，中位数与众数均大于乙，并且从折线统计图看，甲工厂在质检中衬衫的合格数量越来越多，而乙越来越少． 25．（1）解：根据表格数据，当时，设与之间的函数关系式为， 将（0，0），（1，95），（2，180）代入关系式，得， 解得：， ∴当时，与之间的函数关系式为； （2）解：设排队人数为人， ∵食堂开放5个窗口，每个窗口每分钟4个同学取好餐， ∴每分钟取好餐的同学人数为：5×4=20（个）， 当时，， ∴当时，有最大值为320； 当时，， 排队人数最多时有320人； （3）解：∵开始取餐分钟后增设个窗口，在11点40分时正好完成前300位同学的取餐， ∴， ∴， 都是自然数， ∴， . 26．（1）解：由题意知，列方程组得：， 解方程组得： 所以 所以二次函数的顶点坐标为. 答：二次函数的表达式为，顶点坐标为 （2）解：因为当时，随的增大而增大， 所以抛物线的对称轴且，即 因为，所以，所以 则当时， 因为，所以的最小值为 27．（1）解： ， 在正方形 和等腰直角三角形 中， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ （2）解：设 ， ∵ ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ，即 ∴ 为直角三角形， ∴ ∴ （3）解：∵ 是 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ， ∴ . 28．（1）5；， （2）解：，四边形是正方形， ， 过点作垂直直线，交于点， 当时，， ， ， 时，直线上存在点，使点为正方形的“关联点”； （3）解：是为圆心，为半径的圆， ， 当点在轴负半轴上时，过点作交于点，交圆于点， 当时，， ，， ，， ， ， ， 此时， 当时，， ， 时，线段上存在点，使点为的“关联点”； 当点在轴正半轴上时，当时，此时， 当时，，解得或舍， 时，线段上存在点，使点为的“关联点”； 或时，线段上存在点，使点为的“关联点”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$