精品解析：河南省驻马店市第二初级中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

驻马店市二中2024-2025学年下学期期中质量检测 八年级 数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式中一定成立是（ ） A. B. C. D. 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 4. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 5. 如果不等式组解集是，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 7. 用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 13. 如图，OM平分∠POQ,MP⊥OP,MQ⊥OQ,S△POM=6cm2,OP=4cm,则MQ=____________________． 14. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为______． 15. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16 解不等式或不等式组 （1） （2） 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点分别是．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度） （1）画出与关于原点O成中心对称，此时点坐标为_______； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （3）由平移得到，是的边上一点，经平移后点P的对应点为，此时点的坐标为_______． 18. 如图，在中，． （1）作出边的垂直平分线，分别与交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 19. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简； （3）在m的取值范围内，且m为整数，当_______时，不等式的解为． 20. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 21. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车20辆进行销售． 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）为了保证该4S店购进的A型电动车不少于B型电动车的4倍，则A型车至少购进多少辆？ （2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进A型汽车多少辆？最大利润是多少？ 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式“友好不等式”． （1）不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； （3）已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 23. 已知和都是等边三角形． 【感知】（1）当旋转到如图1位置时，请直接写出和的数量关系：_______； 【应用】（2）如图2，当旋转至点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）当旋转至点D在射线上时，过点E作于点F，请直接写出线段与之间存在的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 驻马店市二中2024-2025学年下学期期中质量检测 八年级 数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列字母中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A中字母轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项B中字母不是轴对称图形,是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项C中字母既是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项D中字母是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 已知，则下列各式中一定成立是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的基本性质依次判断即可． 【详解】解：， ，故A错误； 当时，，故B错误； 当，时，，故C错误； ， ，故D正确； 故选：D． 3. 下列条件中，不能判断为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，熟记勾股定理逆定理是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理分析每个选项，得出正确答案． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理， 、，是直角三角形，故不符合题意； 、，， ，即是直角三角形，故不符合题意； 、， 不是直角三角形，故符合题意； 、， 是直角三角形，故不符合题意， 故选：． 4. 在联欢晚会上，有、、三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形特殊点(重心、内心、垂心、外心)的性质，解题的关键是理解 “游戏公平” 意味着凳子到 A、B、C 三点的距离相等，进而判断哪种特殊点到三角形三个顶点的距离相等． 先明确 “公平” 的本质：凳子位置到 A、B、C 三点距离相等；再分别回忆各选项特殊点的性质 —— 三边中线交点(重心)到顶点距离与到对边中点距离成；三条角平分线交点(内心)到三边距离相等；三边上高的交点(垂心)是高的交点，无到顶点距离相等的性质；三条垂直平分线交点(外心)到三个顶点距离相等，据此匹配符合条件的选项． 【详解】解：A、选项为三边中线的交点(重心) 重心的性质是到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之比为，并非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； B、选项为三条角平分线的交点(内心) 内心的性质是到三角形三边的距离相等，而非到三个顶点距离相等，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； C、选项为三边上高的交点(垂心) 垂心是三角形三条高的交点，无 “到三个顶点距离相等” 的性质，无法保证游戏公平，此选项不符合题意； D、选项为三条垂直平分线的交点(外心) 外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，此时凳子到 A、B、C 三名同学的距离相同，能保证游戏公平，此选项符合题意； 故选：D． 5. 如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的解集的过程叫解不等式组．先解第一个不等式得到，由于不等式组的解集是，然后根据同大取大得到的范围． 【详解】解：， 解①得， 不等式组的解集是， ． 故选：C． 6. 如图，在中，垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F，则的周长是（ ） A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得出，，进而可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点F， ∴，， ∴的周长为：， 故选：C． 7. 用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查不等式的应用，若设有x辆货车，由每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，可得不等式组． 【详解】解：若设有x辆货车， 根据题意列出不等式组为：， 故选：D 8. 如图，在等腰中，，点是边上的中点，，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，先根据等边对等角求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据三线合一的性质求出，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，点是边上的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 如图，已知一次函数与的图象的交点坐标为．现有下列四个结论：①；②；③方程的解是；④若，则，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与图象的交点坐标为得到时，，于是可对③进行判断；先确定一次函数的解析式为，再求出一次函数与x轴的交点坐标为，然后结合函数图象，写出在x轴下方，直线在直线的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三象限， ，所以①正确； 一次函数的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交， ，， ，所以②错误； 一次函数与图象的交点坐标为， 时，，所以③正确； 把代入得， 解得， 一次函数的解析式为， 当时，， 解得， 一次函数与x轴的交点坐标为， 当时，， 当时，，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数解析式，数形结合是解答本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∴第2025次旋转结束后，图形旋转了， 如图所示，旋转后的图形为作轴于H， ∵，， 设则 在中 （负值舍去） ∵点在第二象限， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 12. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 13. 如图，OM平分∠POQ,MP⊥OP,MQ⊥OQ,S△POM=6cm2,OP=4cm,则MQ=____________________． 【答案】3cm 【解析】 【详解】试题分析：先根据直角三角形的面积公式求得PM的长，再根据角平分线的性质即得结果. ∵S△POM=6cm2，OP=3cm ∴PM=4cm ∵OM平分∠POQ，MP⊥OP，MQ⊥OQ ∴MQ=PM=4cm. 考点：角平分线的性质，直角三角形的面积公式 点评：本题是角平分线的性质的基础应用题，在中考中比较常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般. 14. 如图，将沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．先判断出阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移的性质可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵沿着点B到点C的方向平移到的位置， ∴， ， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 15. 如图，在直角坐标系中，点，点，若动点P从坐标原点出发沿y轴正方向匀速运动，运动速度为，设点P运动时间为t秒，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于点D，作轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G， ∵点，点， ∴， 由勾股定理得： ∴在直角三角形中，， ∴， 此时； 当点P运动到点F或点H时，，， ∴， ∴或， ∴或， 又， ∴或 故答案为：或． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16 解不等式或不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组． （1）根据解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 解①式得： 解②式得： 则不等式组的解集为：． 17. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点分别是．（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度） （1）画出与关于原点O成中心对称，此时点坐标为_______； （2）以点B为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出； （3）由平移得到，是的边上一点，经平移后点P的对应点为，此时点的坐标为_______． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，C的对应点即可； （3）利用平移前后的坐标得出图形的平移方式，进而可求出的坐标即可． 【小问1详解】 解：如下图所示： 此时点的坐标为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：∵经平移后点的对应点为， ∴向左平移5个单位，再向上平移1个单位得， ∵， ∴， 即 18. 如图，在中，． （1）作出边的垂直平分线，分别与交于点D，与交于点E．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和尺规作图，等边对等角等知识，解题的关键是： （1）按照线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）由，求得，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解∶如图，即为所求， 【小问2详解】 解：如图， ∵，， ∴， ∴， 由作图知：垂直平分， ∴， ∴， ∴． 19. 已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． （1）求m的取值范围； （2）化简； （3）在m的取值范围内，且m为整数，当_______时，不等式的解为． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组、一元一次不等式组及绝对值的性质，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得出，由x为非正数，y为负数知，解之即可； （2）根据m的取值范围判断出，，再去绝对值符号、合并同类项即可； （3）由不等式整理得出，结合以上所求m的范围分情况讨论，继而可得整数m的值． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵x为非正数，y为负数． ∴， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵，m为整数， 故， 解不等式， 整理得：， 当时，即时，解集为：，此时符合题意， 当时，即时，不等式无解， 当时，即时， 解集为：，不符合题意，此时， 因此，唯一满足的条件的整数为：． 故答案为：2. 20. 如图，为的角平分线，于点，于点，连接交于点． （1）求证：垂直平分； （2）若，猜测与间有何数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是证明和；证明和题目比较典型，综合性强． （1）由为的角平分线，得到，推出和相等，得到，即可推出结论； （2）由已知推出，得到，在中，由推出，即可推出结论． 【小问1详解】 证明：为的角平分线，，， ，， ， ， ， 点、都在的垂直平分线上， 垂直平分； 【小问2详解】 解：，理由如下： ，平分， ， ，， ， ， ， ， ， ． 21. 为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车20辆进行销售． 成本价（万元/辆） 售价（万元/辆） A型 16 16.8 B型 28 29.4 （1）为了保证该4S店购进的A型电动车不少于B型电动车的4倍，则A型车至少购进多少辆？ （2）在（1）的条件下，若这20辆电动汽车全部售出，为使4S店销售的利润最大，购进A型汽车多少辆？最大利润是多少？ 【答案】（1）16辆 （2）16辆，万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式，找出函数关系式是解题的关键． （1）设该4S店购进A型电动汽车辆，则购进B型电动汽车辆，根据题意可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； （2）设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得的总利润为万元，利用总利润每辆电动汽车的销售利润销售数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该4S店购进A型电动汽车辆，则购进B型电动汽车辆， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：A型车至少购买16辆． 【小问2详解】 解：设这20辆电动汽车全部售出后4S店获得总利润为万元， 根据题意得：， 即， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最大值，最大值为（万元）， 答：当购进A型电动汽车16辆时，4S店销售的利润最大，最大利润是万元． 22. 我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“友好不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“友好不等式”． （1）不等式_______的“友好不等式”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的不等式不是的“友好不等式”，则m的取值范围是_______； （3）已知关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】（1）是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了“友好不等式”，一元一次不等式组的解集，理解题意，借助数轴数形结合是解题的关键． （1）由不等式和有个公共解，判断即可； （2）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集没有公共解，从而得出的范围； （3）分别解不等式，由题意可知，两个不等式的解集有公共解，利用数轴，可知，从而得出答案． 【小问1详解】 解：不等式和有个公共解， 所以不等式是的“友好不等式”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 关于x的不等式不是的“友好不等式”， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解： 关于x的不等式与互为“友好不等式”，且有两个整数解， 23. 已知和都是等边三角形． 【感知】（1）当旋转到如图1位置时，请直接写出和的数量关系：_______； 【应用】（2）如图2，当旋转至点D在的延长线上时，求证：； 【类比探究】（3）当旋转至点D在射线上时，过点E作于点F，请直接写出线段与之间存在的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质证明即可得到结论； （2）由等边三角形的性质证明，结合可得结论； （3）分两种情况讨论，当在线段上和当在线段的延长线上时，证明，可得；再证明，从而可得结论． 【详解】解：（1），理由如下， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ； ∵， ∴； 解：（3）或， 理由如下：如图，当在线段上时， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段的延长线上时， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴． 综上，或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $