2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲）-2026年高考数学一轮复习《一隅三反》系列（新高考新题型）

2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲） 考向一 函数的对称性 【例1-1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【一隅三反】 1.（24-25安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数的正确结论有（    ） A．无对称轴 B．无对称中心 C．有对称轴 D．有对称中心 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 5．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 考向二 函数的周期性 【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数，满足，当，，则 . 【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D．1 【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（   ） A． B．1 C．0 D．3 【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，则（   ） A． B． C． D． 2（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．-2 4.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．2 D．2025 考向三 函数性质的综合应用---解不等式 【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2025·河北）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2025广东）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为 ． 考向四 函数性质的综合应用---比较大小 【例4】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 考向五 函数4大性质的综合应用 【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称 C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称 【例5-2】（2026·广西）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 【一隅三反】 1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 2．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（   ） A．函数的一个周期 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点 3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 考向六 函数图像 【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1.（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   2．（23-24 云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A．B． C． D． 考向七 抽象函数 【例7-1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【一隅三反】 1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D． 考向八 函数新定义 【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【一隅三反】 1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（    ） A．，是“正方和谐函数” B．若 为“正方和谐函数”，则 C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数 D．若为“正方和谐函数”，则对，成立 3．（2025·云南·一模）（多选）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 函数的对称性、周期性、图像（精讲） 考向一 函数的对称性 【例1-1】（24-25高三下·四川成都·开学考试）已知函数，则（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】C 【解析】对于A：，A错； 对于B：，B错； 对于C：由， 所以关于直线对称，C对； 对于D，，故D错； 故选：C 【例1-2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 【例1-3】（2025·河南·一模）已知曲线关于点中心对称，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为关于点中心对称，所以， 所以，可得，故选：C． 【一隅三反】 1.（24-25安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称， 又函数的图象是的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的， 所以函数图象对称中心的是，故选：B 2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知函数，则的图象（    ） A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于原点对称 【答案】B 【解析】函数， 对于A，， 故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）（多选）下列关于函数的正确结论有（    ） A．无对称轴 B．无对称中心 C．有对称轴 D．有对称中心 【答案】BC 【解析】的图像关于对称的折线， 函数的图像是由向下平移2个单位， 再把轴下方的部分沿轴对称翻折到轴上方，函数的对称轴仍为，无对称中心． 故选：BC. 4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列说法正确的是（   ） A．函数的图象关于点中心对称 B．函数满足为奇函数，则函数关于点中心对称 C．若函数过定点，则函数过定点 D．若函数的图象关于点中心对称，则 【答案】ABC 【解析】对于A中，函数， 其图象可以由的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 且的图象关于原点对称，故的图象关于点中心对称，所以A正确； 对于B中，因为为奇函数，可得， 所以，所以， 所以函数关于点中心对称，所以B正确； 对于C中，函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 由于过定点，所以函数过定点，所以C正确； 对于D中，函数的图象关于点中心对称， 所以，解得，所以，所以D不正确． 故选：ABC. 5．（24-25高三下·河南周口·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【解析】因为函数的图象关于直线对称， 所以对恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，恒成立， 所以恒成立，所以恒成立，所以. 故答案为：. 6．（2025高三·全国·专题练习）若函数的图象关于点对称，则 . 【答案】 【解析】设是的图象上一点， 关于点的对称点为， 由题知点也在的图象上，则 ， 两式相加得， 所以恒成立，故， 且，整理得. 若，则，此时的图象不关于点对称，不符合要求； 若，则，符合要求，所以. 法二： 由的图象关于点对称，得函数的定义域关于对称， 即的解集关于对称，得，所以， 设， 则， 故的图象关于点对称， 故的图象关于点对称， 所以，所以. 故答案为：. 考向二 函数的周期性 【例2-1】（2025·上海嘉定·三模）函数，满足，当，，则 . 【答案】1 【解析】因为满足，所以的周期为，. 故答案为：1. 【例2-2】（2026高三·全国·专题练习）已知函数满足对于任意的实数，都有，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】由得，所以函数的周期， 所以．故选：B. 【例2-3】（2026高三·全国·专题练习）已知奇函数的图象关于直线对称且，则（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【解析】的图象关于直线对称，， 又为奇函数，，， ，是以4为一个周期的周期函数， ． 故选：B. 【例2-4】（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由①可得， 由②可得， 因此，所以的周期为8， ， 由于， ， 故选:A 【例2-5】（2026高三·全国·专题练习）已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数为偶函数，可得，即， 可得函数关于对称，则， 又由是奇函数，可得， 所以函数关于点对称，则，且， 所以，即，即函数的周期是4， 则， 由，可得， 所以，则， 即，所以， 即导函数关于点对称，且， 又由，可得，即导函数的周期是4， 则，所以． 故选：D． 【一隅三反】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义在上的奇函数满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为定义在上的奇函数满足， 所以，所以，即， 所以是周期为的周期函数，且，， 所以． 故选：C． 2（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 3.（2024·陕西榆林·二模）已知定义在上的函数满足，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．-2 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以是以4为周期的周期函数，所以.故选：B 4.（24-25高三下·甘肃白银·阶段练习）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（   ） A． B．0 C．2 D．2025 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以，， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 同理，由，得， 因为，所以，即， 因为，所以， 则，则， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 由．得，所以．即， 所以． 故选：A． 考向三 函数性质的综合应用---解不等式 【例3-1】（2025·河南·三模）已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且满足在区间上单调递减，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得的图象关于直线对称， 又，得，解得， 由在上单调递减，可知在上单调递增， 画出的大致图象如下所示， 结合图象及可得或， 解得或， 不等式的解集为. 故选：D. 【一隅三反】 1.（2025·河北）已知函数为偶函数，且函数在上单调递增，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以的图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称． 因为在上单调递增，所以在上单调递减． 因为，所以，解得． 故选：A. 2.（2025广东）已知函数的定义域为R，，且在上单调递减，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】（C 【解析】因为，，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递减，所以在上单调递增， 结合草图可知：要使，则到的距离小于到的距离，故不等式等价于，两边同时平方后整理得，解得或. 故选：C． 3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递减，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】是偶函数，的图象关于直线对称， 的图象关于直线对称， 又在上单调递减，在上单调递增． 又，，，，即，， 原不等式的解集为．故答案为：. 考向四 函数性质的综合应用---比较大小 【例4】（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即. 故选：D. 【一隅三反】 1.（2026高三·全国·专题练习）已知定义在R上的奇函数满足，当时，单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，∴函数是周期为4的周期函数，， 又因为当时，单调递增，，即． 故选：B. 2.（2025·江西九江·二模）已知是定义在上周期为2的偶函数，且当时，.设，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 且在[0，1]上单调递减，因为，所以， 故选:B. 3.（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）（多选）定义在R上的奇函数满足，且当时，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】定义在R上的奇函数，由，得， 则，函数是周期为4的周期函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， ， ，而， 所以，C正确，ABD错误. 故选：ABD 考向五 函数4大性质的综合应用 【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数的周期为2 B．函数的图象关于直线对称 C．函数为奇函数 D．函数的图象关于点对称 【答案】D 【解析】对于A，由，得， 则，函数的周期为4， 取，则， 为偶函数， 而最小正周期为，故A错误； 对于B， 由为偶函数，得， 故， 所以函数的图象关于直线对称且关于点对称，B错误； 对于C，由选项B知，，则函数为偶函数，C错误； 对于D，由，，得， 则，函数的图象关于点对称，D正确. 故选：D 【例5-2】（2026·广西）已知，分别为定义在R上的，的导函数，且，，若是偶函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称 C．3是的一个周期 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以， 所以函数的对称中心为点，又， 所以函数的图象关于点对称，A不正确； 是偶函数，所以，所以， 即为奇函数，对称中心为，函数的另一个对称中心为点， 所以的周期为2，C不一定正确； 函数及的周期与相同，周期为2．的图象关于点对称， ，所以，函数的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称，B正确； 因为，，故，D不正确． 故选：B. 【一隅三反】 1.（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知函数是R上奇函数，是R上偶函数，且，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为函数是R上奇函数，所以， 因为函数是R上偶函数，所以， 对于，取为得：，即， 联立，可得， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，对于，取为，得， 因为，所以， 由A选项知，取为，得， 联立，得， 取为，得， 取为，得， 所以，所以函数是周期为4的周期函数，故B正确； 对于C，由函数是R上奇函数可知，， 因为是R上偶函数，所以， 所以， 又因为是周期为4的周期函数，所以，故C错误； 对于D，由A选项知，所以，， ，， 由C选项知, 所以，故D正确. 故选：ABD. 2．（2025高三下·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足，则以下结论成立的是（   ） A．函数的一个周期 B． C．点是函数图象的一个对称中心 D．在上有4个零点 【答案】ABC 【解析】对于选项A：由定义在上的奇函数的图象连续不断，且满足， 可知函数的一个周期为，故A正确； 对于选项B：由可得，则， 即，且， 又因为， 所以，故B正确； 对于选项C：因为， 可得点是图象的一个对称中心，故C正确； 对于选项D：例如满足题意，但在上有无数个零点，故D错误； 故选：ABC. 3.（2025·河北秦皇岛·二模）（多选）记定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则（   ） A． B．的图象关于直线对称 C．是周期函数，且其中一个周期为8 D． 【答案】BC 【解析】由题意，函数与的定义域均为. 由求导可得，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 由求导可得， ， ，则（为常数）， 令，则有，所以，即， 所以，即函数的图象关于直线对称. 又由可得， 则有， ， ，即， 所以函数的图象关于点对称. 所以函数是周期函数，周期.证明如下： 由可得， 由上述结论可知，所以. 则，即， 又由可得，所以. 所以是周期函数，且其中一个周期为8，故C正确； 对于A，因为，， 若，则，与矛盾. 故A错误； 对于D，由求导可得， 则有，因为，所以 则（是常数），令，可得， 所以，即函数的图象关于直线对称. 所以，函数也是周期函数，周期. ，令，可得， 根据对称性可知，， 所以. 所以，不确定是否为0，故D错误. 故选：BC. 4．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知定义在上的函数，满足，，且为奇函数，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为偶函数 D． 【答案】AC 【解析】对于AB，因为为奇函数，所以的图象关于点对称，则． 在中，令，得． 由，得． 令，得． 因为，， 所以，所以为偶函数，，故A正确，B错误； 对于C，由为偶函数，知， 即， 所以的图象关于直线对称，故是周期为4的周期函数， 所以． 又的图象关于直线对称，所以是偶函数，所以也是偶函数，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以． 又，所以，故D错误． 故选：AC． 考向六 函数图像 【例6-1】（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C； ， 当时，， 且， 而，即，故， 所以在的单调递增区间上，AD不满足，B满足. 故选：B 【例6-2】（2025·四川南充·三模）函数的图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知的图象关于原点对称，则为奇函数， 对于A ：定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为偶函数，不符合题意，故A错误； 对于C：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为偶函数，不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以为奇函数， 当时，，，所以恒成立，不符合题意，故D错误； 故利用排除法可知选项B符合题意. 故选：B 【一隅三反】 1.（2025·山东·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【解析】首先：， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD. 又，故排除B. 故选：A 2．（23-24 云南大理·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，定义域为， ， 令，得， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C， 当时，，，，所以，排除B， 只有D中图象符合题意； 故选：D 3.（2025·湖北·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示、则的解析式可能为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【解析】由奇偶性判断可知： 是偶函数，是奇函数，是偶函数，是奇函数， 而函数图象是关于轴对称，必然是偶函数，所以BD错误； 再当时，可知，故A错误； 所以C正确，故选：C. 考向七 抽象函数 【例7-1】（24-25高三上·福建漳州·阶段练习）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【解析】对于A,根据题意令，则由可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 【一隅三反】 1．（2024·黑龙江·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【例7-2】（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 【答案】ACD 【解析】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确； 取，则，所以，即B错误； 因为，所以，所以，即C正确； 取，已知函数在上单调递增，则，又， 若存在，则，所以，即D正确. 故选：ACD. 【例7-3】（2025·广东深圳·三模）（多选）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，令，则， 因为，所以，解得，故A正确； 对于B，令，则，得， 由A可知，所以，即， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C，令，则，即. 假设的图象关于直线对称，则有，与矛盾， 所以假设不成立，的图象不关于直线对称，故C错误； 对于D，由于且，则有，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 考向八 函数新定义 【例8-1】（2025·山东·模拟预测）若定义在上的函数，，，，可以作为一个三角形的三条边长，则称是上的“三角形函数”．已知函数是定义在区间上的“三角形函数”，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，令得， 令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又，， 故， 由题意得，即， 解得. 故选：A 【一隅三反】 1．（2025·云南·一模）（多选）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意，都有成立，则称为 “类周期函数”．下列函数中是类周期函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以，所以为 “类周期函数”，故A正确； 对于B，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故B错误； 对于C，因为，当且时， ， 所以为 “类周期函数”，故C正确； 对于D，因为，所以，所以不为 “类周期函数”，故D错误； 故选：AC. 2．（2025·山东·二模）（多选）若定义在上的函数同时满足：①；②对，成立；③对，，，成立；则称为“正方和谐函数”，下列说法正确的是（    ） A．，是“正方和谐函数” B．若 为“正方和谐函数”，则 C．若为“正方和谐函数”，则在上是增函数 D．若为“正方和谐函数”，则对，成立 【答案】ABD 【解析】对于A, 函数，，显然满足条件①②． 对任意，且时，． 函数在区间，上为“正方和谐函数”．故A正确. 对于B，若函数为“正方和谐函数”， 则令，，得，即， 又由对，，，故B正确； 对于C，设，则，所以 ，即有， 函数在区间上不一定是单调递增，故C错误； 对于D，①当时，成立， ②当时， ，， ③当时，，，则； 显然，当时，成立； 假设当时，有成立，其中， 那么当时，， 可知对于，总有，其中， 而对于任意，存在正整数，使得，此时 综上可知，满足条件的函数对时总有成立. 故D正确， 故选：ABD 3．（2025·云南·一模）（多选）定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为 “凸函数”.下列函数是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A： 对，，恒成立. 左右平方得，化简得，显然恒成立，故A正确. 对B：对，，恒成立. 化简得显然不恒成立，故B不正确； 对于C，对，，恒成立 由在上单调递增，故， 化简可得，显然对恒成立，故C正确； 对D：， ，即，故D错误. 故选：AC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$