8.6.1直线与直线垂直 教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教A版高一下册必修第二册高中数学8.6.1直线与直线垂直教学设计 课题 8.6.1直线与直线垂直 课型 新授课 课时 1 学习目标 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.异面直线所成的角，两条异面直线垂直的定义. 3.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角． 4.异面直线所成的角与简单角的求法、直线与直线垂直的判定. 学习重点 1.通过直观感知、操作确认，归纳出异面直线所成角的概念； 2.会求一些较特殊的异面直线所成的角. 学习难点 1.异面直线所成的角的求法； 2.掌握两直线垂直的概念，会判定两直线垂直. 学情分析 从知识层面来看, 学生在前面学习了空间中直线与直线的位置关系, 学习了空间中直线、平面的平行, 有一定的 基础.另一方面,从学生能力层面来看,学生对平面几何具 有一定的分析和推理能力,初步具备了在空间中考虑直 线、平面位置关系的意识与基本能力. 核心知识 异面直线所成角 教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备 复习回顾 【设计意图】复习回顾空间中两条直线间的位置关系，为后续学习异面直线所成交做铺垫. 新知探究 平面内两条直线相交形成4个角，其中不 大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画一条直线相对于另一条直线倾斜 的程度，如图. 问题1：在空间，如图, 正方体ABCD－A'B'C'D'中, 直线A'C'与直线AB是异面直线，那么直线A'C'相 对于直线AB的倾斜程度可以怎样来刻画呢? 问题2：经过空间任意一点如何引已知直线的平行线？ 由推论1知，经过直线a、及空间不在直线a上的点O，可确定一 个平面，不妨记为α. 在平面α内，经过点O作直线a′∥a，这样的直 线a′就是过直线a外一点O且平行于直线 a的直线． 问题3：直线a与b所成角的大小与点O 的位置有关吗？ 异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a， b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b ． 设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°. 当两条直线a，b相互平行时，规定它们所成的角为0°. 所以空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 【设计意图】以正方体为例，得出异面直线的判定方法，进一步探究异面直线所成的角，通过三个问题让学生逐步理解异面直线所成角的概念，明确异面直线所成角的形成过程. 典例解析 例1 如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' . （1）哪些棱所在的直线与直线AA' 垂直？ （2）求直线BA' 和CC' 所成的角的大小. （3）求直线BA' 和AC 所成的角的大小. 解：（1）棱AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D' ，D'A'所在的直线分别与直线AA'垂直. （2）因为ABCD－A'B'C'D' 是正方体，所以BB'//CC' ，因此∠A'BB'为异面直线BA' 与CC'所成的角.又因为∠A'BB' =45°，所以异面直线 BA'与CC'所成的角等于45°. （3）如图，连接A'C'.因为ABCD－A'B'C'D' 是正方体， 所 以 AA'∥CC' ， AA' = CC'.所以四边形AA' C' C是平行四边形．所以 AC//A'C'.于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角. 例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．求证AO1⊥BD. 分析：要证明AO1⊥BD，应先构造直线 AO1与BD所成的角，若能证明这个角是直 角，即得AO1⊥BD. 证明：如图，连接B1D1. ∵ ABCD－A1B1C1D1是正方体， ∴ BB1∥DD1，BB1 =DD1. ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形． ∴ B1D1∥BD. ∴ 直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角． 连接AB1，AD1，易证AB1＝AD1. 又 O1为底面A1B1C1D1的中心， ∴ O1为B1D1的中点， ∴ AO1⊥B1D1. ∴ AO1⊥BD. 【设计意图】通过例题，熟悉异面直线的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想． 课堂练习 如图所示，在三棱锥 A­BCD 中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F 分别为 BC，AD 的中点，求直线EF与AB所成的角的大小． 【设计意图】通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用. 课堂小结 【设计意图】让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识. 课后作业 8.6.1直线与直线垂直 课后练习 板书设计 1. 异面直线所成角 典例解析 2. 直线与直线垂直 作业设计 8.6.1直线与直线垂直 课后练习 教学反思 1.学生对求解异面直线所成角方法掌握不熟悉，需加深空间问题平面化的理解. 2.证明过程书写需要规范，“一作二证三求解”. 学科网（北京）股份有限公司 $$