高二数学月考卷（北师大版2019选修二全册：数列+导数）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期第三次月考

窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 2 3 4 6 7 8 C B B B D C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.4 13.9 14.10或4049 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 【详解】(1)由fx)=ax+e,可得f'(x=a+e一 -1分 又曲线y=fx在点(0，f(0)处的切线与直线x+y+1=0平行，故f"(0)=-1,-一 -3分 即a+1=-1,得a=-2.-… 5分 (2)由(1)可知f（x=-2x+e,且f(x)=-2+e 6分 令f'(x=0,可得x=ln2, -7分 由f'(x>0,可得x>ln2.由f"(x<0,得x<n2 -9分 故fx在(-o,ln2上单调递减，在(ln2,+o上单调递增 -11分 可知当x=In2时，x极小值为fn2)=21-ln2),fx无极大值， -13分 1/5 高学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(15分) 【详解】(1)数列(a,}是等差数列，设公差为d, 由根与系数关系得an+a1=4n,- -2分 于是有 a+a2=4 ,+4,=84-4=4=2d,则d=2, -4分 故4=a+a1=2a1+d,则a1=1: 6分 (2)由(1)知a,=1,d=2,故a,=a,+(n-1d=2n-1, -8分 由根与系数关系知b,=a。a1=4n2-1: -10分 g)由2将，=r”=r( 1+1 -12分 所以-引得》传》》 4n =-1+ -15分 4n+1 4n+1 17.(15分) 【i详解】(1)因为函数y=a+hx的定义域为0，+o小，且f)=上a-lnx x2 -2分 由f'(x>0可得0<x<e,由f'(x<0可得x>e-, -4分 所以，函数f(x)的增区间为0，e）,减区间为e“,+∞ -6分 (2)由1)知，f=fe）=。之=1，解得a=, -7分 要正≤小，博证中≤-6即旺e-新h1-r+h小-0，一9分 令h[x)=e-x-1,其中xeR,则'x=e-1, -10分 由h'x)<0可得r<0,由b'x>0可得r>0, 所以，函数h(x的减区间为-0,0)，增区间为(0，+0)，一 -13分 所以，x2h0=0，即e2x+1,-一一 一14分 所以，beR,er+r≥br+lnx+l,即f八x≤gx).- -15分 18.(17分) 2/5 学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【详解】(1)当n22时，S2=5S-8Sn+4S,即52-S1=4(S-S)-4S。-S-),--1分 则a2=4a1-4am,而a1=1,a2=4,a3=12,则a3=4a2-4a1,- --3分 于是neN时，a2=4a1-4a.,整理得an+2-2at=2(a1-2a),又a1-2a1=2≠0,4分 所以数列(a1-2a,}是首项和公比都是2的等比数列. -5分 (2)由(1)知，数列{a1-2a}是首项和公比都是2的等比数列，则a-2a,=2°，-一6分 因此兴号 一7分 数列分}是首项为；，公差为；的等差数列， -9分 所以数列an}的通项公式a,=n×2- -10分 (3)由(2)知，Sn=1x2°+2×2+3×22++n×2-, 2Sn=1×2+2×22+…+(n-1)×2"-+n×2",--- -12分 两式相减得，-S,=1+2+2+…+2-n×2=-2 -n×2"=-1+(1-n）×2",- --14分 1-2 则S.=2"(m-1)+1.不等式2(S。-1)-m+1≥0分元：2“(n-1)-(n-1)20, -15分 当=1时，1为任意实数：当a≥2时，九之恒成立，而宁行因此之 —-16分 所以实数元的取值范围是入之}，入的最小值为号 -17分 19,(17分) 【详解】(1)fx=cosr是 上的"L(0函数”，理由如下： f(x)=cosx,:f(x)=-sinx. 引* -1分 ∴cosx+sinr=cosx-(←sina)=V2 sin(+子eV] -2分 :fx+0)-(0+1小f"(x=f(x-f(x=cosr+sinx20在 2 恒成立， ÷f小cos是[0上的10满数 -3分 (2)“g(x=e+x是(9，+o)上的“L(1函数”， 3/5 高学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 gx+1-2g'(x=e+x+1-2(e'+1)=e(e-2)+x-120在(q,+0）上恒成立，----5分 设hx)=e(e-2)+x-1,则h'x)=e(e-2)+1>0, h(x=e(e-2)+x-1在R上单调递增，且hq=c*(e-2)+q-120 6分 又e+P-=0,cre-2)+p-1=0,phpj=e(e-2)+p-1=0. 一7分 e-2 :h(x=e'(e-2)+x-1在R上单调递增，(q≥(p) .q≥2p -8分 (3)h(x)=x2-ax,:h(x)=2x-a. :hx=x2-ar是0,2]上的"L(2小函数"，-- 一9分 h(x+2)-3h'(x)=x+2)'-a(x+2)-3(2x-a)=x2-(a+2)x+(a+4)20在[0,2上恒成立， 即a(x-I)≤x2-2x+4在0,2上恒成立.- -10分 当x=1时，对任意的a∈R,上式恒成立，符号愿意： 当0≤r<1时，a≥-2x+4_《-+3=-1+3恒成立， x-1 x-1 x-1 设F()=x-1+3 x-’e0,1,- -11分 1x-<0,所以函数F)在0，上单调递诚， 则F(x)=1- 3 所以F=F0=-+号4，即a2-4: 当1<x≤2时，a≤-2x+4=《-+3=x-1+3恒成立， -12分 x-1x-1 x-1 设H()=x-1+3」 x xe(1]. 则H'(x)=1- (x-<0所以函数H在1,2上单调递藏。 3 所以=h2=2-1+写之=4，as4 综上所述，-4≤a≤4- -13分 x,x3e1,2,当x<x2时，r< h(x)h(x) Inx-Inx2 4/5 窗学科网，学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :.r(In x-Inx:)>((x).)-rinx<h()-rInx. G(x)=h(x)-rInx=x2-ax-rinx,xe l,2], -14分 则由题意可知：存在ae-4,4,使得G(x)在[1,2上为增函数， 即存在a∈-4,4，使得G(x)=2x-a-'≥0，即a≤2x-’对任意的xe1,2恒成立， 可得2x-’≥4对任意的x山，2]恒成立，- -15分 即r≤2x2+4x对任意的re[l,2恒成立 而函数y=2x2+4x在1,2上单调递增，所以y=2x2+4x22×12+4×1=6,即r≤6一 -16分 另一方而，当a=-4,r≤6时，G(x)=hx)-rlnx=x2+4x-rlhx,xe[l,2], 可知G0=2x+4-L-2+4r-上.2x++2-上之0恒成立，满足题意， 所以实数r的最大值为6.-一 -17分 5/5 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修性必修第二册第一章和第二章。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 4．曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，公比为2，且.若，则正整数的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 10．设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 11．已知函数，则（    ） A． B．对任意实数 C． D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设数列满足，且，则 ． 13．某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 14．在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 16．（15分）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 18．（17分）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 19．（17分）已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”. (1)判断是否是上的“函数”？请说明理由； (2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； (3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值. 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修性必修第二册第一章和第二章。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】， ， 故选：C. 2．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 【答案】C 【详解】因为公差，所以数列单调递增，所以，又， 所以，所以数列前项全为负，从开始为正， 所以前项的和为的最小值，故. 故选：C. 4．曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，，所以，， 则曲线在点处的曲率，曲率半径， 故曲线在点处的向心加速度的大小为. 故选：B. 5．已知数列为等比数列，公比为2，且.若，则正整数的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】因为数列为等比数列，公比为2，且，所以，解得， 故，因为 ，解得， 故选：B. 6．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】观察图象知，是函数的极小值点，求导得， 则，解得，当时，；当时，， 则是函数的极小值点，，， 不等式，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 7．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 可知集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 不妨设， 可得， 可得，解得：或（舍去）， 所以的最大值为16. 故选：B. 8．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则化简为，， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故， 则实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 【答案】ACD 【详解】A选项，， 其中，所以是公比为2的等比数列，A正确； C选项，由A知，，所以，C正确； B选项，当时，， 当时，， 显然满足，故，B错误； D选项，，故， 即为公比为的等比数列，且， 所以的前项和为，D正确. 故选：ACD 10．设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 【答案】BD 【详解】的定义域为，故为非奇非偶函数，故A错误， 由于，且，故 当时，，此时，当时，，此时， 当时，，因此，B正确， 对于C, ，当时，，此时，因此在单调递减，故C错误， 对于D，，当时，，故，当时，，此时，因此在单调递减，在单调递增，为的极小值点，D正确， 故选：BD 11．已知函数，则（    ） A． B．对任意实数 C． D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 【答案】ACD 【详解】对A，，故A正确； 对B，，而，故B错误； 对C，，故C正确； 对D，，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以在处取得极小值1， 当时，；当时，. 恒成立，所以在上单调递增， 当；当. 所以函数的大致图象如图所示，    不妨设，由为偶函数可得， 直线与和的图象有三个交点，显然， 令，整理得， 解得或（舍去）， 所以，即， 又因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设数列满足，且，则 ． 【答案】4 【详解】由以及可得， 故， 故答案为：4 13．某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 【答案】 【详解】分公司一年的利润 (万元)与售价的函数关系式为， 所以， 令，即，解得或（舍）， 当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在单调递减， 又因为结果精确到1元，且当时，，且当时，， 于是：当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大. 故答案为：9. 14．在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . 【答案】10或4049 【详解】设等比数列的公比为，且， 由，则，故， 又， ， ，即， ，又， ， ， 化简整理得，即， 解得或，均满足. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 【详解】（1）由，可得-----------------------------------------------------------1分 又曲线在点处的切线与直线平行，故，--------------------3分 即，得.----------------------------------------------------------------------------------------------5分 （2） 由（1）可知，且.------------------------------------------------------6分 令，可得，---------------------------------------------------------------------------------------7分 由，可得.由，得.-----------------------------------------------------------9分 故在上单调递减，在上单调递增.------------------------------------------------11分 可知当时，极小值为，无极大值.------------------------------13分 16．（15分）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 【详解】（1）数列是等差数列，设公差为， 由根与系数关系得，-------------------------------------------------------------------------------2分 于是有，则，-----------------------------------------------------------------4分 故，则；--------------------------------------------------------------------------------6分 （2）由（1）知，故，-----------------------------------------------8分 由根与系数关系知；------------------------------------------------------------------------10分 （3）由（2）得，-----------------------------------------------12分 所以 ------------------------------------------------------------------------------------------------15分 17．（15分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且，------------------------2分 由可得，由可得，-------------------------------------------------------------4分 所以，函数的增区间为，减区间为.--------------------------------------------------------6分 （2）由（1）知，，解得，---------------------------------------------------7分 要证，即证，即证，---------9分 令，其中，则，---------------------------------------------------------------10分 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为，--------------------------------------------------------13分 所以，，即，---------------------------------------------------------------------------------14分 所以，，，即.-------------------------------------------------------------15分 18．（17分）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 【详解】（1）当时，，即，--------1分 则，而，则，----------------------------------------------3分 于是时，，整理得，又，---------4分 所以数列是首项和公比都是2的等比数列.------------------------------------------------------5分 （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，-------6分 因此，-----------------------------------------------------------------------------------------------7分 数列是首项为，公差为的等差数列，，---------------------------------9分 所以数列的通项公式.---------------------------------------------------------------------------10分 （3）由（2）知，， ，-------------------------------------------------------------12分 两式相减得，，-----------------------14分 则．不等式，------------------------------15分 当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此，-----------------------16分 所以实数的取值范围是，的最小值为.---------------------------------------------------------------------17分 19．（17分）已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”. (1)判断是否是上的“函数”？请说明理由； (2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； (3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值. 【详解】（1）是上的“函数”，理由如下： ，. ，，----------------------------------------------------------------------------------------1分 ， -----------------------------------------------------2分在恒成立， 是上的“函数”.---------------------------------------------------------------------------3分 （2）是上的“函数”， 在上恒成立，---------------------5分 设，则， ∴在上单调递增，且.-------------------------------------6分 又，，即.-------------------------------------------7分 ∵在上单调递增， ∴.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8分 （3），. ∵是上的“函数”， -----------------------------------------------------------------------9分 ∴在上恒成立， 即在上恒成立.--------------------------------------------------------------------------------10分 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，，---------------------------------------------------------------------------------------11分 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立，---------------------------------------------12分 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，.-------------------------------------------------------------------------------------13分 ∵，当时，， ∴，即. 令，，------------------------------------------------14分 则由题意可知：存在，使得在上为增函数， 即存在，使得，即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立，------------------------------------------------------------------15分 即对任意的恒成立. 而函数在上单调递增，所以，即.------------------16分 另一方面，当，时，，， 可知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6.---------------------------------------------------------------------------------------------17分 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版2019必修性必修第二册第一章和第二章。 5．难度系数：0.63。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知各项均为正数的等比数列，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 3．记为等差数列的前项和，公差，且，则取得最小值时为（    ） A．2021 B．4039 C．2020 D．4040 4．曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线，其曲率（是的导数，是的导数），曲率半径是曲率的倒数，其表示与曲线在某点处具有相同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率沿曲率半径为的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为.若该质点以恒定速率沿形状满足的光滑轨道运动，则其在点处的向心加速度的大小为（    ） A． B． C． D． 5．已知数列为等比数列，公比为2，且.若，则正整数的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前项和为，，，则（   ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列的前项和为 10．设函数，则（   ） A．是偶函数 B． C．在区间上单调递增 D．为的极小值点 11．已知函数，则（    ） A． B．对任意实数 C． D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设数列满足，且，则 ． 13．某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品的售价为元时，一年的销售量为万件，则每件产品售价为 元时，该分公司一年的利润达到最大值.（结果精确到1元） 14．在公比不为1的等比数列中，若，且有成立，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求的值； (2)求的极值. 16．（15分）已知等差数列满足是关于的方程的两个根. (1)求. (2)求数列的通项公式. (3)设，求数列的前项和. 17．（15分）已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 18．（17分）设为数列的前n项和，时，，已知． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值． 19．（17分）已知是函数定义域的子集，若，，成立，则称为上的“函数”. (1)判断是否是上的“函数”？请说明理由； (2)证明：当（是与无关的实数），是上的“函数”时，； (3)已知是上的“函数”，若存在这样的实数，，当时，，求的最大值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$