第四章 一次函数知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第四章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量． 函数：因变量是自变量的函数． 函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值． 因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量． 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 注意：a.一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. b.一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数. 函数的表示方法：1.解析法，2.列表法，3.图象法． 函数的图象：把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 一次函数的图象：由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 注意：由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 一次函数性质 1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正、负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤0时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； 函数 k b 经过的象限 y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 y随x的增大而减小 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 y随x的增大而减小 （5）k相同，说明这两个函数图象是平行的． 2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． y=kx (k>0) y=kx (k<0) 一次函数与方程 1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；�直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 2. 坐标轴的函数表达式 函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；�函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示． 3. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2． （2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2． 5. 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数． 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入 （1）设函数表达式为y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值； （4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。 6. 常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交． ③当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤0，b=0时，图象经过第二、四象限； 当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限． 7． 直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0) 当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． 8． 直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2y1与y2相交； ②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）； ③y1与y2平行； ④y1与y2重合. 题型一　识别函数 例题：（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列图形中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 题型二　函数图象及其应用 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居．某天早晨，小明先出发去学校，走了一段时间后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校．小华离家后直接乘公共汽车到学校，如图反映了他们从家到学校已走的路程和所用时间之间的关系，则下列说法错误的是（    ） A．小明家距离学校 B．小华乘坐的公共汽车的平均速度是 C．小华乘坐公共汽车后，在与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为 巩固训练 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点B；④图中点Q的坐标为．则下列结论正确的有（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（   ） A．小明家到学校的距离是1800米 B．小明在文具店停留了4分钟 C．本次上学途中，小明一共行了3400米 D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患 4．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．（2025·河南南阳·一模）小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两图象均为正比例函数图象 B．当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．依据图象可得：导体电阻分别为， 题型三　动态几何问题中的函数关系 例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 巩固训练 1．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 2．（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，边长为3和4的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，阴影部分面积为，那么与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 5．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线匀速运动回到点停止，过点作于点，设点走过的路程为，的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京·模拟预测）如图1，在菱形中，，是菱形内部一点，动点从顶点出发，沿线段运动到点，再沿线段运动到顶点，停止运动．设点运动的路程为，，表示与的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（   ） A． B．8 C． D．4 题型四　确定函数表达式中自变量的取值范围 例题：（2025·黑龙江哈尔滨·一模）若函数有意义，则x的取值范围是 ． 巩固训练 1．（2025·广东江门·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·云南玉溪·一模）函数中，自变量x的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 ． 6．（2025·上海普陀·二模）函数的定义域是 ． 题型五　利用一次函数的概念求参数 例题：（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 巩固训练 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 2．（八年级下·重庆九龙坡·期中）若 是一次函数，则a的值是 ． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 4．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 题型六　利用一次函数的性质比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象上两点，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点都在直线（为实数）上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点都在直线上，且，则的大小关系是 ．（结果用“”连接） 题型七　一次函数性质的综合运用 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数， (1)若该函数y随着x的增加而减小，求m的取值范围． (2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 3．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 题型八　一次函数与方程、不等式 例题8-1：（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则方程组解是 ． 例题8-2：（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若． (1)求直线的解析式； (2)若不等式的解集是．求a的值． (3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积 巩固训练 1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的交点为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和图象交于点A，点A的横坐标为，则关于x，y的方程组的解是 ． 5．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是 ． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 8．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与y轴相交于点E． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是x轴上一动点，连结，当时，请求出点P的坐标． 9．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 题型九　一次函数的应用 例题9-1：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 例题9-2：（2025·天津西青·一模）某无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20．米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升；甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度后停止上升，并单独进行表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面120米高度时，开始时长为秒的联合表演，表演完成后两架无人机返回地面．下面图中（单位：秒）表示无人机飞行的时间，（单位：米）表示无人机所在位置的高度，图象反映了这个过程中甲无人机所在位置的高度与飞行时间之间的对应关系． (1)填空：①的值为 ，的值为 ； ②甲无人机返回地面的速度为 米/秒，甲无人机单独表演的时间为 秒． (2)当时，请直接写出甲无人机所在位置的高度关于时间的函数解析式． (3)在乙无人机飞行上升期间，与甲无人机位于同一高度的时间是多少？（直接写出结果即可） 巩固训练 1．（2025·陕西咸阳·一模）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 2．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 3．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·上海·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景 ◆某民族服装厂安排名工人加工一批服装，有“红”“黄”“蓝”三种颜色． ◆因市场需要，每位工人每天可加工且只能加工红色服装件，或黄色服装件，或蓝色服装件． ◆要求全厂每天加工黄色服装至少件，红色服装总件数和蓝色服装相等． 背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： 红色服装：元件； 黄色服装；元件； ③蓝色服装：元件． 信息整理： 现安排名工人加工黄色服装，名工人加工红色服装，列表如下： 服装颜色 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 红 黄 蓝 1 探究任务： (1)完成信息整理表格填写 (2)求之间的数量关系并写出的取值范围． (3)设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式，并制定使每天总利润最大的加工方案． 6．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 7．（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 8．（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． (1)甲采摘园的门票费用是 元； (2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； (3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 9．（24-25九年级下·天津·期中）年3月日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离学校的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)填空： ①学校到科技馆的距离是 m； ②小明等待红绿灯所用的时间为 ； ③小明在整个途中，骑行的最快速度是 ； ④小明在整个途中，共行驶了 m． (2)①直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即）期间，他离科技馆的距离与离开学校时间之间的函数关系： ②当小明离开学校时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数知识归纳与题型突破（题型清单） 自变量：自己变化的量；在一个变化的过程中，我们称数值变化的量是自变量． 常量：有些量的数值是始终不变的量叫常量． 函数：因变量是自变量的函数． 函数值：当自变量确定一个值，被变量随之确定的一个值． 因变量：自变量的变化引起另一个量的变化，另一个量是因变量． 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 注意：a.一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. b.一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必须是不为零的常数，b可为任意常数. 函数的表示方法：1.解析法，2.列表法，3.图象法． 函数的图象：把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线． 一次函数的图象：由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b． 注意：由于两点确定一条直线，描出适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可. 一次函数性质 1. 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质 （1）k的正、负决定直线的倾斜方向； ①k＞0时，y的值随x值的增大而增大； ②k﹤0时，y的值随x值的增大而减小． （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）； （3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置； ①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上； ②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数． （4）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同； 函数 k b 经过的象限 y随x的变化 图象 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＞0 一二三 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＞0 b＜0 一三四 y随x的增大而增大 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＞0 一二四 y随x的增大而减小 y=kx+b (b≠0) k＜0 b＜0 二三四 y随x的增大而减小 （5）k相同，说明这两个函数图象是平行的． 2. 正比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx的图象必经过原点； （2）当k＞0时，图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大； （3）当k＜0时，图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小． y=kx (k>0) y=kx (k<0) 一次函数与方程 1. 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－，0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；�直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 2. 坐标轴的函数表达式 函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；�函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示． 3. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4. 两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2． （2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2． （3）二元一次方程组有无数个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2． 5. 待定系数法 先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b中，k，b就是待定系数． 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：一设，二代，三解，四代入 （1）设函数表达式为y=kx+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k与b的值； （4）将k、b的之带入y=kx+b，得到函数表达式。 6. 常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． ②当k，b异号时，直线与x轴正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当k，b同号时，直线与x轴负半轴相交． ③当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤0，b=0时，图象经过第二、四象限； 当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限． 7． 直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0) 当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b； 当b﹤0时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b． 8． 直线y1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系． ①k1≠k2y1与y2相交； ②y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）； ③y1与y2平行； ④y1与y2重合. 题型一　识别函数 例题：（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）下列图象中，表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了本题主要考查了函数的定义，对于一个自变量，只有唯一一个因变量与之相对应，是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故A选项不符合题意； B选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故B选项不符合题意； C选项：对于每一个自变量的值，都有个值与自变量相对应，故是的函数，故C选项符合题意； D选项：存在自变量取一个值的时候，有个值与自变量相对应，故不是的函数，故D选项不符合题意． 故选：C ． 巩固训练 1．（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）下列各图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的定义，对于两个变量、，当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，则称是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故A选项不符合题意； B选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故B选项不符合题意； C选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有个值与对应，不是的函数，故C选项符合题意； D选项：从图象上可知：当自变量取一个确定的值时，因变量有唯一一个值与对应，是的函数，故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·云南昆明·阶段练习）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的定义，函数的定义是：对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：选项A：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项A不表示是的函数． 选项B：在这个图象中，对于每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，这符合函数的定义，所以选项B表示是的函数． 选项C：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项C不表示是的函数． 选项D：在这个图象中，对于的某些值，有多个值与之对应，这不符合函数的定义，所以选项D不表示是的函数． 故答案为：B． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）下列函数关系式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的概念，解题的关键是准确掌握函数的概念． 根据函数的概念可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可得出答案． 【详解】解：A. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； B. 对于的每一个取值，有两个值，不符合函数的定义，故本选项符合题意； C. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意； D. 对于的每一个取值，都有唯一确定的值，符合函数的定义，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）下列四个关系式：①；②；③；④，其中y是x的函数的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量． 【详解】解：对于的每一个取值，都有唯一确定的值， ①；③当取值时，有唯一的值对应； 即y是x的函数的是①③， 故选：C． 5．（24-25八年级下·北京顺义·阶段练习）下图分别给出了变量x与y之间的对应关系，y不是x的函数的是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，熟练掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义进行求解即可． 【详解】解：对于自变量，都有唯一确定的与之对应， 故y不是x的函数的是， 故选B． 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列图形中不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐项判断即可． 【详解】解：A．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意； B．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意； C．对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，不符合题意； D．对于存在自变量x的一个值，因变量y有2个值与它对应，所以y不是x的函数，符合题意； 故选：D． 题型二　函数图象及其应用 例题：（24-25八年级上·贵州毕节·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居．某天早晨，小明先出发去学校，走了一段时间后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校．小华离家后直接乘公共汽车到学校，如图反映了他们从家到学校已走的路程和所用时间之间的关系，则下列说法错误的是（    ） A．小明家距离学校 B．小华乘坐的公共汽车的平均速度是 C．小华乘坐公共汽车后，在与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为 【答案】D 【分析】本题考查的从函数图像上获取信息的能力，根据已知信息和函数图象的数据，依次解答每个选项． 【详解】解：由图象可知，小华和小明的家离学校，故A正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了，所以公共汽车的速度为，故B正确； 小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是，即相遇，即在与小明离学校的距离一致，故C正确． 小明从家到学校的平均速度为，故D错误， 故选：D 巩固训练 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：段上升最慢，段上升较快，段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中D图象所表示的容器应是中间最粗，下面其次，上面最细； 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）已知A，B两地相距1200米，甲和乙两人均从A地出发，向B地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离y（米）和甲出发的时间x（分）之间的关系，现有如下结论：①乙每分钟比甲多走10米；②乙用18分钟追上了甲；③乙比甲早1分钟到达终点B；④图中点Q的坐标为．则下列结论正确的有（   ） A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的应用，根据图象所给信息，结合一次函数的性质，逐一分析即可解答，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：乙用（分钟）追上了甲，则乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点表示乙到达中点，则点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的纵坐标为， ④不正确，不符合题意． 综上，①③正确． 故选：A． 3．（24-25八年级下·山东德州·期中）小明从家里出发骑单车去上学，出发了一段时间后，想起今天考试需要带铅笔，于是赶紧折回到刚经过的文具店，买到铅笔后继续赶往学校，以下是他离家的距离y（米）与所用的时间t（分钟）之间的关系的图，根据图中的信息，则下列说法错误的是（   ） A．小明家到学校的距离是1800米 B．小明在文具店停留了4分钟 C．本次上学途中，小明一共行了3400米 D．若骑单车的速度大于320米/分就有安全隐患，在整个上学的途中，小明骑车有4分钟的超速骑行，存在安全隐患 【答案】D 【分析】根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断A的正误；根据平行x轴的线段的两个端点的自变量值的差，就是停留的时间，可以判断B的正误；根据题意，行走的总路程为米，可以判断C的正误；分别计算前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟；12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，可判定D的正误． 本题主要考查了从函数图象获取信息，正确计算平均速度是解题的关键． 【详解】解：A、根据函数图象，学校的纵坐标为1800，小明家的纵坐标为0，故小明家到学校的路程是1800米； 故本选项不合题意； B、根据题意，小明在书店停留的时间为从8分到12分，故小明在书店停留了4分钟； 故本选项不合题意； C、本次上学途中，小明一共行了米， 故本选项不符合题意； D、由图象可知：前6分钟的平均速度为：，不超速； 6分钟到8分钟之间的平均速度为：，超速，且时间为2分钟； 12分钟到16分钟之间的平均速度为：，不超速，故本选项符合题意； 故选：D. 4．（24-25九年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论： ①乙每分钟比甲多走10米； ②乙用18分钟追上了甲； ③乙比甲早1分钟到达终点； ④图中点的坐标为． 则下列结论正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键． ①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差； ②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间； ③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点； ④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标． 【详解】解：乙每分钟比甲多走（米， ①正确，符合题意； 乙用（分钟）追上了甲， ②不正确，不符合题意； 甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟）， 乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟）， 当时乙到达地， 乙比甲早（分钟）到达终点， ③正确，符合题意； 由③可知，点的横坐标为23， 甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米， 点的坐标为， ④正确，符合题意． 综上，①③④正确． 故选：C． 5．（2025·河南南阳·一模）小帅同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法错误的是（   ） A．甲、乙两图象均为正比例函数图象 B．当在导体乙的两端加上1V的电压时，通过乙导体的电流为0.2A C．在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比 D．依据图象可得：导体电阻分别为， 【答案】B 【分析】本题主要考查函数图像的信息识别，准确理解题意是解题的关键．根据函数图像判断信息即可得到答案． 【详解】解：A．两图象均过原点，均为正比例函数图象，故A正确，不符合题意； B．由图象可知，在导体乙两端的电压为1 V时，电流为0.1A，故B错误，符合题意； C．甲、乙两图象都是过原点的直线，说明通过导体的电流与导体两端的电压成正比，故C正确，不符合题意； D．甲导体的电阻为，乙导体的电阻为，故D正确，不符合题意． 故选：B． 题型三　动态几何问题中的函数关系 例题：（2025·河南南阳·一模）如图1，在中，，为边上一定点，动点从点出发，沿折线—运动至点后停止．设点运动的路程为，令，图2是与的函数关系图象，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点，数形结合是解题的关键．过点作于点，连接，由图象可知；当点N与点B重合时，；，先求得，推出，在利用勾股定理求得． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： 由图象可知；当点N与点B重合时，；． 在中，由勾股定理，可得． ， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（2025·山东·一模）如图1，在菱形中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动，运动到点D停止．设点P的运动路程为的面积为与x的函数图象如图2所示，则的长为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．根据图1和图2判断为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：连接， 在菱形中，， ∴为等边三角形， 设，由图2可知，的面积为， ∴的面积 解得：(负值已舍) 故选：A 2．（2025·甘肃·一模）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（   ） A．20 B．24 C．40 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，连接交于O，由菱形的性质得到，再由函数图象可得，且当点P运动到上，且时，，据此可得的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， 由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）如图，边长为3和4的两个正方形，其一边在同一水平线上，小正方形自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为，阴影部分面积为，那么与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别判断出阴影部分面积的情况，可得答案． 【详解】解：小正方形未穿大正方形之前，阴影部分面积最小，为0； 开始穿入时，随时间的增加而增大； 完全穿入之后，最大，即为小正方形的面积，且保持一段时间不变， 开始离开后，随时间的增加而减小，直到最小，为0． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期中）如图1，在中，，D为斜边的中点，动点M从点B出发，沿B→A→C运动．设，点M运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则图2中的m的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．15 【答案】D 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，勾股定理；由图可知，当 M 位于 A 处时，面积最大，且为面积的一半，由图可知，根据面积公式计算即可． 【详解】解：由图可知， 当 M 位于 A 处时，面积最大． 又因为是一条斜边的中点D与顶点A连成的中线， 所以面积是面积的一半． 根据图2，可知， s， 则的面积为， 故的面积为面积的一半，即15． 故选：D． 5．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点出发，沿的路线匀速运动回到点停止，过点作于点，设点走过的路程为，的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分情况分析：当点在上运动时，当点在上运动时，当点在上运动时，当点在上运动时，利用三角形的面积公式可得S与x的函数关系式，根据二次函数的图象即可得 【详解】在矩形中，，，则． ，． ①如图1，当点在上运动时，，则，，． ，是一个开口向下的抛物线，所以D答案是错误的． ②如图2，当点在上运动时，，则，． ，是一个开口向上的抛物线， 所以A、B、C答案均符合． ③如图3，当点在上运动时，，则，． ，是一个开口向上的抛物线，这里点在运动过程中是同一函数，但是在对称轴的右侧取值范围大一些，所以图象更高一些，所以C答案是错误的． ④如图4，当点在上运动时，，则，． ，是一个开口向下的抛物线，所以B答案是错误的． 故选A． 6．（2025·北京·模拟预测）如图1，在菱形中，，是菱形内部一点，动点从顶点出发，沿线段运动到点，再沿线段运动到顶点，停止运动．设点运动的路程为，，表示与的函数关系的图象如图2所示，则菱形的边长是（   ） A． B．8 C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据图2分析点M的路径，可知点M先在上运动，再根据菱形的性质和直角三角形的性质得出点H和点A重合，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，，即， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上， 连接，如图， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴点M先在上运动，且， ∵点P运动到点A时，， ∴, 过点M作，垂足为H， ∵， ∴， ∴， ∴点H和点A重合， ∴， ∴菱形的边长为， 故选：C． 题型四　确定函数表达式中自变量的取值范围 例题：（2025·黑龙江哈尔滨·一模）若函数有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查求自变量的取值范围及分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为0是解题的关键． 根据分式有意义的条件可得，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（2025·广东江门·一模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式以及分式有意义的条件列出关于x的不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，且， 解得：， 故选：A 2．（2025·湖南·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查自变量的取值范围及二次根式有意义的条件，熟练掌握自变量的取值范围及二次根式有意义的条件是解题的关键；由题意易得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选：D． 3．（2025·云南玉溪·一模）函数中，自变量x的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查分式有意义的条件，二次根式被开方数的非负性，正确理解代数式的形式列式计算是解题的关键． 根据分式的分母不等于0得到，根据二次根式的被开方数大于等于0得到，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故选D． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，求函数的自变量取值范围，根据零指数幂、二次根式、分式有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得且， 故答案为：且． 5．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据分式有意义的条件是分母不为0，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得， ， 故答案为：． 6．（2025·上海普陀·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据分式有意义分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 故答案为：． 题型五　利用一次函数的概念求参数 例题：（24-25七年级上·山东泰安·期末）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ (3)若函数的图象经过点和，求m，n的值． 【答案】(1) (2) (3)的值分别为 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义． （1）根据y是x的一次函数，得到，求解即可； （2）根据y是x的正比例函数，得到，求解即可； （3）将点代入求出的值，再将代入即可求出的值． 【详解】（1）解：由题意得，即时， 函数是一次函数； （2）解：由题意得，且， 即时，函数是正比例函数； （3）解：函数图象经过点 ，即． 又经过点， ， 解得， 故的值分别为． 巩固训练 1．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 2．（八年级下·重庆九龙坡·期中）若 是一次函数，则a的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握一次函数形如，、是常数），一次函数解析式的结构特征：；自变量的次数为1；常数项可以为任意实数． 根据形如，、是常数）的函数，叫做一次函数可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故答案是：． 3．（24-25八年级下·上海·阶段练习）若关于x的函数是一次函数，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键． 由于函数是一次函数，则二次项系数为0且一次项系数不为0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是一次函数， ∴，解得：， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·甘肃兰州·期中）已知函数 (1)当m是何值时函数是一次函数，写出此函数解析式．并计算当时的函数值； (2)点在此一次函数图象上，则n的值为多少？ 【答案】(1)；；10 (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值： （1）根据一次函数的定义可求出m的值，可得到对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可； （2）把点求出此时n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得：， ∴此函数解析式为， 当时，； （2）解：由（1）得：此函数解析式为， ∵点在此一次函数图象上， ∴， 解得：． 题型六　利用一次函数的性质比较函数值的大小 例题：（24-25八年级上·浙江·期末）已知点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题．先根据，得到一次函数y随x的增大而增大，即可判断． 【详解】解：∵， ∴一次函数y随x的增大而增大， ∵点，，，都在一次函数（k，b为常数）的图象上，且， ∴． 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数图象上两点，，与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得到y随x的增大而增大，比较自变量的大小即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性和实数的大小比较，熟知：时，y随x增大而增大；时，y随x增大而减小是解题的关键．根据，可得y随x增大而减小，即可解答． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x增大而减小， ∵点，，都在直线上，且， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知，，是一次函数的图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，因为，所以随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数可知， ∴随的增大而减小，横坐标越大，纵坐标越小， ∵， ∴， 故选：． 4．（24-25八年级上·陕西榆林·期中）已知点都在直线（为实数）上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而增大， 又∵点都在直线上，且， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知点都在直线上，且，则的大小关系是 ．（结果用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 题型七　一次函数性质的综合运用 例题：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数， (1)若该函数y随着x的增加而减小，求m的取值范围． (2)若该函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，解决本题的关键是根据函数图象的性质得到一次项系数和常数项的取值范围，根据一次项系数和常数项的取值范围得到参数的取值范围． （1）根据一次函数的函数值随自变量的增大而减小，可知一次项系数一定是负数，从而可得关于的不等式，解不等式求出的取值范围； （2）根据一次函数图象与y轴交点在x轴上方，可得常数项的取值范围，从而可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意：， 解得：； （2）解：根据题意：， 解得：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数时正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为点在正比例函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：由（1）知，所以， 所以该正比例函数的表达式为． 因为，所以的值随着值的增大而减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 3．（24-25八年级上·广西梧州·期中）一次函数． (1)当a为何值时，y随x的增大而减小？ (2)当a为何值时，图象经过第一、二、三象限？ 【答案】(1) (2) 【分析】考查了一次函数图象与系数的关系． （1）当y随x的增大而减少时，，解之即可得出结论； （2）图象经过第一、二、三象限时，，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得， 即当时，y随x的增大而减小； （2）解：若图象过第一、二、三象限，则 ， 解得， 故当时，图象能过第一、二、三象限． 4．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据图象平行于直线，所以相同即可解决问题． （2）根据若图象交轴于正半轴，，即可解决问题． （3）根据图象不过第三象限，，，解不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：一次函数图象平行于直线， ， ； （2）解：一次函数图象交轴于正半轴， 且 且； （3）解：一次函数图象不过第三象限， ， 解得． 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知一次函数 (1)求，为何值时，函数是正比例函数？ (2)若图象经过第一，三，四象限，求，的取值范围？ 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，熟记一次函数的图象与性质、正比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． （1）根据正比例函数定义，得到，，求解即可得到答案； （2）根据题意，作出图象，结合图象得到，，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是正比例函数， ，， 解得，； （2）解：一次函数图象经过第一，三，四象限，如图所示： ，， 解得，． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知一次函数． (1)若函数值随的增大而增大，求的取值范围； (2)若一次函数的图象经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）依据题意，根据一次函数的性质可得当时，函数值随的增大而增大，求解即可； （2）依据题意，函数图象经过点，从而，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，函数值随的增大而增大， ， 解得：． （2）解：由题意，函数图象经过点， ． ． 题型八　一次函数与方程、不等式 例题8-1：（24-25八年级上·山西运城·阶段练习）如图，直线与直线相交于点，则方程组解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的联系是解题关键． 本题根据两条直线的交点坐标和一次函数与二元一次方程组的联系，然后即可解题． 【详解】解：把代入， 解得：， ∴， ∴方程组解是； 故答案为：； 例题8-2：（24-25八年级下·辽宁锦州·阶段练习）如图，一次函数和的图象相交于点B，且一次函数分别与y轴和x轴交于A和C，若． (1)求直线的解析式； (2)若不等式的解集是．求a的值． (3)的图象与x轴交于点P，在（2）的条件下求的面积 【答案】(1) (2)10 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象以及利用不等式解集求解一次函数中未知数，两直线的交点问题，解题的关键在于熟练掌握待定系数法求解析式以及学会利用图象法找出关键信息交点的横坐标． （1）根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据图像即可求出点横坐标，将点横坐标代入即可求出点坐标，将其代入即可求出的值； （3）先求出与轴交点，则求出，再由即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，和在一次函数上， ，， ， ， ， 直线的解析式为：； （2）解：的解集是，点为和交点， 的横坐标为1． 将点的横坐标1代入中，解得． ． 将代入中，， ； （3）解：由（2）得， 当时，， 解得：， ∴，∴ ∴． 巩固训练 1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建漳州·期中）直线的图象如图所示，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像与一元一次方程的关系，熟练运用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵在的图象上， ∴方程的解是 故选：B． 3．（2025·陕西咸阳·一模）在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数的交点为，则关于x、y的二元一次方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：∵一次函数与正比例函数的交点为， 则关于x、y的二元一次方程组的解为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，已知函数和图象交于点A，点A的横坐标为，则关于x，y的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数交点的横纵坐标是二者函数解析式联立得到的方程组的解，据此求出A的坐标即可打得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∵函数和图象交于点A， ∴关于x，y的方程组的解是， 故答案为：． 5．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）如图，直线与相交于点，那么不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的关系，先求出点P的坐标，再找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴由函数图象可知，不等式的解集是， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A． (1)求k，b的值和点A的坐标； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了两条直线的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解此题的关键． （1）根据待定系数法即可求得k、b的值，然后解析式联立，解方程组即可求得A的坐标； （2）根据图象即可求得； （3）根据三角形面积公式即可得出答案 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点， ，， ，， 两函数解析式联立，得， 解得：， ； （2）观察图象，时x的取值范围是． （3），，， ，点到轴的距离为， ． 7．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点，分别与轴交于两点．已知点，观察图象并回答下列问题： (1)关于的方程的解是____________；关于的不等式的解集是____________． (2)若点的坐标为，直接写出关于的不等式的解集并求出的面积． 【答案】(1)， (2)不等式的解集是．的面积为 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的x的范围，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数和的图象，分别与轴交于点， 关于的方程的解是， 关于的不等式的解集，为， 故答案为：，； （2）解：点的坐标为， 由图象可知，不等式的解集是． ，点， ， ． 8．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线与直线相交于点，与轴相交于点，与y轴相交于点E． (1)求直线的表达式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)若点P是x轴上一动点，连结，当时，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式，三角形面积公式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键； （1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）求出点A坐标，根据点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）首先求得直线与轴的交点的坐标，设点的坐标为，则可将的长表示出来，进而可求得的面积，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 把点和点代入，，得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴ ∵直线与直线相交于点， ∴根据函数图象可得，的解集为：； （3）解：直线与轴相交于点， 令，则有：， 解得：， ， 点是轴上一动点， 可设点的坐标为， ， ， ， 又， ， 即：， ， 或， 点的坐标为或． 9．（24-25八年级下·湖南·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求的值； (2)请根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题为一次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，利用图象解一元一次不等式，面积问题等．掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）将代入求解即可； （2）由（1）得，结合函数图象即可得出结果； （3）根据题意确定，得出，结合图象根据求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ∴； （2）由（1）得， 根据图象得：当时，的图象在下方，即此时， ∴的取值范围是． （3）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，；当时，； ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴． 10．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质． （1）利用直线的解析式求出点，利用待定系数法将，代入求解即可得出直线的解析式； （2）利用点的坐标求出底边的长度，假设出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，进行求解即可得到点的坐标； （3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函数值比较大． 【详解】（1）解：∵将代入得， 解得， ∴ 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∴, 假设点的坐标为， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或； （3）解：根据函数图象可得， 在点和点之间的图象，满足的图象在的图象的下方，且点是直线与的交点，交点坐标为0，即， ∴当时，， 即不等式的解集为． 11．（2025八年级下·全国·专题练习）如图直线：与直线：交于点B． (1)求的面积； (2)点C为线段上一动点（点C不与点O，B重合），作轴交直线于点D，过点C向轴作垂线，垂足为E，若四边形的面积为120，求点C的坐标． 【答案】(1)216 (2) 【分析】本题主要考查了两条直线的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，三角形与四边形的面积． （1）根据直线的解析式求出A点坐标，将两直线的解析式联立求出B点坐标，根据三角形的面积公式列式计算即可； （2）设点C的坐标为，则，那么，根据四边形的面积为120列出方程，解方程即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵直线：， ∴时，， ∴， 由，解得， ∴， ∴的面积； （2）解：如图，设点C的坐标为，则， ∴， ∵四边形的面积为120，， ∴， 解得， ∴点C的坐标为． 题型九　一次函数的应用 例题9-1：（24-25八年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为，与x轴交于点C，直线l上有一点B的横坐标为，点A是的中点． (1)求直线的函数表达式； (2)在射线上有两动点P，Q（P点在Q点下方），且，当四边形的周长最小时，求四边形周长的最小值； (3)直线与y轴交于点H．将沿翻折得到，M为直线上一动点，N为平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出N点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在这样的点M，且坐标分别为，，， 【分析】（1）根据直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点，得到，运用待定系数法解答即可． （2）过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，先证明为等边三角形，则，找出，，证明四边形为平行四边形，故此时四边形的周长为最小，再运用勾股定理算出，即可作答． （3）分三种情形，结合菱形的性质，两点间的距离公式，解方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线的解析式为，与x轴交于点C． 令，则，解得， ∴ ∴ ∵点A是的中点， ∴， ∵直线上有一点B的横坐标为， 把代入，得 ∴， 设直线的函数表达式， 故， 解得， 故直线的函数表达式． （2）解：过点A作点A关于直线的对称点，将点沿方向平移4个单位得到点，连接交于点Q，将点Q沿方向平移4个单位得到，再连接，此时四边形的周长最小，如图所示： ∵， ∴， ∴， 故为等边三角形， ∵， ∴令时，，则 即， ∵， ∴ ， 在直角中， 即， ∵ 则， 故， ∵轴对称性质， ∴， 故为等边三角形， 则， ∵， ∴轴， 故点； 将点沿方向平移4个单位，相当于沿x轴负半轴方向平移个单位，向上平移2个单位，故点， 由点A的平移知，且， ∴四边形为平行四边形，故 此时，四边形的周长为最小， ∵ ∴ 即． （3）解：如图所示，∵直线的解析式为，与x轴交于点C．直线上有一点B的横坐标为，点A是的中点， ∴， ∴， ∵ 直线的函数表达式与y轴交于点H， ∴, ∴．， ∴ ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴，，， ∴， ∴轴， ∴， 设， ∵ 以H、M、N、G为顶点的四边形是菱形， ∴菱形的四边相等，对角线互相垂直平分， 当时，根据题意，得 解得或， 故，； 当时，根据题意，得 解得或（舍去）， 故； 当时， ∵， ∴一定经过点B， 故M与点B一定重合， 故．    综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为，，，． 例题9-2：（2025·天津西青·一模）某无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20．米的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升；甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度后停止上升，并单独进行表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面120米高度时，开始时长为秒的联合表演，表演完成后两架无人机返回地面．下面图中（单位：秒）表示无人机飞行的时间，（单位：米）表示无人机所在位置的高度，图象反映了这个过程中甲无人机所在位置的高度与飞行时间之间的对应关系． (1)填空：①的值为 ，的值为 ； ②甲无人机返回地面的速度为 米/秒，甲无人机单独表演的时间为 秒． (2)当时，请直接写出甲无人机所在位置的高度关于时间的函数解析式． (3)在乙无人机飞行上升期间，与甲无人机位于同一高度的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①10，15；②8，8 (2)当时，；当时，；当时， (3)4或8 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）①根据甲无人机飞行6秒后到达距离地面60米的高度，以及速度等于路程除以时间，求出的值，从函数图象可知，从第20秒到第35秒，甲、乙无人机进行联合表演求出的值即可；②用速度等于路程除以时间，求出甲无人机返回地面的速度，求出甲无人机从米升到120米所用时间，进而求出甲无人机单独表演的时间即可； （2）分，，三种情况，分别求出函数解析式即可； （3）先求出乙无人机上升的速度，分甲无人机追上乙无人机，以及甲单独表演时，乙追上甲无人机两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由题意，； 由图象可知：； 故答案为：10，15； ②米/秒； 秒，秒； 故答案为：8，8； （2）当时，； 当时，； 当时，设，把代入，得：， ∴， ∴； （3）由题意，得：乙无人机上升的速度为：米/秒； 当甲无人机追上乙无人机时：，解得：； 当甲无人机单独表演时：，解得：； 综上：或． 巩固训练 1．（2025·陕西咸阳·一模）2025年是全面落实全国科技大会精神、加快建设科技强国的关键之年，人工智能的崛起无疑成为了全球科技界的焦点．某公司尝试利用智能技术优化生产流程，提高生产效率．在生产一种产品时，发现生产成本y（单位：元）与产品数量x（单位：件）之间存在一次函数关系，其几组对应值如下表所示． 产品数量x/件 … 10 12 16 20 … 生产成本y/元 … 400 420 460 500 … 请你根据表中信息，解答下列问题． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若这种产品每件的售价为20元，则当生产成本为1000元时，所生产产品的总售价为多少元？ 【答案】(1) (2)当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求函数关系式中求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 把，代入中得， 解得， 与x之间的函数关系式为． （2）解：在中，令，得， 解得． （元）， 当生产成本为1000元时，所生产的产品总售价为1400元． 2．（上海市莘松中学2024-2025学年八年级下学期数学期中联考卷）已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示． (1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式； (2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程． 【答案】(1) (2)200千米 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键． （1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，    根据题意得，两人相遇的时间为， ∴， ∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地 ∴， ∴ 设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为 则有：， 解得， 甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式； （2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米， ∴乙车的速度为：（千米/时） ∴乙车行完全程用时为：（时） ∵ ∴当时，千米， ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米． 3．（2025·天津和平·一模）某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 ②填空：军车行驶的速度为______； ③填空：a的值为______； ④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式； (2)学校距离营地，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①表格见详解；②60；③2；④ (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的应用和一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键； （1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式； （2）由题意易得学校离基地的距离为，可分两个过程在军车领取研学物资前，二者相遇，在军车领取研学物资的过程中相遇，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在这一时间段，军车是匀速行驶的，且行驶的距离为， ∴行驶的距离为， 由图象可补充表格如下： 军车离开营地的时间/ 军车离营地的距离/ 80 80 ②由图象得：军车行驶的速度为； 故答案为：60； ③由②得：； 故答案为：2； ④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 当时，此期间路程没有发生变化，则y与x的关系式为， 当时，设y与x的关系式为，则有， ，解得：， ∴y与x的关系式为， 综上所述：y与x的关系式为； （2）解：设学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为． 由题意得：学校离基地的距离为， ∴学校师生乘坐大巴车的速度为， 当在军车领取研学物资前，二者相遇时，则， 解得； ∵， ∴在军车再次出发的时候，学校师生乘坐的大巴车已经超过了军车， ∴在军车领取研学物资的过程中，二者还有一次相遇， ∴， 解得； 综上所述，学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间为或． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、． (1)分别求出点、、的坐标； (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式； (3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有∶一次函数与坐标轴的交点，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数图象的交点，一次函数图象与性质，菱形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法和菱形的性质是解答本题的关键． （1）联立两直线解析式求出点的坐标，分别令和，带入直线解析式求出点、的坐标； （2）根据在直线上，设，表示出面积，把已知面积代入求出的值，确定出坐标，利用待定系数法求出解析式即可； （3）在（1）的条件下，设是射线上的点，在平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑∶①当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；②当四边形为菱形时；③当四边形为菱形时；分别求出Q坐标即可． 【详解】（1）根据，解方程组得，得， 分别令和，带入直线解析式得点、的坐标，． （2）设， 且， ， ， ， 令直线解析式为， 把，代入得： ， ， ， 直线的函数表达式为． （3）存在．如图所示： ①当四边形为菱形时， ，得四边形为正方形； ， 即． ②当四边形为菱形时， 得，带入直线的解析式， 得， ． ③当四边形为菱形时， ， ， 综上得点的坐标为或或． 5．（24-25八年级下·上海·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产背景 背景 ◆某民族服装厂安排名工人加工一批服装，有“红”“黄”“蓝”三种颜色． ◆因市场需要，每位工人每天可加工且只能加工红色服装件，或黄色服装件，或蓝色服装件． ◆要求全厂每天加工黄色服装至少件，红色服装总件数和蓝色服装相等． 背景 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： 红色服装：元件； 黄色服装；元件； ③蓝色服装：元件． 信息整理： 现安排名工人加工黄色服装，名工人加工红色服装，列表如下： 服装颜色 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 红 黄 蓝 1 探究任务： (1)完成信息整理表格填写 (2)求之间的数量关系并写出的取值范围． (3)设该工厂每天的总利润为元，求关于的函数表达式，并制定使每天总利润最大的加工方案． 【答案】(1)； (2)； (3)加工红色服装的工人人，加工黄色服装的工人人，蓝色服装的工人人时每天总利润最大． 【分析】本题考查了列代数式，一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． （）根据题意列出代数式即可； （）根据红色服装总件数和蓝色服装相等，则，然后整理得，再根据题意即可写出的取值范围； （）由题意得，则随的增大而减小，然后根据范围即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 服装颜色 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 红 黄 蓝 1 ∴加工蓝色服装的工人有（人）， 故答案为： （2）解：∵红色服装总件数和蓝色服装相等， ∴， ∴， ∵每天加工黄色服装至少件， ∴，解得：， ∴之间的数量关系为； （3）解： ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时， ∴加工红色服装的工人人，加工黄色服装的工人人，蓝色服装的工人人时每天总利润最大． 6．（23-24八年级下·广东梅州·期中）实验学校体育中心为鼓励师生加强体育锻炼，准备购买10副某种的羽毛球拍，每副球拍配x（）筒羽毛球，供师生免费借用．A、B两家超市都有这种羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为400元，每筒羽毛球的标价均为20元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折销售； B超市：买一副羽毛球拍送3筒羽毛球． 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为（元）．请解答下列问题： (1)分别写出与x之间的关系式： (2)若只在一家超市购买，在哪家超市购买更划算？ (3)若每副球拍配20筒羽毛球，请你帮助体育中心设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 (2)见解析 (3)在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据优惠方案，分别列出函数关系式即可； （2）分，和三种情况，进行求解即可； （3）分去A超市，B超市，以及去B超市买球拍，A超市买羽毛球，三种方案，分别求出费用，进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ； ∴在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为；在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为； （2）当时，即， 解得， ∴时，去A超市买更划算； 当时，即， 解得， ∴时，去A、B超市买花费一样多； 当时，即， 解得， ∴时，去B超市买更划算； （3）如果选择A超市，那么总费用为：（元）， 如果选择B超市，那么总费用为：（元）， 如果先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球，那么总费用为：（元）， ∵， ∴在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买剩余的羽毛球最省钱． 7．（23-24八年级下·山西运城·期中）为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动： 甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折； 乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）． (1)请直接写出、与之间的函数表达式； (2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由． 【答案】(1)， (2)该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少，见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，由甲乙商店的优惠方案可得，甲商店购买的费用；乙商店购买的费用，进而可以判断得解； （2）依据题意，要使得乙商店购买的费用少，则，从而，进而计算可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意得，甲商店购买的费用； 乙商店购买的费用． （2）解：由题意，要使得乙商店购买的费用少， ． ． ． 又， ． 答：该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少． 8．（2025·吉林四平·二模）4月中旬的某一天，小明和小强准备去双阳奢岭葡萄采摘园采摘葡萄，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购买门票，采摘的所有葡萄按24元/千克；乙采摘园的优惠方案：游客无需买票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某游客的葡萄采摘量为 x千克，若在甲采摘园所需总费用为 y甲元，若在乙采摘园所需总费用为元，y甲、与x之间的函数图象如图所示． (1)甲采摘园的门票费用是 元； (2)求（元）与采摘葡萄数量x（千克）之间的函数关系式； (3)若在甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄多少千克？ 【答案】(1)48 (2) (3)8千克或13千克 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）根据图象，可得出甲采摘园的门票费用， （2）分和用待定系数法可求得； （3）先求出的解析式，然后分2段，分别令＝即可． 【详解】（1）解：在甲采摘园的费用函数图象中，当采摘量时，费用的值就是门票费用．从图象可知，当时，元， ∴甲采摘园的门票费用是48元． 故答案为：48； （2）当时： 设， 把代入，得， 解得， ∴． 当时： 设，把和代入，得 解得 ∴ 综上， （3）∵采摘的所有葡萄按24元/千克，根据题意得 甲采摘园的费用函数为． 分情况讨论： 当时，令， 解得， 当时，令， 解得， ∴甲、乙采摘园所花相同的钱数采摘相同的数量，需采摘葡萄8千克或13千克． 9．（24-25九年级下·天津·期中）年3月日“天宫课堂”第二课开讲．传播普及空间科学知识，激发了广大青少年不断追求“科学梦”的热情．小明从学校骑自行车到科技馆探索科技的奥秘，他骑行了一段时间后，在某路口等待红绿灯，待绿灯亮起后继续向科技馆方向骑行，在快到科技馆时突然发现钥匙不见了，于是他着急地原路返回，在刚刚等红绿灯的路口处找到了钥匙，使继续前往科技馆．小明离科技馆的距离与离学校的时间的关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)填空： ①学校到科技馆的距离是 m； ②小明等待红绿灯所用的时间为 ； ③小明在整个途中，骑行的最快速度是 ； ④小明在整个途中，共行驶了 m． (2)①直接写出小明从等待红绿灯到找回钥匙（即）期间，他离科技馆的距离与离开学校时间之间的函数关系： ②当小明离开学校时，小强恰巧从科技馆出发速步行返回学校，若小强步行速度为每分钟，那么他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是多少？（直接写出答案） 【答案】(1)；；； (2)①或 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）①根据图象求解；②根据图象求解；③先求出各段的速度，再比较大小；④根据路程和求解； （2）①根据待定系数法求解；②先求出小强的函数解析式，再根据图象求解． 【详解】（1）解：学校到科技馆的距离是 ， 故答案为∶； 小明等待红绿灯所用的时间为：， 故答案为：2； ③，， ， ， ∴小明在整个途中，骑行的最快速度是， 故答案为：； ④ ∴小明在整个途中，共行驶了， 故答案为：； （2）解：当时，； 当时，，设， 则，解得： 当时，； 当时，设， 则解得 当时，， ； 小强离科技馆的距离y与小明离学校的时间x之间的函数解析式为： ， 图象如下虚线所示： 由图象得：当时，， 当时第二次相遇， ，则解得： ， 则解得：， 即当时，第二次相遇，此时距科技馆， ∴他在返回学校的途中遇到小明时，小明离科技馆的距离是或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$