数学（湖南长沙卷）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（长沙卷） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示－20200，正确的是(　　). A．2.02× B．－20.2× C． D．－2.02× 3．中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．小杰同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为，，．若，且，则点Q的坐标是（    ）    A．或 B．或 C． D． 7．反比例函数过点，则关于一次函数说法正确的是（　　） A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大 C．一次函数过点 D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 8．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 10．如图，正方形的边长为，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（    ） A．32 B．36 C．40 D．49 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别(环2)，(环2)，(环2)，则成绩最稳定的是 ． 12．现有四根长，，，的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为 . 13．使式子有意义的取值范围是 ． 14．一个扇形的圆心角是120°，弧长为，则这个扇形面积为 ．（结果保留） 15．如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为 ．    16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01）    20．为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A乒乓球 B排球 60 C篮球 45 D足球 36 E跳绳 (1)本次调查的样本容量是______，统计表中______； (2)在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是______； (3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数． (4)现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率． 21．在△ABC和△DEE中，CB∥EF，CB＝EF，AE＝DC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝40°，∠DEF＝60°，求∠D的度数． 22．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元． （1）分别求出甲乙两款积木的进价． （2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元． 23．如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 24．已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 25．如图1，△ABC内接于，作于点D． (1)连结，．求证：； (2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分； (3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（长沙卷） 数学·答题卡 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （6分） 19．（6分） 20．（8分） 21． （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（长沙卷） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．用科学记数法表示－20200，正确的是(　　). A．2.02× B．－20.2× C． D．－2.02× 3．中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．小杰同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为，，．若，且，则点Q的坐标是（    ）    A．或 B．或 C． D． 7．反比例函数过点，则关于一次函数说法正确的是（　　） A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大 C．一次函数过点 D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 8．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 10．如图，正方形的边长为，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（    ） A．32 B．36 C．40 D．49 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别(环2)，(环2)，(环2)，则成绩最稳定的是 ． 12．现有四根长，，，的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为 . 13．使式子有意义的取值范围是 ． 14．一个扇形的圆心角是120°，弧长为，则这个扇形面积为 ．（结果保留） 15．如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为 ．    16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中． 19．4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01）    20．为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A乒乓球 B排球 60 C篮球 45 D足球 36 E跳绳 (1)本次调查的样本容量是______，统计表中______； (2)在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是______； (3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数． (4)现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率． 21．在△ABC和△DEE中，CB∥EF，CB＝EF，AE＝DC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝40°，∠DEF＝60°，求∠D的度数． 22．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元． （1）分别求出甲乙两款积木的进价． （2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元． 23．如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 24．已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 25．如图1，△ABC内接于，作于点D． (1)连结，．求证：； (2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分； (3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（长沙卷） 数学·答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D A A B C A B 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11．甲 12． 13．x≥-5且x≠2 14． 15．8 16．2009 三、解答题（本大题共9小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 其中：17-19 每题6分 20-21 每题8分 22-23 每题9分 24-25 每题10分 17.【答案】 【详解】解： ……3分 ……6分 18.【答案】， 【详解】解： ……2分 ……4分 当时， 原式． ……6分 19.【答案】火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km 【详解】解：在中，，    ∴． ∴． ……2分 ∵，， ∴． ∴． ∴． ……4分 ∴ ……6分 答：火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km． 20.【答案】(1)300，75 (2)72 (3)240人 (4) 【详解】（1）解：人， ∴参与调查的人数为300人，即样本容量为300， ∴， 故答案为：300，75； ……2分 （2）解： ∴“B排球”对应的圆心角的度数是， 故答案为：72； ……4分 （3）解：人， ∴估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人； ……6分 （4）解：列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表格可知一共有25种等可能性的结果数，其中这两位同学选择的运动项目相同的结果数有5种， ∴这两位同学选择的运动项目相同的概率为． ……8分 21.【答案】（1）见解析；（2）80° 【详解】解：（1）∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DEF， ∵AE=DC， ∴AE+EC=CD+CE，即AC=DE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）； ……4分 （2）∵△ABC≌△DFE， ∴∠B=∠F=40°，∠DEF=∠ACB=60°， ∴∠D=180°-∠DEF-∠F=80°． ……8分 22.【答案】（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40． 【详解】（1）设甲款积木的进价为每盒元，乙款积木的进价为每盒元， 则， 解得：． 答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元． ……4分 （2）由题可得：， ……6分 解得，， 因为顾客能获取更多的优惠，所以． ……9分 23.【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； ……4分 （2）解：设的半径为r，则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ……6分 ∴， ∴． ……9分 24.【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【详解】（1）将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． ……3分 （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． ……6分 （3）因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． ……10分 25.【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ……3分 （2）证明：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ……6分 （3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. ……10分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（长沙卷） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故该选项符合题意． 故选：D． 2．用科学记数法表示－20200，正确的是(　　). A．2.02× B．－20.2× C． D．－2.02× 【答案】D 【分析】一般地，一个绝对值大于10的数都可记成a×的形式，其中1≤a＜10，n是正整数(n等于原数的整数位数减1)，这种记数方法叫做科学记数法. 【详解】解：用科学记数法表示－20200是－2.02×， 故选D. 【点睛】一般地，一个绝对值大于10的数都可记成a×的形式，其中1≤a＜10，n是正整数(n等于原数的整数位数减1)，这种记数方法叫做科学记数法.,掌握科学记数法是解题的关键. 3．中国空间站位于距离地面约的太空环境中，由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高达零上，其背阳面温度可低至零下，太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用，由实际意义得，即可求解；能根据实际意义得出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 （）， 故选：C． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，算术平方根定义，幂的乘方，同底数幂除法，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据同底数幂的乘法，完全平方公式，算术平方根定义，幂的乘方，同底数幂除法运算法则，进行计算，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，原计算错误，不符合题意； D．，正确，符合题意． 故选：D． 5．小杰同学对数据进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（   ） A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了中位数，根据中位数定义即可求解，掌握中位数定义是解题的关键． 【详解】解：平均数、众数、方差的计算结果与被涂污数字有关， 计算结果与被涂污数字无关的是中位数，不管被涂污数字是多少，中位数都是， 故选：． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，P的坐标分别为，，．若，且，则点Q的坐标是（    ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】过点P作的平行线，根据点A到点B或者点B到点A的平移规律即可得到答案． 【详解】解：如图，过点P作的平行线，    ∵， ∴点Q可以看作由点P沿着直线的方向经过平移得到的， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴点A可以看成点B向右平移3个单位，向下平移2个单位得到的， 或者点B可以看成点A向左平移3个单位，向上平移2个单位得到的， ∴点向左平移3个单位，向上平移2个单位得到, 或点向右平移3个单位，向下平移2个单位得到， 即点P的坐标是或． 故选：A 【点睛】此题考查了点的平移，找到平移规律是解题的关键． 7．反比例函数过点，则关于一次函数说法正确的是（　　） A．不过第一象限 B．y随x的增大而增大 C．一次函数过点 D．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数，求出k的值，再把k的值代入一次函数，再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵反比例函数过点， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， ∴函数图像过一三四象限，不过第二象限，故A错误，不符合题意； ∵， ∴y随x的增大而增大，故B正确，符合题意； ∵当时，， ∴一次函数不过点，故C错误，不符合题意； ∵与坐标轴的交点为， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为，故D错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及一次函数的性质，先根据题意得出k的值是解题的关键． 8．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，再由三角形的外角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，是的直径，弦于点E，若，，则线段的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据是的直径，得，根据，得，，在中，根据勾股定理得，，即可得；掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径，， ∴， ∵，， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故选：A． 10．如图，正方形的边长为，，分别位于轴、轴上，点在上，交于点，函数的图像经过点，若，则的值为（    ） A．32 B．36 C．40 D．49 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得出，从而得出，再根据，即可得出点的坐标，利用待定系数法求出直线和的解析式，联立两个解析式求出交点坐标后再由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形的边长为， ∴，，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得： ， 解得：， ∴， ∵函数的图像经过点， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质．解题的关键用待定系数法确定直线函数解析式，通过解方程组确定两直线的交点坐标． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环，方差分别(环2)，(环2)，(环2)，则成绩最稳定的是 ． 【答案】甲 【分析】根据方差的意义即可得出结论．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，因为(环2)，(环2)，(环2) ，方差最小的为甲，所以本题中成绩比较稳定的是甲． 故填甲． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12．现有四根长，，，的木棒，任取其中的三根，首尾顺次相连后，能组成三角形的概率为 . 【答案】 【分析】先展示所有可能的结果数，再根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：∵现有四根长30cm、40cm、70cm、90cm的木棒，任取其中的三根，可能结果有：30cm、40cm、70cm；30cm、40cm、90cm；30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm；其中首尾相连后，能组成三角形的有：30cm、70cm、90cm；40cm、70cm、90cm； 共有4种等可能的结果数，其中有2种能组成三角形， 所以能组成三角形的概率= ． 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 13．使式子有意义的取值范围是 ． 【答案】x≥-5且x≠2 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴x+5≥0，x-2≠0， 解得x≥-5且x≠2， 故答案为：x≥-5且x≠2． 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟记条件列得不等式是解题的关键． 14．一个扇形的圆心角是120°，弧长为，则这个扇形面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】根据弧长及扇形面积计算公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： ，解得：， ∴这个扇形面积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积计算，熟练掌握扇形面积及弧长计算公式是解题的关键． 15．如图，中，点D、E分别是， 的中点，若的周长是4，则的周长为 ．    【答案】8 【分析】本题主要考查了中位线定理以及三角形的周长公式．根据题意和中位线定理可知，，再结合的周长是4即可得解．掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点D、E分别是， 的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又∵的周长是4， 即， ∴的周长， 故答案为：8． 16．为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是 ． 【答案】2009 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 三、解答题（本题共9小题，共72分，其中第17至19题每题6分，第20题、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分）。 17．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．利用算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂进行计算即可． 【详解】解： 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的混合运算求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．根据完全平方公式、平方差公式进行化简运算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： 当时， 原式． 19．4月3日6时56分，我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭，成功将遥感四十二号01星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，开启了星辰大海的全新征程，火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实时观测．如图，火箭从地面A处发射，当火箭到达B点时，从地面D处的雷达站测得的距离是6km，；当火箭到达C点时，测得，求火箭从B点上升到C点的高度．（参考数据：，，，结果精确到0.01）    【答案】火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，含30度的直角三角形，先在中，求出的长，再在中求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：在中，，    ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴ 答：火箭从B点上升到C点的高度约为2.20km． 20．为丰富学校校园活动，某校为学生开展了多种艺体活动，其中在体育类活动中开设了五种运动项目：A乒乓球，B排球，C篮球，D足球，E跳绳．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表． 问卷情况统计表 运动项目 人数 A乒乓球 B排球 60 C篮球 45 D足球 36 E跳绳 (1)本次调查的样本容量是______，统计表中______； (2)在扇形统计图中，“B排球”对应的圆心角的度数是______； (3)若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数． (4)现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项，求这两位同学选择的运动项目相同的概率． 【答案】(1)300，75 (2)72 (3)240人 (4) 【分析】（1）用“C篮球”的人数除以其人数占比得到参与调查的总人数，即可得到样本容量，进而求出m的值即可； （2）用360度乘以样本中“B排球”的人数占比即可得到答案； （3）用2000乘以样本中“D足球”的人数占比即可得到答案； （4）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：人， ∴参与调查的人数为300人，即样本容量为300， ∴， 故答案为：300，75； （2）解： ∴“B排球”对应的圆心角的度数是， 故答案为：72； （3）解：人， ∴估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人； （4）解：列表如下： A B C D E A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） （E，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） （E，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） （E，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （E，E） 由表格可知一共有25种等可能性的结果数，其中这两位同学选择的运动项目相同的结果数有5种， ∴这两位同学选择的运动项目相同的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图、统计表和画出树状图或列出表格是解题的关键． 21．在△ABC和△DEE中，CB∥EF，CB＝EF，AE＝DC． （1）求证：△ABC≌△DFE； （2）若∠B＝40°，∠DEF＝60°，求∠D的度数． 【答案】（1）见解析；（2）80° 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ACB=∠DEF，根据等式的性质得到AC=DE，再根据SAS即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到∠B=∠F=40°，∠DEF=∠ACB=60°，再利用三角形内角和计算即可． 【详解】解：（1）∵BC∥EF， ∴∠ACB=∠DEF， ∵AE=DC， ∴AE+EC=CD+CE，即AC=DE， 在△ABC和△DFE中， ， ∴△ABC≌△DFE（SAS）； （2）∵△ABC≌△DFE， ∴∠B=∠F=40°，∠DEF=∠ACB=60°， ∴∠D=180°-∠DEF-∠F=80°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，解题的关键是利用SAS证明三角形全等． 22．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元． （1）分别求出甲乙两款积木的进价． （2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元． 【答案】（1）（1）甲款每盒400元，乙款每盒320元；（2）40． 【分析】（1）设甲款积木的进价为每盒元，乙款积木的进价为每盒元，列出二元一次方程组计算即可； （2）根据题意得出，计算即可； 【详解】（1）设甲款积木的进价为每盒元，乙款积木的进价为每盒元， 则， 解得：． 答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元． （2）由题可得：， 解得，， 因为顾客能获取更多的优惠，所以． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，结合二元一次方程组求解计算是解题的关键． 23．如图，内接于，是的直径，平分，，延长交的延长线于点A，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及相似三角形的判的性质，掌握切线的性质，直角三角形的边角关系，圆周角定理以及相似三角形的判的性质是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）设的半径为r，则，，由证出．由得，求出，即，由勾股定理得出的值． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r，则，． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 24．已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． (1)当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； (2)当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； (3)当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 (3)存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【详解】（1）将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． （3）因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 25．如图1，内接于，作于点D． (1)连结，．求证：； (2)如图2，若点E为弧上一点，连结交于点F，若，，连结，求证：平分； (3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连结，．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 （1）根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，且结合，即可作答； （2）先根据三角形的外角性质，得，等角对等边，得，即可证明，结合全等三角形的对应角相等，即可作答； （3）根据同弧所对的圆周角是相等，得，由三角形的内角和，得，等角对等边，得，进而证明，得，等角对等边，得，故，因为，，证明，得，解得，由勾股定理建立式子，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （3）解：连接，过点E作于点M交的延长线于点N， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了圆综合，涉及圆周角定理，三角形外角性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等综合内容，难度较大，综合性较强，学会灵活运用等角对等边以及作出正确的辅助线是解题的关键． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 第 2页 第 3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年中考第三次模拟考试（长沙卷） 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B铅笔填涂） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．______________ 12．______________ 13．______________ 14．______________ 15.______________ 16．______________ 17. （6分） 18．（6分） 19．（6分） 20．（8分） 21．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4页 第 5页 第 6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（9分） 23．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分）