数学（江苏南京卷02）-学易金卷：2025年中考第三次模拟考试

2025年中考第三次模拟考试（南京卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知x2＝9，则x的值为（　　） A．3 B．±3 C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab 3．某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（　　） A．平均数是39.5分 B．众数是40分 C．中位数是37.5分 D．极差是8分 4．已知反比例函数y，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2 5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③，④|a|＞|b|．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．﹣2的倒数是 　 　 ；﹣2的相反数是 　 　 ． 8．计算的结果是 　 　 ． 9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　 　 ． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位，得到点A2，则点A2的坐标是　 　 ． 11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 　 ． 12．如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为　 　 ． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是 　 　 °． 14．如图，四边形ABCD中，，BC＝3，∠ABC＝45°，∠ACD＝90°，若AC＝3CD，则BD的长为 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，若△B′CD是等腰三角形，则∠BAE等于 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，M、N分别是AB、BC边上的点，且AM＝BN，连接MN，P是MN的中点，则BP最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）计算：（﹣2024）0+2sin245°﹣（）﹣1； （2）化简：（1）． 18．（7分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO＝DO． 20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 　 　 人，请补全条形统计图． （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 21．（8分）有一组数：﹣1，，0，3，求下列事件的概率： （1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数； （2）从中随机选择两个不同的数，均比0大． 22．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时； （1）若AF⊥BC，求BF的长度； （2）求阴影CD的长．（参考数据；sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 23．（8分）如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标． 25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F． （1）求证：OE⊥AB； （2）若AD＝4，，求⊙O的半径． 26．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+n过点（2，2m﹣3）． （1）用含m的代数式表示n； （2）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （3）若点E（﹣3，y1）、F（t，y2）、G（m﹣1，y3）在该函数图象上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，直接写出m的取值范围． 27．（9分）问题背景 如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D、F分别是边AC、BC上的动点，过点D作AB的垂线，垂足为E，连接FD，FE．设C，D两点之间的距离为x，C、F两点之间的距离为y 初步运用 （1）当DE＝4时，x＝　 　 思维探究 （2）若△ADE与△FDE全等，则y＝　 　 思维拓展 （3）如图2，以FD，FE为邻边作▱FDGE，当x＝3时，是否存在y，使得▱FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边上？若存在，请求出y的值，若不存在，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（南京卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知x2＝9，则x的值为（　　） A．3 B．±3 C． D． 1．【答案】B 【解析】∵x2＝9， ∴x＝±3． 故选：B． 2．下列运算正确的是（　　） A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab 2．【答案】D 【解析】A、原式不能合并，不符合题意； B、原式＝a2+a2＝2a2，不符合题意； C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意； D、原式＝3ab，符合题意． 故选：D． 3．某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（　　） A．平均数是39.5分 B．众数是40分 C．中位数是37.5分 D．极差是8分 3．【答案】C 【解析】A、平均数为：39.5，本选项结论正确，不符合题意； B、40出现的次数最多，众数是40，本选项结论正确，不符合题意； C、中位数是40，本选项结论错误，符合题意； D、极差是：40﹣32＝8，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 4．已知反比例函数y，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2 4．【答案】C 【解析】∵在y中，﹣6＜0， ∴第二象限内，y随x的增大而增大， ∴当x＝﹣3时，y有最小值2，当x＝﹣2时，y有最大值3， ∴当﹣3＜x＜﹣2时，2＜y＜3， 故选：C． 5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③，④|a|＞|b|．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 5．【答案】A 【解析】∵a＜0，a2＞b2， ∴|a|＞|b|， ∴a＜b，故①符合题意，④符合题意； 当a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＝4，b2＝1，故②不符合题意； 当a＝﹣2，b＝﹣1时，，1，，故③不符合题意； 故选：A． 6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．【答案】D 【解析】将△BOD，即将△①绕着点B逆时针旋转到BO与BA重合时，△BOD就与△BAF重合； 将△FOD，即将△②绕着点F顺时针旋转到FO与FA重合时，△FOD就与△BAF重合； 将△BOF，即将△③绕着BF的中点，逆时针旋转180°与△BAF重合； 将△BCD，即将△④绕着点O顺时针旋转到OB与OF重合时，△BCD就与△BAF重合； 将△FDE，即将△⑤绕着点O逆时针旋转到OF与OB重合时，△FDE就与△BAF重合； 即图中△①，△②，△③，△④，△⑤可以通过1次旋转与△ABF重合， 故选：D． 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．﹣2的倒数是 　　 ；﹣2的相反数是 　2　 ． 7．【答案】、2． 【解析】﹣2的倒数是；﹣2的相反数是2． 故答案为：、2． 8．计算的结果是 　﹣2　 ． 8．【答案】﹣2． 【解析】原式3 ＝﹣2； 故答案为：﹣2． 9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　1　 ． 9．【答案】1． 【解析】∵一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2， ∴x1+x2，x1x2． ∴x1+x2﹣x1x21， 故答案为：1． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位，得到点A2，则点A2的坐标是　（﹣1，﹣6）　 ． 10．【答案】见试题解答内容 【解析】∵点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A1， ∴点A1（﹣1，﹣2）， ∵再将点A1向下平移4个单位，得到点A2， ∴点A2的坐标是：（﹣1，﹣6）． 故答案为：（﹣1，﹣6）． 11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　25cm　 ． 11．【答案】见试题解答内容 【解析】连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25cm． 12．如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为　120°　 ． 12．【答案】120°． 【解析】， ∵在四边形AMNF中，∠AMN+∠FNM+∠A+∠F＝360°， ∴∠AMN+∠FNM＝360°﹣（∠A+∠F）＝120°， 由对顶角相等得：∠AMN＝α，∠FNM＝β， ∴α+β＝∠AMN+∠FNM＝120°， 故答案为：120°． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是 　21　 °． 13．【答案】21． 【解析】∵∠BAC是△APC的外角，∠P＝30°， ∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠C， 由圆周角定理得：∠B＝∠C， ∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠B， ∵∠AQD是△AQB的外角， ∴∠AQD＝∠BAC+∠B， ∴30°+∠B+∠B＝72°， ∴∠B＝21°， 故答案为：21． 14．如图，四边形ABCD中，，BC＝3，∠ABC＝45°，∠ACD＝90°，若AC＝3CD，则BD的长为 　　 ． 14．【答案】． 【解答】详解：如图： 如图，过A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， ∴∠ABC＝45°， ∴BE＝AE＝AB．sin∠ABE1， 又∵BC＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2， ∵AE⊥BC，DF⊥BC，∠ACD＝90°， AE⊥BC，DF⊥BC，∠ACD＝90， ∠AEC＝∠F＝90， ∠EAC+∠ECA＝∠DCF+∠ACE＝90°， ∴∠EAC＝∠DCF， ∴△AEC∽△CFD， ∴， ∴． 解得：DF，CF， ∴BF＝BC+CF＝3， ∴BD． 15．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，若△B′CD是等腰三角形，则∠BAE等于 　15°或30°　 ． 15．【答案】15°或30°． 【解析】①当DB′＝DC时，△B′CD是等腰三角形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD， ∵将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E， ∴AB′＝AB， ∴AB′＝AD＝DB′， ∴△ADB′是等边三角形， ∴∠DAB′＝60°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAB′＝30°， ∴∠BAE＝∠B′AE＝15°； ②当DB′＝B′C时，△B′CD是等腰三角形， 过B′作B′H⊥CD， ∴DH＝CHCD，HG∥BC， ∴AG＝BG， ∵将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E， ∴AB′＝AB， ∴AG， ∴∠AB′G＝30°， ∴∠GAB′＝60°， ∴∠BAE60°＝30°； ③当DB′＝B′C时，△B′CD是等腰三角形， 此时点B′于点D重合，这种情况不存在， 综上所述，∠BAE等于15°或30°， 故答案为：15°或30°． 16．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，M、N分别是AB、BC边上的点，且AM＝BN，连接MN，P是MN的中点，则BP最小值为 　　 ． 16．【答案】． 【解析】连接BP，并延长BP至点Q，使PQ＝BP，连接QM，QN，AQ，并延长AQ交BC于点D， ∵BP＝PQ，点P是MN的中点， ∴四边形BNQM是平行四边形， ∴QM＝NB，QM∥NB， ∴∠AMQ＝∠ABC＝60°， ∵AM＝BN，QM＝NB， ∴AM＝QM， ∴△AQM是等边三角形， ∴∠QAM＝60°， 过点B作BQ′⊥AD于点Q′，则点Q运动到点Q′时，BQ取得最小值，即最小． ∴在Rt△ABQ′中，， ∴BQ的最小值为， ∴BP的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）计算：（﹣2024）0+2sin245°﹣（）﹣1； （2）化简：（1）． 17．【答案】（1）0； （2）． 【解析】（1）原式＝1+2×（）2﹣2 ＝1+22 ＝1+1﹣2 ＝0； （2）原式 • ． 18．（7分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 18．【答案】原计划完成的天数为20天． 【解析】设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成， 由题意得：1， 解得：x＝20， 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意， 答：原计划完成的天数为20天． 19．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO＝DO． 19．【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C， ∵， ∴△DAE≌△BCF（ASA）， ∴DE＝BF，AE＝CF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴OB＝OD． 20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 　50　 人，请补全条形统计图． （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 20．【答案】（1）50；见解析； （2）108°； （3）4500人． 【解析】（1）本次调查活动随机抽取人数为5÷10%＝50（人）， ∴混动的人数为50﹣27﹣3﹣5＝15人， 补全统计图如下所示： （2）扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； （3）（人）． 答：喜欢新能源汽车的有4500人． 21．（8分）有一组数：﹣1，，0，3，求下列事件的概率： （1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数； （2）从中随机选择两个不同的数，均比0大． 21．【答案】见试题解答内容 【解析】（1）一组数：﹣1，，0，3中，无理数为，共1个， 则P（恰好为无理数）； （2）画树状图得：， 所有等可能的情况有12种，其中均大于0的情况有2种， 则P（均大于0）． 22．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时； （1）若AF⊥BC，求BF的长度； （2）求阴影CD的长．（参考数据；sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 22．【答案】（1）1.4米； （2）2.2米． 【解析】（1）由题意知：AF⊥BC，∠BAF＝16°， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， 在Rt△AFB中，BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4（米）， （2）过A作AK⊥CD于K，则∠AKD＝90°， BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4米， ∴CF＝BC﹣BF＝2.6米， ∵四边形AFCK是矩形， ∴AK＝CF＝2.6米，CK＝AF＝4.8米， 由题意知：∠ADK＝45°， ∴∠DAK＝90°﹣∠ADK＝45°＝∠ADK， ∴DK＝AK＝2.6米， ∴CD＝CK﹣DK＝2.2米， ∴阴影CD的长为2.2米． 23．（8分）如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 23．【答案】（1）（2）见解析． 【解析】（1）如图1中，△ABC即为所求； （2）如图2中，△DEF即为所求． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标． 24．【答案】见试题解答内容 【解析】（1）∵反比例函数y（m≠0）的图象过点A（3，1）， ∴3 ∴m＝3． ∴反比例函数的表达式为y． ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）． ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝x﹣2； （2）令y＝0，∴x﹣2＝0，x＝2， ∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）． ∵S△ABP＝3， PC×1PC×2＝3． ∴PC＝2， ∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）． 25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F． （1）求证：OE⊥AB； （2）若AD＝4，，求⊙O的半径． 25．【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：连接OA、OB，如图所示． ∵AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°． 设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α． ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α， ∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α． ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAE＝∠EAC＝α， ∴∠BOE＝2∠BAE＝2α， ∴∠AOE＝∠BOE． 又∵OA＝OB， ∴OE⊥AB． （2）解：∵， ∴可设ACx，BC＝2x． ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴CDBC＝x，AD⊥BC， ∴AD2+CD2＝AC2． ∵AD＝4， ∴42+x2＝（x）2，解得：x＝2， ∴AB＝ACx＝2，BD＝CD＝x＝2． ∵OE⊥AB， ∴AFAB． ∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB， ∴△FAE∽△DAB， ∴，即， ∴EF． 设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r， ∵OF⊥AB， ∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r）2+（）2， 解得：r， ∴⊙O的半径为． 26．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+n过点（2，2m﹣3）． （1）用含m的代数式表示n； （2）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （3）若点E（﹣3，y1）、F（t，y2）、G（m﹣1，y3）在该函数图象上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，直接写出m的取值范围． 26．【答案】（1）n＝1﹣2m； （2）见解答； （3）m≤2或m＞5． 【解答】（1）解：把点（2，2m﹣3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx+n，得： ﹣4+4m+n＝2m﹣3， ∴n＝1﹣2m； （2）证明：令y＝0，﹣x2+2mx+1﹣2m＝0， ∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（1﹣2m）＝4m2+4﹣8m＝4（m﹣1）2≥0， ∴此方程必有实数根， ∴该函数的图象与x轴总有公共点； （3）解：抛物线的对称轴直线为：x＝m， ∵m﹣1＜m， ∴G在抛物线对称轴的左侧， ∵t＞﹣3，y2＞y1， ∴E一定也在抛物线对称轴的左侧， 取G和E关于抛物线对称轴的对称点G′，E′， ∴G′（m+1，y3），E′（2m+3，y1）， 当F在抛物线对称轴左侧时， ， ∴m＞5， ∴y3＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+1﹣2m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1， ∴y3＞15； 当F在抛物线对称轴右侧时， ， ∴m≤2， ∴m的取值范围是m≤2或m＞5． 27．（9分）问题背景 如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D、F分别是边AC、BC上的动点，过点D作AB的垂线，垂足为E，连接FD，FE．设C，D两点之间的距离为x，C、F两点之间的距离为y 初步运用 （1）当DE＝4时，x＝　　 思维探究 （2）若△ADE与△FDE全等，则y＝　6或　 思维拓展 （3）如图2，以FD，FE为邻边作▱FDGE，当x＝3时，是否存在y，使得▱FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边上？若存在，请求出y的值，若不存在，请说明理由． 27．【答案】见试题解答内容 【解析】（1）∵AB＝10，BC＝6， ∴AC＝8， 则AD＝8﹣x， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得x， 故答案为：． （2）①△AED≌△FED，此时∠AED＝∠FED＝90°， 如图1， 显然F与B重合，此时y＝6； ②△AED≌△FDE，此时∠AED＝∠FDE＝90°， 如图2， 易知四边形AEFD是平行四边形， 设DE＝3k，则AE＝4k、AD＝5k， 则AE＝DF＝4k，CD＝AC﹣AD＝8﹣5k， 在Rt△FDC中，， 解得k， ∴DF， y＝CFDF， 故答案为：6或； （3）①如图3，G落在AC上，过E作EH⊥AC于点H， 易知四边形EFCH是矩形，则y＝EH， 在Rt△AED中，AD＝5、DE＝3、AE＝4， 则y＝EH； ②如图4，G落在AB上，过E作EH⊥AC于点H，同上EH， 在Rt△EDH中，DH， ∵∠AED＝∠FDE＝90°，由三垂直模型知△EHD∽△DCF， ∴， ∴y＝CF． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第三次模拟考试（南京卷） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C C A D 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分） 7．、2． 8．﹣2． 9．1． 10．（﹣1，﹣6）． 11．25cm． 12．120°． 13．21． 14．． 15．15°或30°． 16．． 三、解答题（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）【详解】解：（1）原式＝1+2×（）2﹣2 ＝1+22 ＝1+1﹣2 ＝0；（3分） （2）原式 • ．（7分） 18．（7分）【详解】解：设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成， 由题意得：1，（4分） 解得：x＝20，（5分） 经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，（6分） 答：原计划完成的天数为20天．（7分） 19．（8分）【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C， ∵， ∴△DAE≌△BCF（ASA），（4分） ∴DE＝BF，AE＝CF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴OB＝OD． （8分） 20．（8分）【详解】解：（1）本次调查活动随机抽取人数为5÷10%＝50（人）， ∴混动的人数为50﹣27﹣3﹣5＝15人， 补全统计图如下所示： （3分） （2）扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为；（5分） （3）（人）． 答：喜欢新能源汽车的有4500人．（8分） 21．（8分）【详解】解：（1）由题意知：AF⊥BC，∠BAF＝16°， ∴∠AFB＝∠AFC＝90°， 在Rt△AFB中，BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4（米），（4分） （2）过A作AK⊥CD于K，则∠AKD＝90°， BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4米， ∴CF＝BC﹣BF＝2.6米， ∵四边形AFCK是矩形， ∴AK＝CF＝2.6米，CK＝AF＝4.8米， 由题意知：∠ADK＝45°， ∴∠DAK＝90°﹣∠ADK＝45°＝∠ADK， ∴DK＝AK＝2.6米， ∴CD＝CK﹣DK＝2.2米， ∴阴影CD的长为2.2米．（8分） 23．（8分）【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；（4分） （2）如图2中，△DEF即为所求． （8分） 24．（8分）【详解】解：（1）∵反比例函数y（m≠0）的图象过点A（3，1）， ∴3 ∴m＝3． ∴反比例函数的表达式为y． ∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）． ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；（4分） （2）令y＝0，∴x﹣2＝0，x＝2， ∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）． ∵S△ABP＝3， PC×1PC×2＝3． ∴PC＝2， ∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．（8分） 25．（8分）【详解】（1）证明：连接OA、OB，如图所示． ∵AC与⊙O相切于点A， ∴∠OAC＝90°． 设∠EAC＝α，则∠OAE＝90°﹣α． ∵OA＝OE， ∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣α， ∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣∠OAE＝2α． ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠BAE＝∠EAC＝α， ∴∠BOE＝2∠BAE＝2α， ∴∠AOE＝∠BOE． 又∵OA＝OB， ∴OE⊥AB．（4分） （2）解：∵， ∴可设ACx，BC＝2x． ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴CDBC＝x，AD⊥BC， ∴AD2+CD2＝AC2． ∵AD＝4， ∴42+x2＝（x）2，解得：x＝2， ∴AB＝ACx＝2，BD＝CD＝x＝2． ∵OE⊥AB， ∴AFAB． ∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB， ∴△FAE∽△DAB， ∴，即， ∴EF． 设⊙O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r， ∵OF⊥AB， ∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r）2+（）2， 解得：r， ∴⊙O的半径为．（8分） 26．（9分）【详解】（1）解：把点（2，2m﹣3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx+n，得： ﹣4+4m+n＝2m﹣3， ∴n＝1﹣2m；（3分） （2）证明：令y＝0，﹣x2+2mx+1﹣2m＝0， ∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（1﹣2m）＝4m2+4﹣8m＝4（m﹣1）2≥0， ∴此方程必有实数根， ∴该函数的图象与x轴总有公共点；（6分） （3）解：抛物线的对称轴直线为：x＝m， ∵m﹣1＜m， ∴G在抛物线对称轴的左侧， ∵t＞﹣3，y2＞y1， ∴E一定也在抛物线对称轴的左侧， 取G和E关于抛物线对称轴的对称点G′，E′， ∴G′（m+1，y3），E′（2m+3，y1）， 当F在抛物线对称轴左侧时， ， ∴m＞5， ∴y3＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+1﹣2m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1， ∴y3＞15； 当F在抛物线对称轴右侧时， ， ∴m≤2， ∴m的取值范围是m≤2或m＞5．（9分） 27．（9分）【详解】解：（1）∵AB＝10，BC＝6， ∴AC＝8， 则AD＝8﹣x， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， 解得x， 故答案为：．（3分） （2）①△AED≌△FED，此时∠AED＝∠FED＝90°， 如图1， 显然F与B重合，此时y＝6；（5分） ②△AED≌△FDE，此时∠AED＝∠FDE＝90°， 如图2， 易知四边形AEFD是平行四边形， 设DE＝3k，则AE＝4k、AD＝5k， 则AE＝DF＝4k，CD＝AC﹣AD＝8﹣5k， 在Rt△FDC中，， 解得k， ∴DF， y＝CFDF， 故答案为：6或；（6分） （3）①如图3，G落在AC上，过E作EH⊥AC于点H， 易知四边形EFCH是矩形，则y＝EH， 在Rt△AED中，AD＝5、DE＝3、AE＝4， 则y＝EH；（8分） ②如图4，G落在AB上，过E作EH⊥AC于点H，同上EH， 在Rt△EDH中，DH， ∵∠AED＝∠FDE＝90°，由三垂直模型知△EHD∽△DCF， ∴， ∴y＝CF．（9分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第三次模拟考试（南京卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)一、选择题（每小题2分，共12分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题2分，共20分） 7．_________________ 8．___________________ 9．__________________ 10．__________________ 11．___________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．__________________ 16．__________________ 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共11个小题，共88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（9分） 27. （9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第三次模拟考试（南京卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．已知x2＝9，则x的值为（　　） A．3 B．±3 C． D． 2．下列运算正确的是（　　） A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab 3．某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如表： 成绩/分 32 36 39 40 人数/人 1 2 4 33 下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（　　） A．平均数是39.5分 B．众数是40分 C．中位数是37.5分 D．极差是8分 4．已知反比例函数y，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（　　） A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2 5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③，④|a|＞|b|．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除外）的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7．﹣2的倒数是 　 　 ；﹣2的相反数是 　 　 ． 8．计算的结果是 　 　 ． 9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　 　 ． 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A1，再将点A1向下平移4个单位，得到点A2，则点A2的坐标是　 　 ． 11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 　 ． 12．如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则α+β的大小为　 　 ． 13．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P＝30°，∠AQD＝72°，则∠B的度数是 　 　 °． 14．如图，四边形ABCD中，，BC＝3，∠ABC＝45°，∠ACD＝90°，若AC＝3CD，则BD的长为 　 ． 15．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，若△B′CD是等腰三角形，则∠BAE等于 　 　 ． 16．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，M、N分别是AB、BC边上的点，且AM＝BN，连接MN，P是MN的中点，则BP最小值为 　 　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）计算：（﹣2024）0+2sin245°﹣（）﹣1； （2）化简：（1）． 18．（7分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期10天才能完成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数． 19．（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO＝DO． 20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了 　 　 人，请补全条形统计图． （2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数． （3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人． 21．（8分）有一组数：﹣1，，0，3，求下列事件的概率： （1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数； （2）从中随机选择两个不同的数，均比0大． 22．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时； （1）若AF⊥BC，求BF的长度； （2）求阴影CD的长．（参考数据；sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29） 23．（8分）如图，已知∠α，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠α，底边长＝a； （2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a． 24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标． 25．（8分）如图，在⊙O中，AB是弦，AC与⊙O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，连接AD交⊙O于点E，连接OE交AB于点F． （1）求证：OE⊥AB； （2）若AD＝4，，求⊙O的半径． 26．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+n过点（2，2m﹣3）． （1）用含m的代数式表示n； （2）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （3）若点E（﹣3，y1）、F（t，y2）、G（m﹣1，y3）在该函数图象上，且当3＜t≤4时，总有y1＜y2＜y3，直接写出m的取值范围． 27．（9分）问题背景 如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D、F分别是边AC、BC上的动点，过点D作AB的垂线，垂足为E，连接FD，FE．设C，D两点之间的距离为x，C、F两点之间的距离为y 初步运用 （1）当DE＝4时，x＝　 　 思维探究 （2）若△ADE与△FDE全等，则y＝　 　 思维拓展 （3）如图2，以FD，FE为邻边作▱FDGE，当x＝3时，是否存在y，使得▱FDGE的顶点G恰好落在△ABC的边上？若存在，请求出y的值，若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$