2.3 函数的奇偶性，周期性，对称性-【红对勾讲与练·讲义】2026年高考数学大一轮复习全新方案基础版

028 红对构·讲与练·高三数学·基础版 聚焦)学科素养 数学探究背景下的“函数有界性”问题 若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒 成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数 f(x)的一个下界；若存在M,使得f(x)≤M对 任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界， 其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数 》素养检测K《 既有上界又有下界，那么称该函数有界. (多选题)定义在D上的函数∫(x),若满足 【题目呈现】（多选题）下列说法正确的是 对任意x∈D,存在常数M>0,都有 ( |f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界 A.1是函数f(x)=x十二(x>0)的一个下界 函数，下列函数中，是在其定义域上的有界函数 x 的有 () 第 B.函数f(x)=xlnx有下界，无上界 章 C两数fx)-有上界，无下哭 A.y= x2+1 B.y=2 D.函数f(x)= 如有界 C.y=16-2 学生试答： D.y=x-[x]([x]表示不大于x的最大 整数) 》温馨提示 学习至此，请完成训练7 2.3 函数的奇偶性、周期性、对称性 考试 1.了解函数奇偶性、周期性的概念和几何意义.2.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式 要求 和推论.3.掌握奇偶性、周期性、对称性的简单应用. a 回顾》必备知识 》知识梳理《 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域 1.函数的奇偶性 为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个 项目 偶函数 奇函数 x∈D都有x+T∈D,且 ,那么函 数∫(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个 般地，设函数 一般地，设函数 函数的周期. f(x)的定义域为f(x)的定义域为 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有 D,如果x∈D, D,如果x∈D, 定义 都有一x∈D,且 周期中存在一个最小的 都有一x∈D,且 ,那么这个最小 那 就叫做∫(x)的 ,那么 函数f(x)就叫做 么函数f(x)就叫 ○常用结论与知识拓展 偶函数 做奇函数 1.奇（偶）函数定义的等价形式（已知f(x)≠0） (1)f(-x)=f(x)台f(-x)-f(x)=0台 图象特征 关于 对称关于 对称 f一x)=1台f(x)为偶函数. f(x) 第二章函数的概念与基本初等函数029 (2)f(-x)=-f(x)台f(-x)+f(x)=0台 衔接解读：函数的“对称性”是函数奇偶性更 f二)=-1曰f(x)为奇函数. “一般化”的表现形式，高考试题在解答题中设置函 f(x) 2.函数奇偶性常用结论 数对称性的考查，有效检测了学生对函数对称性的 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x=0处有定义， 理解与应用，教材是以习题方式揭示函数对称性与 那么一定有f(0)=0.如果函数f(x)是偶函数，那么 奇偶性的关系，体现“一般”与“特殊”的基本数学思 f(x)=f(x). 想，引导教学过程中要善于抓住知识间的本质和内 (2)在公共定义域内：奇士奇=奇，偶士偶=偶， 在联系 奇X奇=偶，偶X偶=偶，奇X偶=奇. 3.函数周期性常用结论 》基础检测《 对f(x)定义域内任一自变量的值x: 1,判断下列命题是否正确，正确的在括号内画 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). “/”,错误的画“X”. fr)则T=2a(a>0. 1 (2)若f(x+a) (1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象 第 fr):则T=2a(a>0). 1 (3)若f(x+a)= 一定过原点. ( (2)函数y=x2(x>0)是偶函数. 章 ( 4.函数对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(.x十a)是偶函数，即f(a-x)= (3)若函数y=f(x十2)为奇函数，则函数y f(a十x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a f(x)的图象关于点(2,0)对称， () 对称 (4)函数y=3r与y=3r的图象关于直线x= (2)若对于R上的任意x都有f(2a一x)=f(x) 1对称. （) 或f(-x)=f(2a十x),则y=f(x)的图象关于直线 2.(教材改编题)若函数f(x)=x2+(a十5)x+ x=a对称. b是偶函数，定义域为[a,2b],则a+2b= (3)若函数y=f(x十b)是奇函数，即f(一x十 b)十f(x十b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b, 0)对称. 3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上的 考教衔接 奇函数，且当x>0时，f(x)=x(1+x),则 【高考这样考】 f(-1)= (2024·新课标I卷节选)已知函数f(x) 4.(教材改编题)设f(x)是以2为最小正周期的 1n2二x+ax+b(x-1).求证：曲线y=f(x) 周期函数，且当x∈[0,2]时，f(x)=(x-1)2, 是中心对称图形 则f(5)= () 【教材这样教】 5.(多选题)（教材改编题）已知函数(x)的定义 (人教A版必修第一册P87习题3.2第13题)我们 知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心 域为R,其图象关于点(1,2)中心对称，若 对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数， f(x)-f(4-x》=2-x,则 有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图 4 象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是 A.f4-5)+f(5x-2=1 函数y=f(x+a)一b为奇函数. 4 (1)求函数f(x)=x3一3x2图象的对称中心； B.f(2)+f(4)=4 (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图 C.y=f(x+1)一2为奇函数 象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y= D.y=f(2十x)十2x为偶函数 f(x)为偶函数”的一个推广结论. 030 红构·讲与练·高三数学·基础版 提升>关键能力 考点1函数的奇偶性 (2)(2024·天津卷)下列函数是偶函数的是 ( 命题角度1 函数奇偶性的判断 【例1】判断下列函数的奇偶性. A./(x)=c-z x2+1 B.f()=cos x+2 x2+1 1 (1)f(x)=x3-; C.f(x)= e-x x+1 D.f(x）=sinx+4x 1g(4-x2) (2)f(x)=x2+1x+4T 命题角度2 函数奇偶性的应用 【例2】(1)(2024·上海卷)已知f(x)=x3+a, (3)f(x)=√x2-1+√/1-x; 且f(x)是奇函数，则a= -x2+2x+1,x>0, (4)f(x)= (2)(2023·全国甲卷)若f(x)=(x-1)2+ x2+2x-1,x<0. 第 学生试答： ax十sin(x+）为偶函数，则a= 章 (3)(2021·新高考I卷)已知函数f(x)= x3(a·2r一2)是偶函数，则a= 学生试答： 规律总结 利用函数的奇偶性求参数值的方法：利用 f(z)与f(一x)的关系构造等式，然后求解使等式 恒成立的参数值 【对点训练2】(1)(2023·新课标Ⅱ卷改编)若 规律总结 )=u十n经帚为钙函数：则a 判断函数奇偶性的方法 (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶 (2)(2023·全国乙卷改编)已知f(x)= 性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(一x)是否具有等量关系， ear -1 是偶函数，则a= 在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的 (3)已知函数f(x)的定义域为R,y=f(x)十 等价等量关系式(f(x)+f(一x)=0(奇函数)或 f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. e是偶函数，y=f(x)-3e是奇函数，则 f(ln3)的值为 【对点训练1】(1)(2021·全国乙卷)设函数 f()=}二工则下列函数中为奇函数的是 考点2函数的周期性 1+x 【例3】(1)若存在常数p>0,使得函数f(x)满 A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1 足f(px)=f(bx-)x∈R),则f(x)的 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 一个正周期为 第二章 函数的概念与基本初等函数 031 (2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定 规律总结 义域为R,且f(x十y)十f(x一y) 函数f(x)满足的关系f(a十x)=f(b一x)表 22 f(x)f(y),f(1)=1,则∑f(k)= 明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系 k=1 f(a+x)=f(b十x)(a≠b)表明的是函数的周期 A.-3 B.-2 C.0 D.1 性，在使用这两个关系时不要混淆， 学生试答： 【对点训练4】 1)已知函数f(x)=1+4十2的 图象关于点（兮）对称，则实数。的值为 (2)已知函数f(x)=2x8-3a.x2+1. 规律总结 ①求证：存在实数a,使得曲线y=f(x)关于 1.求解与函数周期有关的问题，应根据题目特 点(1，f(1))对称： 征及周期定义求解. 第 ②是否存在实数a,b,使得曲线y=f(x)关于 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、 直线x=b对称？ 求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上， 进而解决问题. 【对点训练3】(1)设定义在R上的函数f(x)满 足f(x)f(.x+3)=12,f(1)=4,则f(100)= (2)已知函数f(x)满足f(x)=f(x+4),当 x∈[-1,3)时，f(x)=2+a,且f(2023)= 则当x∈-7，-3)时，不等式fx)>号 的解集为 考点3函数的对称性 命题角度1函数“自对称” 【例4】(1)已知函数f(x)=x3十a.x2+x十b的 命题角度2两个函数的对称性 图象关于点(1,1)对称，则b= 【例5】(1)函数y=21与y=2的图象 (2)(2022·全国乙卷理)已知函数f(x), ( g(x)的定义域均为R,且∫(x)十g(2一x) A.关于y轴对称 5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关 B.关于直线x=1对称 于直线x=2对称，g(2)=4,则∑f(k) C.关于直线x=一1对称 D.关于直线x=2对称 (2)设函数f(x)=lnx,g(x)=1一er.求 A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 证：y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于 学生试答： 直线x+y一1=0对称. 学生试答： 0322对构·讲与练·高三数学·基础版 【对点训练5】(1)函数y=3与y=32的图象 () A关下直线：-子对称 1 B.关于直线x=2对称 C.关于直线x=1对称 D.关于直线x=2对称 规律总结 (2)已知函数g(x)的图象与f(x)=x2-m.x 有关两个函数的对称性问题的解题策略 的图象关于点(1,1)对称，且g(x)的图象与 (1)判断两个函数的图象是否是同一函数图象 直线y=4x一6相切，则实数m=() 变换得到. A.2 B.-1 (2)可以设点，再根据“中心对称”或“轴对称” C.-4 D.4 第 的对称规律进行求解即可· 章 聚焦学科素养。数学探究背景下的“局部奇（偶）函数”问题 若函数f(x)的定义域内存在实数x,满足 素养解读 一x也在定义域内，且f(一x)=一f(x),则称函 有关局部奇（偶）函数的问题的解题策略：根据 数f(x)为“局部奇函数”；满足f(一x)=f(x), 函数的奇偶性的特征，将其转化为相应方程在给定 则称函数∫(x)为“局部偶函数” 区间内有解的问题即可 【题目呈现】定义：对于函数f(x),若定义 域内存在实数x。,满足一x。也在定义域内，且 》素养检测《 f(一x)=一f(x。),则称f(x)为“局部奇函数”， 已知函数y=f(x),若在定义域内存在实数 x,一x也在定义域内，使得∫（一x)= 若f(x)=3十mx∈（-2,2)是定义域内的 一k∫(x),其中k为正整数，则称函数y= “局部奇函数”，则实数m的取值范围是 f(x)为定义域上的“k阶局部奇函数”，若 学生试答： f(x)=log2(x+m)是[-1,1]上的“1阶局 部奇函数”，则实数m的取值范围是 》温馨提示 学习至此，请完成训练8 微专题一 函数性质的综合应用 命题角度1函数的单调性与奇偶性 (2)(2024·河北沧州高三联考)已知∫(x) 【典例1】(1)函数f(x)在(-∞，十∞)上单调 是偶函数，且对任意x1,x2∈(0，十∞)，x1≠ f(x1)-f(x2 递减，且为奇函数，若f(1)=一1，则满足 C2 x1一x2 2>0,设a=f()b 一1≤f(x一2)≤1的x的取值范围是 f(log37),c=f(-0.83),则 A,6<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<bx+1 解析：y=2十4红十4 1 x+1 2 2(x+1)'+2= (x+1)十 1,设 x+1 x十1=t≥1，而y=t+上在 [1,十∞)上单调递增，所以y=t十 ≥2，当且仅当1=1时，等号成立， 1 2 则y= 17 (+1)+ e(o4」' x+1 所以函数的最大值为 1 聚焦学科素养 题目呈现ABD对于A,当x>0时， x十1≥2（当且仅当x=1时取等 号)，∴.f(x)>1恒成立，.1是f(x) 的一个下界，故A正确；对于B, .f'(x)=lnx+1(x>0),∴.当x∈ (o,）时fx)<0,当x∈（日 +o∞）时，f(x)>0,∴f(x)在（0， ）上*调递减，在（日十一）上单 调递增f(x)≥f(日)=-日 .f(x)有下界，又当x趋向于十∞ 时，f(x)趋向于十∞，∴∫(x)无上 界，综上所述，f(x)=xlnx有下界， 无上界，故B正确；对于C,x>0, 。>0…号>0fx)有下界，故 e C错误；对于D,:sinx∈[-1,1]， -1 sin x ≤≤中又 x+1≥1， -1 1≤1…-1< x2+1 <1)所有上米又有下 界，故D正确.故选ABD. 素养检别加对于A一 x 当x=0时，十0，当 x≠0时，x⊥ 1 ,2+11x+x 1 ==之，当且仅当 1 x 1 x=正，即x=士1时等号成立， 即对于任意x∈R0≤于 。,所以存在常数M≥0，使得 fx)≤M成立，故y=+为 有界函数；对于B,当x∈R时，由指数 函数的性质可知y=2可以无穷大， 所以对于任意x∈R,不存在常数 M>0,使得|f(x)≤M成立，故 y=2不为有界函数；对于C,当x∈ R时，由指数函数的性质可知y=2 可以无穷大，所以y=16一2可以无 穷小，所以不存在常数M>0,使得 f(x)M成立，故y=16-2"不 为有界函数；对于D,当x∈R时，0≤ x-[x]<1,则0≤x-[x]<1, 所以存在常数M>0,使得f(x)| M成立，故y=x一[x]为有界函数. 故选AD 2.3函数的奇偶性、 周期性、对称性 …》回顾·必备知识《… 知识梳理 1.f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x) y轴原点 2.(1)f(x+T)=f(x) (2)正数正数最小正周期 考教衔接 证明：由2产>0得0<1<2，定义 域关于直线x=1对称，f(2一x) 1n22+a(2-x)+b(1-x)3= 一ln2x x -a.x-b(x-1)3+2a= -f(x)十2a,故曲线y=f(x)关于 点(1，a)中心对称. 基础检测 1.(1)×(2)×(3)/(4)/ 2.0 解析：因为f(x)是偶函数，函数的定 义域关于原点对称，所以a十2b=0. 3.-2 解析：f(1)=1×2=2,又f(x)为奇 函数，所以f(-1)=一f(1)=-2. 4.0 4 解析：f(5)=f(1+2×2)=f(1)=0, f()=f(3+2×2)=2)= 4 5.ACD对于A,f(x)的定义域为R,其 图象关于点(1,2)中心对称，故f(4 5x)+f(5x 2)=4,故 f(4-5x)十f(5x-2=1,A正确； 对于B,由题意得f(4-x)十f(x 2)=4,又fx)-f4-x)=2-x, 故fx)十fx-2)-4=2-x,令 4 工=4得4)+f2)-4=2-4,即 4 f(4)+f(2)=-8十4=-4，B错误； 对于C,由题意得f(1一x)十f(x+ 1)=4,即f(1-x)-2=-[f(x+ 1)-2],令g(x)=f(x十1)-2，则 g(-x)=-g(x),所以y=f(x十 1)一2为奇函数，C正确；对于D,因为 f(x)-f(4-x) 4 =2一x,所以 f(x+2)-f(2-x）=2-x 4 2=-x,即f(x十2)-f(2-x)= -4x,故f(x十2)十2x=f(2-x) 2x,令h(x)=f(2十x)十2x,则 h(x)=h(-x),故y=f(2+x)+2x 为偶函数，D正确.故选ACD. …》提升·关键能力《… 例1解：(1)原函数的定义域为{xx手 0},关于原点对称，并且对于定义域内 的任意一个x都有f(一x)=（一x)3 =-(-）=-fx)所以 x 函数f(x)为奇函数 2)h,220,4≠0 得一2<x<2,即函数f(x)的定义域 是{x一2<x<2},关于原点对称， 因此f(x)= 1g(4-x2) (2-x)+(x+4) 名g4-),所以f(-z)=fx 因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{一1,1}，关于原 点对称.又f(一1)=(1)=0， f(-1)=一f(1)=0,所以f(x)既 是奇函数又是偶函数 (4)由题意得，定义域关于原点对称， 当x<0时，-x>0,f(-x)= -x2-2x+1=-(x2+2x-1)= 一f(x),因此函数f(x)是奇函数. 对点训练1(1)B因为f(x)= 1-x 1+x 1-(x-1D_2-x 所以f(x一1）=1+(x-D工 1-(x十1) fx+1)=1+x+=+2对于 A,设Fx)=fa-1D-1=2-x 1=2一2工，定义域关于原点对称，但 不满足F(x)=一F(一x):对于B,设 G(x)=f(x-1)+1= 2一工+1= x 二，定义裁关于原点对称，且满足 G(x)=一G(一x),即G(x)为奇函 -x 数；对于C,f(x十1)一1= x+2 1=二x二x2=2红十，定义城 x+2 x+2 不关于原点对称：对于D,f(x十1)十 1= 11 一x十x+22 x+2 x+2 定义域不关于原，点对称，故选B (2)B对于Af(x)=e-x ，函数 x2+1 定义城为R,f(-1)=e-1 2,f(1)= 2,则f(一1)卡f(1),故A错误：对 于B,f(x)=cosx十x ,函数定义域 x2+1 为R,且f(-x)= Cos(-x)+(-x)2 (-x)十1 COsx十x -=f(x),则f(x)为偶函 x2+1 数，故B正确；对于C,f(x)=e一工 x+11 参考答案407