8.6.1 直线与直线垂直 教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 春季 课题 直线与直线垂直 教学目标 1.能通过直观感知、操作确认，理解异面直线所成的角的定义和两条异面直线垂直的定义，感悟和体验空间问题转化为平面问题的基本思路，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养； 2.会求简单的异面直线所成的角，会证明两条异面直线的垂直，初步掌握依据定义对空间图形进行论证、计算的方法. 教学内容 教学重点： 1.异面直线所成的角的定义、范围和求法； 2.两条异面直线垂直的定义和证明. 教学难点：对异面直线所成的角的定义的理解. 教学过程 一、创设情境，引入问题 前面我们学习了空间中的平行关系，它的研究过程是从直线与直线平行到直线与平面平行再到平面与平面平行．今天我们按照同样的过程来研究空间中另一种特殊的位置关系——垂直.我们依然是先研究直线与直线垂直，再研究直线与平面垂直，最后研究平面与平面垂直．本节课我们先来研究空间中直线与直线的垂直． 平面几何中，我们已经研究过两条相交直线的垂直关系，那么空间中的两条直线除了相交之外还有这样的位置关系： 初中，我们已经研究了相交直线的垂直，本节课我们主要研究异面直线的垂直，那么如何研究两条异面直线的垂直关系呢？我们先从异面直线的位置关系开始研究． 二、探究异面直线所成的角的概念 问题1．在正方体中，直线与直线，直线与直线都是异面直线，直线与相对于直线的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？ 由图可知，直线与相对于直线的位置不同，那么如何表示这种差异呢？ 追问1：平面几何中，用什么量来刻画两条相交直线的位置关系？ 平面几何中，用两条相交直线所成的角来刻画两条相交直线的位置关系．即两条直线相交成4个角，将其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线的倾斜程度． 追问2：空间中，用什么量来刻画两条异面直线的位置关系？ 既然用相交直线所成的角刻画相交直线的位置关系，那么我们可以类比得出用异面直线所成的角来刻画两条异面直线的位置关系． 设计意图：引导学生类比用相交直线所成的角刻画相交直线的位置关系，得出异面直线所成的角刻画异面直线的位置关系. 问题2．如何定义异面直线所成的角？ 因为平移直线不会改变直线的方向，所以我们可以把这两条异面直线平移至相交直线，用相交直线所成的角来表示两条异面直线所成的角. 追问1：已知两条异面直线，过空间一点，作直线，这样的直线有几条？ 由基本事实的推论1可知，过直线和空间不在直线上的一点有且只有一个平面，我们记为，在平面内，过作直线，这样的直线有且只有一条，所以过空间一点，作直线，这样的直线有且只有一条；同理过空间一点，作直线，这样的直线也有且只有一条. 这样我们可以用直线所成的角来表示异面直线所成的角. 追问2：直线所成的角与点的位置有关吗？ 若过空间一点分别作直线，那么直线所成的角与直线所成的角相等吗？由基本事实4和等角定理可知，它们是相等的.所以直线所成的角与空间一点的位置无关. 这样，我们可以在空间内任取一点作直线的平行线，那么直线所成的角就是异面直线所成的角. 我们得出两条异面直线所成角的定义： 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角（或夹角）. 在定义异面直线所成的角时，我们通过平移，将异面直线转化为相交直线，将空间图形问题转化为平面图形问题，这个过程中体现了转化的数学思想．而将空间图形问题转化为平面图形问题是研究空间图形的基本思路． 设计意图：引导学生有条理地进行探究．首先通过直观感知，提出对异面直线所成的角的猜想；然后提出对异面直线所成的角的定义的进一步解释的问题，通过操作确认，以使学生理解定义异面直线所成的角的存在性与唯一性．这样，在获得异面直线所成的角的定义的同时，领悟了定义一个对象的数学方式，培养了学生的理性思维，也让学生进一步感悟和体验了空间问题转化为平面问题的基本思路，发展直观想象、数学抽象和逻辑推理的核心素养． 问题3．异面直线所成角的范围是什么？ 结合异面直线所成的角的定义可知，异面直线所成的角的范围是：． 设计意图：引导学生结合异面直线所成角的定义，明确异面直线所成的角的范围． 三、探究异面直线的垂直 问题4．两条异面直线的位置关系中，有一种特殊的位置关系——垂直，那么如何定义两条异面直线的垂直？ 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，直线垂直，记作． 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角是，两条相交直线所成的角的范围是：，两条异面直线所成的角的范围是：，所以，空间中两条直线所成的角的范围是：． 设计意图：引导学生结合异面直线所成的角的范围，得出两条异面直线特殊的位置关系，即垂直的定义，进而得出空间中两条直线所成的角的范围． 四、例题讲解，获得技能 例1．已知正方体， (1)哪条棱所在直线与直线垂直？ (2)求直线与所成角的大小. (3)求直线与所成角的大小. 解：(1)棱所在直线分别与直线垂直.追问1：互相垂直的两条直线一定相交吗？ 不一定相交，还有可能异面。因为在问题(1)中直线是与直线相交垂直的，而直线是与直线异面垂直的． 追问2：垂直于同一直线的两条直线一定平行吗？ 不一定平行，还有可能相交或异面.因为在问题(1)中与直线垂直的直线可以是，它们是相交关系，也可以是，它们是平行关系，还可以是，它们是异面关系． (2)因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角，又因为，所以直线与所成的角为. (3)连接， 因为是正方体，所以且，从而四边形是平行四边形，所以，于是为异面直线与所成的角．连接，易知是等边三角形，所以，从而异面直线与所成的角等于． 追问3：如何求异面直线所成的角？ 求异面直线所成角的一般步骤是： (1)一作：恰当地选择一个点，用平移法作出异面直线所成的角（或其补角）； (2)二证：证明(1)中所作出的角（或其补角）就是所求异面直线所成的角； (3)三计算：通过解三角形或其它方法，求出(1)中所构造角的大小； (4)四下结论：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 这一步骤可以简称为：为“一作，二证，三计算，四下结论”. 设计意图：通过例题教学，巩固异面直线所成的角的定义；结合例题的解答，让学生明确求异面直线所成的角的步骤，引导学生初步掌握依据定义对空间图形进行论证、计算的方法. 例2．在正方体中，为底面的中心， 求证：. 证明：连接， 是正方体， ． 是平行四边形． ． 直线与所成的角即为直线与所成的角． 连接，易证． 又为底面的中心， 的中点， ． ． 追问1：求异面直线所成的角时，点常取在什么位置？ 结合例1和例2可知，点常取在其中一条直线上，一般取线段的中点或端点． 追问2：如何证明两条异面直线垂直？ 由两条异面直线垂直的定义可知，只需证明异面直线所成的角是直角，将空间的垂直关系转化为平面的垂直关系.（平面中能得到直线与直线垂直的结论有：勾股定理逆定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等）． 设计意图：通过例题教学，巩固两条异面直线垂直的定义，结合题目的分析，培养学生养成回归定义思考问题的意识，并引导学生初步掌握依据定义对空间图形进行论证、计算的方法. 五、归纳小结，形成结构 问题5．请从知识和方法的角度对本节课所学内容进行归纳总结． （一）知识方面： 1.异面直线所成的角的定义：已知两条异面直线，经过空间任一点O分别作直线，我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角（或夹角）； 2.异面直线所成的角的范围是：； 3.异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直． （二）方法方面： 1.由相交直线所成的角刻画相交直线的位置关系，得出用异面直线所成的角刻画异面直线的位置关系，这种研究过程体现了类比的数学思想； 2.研究异面直线所成的角时，通过平移把异面直线转化为相交直线，把空间问题转化为平面问题来解决，这里体现了转化的数学思想，这是研究空间图形的基本思路. 问题6.如何求异面直线所成的角？ 求异面直线所成角的一般步骤是：一作，二证，三计算，四下结论. 问题7．怎样理解空间中的直线与直线垂直？ 本节课我们研究了异面直线所成的角，进而得出异面直线垂直，初中我们在相交直线所成的角的基础上得出相交直线垂直，相交直线垂直和异面直线垂直都是空间中的直线与直线的垂直，用思维导图可以表示为： 特例 相交直线垂直 相交直线所成的角 直线与直线垂直 特例 异面直线所成的角 异面直线垂直 设计意图：通过小结，梳理本节课所学的知识，并回顾本节课的学习过程，进一上体会立体几何的研究内容和研究方法，培养学生对学习内容反思的意识和习惯，帮助学生在更大的范围内把所学的知识系统化、结构化，并掌握相应的学习方法. 六、目标检测，检验效果 1．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为________． 2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的棱有________． 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF. 设计意图：考查学生灵活使用异面直线所成的角和两条异面直线垂直的定义的能力、空间想象的能力和分析与解决问题的能力. 目标检测答案： 1．60° 2． AB，A1B1 3． 证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G. 则OG∥B1D，EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角． ∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点， ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF. 学科网（北京）股份有限公司 $$