专题05 数列常考题型（十三大题型）-2024-2025学年高二数学高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019选择性必修）

专题05 数列常考题型（十三大题型） 【题型1：数列的有关概念和分类】 【题型2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【题型3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【题型4：前项和公式与通项的关系】 【题型5：由数列的单调性求参数】 【题型6：等差数列的判断】 【题型7：利用等差数列的性质计算】 【题型8：利用等差中项运算】 【题型9：由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型10：利用等比中项运算】 【题型11：利用等比数列的性质计算】 【题型12：等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型13：等差数列、等比数列的综合】 知识点01：数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 注意：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 知识点02：数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 知识点3：等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 4.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 熟记： 1.等差数列的函数的关系 (1)等差数列{)的单调性:当d>0时,递增数列;当d<0 时,()是递减数列;当小时,()是常数列. (2)在等差数列{}中,>0,d<0,则韩最大值;若 <0,d>0,则 存在最小值 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. 知识点4：等比例数列 1.等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2.等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3.通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2） 等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 4.等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列 熟记： 1.等比数列的单调性 当 q>1,>0 或 0<q<1，<0 时,{)是递增数列;当 q>1,<0 或 0<q<1,>0 时，(}是递减数列;当q=1时,{)是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1） （2）若 （3） 【题型1：数列的有关概念和分类】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 2．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 3．多选题下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【题型2：由数列的递推公式写出数列的项 】 4．已知数列满足：，则（    ） A．3 B．2 C． D． 5．已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 7．在数列中，，，，则 ． 【题型3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 8．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 10．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 11．在数列中，， ，则通项公式 ． 【题型4：前项和公式与通项的关系】 12．已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 13．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 14．已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 15．已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【题型5：由数列的单调性求参数】 16．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知数列满足．若为递减数列，则实数a的取值范围为 ． 19．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 . 【题型6：等差数列的判断】 20．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 21．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 23．多选题下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，， 【题型7：利用等差数列的性质计算】 24．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 25．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 26．已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 27．已知等差数列，，，则 . 28．等差数列中，若，则的值为 ． 29．已知等差数列，则 . 30．若数列为等差数列，且，则 . 31．已知数列是等差数列，若，则 . 【题型8：利用等差中项运算】 32．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 33．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 34．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 35．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 36．与的等差中项为 【题型9：由等差数列的前n项和求通项公式】 37．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 38．在等差数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 39．记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 40．已知数列的前项和为，，，． (1)证明：为等差数列； (2)在数列中，，，若的前项和为，证明：． 【题型10：利用等比中项运算】 41．若是2和18的等比中项，则实数的值是（   ） A．6 B．或6 C．10 D．或10 42．已知等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．6 D．不确定 43．已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 44．已知正项等比数列，若，是方程 的两个实数根，则（    ） A． B．15 C．20 D．25 【题型11：利用等比数列的性质计算】 45．设等比数列的公比为q，若，则（   ） A．1 B． C．或2 D．或1 46．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 47．已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 48．已知等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 49．在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 50．已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 51．已知构成各项为正的等比数列，且 则 . 52．已知等比数列满足，则 . 【题型12：等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 53．记为数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 54．已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 55．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 56．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【题型13：等差数列、等比数列的综合】 57．已知等比数列和等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求满足的最小自然数． 58．已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 59．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 60．已知为等差数列，为等比数列，且，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 数列常考题型（十三大题型） 【题型1：数列的有关概念和分类】 【题型2：由数列的递推公式写出数列的项 】 【题型3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 【题型4：前项和公式与通项的关系】 【题型5：由数列的单调性求参数】 【题型6：等差数列的判断】 【题型7：利用等差数列的性质计算】 【题型8：利用等差中项运算】 【题型9：由等差数列的前n项和求通项公式】 【题型10：利用等比中项运算】 【题型11：利用等比数列的性质计算】 【题型12：等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 【题型13：等差数列、等比数列的综合】 知识点01：数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 注意： （1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； （2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 注意：数列的项与项数是两个不同的概念．数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号． 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成：，或简记为．其中是数列的第项． 注意：与的含义完全不同，表示一个数列，表示数列的第项． 知识点02：数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列． 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列． 常数数列：各项相等的数列． 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 知识点3：等差数列 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． 4.等差数列的性质 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 熟记： 1.等差数列的函数的关系 (1)等差数列{)的单调性:当d>0时,递增数列;当d<0 时,()是递减数列;当小时,()是常数列. (2)在等差数列{}中,>0,d<0,则韩最大值;若 <0,d>0,则 存在最小值 2.关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. 知识点4：等比例数列 1.等比数列的定义 （1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 （2）数学语言表达式： (，为非零常数)． 2.等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3.通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2） 等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 4.等比数列的性质 已知是等比数列，是数列的前项和． 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：下标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列 熟记： 1.等比数列的单调性 当 q>1,>0 或 0<q<1，<0 时,{)是递增数列;当 q>1,<0 或 0<q<1,>0 时，(}是递减数列;当q=1时,{)是常数列. 2.等比数列的常用结论 （1） （2）若 （3） 【题型1：数列的有关概念和分类】 1．下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解. 【详解】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 2．多选题下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【分析】由数列概念判断各选项正误即可得答案. 【详解】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标，项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项，则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列，则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 3．多选题下列结论中正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列通项公式的表达式不是唯一的 C．数列1，3，5，7可表示为 D．数列1，3，5，7与数列7，5，3，1不是同一数列 【答案】BD 【分析】根据数列的定义可依次判断各选项. 【详解】数列按项数分类可分为有穷数列与无穷数列，即数列的项数可以是有限的，也可以是无限的，故A错误； 数列通项公式的表达式不是唯一的， 例如，数列1，，1，，…的通项公式可以是，也可以是，故B正确； 构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的，故C错误； 根据数列定义，两数列的数排列次序不相同，不是相同的数列，故D正确． 故选：BD. 【题型2：由数列的递推公式写出数列的项 】 4．已知数列满足：，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系，代值计算即可. 【详解】由，， 则，解得， 由，解得. 故选：A. 5．已知数列满足：，，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果. 【详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 6．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项. 【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 7．在数列中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据数列的递推公式，利用迭代法，发现规律，即数列为周期数列，然后求出即可. 【详解】由得，， 又由得，，，，， 由此可得数列为周期数列，周期为， 又因为， 所以， 故答案为：. 【题型3：由数列的前几项写出数列的一个通项公式 】 8．数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用观察法即可得解. 【详解】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为 . 故选：A. 9．已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【详解】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 10．已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据累乘法求数列通项公式即可. 【详解】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 11．在数列中，， ，则通项公式 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用累加法即可求解. 【详解】∵， ∴， ， ， … . 以上个等式相加，得． ． 检验：当时，也成立. 所以，数列的通项公式. 故答案为：. 【题型4：前项和公式与通项的关系】 12．已知数列的前n项和为，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系可求数列的通项公式. （2）根据裂项相消法可求数列的前n项和． 【详解】（1）当时，， 当时，，符合上式， ∴. （2）由（1）得，， ∴． 13．已知数列的前项和为，且满足． (1)求的值； (2)试猜想的通项公式，并证明． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由数列的递推式，分别令和，计算可得所求值； （2）猜想，由数列的递推式和数列的恒等式，可得证明. 【详解】（1）由题知，，解得， 同理，，解得； （2）由（1）可猜想，证明如下： 已知，当时，有， 化简得，即， 则有， 又，故， 则， 当时，上式仍成立，则． 14．已知数列的前n项和为 (1)求数列的通项公式； (2)求数列前6项和． 【答案】(1) (2)151 【分析】（1）由与的关系，求数列的通项公式； （2）由直接求数列前6项和． 【详解】（1）数列的前n项和为， 时，， 时，， 不符合， 所以. （2）数列前6项和为. 15．已知数列的前n项和为． (1)求，，. (2)求这个数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别令代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，令，则， 令，则， 令，则， 所以. （2）因为， 当时，， 当时，， 且也满足上式， 所以. 【题型5：由数列的单调性求参数】 16．已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数列是单调递增数列可知当时，单调递增，当时，单调递增，且，列出不等式，解不等式即可. 【详解】数列是单调递增数列， 可知当，时，单调递增，即或，解得； 当时，单调递增恒成立， 且，即； 解得， 所以若数列是单调递增数列，则， 故选：A. 17．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意有，解得的取值范围； 【详解】由数列是单调递增数列可得，对于都有成立， 即对都成立， 所以．（或通过二次函数的对称性求解） 故选：D. 18．已知数列满足．若为递减数列，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据数列为递减数列，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为数列为递减数列，则满足，即，解得， 即实数a的取值范围为. 故答案为：. 19．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得数列的单调性，利用分段函数的单调性，可得答案. 【详解】对任意的，都有， 数列单调递增， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型6：等差数列的判断】 20．下列数列的通项公式中，能得到为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，不为常数，故A错误， 对于B，为常数，故B正确， 对于C, 不为常数，故C错误， 对于D，不为常数，故D错误， 故选：B 21．下列数列中等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的定义判断. 【详解】对于A，，相邻两项的差为常数，是等差数列； 对于B，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于C，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 对于D，，相邻两项的差不为常数，不是等差数列； 故选：A 22．（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，，成等差数列，则，，成等差数列 B．若，，成等差数列，则，，成等差数列 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 【答案】ABD 【分析】ABD选项，举出反例；C选项，根据等差数列的定义和性质得到C正确. 【详解】A选项，1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此A不正确； B选项，0，0，0显然成等差数列，但是，，这三个式子没有意义， 因此B项不正确； C选项，因为，，成等差数列，所以， 因为， 所以，，成等差数列，因此C项正确； D选项，1，2，3显然成等差数列，但是，，， 显然，，不成等差数列，因此D项不正确． 故选：ABD． 23．多选题下列数列中，是等差数列的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，， 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果. 【详解】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 【题型7：利用等差数列的性质计算】 24．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【分析】根据等差数列性质计算即可. 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 故选：A 25．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用等差数列的项的性质及通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，得， 所以，所以. 故选：A. 26．已知是等差数列，且，则的值是（    ） A．24 B．27 C．30 D．33 【答案】B 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列， 则， 所以． 故选：B. 27．已知等差数列，，，则 . 【答案】 【分析】利用等差数列的基本性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，可得. 故答案为：. 28．等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】20 【分析】应用等差数列项的性质计算求解. 【详解】因为数列为等差数列，又因为 ，即， 则 . 故答案为：20. 29．已知等差数列，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的项的性质计算即可. 【详解】在等差数列中，. 故答案为：8. 30．若数列为等差数列，且，则 . 【答案】10 【分析】利用等差数列的项的性质求得，再将所求式用表示，计算即得. 【详解】因数列为等差数列,由,解得, 则 . 故答案为：10. 31．已知数列是等差数列，若，则 . 【答案】15 【分析】运用等差数列下标的性质进行求解即可. 【详解】因为数列是等差数列， 所以由， 于是， 故答案为： 【题型8：利用等差中项运算】 32．在等差数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】在等差数列中，，故. 故选：C. 33．在等差数列中，若，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】A 【分析】直接根据等差数列的定义结合已知得到答案. 【详解】由于是等差数列，故，所以. 故选：A. 34．已知实数是2和8的等差中项，则（   ） A． B．-4 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据等差中项的概念求值. 【详解】由题意：. 故选：D 35．在等差数列中，，则（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】直接利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由是等差数列，则是和的等差中项， 所以， 则，. 故选：A 36．与的等差中项为 【答案】1 【分析】由等差中项的定义可得，由对数的运算性质可得的值，即可得答案． 【详解】依题意，设与的等差中项为， 则， 故，即与的等差中项为1. 故答案为：1 【题型9：由等差数列的前n项和求通项公式】 37．已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 38．在等差数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的公差，根据等差中项以及通项公式，建立方程组，可得答案； （2）利用等差数列的求和公式，确定数列中的所有正项与负项，分段求和，可得答案. 【详解】（1）设的公差为．因为，所以． 因为，所以，解得， 故． （2）设的前项和为，则． 当时，； 当时，． 故. 39．记为等差数列的前n项和，已知， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，，求的通项公式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设数列的公差，利用等差数列的基本量运算求得，即可求得通项； （2）利用累加法即可求出时，，检验符合，即得通项. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 因为，， 解得，， 故的通项公式为； （2）由题意，可得， 当时， ， 当时，也成立， 所以的通项公式为 40．已知数列的前项和为，，，． (1)证明：为等差数列； (2)在数列中，，，若的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系式，结合等差数列的定义即可得证； （2）利用（1）中结论求得，进而利用累乘法求得，再利用裂项相消法求得，从而得证. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知：， 则， 又，所以， 所以 ， 所以 . 【题型10：利用等比中项运算】 41．若是2和18的等比中项，则实数的值是（   ） A．6 B．或6 C．10 D．或10 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质有，即可求参数值. 【详解】由题设. 故选：B 42．已知等比数列中，，，则等于（    ） A． B． C．6 D．不确定 【答案】B 【分析】由等比中项即可求解； 【详解】由，可得：， 又等比数列所有奇数项同号，， 所以， 故选：B 43．已知等比数列则（　　） A．8 B．±8 C．10 D．±10 【答案】A 【分析】运用等比中项，结合等比数列通项公式即可解决. 【详解】根据等比中项知道，求得，则. 又，则. 故选：A. 44．已知正项等比数列，若，是方程 的两个实数根，则（    ） A． B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质即可得出． 【详解】 ，是方程 的两个实数根，， ， 为正项等比数列，． 故选：D 【题型11：利用等比数列的性质计算】 45．设等比数列的公比为q，若，则（   ） A．1 B． C．或2 D．或1 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比数列的性质求出，再求出公比.. 【详解】等比数列中，，而，解得， 即，解得，所以或. 故选：D 46．在等比数列中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质可求得结果. 【详解】在等比数列中，若，则， 由等比数列的性质可得，故. 故选：B. 47．已知数列是等比数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质运算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以. 故选：. 48．已知等比数列中，，，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式列方程，可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 则，解得. 故选：B. 49．在等比数列中，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，由已知条件求出的值，由此可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则，可得， 因此，. 故选：C. 50．已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B 51．已知构成各项为正的等比数列，且 则 . 【答案】4 【分析】利用等比中项，得到，再结合条件，即可求出结果. 【详解】因为构成各项为正的等比数列，所以，又， 所以，解得或（舍去）， 故答案为：. 52．已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项性质可得，再判断出的正负，从而可知等比数列中偶数项均为负，从而得出结论. 【详解】因为数列为等比数列，由， 所以，， 由，，知均为负数， 所以等比数列中偶数项均为负，即 故答案为：. 【题型12：等比数列通项公式、求和公式的综合应用】 53．记为数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由的关系求的通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以. （2）由题知， 所以，， 两式相减得 所以 54．已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）法一：应用的关系求得、，根据等比数列的定义写出通项公式；法二：应用等比数列的通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由已知可得，再应用错位相减法求，即可证结论. 【详解】（1）法一：由，则时，故，则， 所以是公比为2的等比数列，又当时，解得， 所以； 法二：设公比为q，则，解得（舍）或， 由，则，所以； （2）因为，所以，则， ， ， 所以， 所以. 55．已知数列的前项和为，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）时，，整理得，而， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以. 56．已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令可求出的值，再令由可得出，两式作差可得出，结合等比数列的定义可证得结论成立； （2）根据（1）中的结论求出数列的通项公式，可求出，利用错位相减法和分组求和法可求得. 【详解】（1）因为数列的前项和为，且， 所以①， 当时，，解得， 当时，②， ①②得，所以，即， 即，且，所以，数列是首项为，公比为的等比数列. （2）因为数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，则， 所以，， 所以，， 则， 令③， 所以，④， ③④得， 所以，，故. 【题型13：等差数列、等比数列的综合】 57．已知等比数列和等差数列中，． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求满足的最小自然数． 【答案】(1)，； (2)9. 【分析】（1）设的公比为，的公差为，结合已知及等差、等比通项公式列方程求基本量，进而写出通项公式； （2）利用错位相减法、等比数列前n项和公式求和，判断的单调性，代入法解不等式． 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 由，则，解得， 结合，所以，故， 由，可得，结合，故. （2）由（1），则， 所以， 则，，显然单调递增， 时，， 时，， 故满足的最小自然数为9. 58．已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 59．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则， 所以，， ， 上式下式得 ， 因此，. 60．已知为等差数列，为等比数列，且，． (1)求与的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据等差等比数列基本量的计算即可由通项公式求解， （2）根据等差等比的求和公式，结合分组求解即可得解. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，等比数列公比为 由题意可知，， 可得， 所以； 因为， 所以， 所以． （2）结合（1）可得： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$