精品解析：2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷〈1〉

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 表示的意义是（ ） A. 5个2相乘 B. 5个2相乘的积的相反数 C. 2个相乘 D. 2个5相乘的积的相反数 2. 如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 3. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （ ） A. B. C. D. 5. 2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 7. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 9. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 10. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，一段抛物线记为，与x轴交于A，B两点，顶点为P；将绕点B旋转得到，顶点为Q；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，与线段PQ交于点设均为互不相等的正数，则m的值可能是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 12. 如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1.答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2.答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____________． 14. 定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形的顶点A在第一象限，点，双曲线把分成两部分，若这两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为___________． 16. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 老师在黑板上写了一道练习题，却被珍珍不小心擦掉了一部分，保留的部分题目如下： 已知为绝对值小于3的整数，请先化简，再求值． 若化简后的结果为． （1）求出珍珍擦掉的式子． （2）求出符合要求的值，并代入化简后的结果求值． 18. 老师写出一个整式，（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出的a，b的值分别是 ， ．（请直接写出a，b的值） （2）乙同学给出了a，b的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则乙同学给出的a，b的值分别是 ， ．（请直接写出a，b的值） （3）丙同学给出了，请你按照丙同学的数值化简． 19. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 20. 综合与实践 问题情境：现有若干张边长为的正方形纸板，利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，要求纸盒体积大于，学校面向全体同学征集设计方案． 莉莉的设计方案：如图1，在四角处剪去四个小正方形，制作底面边长为的长方体纸盒． 欣欣的设计方案：按如图2所示的方式裁剪． 方案实施：莉莉独立完成，欣欣在制作长方体纸盒时想请求阳阳的帮助，阳阳给欣欣出了一个问题，只要欣欣答上来就帮助她，问题如下： 将图2设计图纸的甲、乙、丙、丁四个面上分别标上，，和6，若长方体纸盒中相对的面上的两个整式的和相等，则的值为多少？ 根据以上内容，完成下列问题． （1）边长为的正方形纸板的面积为______，图1中纸板折成的长方体高为______．（用含的代数式表示） （2）①帮助欣欣完成阳阳出的题目． ②若图2中折成的纸盒体积为，判断图1中折成的纸盒的体积是否满足要求，并比较两种方案纸盒的使用率哪个更高．（使用率为使用纸盒面积与总面积的比） 21. 综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，C两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 22. 如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，   （1）如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 23. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 24. 图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． （1）①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． （2）①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 表示的意义是（ ） A. 5个2相乘 B. 5个2相乘的积的相反数 C. 2个相乘 D. 2个5相乘的积的相反数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方的意义，相反数的定义，表示的是个相乘的积，据此可得表示的意义，再由相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：表示的意义是5个2相乘的积，故表示的意义是5个2相乘的积的相反数， 故选：B． 2. 如图，，平分，平分，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是角的计算，角平分线的有关计算，解题关键是熟练掌握角的计算方法． 先根据角平分线的定义得到，，由即可得到的度数，再由即可得到和的度数，最后由即可得解． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 3. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，底层是二个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：B． 4. 实数 、 在数轴上表示的点位置如图所示，则下列代数式中最大的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，根据图示，可得：，且，据此判断即可． 【详解】解：根据图示，可得：，且， ∴ ∴最大的数是， 故选：D． 5. 2024年12月2日，年输气能力达380亿立方米的中俄东线天然气管道全线贯通，它是中国四大油气战略通道的重要组成部分，也是目前世界上单管输量最大的长输天然气管道．将380亿用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，要正确确定的值以及的值是解决此题的关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，据此解答即可． 【详解】解：380亿， 故选：C． 6. 取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1.这个结论在数学上还没有得到证明.但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的运算，运用逆推法，分别根据题意求出前一步所有满足条件的值，然后可得答案． 【详解】解：运用逆推法， ∵第7步运算可得到1， ∴第6步得到的数为， 第5步得到的数为， 第4步得到的数为， 第3步得到的数为， 第2步得到的数为或， 第1步得到的数为或， 则m的值为：或或或， ∴符合条件的的值为：或或或，有个， 故选：B． 7. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 8. 有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（ ） ①；②；③；④ A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【详解】解：设每个房间地面面积， ∵每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， ∴一个熟练工人每天装修， ∵每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， ∴一个初级装修工人每天装修， ∵一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ∴； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， ∴每个房间的装修面积为：或 ∴； ∴②③正确， 故选：D． 9. 平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F，在对角线上通过作图得到点M、N，如图1，图2，图3，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是 （ ） 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点、 分别作、中、边上的中线、 分别作、中、的平分线、 A. 都是矩形 B. 都为菱形 C. 图1为矩形，图2、图3为平行四边形 D. 图1为平行四边形，图2、图3为矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，涉及到平行线的性质、两个三角形全等的判定与性质、基本尺规作图等知识点，熟练掌握平行四边形和矩形的判定与性质是解决问题的关键． 根据平行四边形的判定和性质、矩形的判定，全等三角形的判定和性质，作出相应辅助线，进行证明即可． 【详解】解：连接、、、，如图所示： 在中，对角线与交于， , , 在和中， ， ， , 以点为圆心，以为半径作弧，交于点， ，即， 四边形为矩形，即图1为矩形； 连接、，如图所示： 在中，对角线与交于， ,, , 在和中， ， ， , 为的中线， ， 四边形为平行四边形， 即图2为平行四边形； 连接、，如图所示： 同理得：， ， 为的角平分线， ∴ ，， ∴， 四边形为平行四边形，即图3为平行四边形； 故选：C． 10. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定，再由根与系数的关系得到，继而设，则，则不等式化为，再由二次函数与不等式的关系即可求解． 【详解】解：关于的不等式的解集为， 令 ∴由图象得 ∴和是方程的两个根， ∴， ∴设， ∴， ∴不等式化为：， ∴， 令，当时，则， 解得：， ∵开口向上， ∴当时，， ∴解析为：， 故选：C． 11. 如图，一段抛物线记为，与x轴交于A，B两点，顶点为P；将绕点B旋转得到，顶点为Q；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，与线段PQ交于点设均为互不相等的正数，则m的值可能是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，先求出点A，B，P的坐标，再根据旋转得到点Q的坐标，根据均为互不相等的正数，则可以得到l应在x轴的下方，根据二次函数的对称性可知，由，推出的范围即可解决问题． 【详解】解：当时，，令，则，解得或， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点P的坐标为， 由旋转可得点Q的坐标为， ∵垂直于y轴的直线l与新图象交于点， ∴，即， 又∵， ∴， 符合的数值为11， 故选：C． 12. 如图，是正方形边上一点，将绕点顺时针旋转得，连接，过点作的垂线交于点，交于点．若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，可得垂直平分，即得，设，则，，，再根据中，，列出方程即可得到的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转可得，，， ∵， ∴为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设，则，，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴的长为， 故选：． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 注意事项： 1.答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚． 2.答卷Ⅱ时，将答案用黑色签字笔或圆珠笔直接写在试卷上． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了倒数和相反数，代数式求值，理解新定义运算法则是解题关键．根据倒数和相反数的定义，得出，，再代入新运算计算求值即可． 【详解】解：与互为倒数，与5互为相反数， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，横纵坐标都为整数的点称为整点，等边三角形的顶点A在第一象限，点，双曲线把分成两部分，若这两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，根据反比例函数图象上点的横纵坐标之积为k求得即可． 【详解】解：∵等边三角形的顶点， ∴内部的整数点为和， 双曲线把分成两部分内的整点个数相等（不含边界），则k的取值范围为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，以为圆心，长为半径画弧交线段的延长线于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，由勾股定理可得，进而求得，利用特殊角的三角函数值可得，再根据“阴影部分的面积”，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：在矩形中，，， ， ， ， ， 阴影部分的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，矩形的性质，勾股定理，求角的正弦值，根据特殊角三角函数值求角的度数，求扇形面积，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 老师在黑板上写了一道练习题，却被珍珍不小心擦掉了一部分，保留的部分题目如下： 已知为绝对值小于3的整数，请先化简，再求值． 若化简后的结果为． （1）求出珍珍擦掉的式子． （2）求出符合要求的值，并代入化简后的结果求值． 【答案】（1） （2）或；或 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算、分式有意义的条件，准确进行分式计算并熟知分式有意义的条件是分母不能为0是解题关键． （1）根据题意先计算出，即可列出被擦掉的部分的代数式，化简即可； （2）先根据题意求出x的值，根据分式有意义的条件即可求解． 【小问1详解】 解：， 珍珍擦掉的式子为． 【小问2详解】 解：要使原式有意义，需保证所有的分母（包括除式的分子）都不等于0， 即，且， 则且且， 为绝对值小于3的整数， ， 或． 当时，原式； 当时，原式． 综上所述，原式的值为或． 18. 老师写出一个整式，（其中a，b为常数，且表示系数），然后让同学给a，b赋予不同的数值进行计算． （1）甲同学给出了一组数据，最后计算的结果为，则甲同学给出的a，b的值分别是 ， ．（请直接写出a，b的值） （2）乙同学给出了a，b的一组数，使计算的最后结果与的取值无关，则乙同学给出的a，b的值分别是 ， ．（请直接写出a，b的值） （3）丙同学给出了，请你按照丙同学的数值化简． 【答案】（1） （2） （3）原式 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，正确地合并同类项是解本题的关键． （1）先合并同类项可得，，从而可得答案; （2）由的值与的取值无关可得，从而可得答案； （3）把代入，从而可得答案． 【小问1详解】 解： ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵与的取值无关， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ． 19. 某中学要求学生全员参与社团活动，为了有序开展好此项工作，学校对学生最喜欢的社团类别进行了调查，设置了文化艺术类、科技创新类、社会实践类、兴趣爱好类（以下分别用，，、表示）四大类，对部分学生进行了抽样调查（每名学生只能选择一个类别），并将调查情况绘制如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次参加抽样调查的学生有__________，扇形统计图中部分圆心角的度数为__________； （2）将条形统计图补充完整； （3）甲、乙两位同学对，、三种类别的喜欢程度都差不多，这两位同学决定在这三种类别中随机选择一类，请用列表或画树状图的方法，求这两位同学选到同一类别的概率． 【答案】（1）600， （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，也考查了统计图． （1）由B类型人数及其所占百分比可得总人数，用乘以A类型人数所占比例即可； （2）根据四个类型人数之和等于总人数求出C对应人数，从而补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数（人）， 扇形统计图中A部分圆心角的度数为， 故答案为：600，； 【小问2详解】 解：C类型人数为（人）； 【小问3详解】 解：列表如下： B C D B C D 由表知，共有9种等可能结果，其中两位同学选到同一类别的有3种结果， 所以两位同学选到同一类别的概率为． 20. 综合与实践 问题情境：现有若干张边长为的正方形纸板，利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，要求纸盒体积大于，学校面向全体同学征集设计方案． 莉莉的设计方案：如图1，在四角处剪去四个小正方形，制作底面边长为的长方体纸盒． 欣欣的设计方案：按如图2所示的方式裁剪． 方案实施：莉莉独立完成，欣欣在制作长方体纸盒时想请求阳阳的帮助，阳阳给欣欣出了一个问题，只要欣欣答上来就帮助她，问题如下： 将图2设计图纸的甲、乙、丙、丁四个面上分别标上，，和6，若长方体纸盒中相对的面上的两个整式的和相等，则的值为多少？ 根据以上内容，完成下列问题． （1）边长为的正方形纸板的面积为______，图1中纸板折成的长方体高为______．（用含的代数式表示） （2）①帮助欣欣完成阳阳出的题目． ②若图2中折成的纸盒体积为，判断图1中折成的纸盒的体积是否满足要求，并比较两种方案纸盒的使用率哪个更高．（使用率为使用纸盒面积与总面积的比） 【答案】（1）； （2）①；②图1中折成的纸盒的体积符合要求；欣欣的方案纸盒的使用率更高． 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用： （1）根据正方形面积计算公式可求出第一空的答案；用正方形纸板的边长减去2再除以2即可得到第二空的答案； （2）根据甲丙相对，乙丁相对结合题意建立方程求解即可；②根据长方体体积计算公式建立方程求出x的值，进而求出图1长方体的体积，再分别求出两个图形中阴影部分占总纸板面积的份数即可得到答案． 【小问1详解】 解：（1）边长为的正方形纸板的面积为； 图1中纸板折成的长方体高为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：①由题意得，甲丙相对，乙丁相对，则有， 解得； ②由题意得，， 解得， ∴， ∴图1中长方体的体积为， ∴图1中折成的纸盒的体积符合要求； ∵， ∴欣欣的方案纸盒的使用率更高． 21. 综合与实践 【实践课题】通过测量相关距离与角度，计算待建环山路的长度． 【实践工具】测距仪，测角仪等测量工具． 【实践活动】如图，某山的一侧已建成了三段休闲步道，数学实践小组经过现场勘探，画出示意图，休闲步道分别是，且A，B，C，D在同一水平面上．经过多次测量，得到如下数据：，，，． 【问题解决】城建部门准备在山的另一侧修建一条以为直径的半圆状环山路（图中虚线部分）． （1）求A，C两点间的距离； （2）求该条待建环山路的长度（结果保留π）．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等腰三角形的性质，勾股定理，根据实际问题构建数学模型是解题的关键． （1）连接，过点B作，由等腰三角形三线合一可得，，再利用三角函数解求出即可； （2）先证，再用勾股定理解求出，再根据圆的周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过点B作，垂足为点E， 因为， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以， 所以，，两点之间的距离为． 【小问2详解】 解： 因为， 所以， 所以， 在中，由勾股定理可得， 所以, 所以的长为, 答：待建环山路的长度为． 22. 如图1所示的圆弧形混凝土管片是构成圆形隧道的重要部件．管片的横截面（阴影部分）是同心圆环的一部分，左右两边沿的延长线交于圆心，   （1）如图1，，的延长线交于圆心O，若甲组测得，，，求的长； （2）如图2，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用两个完全相同的长方体木块固定，管片与地面的接触点L为弧的中点，若丙组测得，，求：该混凝土管片的外圆弧半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，垂径定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）由，，推出，即可证得，再根据相似三角形对应边成比例解答即可； （2）连接、、、、与相交于点，由垂径定理可得，再结合勾股定理得到，据此解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的根，即． 答：的长为； 【小问2详解】 解：如图，设圆心为点，连接、、、、与相交于点， 则，， 设外半径为，则， 在中，由勾股定理可得：， 即， 解得：， 答：该混凝土管片的外圆弧半径为． 23. 北京时间2024年8月6日，在巴黎奥运会跳水女子10米台决赛的较量中，中国选手全红婵以425.60分夺得金牌．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离 0 4 h 5 5.5 竖直高度 10 10 11.25 10 6.25 根据上述数据，求出y与x的函数关系式； （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系设她平时训练时入水点与原点的水平距离为比赛当天入水点与原点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； （3）在比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝），从她起跳后到达最高点B开始计时，设点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离与时间之间近似满足且她在达到最高点后需要1.5秒的时间才能完成动作．若此次跳水她的竖直高度与水平距离满足求她在达到最高点后能顺利完成动作的a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）由待定系数法即可求解； （2）令，则（不合题意，舍去）或，则．令，则，即，即可求解； （3）由，得到，则，进而求解． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据，抛物线顶点为，抛物线过，， 抛物线的对称轴是直线． 抛物线为． 抛物线过， ． ． 抛物线为； 【小问2详解】 解：由题意，平时跳水训练的抛物线为， 令，则（不合题意，舍去）或． ． 又当天跳水比赛的抛物线为， 令，则（不合题意的值已舍去）， 即； 【小问3详解】 解：， 即， 则， 当时，， 解得：． 24. 图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同，但大小不同，其中 ，，，现利用这两张卡片分别裁剪拼接出两个正方形．嘉嘉利用纸片1按图示方法截取正方形，设． （1）①纸片1中的 （用含x 的代数式表示）；若正方形的面积为27，则可列一元二次方程： ． ②请解①中的方程，并求的长． （2）①淇淇将纸片2只剪一次，并利用旋转知识拼出一个面积最大的正方形．请在图2中画出正确的图形（剪拼痕迹均用虚线表示）． ②若图2中，请比较（1）（2）的条件下得到的两个正方形中，哪个面积较大？ 【答案】（1）①，；② （2）①过点A作，设为裁剪线， ∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴，， ∴将绕点A逆时针旋转得出，如图， ∴，，． ∵， ∴， ∴， ∴C、D、N三点共线， ∴， ∴四边形为矩形， ∴矩形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②（1）中的正方形，面积较大． 【解析】 【分析】（1）①由正方形的性质结合题意可求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理即可求出，最后根据正方形的面积公式列方程即可； ②根据直接开平方法求出x的值，即可求出和的长，最后根据求解即可； （2）①过点A作，设为裁剪线，将绕点A逆时针旋转得出，从而可证四边形为正方形，即此时拼出的正方形面积最大； ②由（2）①可知，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，可求出的长，从而可求出，最后比较即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形为正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； ②解：， ， ∴，（舍）， ∴，， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：①略 ②由（2）①可知， 又∵图1中的四边形纸片1与图2中的四边形纸片2形状相同， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（1）中的正方形，面积较大． 【点睛】本题考查正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $