信息必刷卷05（无锡专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：《无锡市2025年中考改革方案》指出：“保留语文、数学、英语作为基础学科，并适当提高其难度和深度，以考查学生的核心素养和综合能力。” 中考·新情境：①以数学文化题的形式考查方程与不等式的实际应用，此类题多以《九章算术》中的文段为背景；②以跨学科融合题的方式出题，比如欧姆定律与反比例函数的实际应用综合；③结合时事热点出题，比如以《哪吒2》相关的材料进行数据分析。新情境问题，会增加学生阅读和理解题目的时间，在实际做题时，必须精准提炼要点。 命题·大预测：①弦图问题（第17题）是近几年的中考热点问题之一，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似的判定与性质、锐角三角函数等知识点，综合性较强。近几年中考虽未涉及弦图问题，但在模考中经常出现，且极有可能在未来某一年的真题中考查。 ②尺规作图（第25题）是中考必考题型之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 ③二次函数综合题（第28题）也是中考必考题型之一，而新定义也是几年的中考热点问题之一，二者的结合“新定义函数”很有可能称为压轴的新题型，且新定义函数可以将一次函数、反比例函数和二次函数串联起来，进行综合性的考查，同样非常符合新课标的主题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+40m表示向东走40m，那么﹣100m表示（　　） A．向东走60m B．向西走60m C．向东走100m D．向西走100m 2．下列算式中，正确的是（　　） A．3a3﹣4a2＝﹣a B．2a+b＝3ab C．（﹣a2）3＝a6 D．a2÷a＝a 3．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16 4．下列调查样本选取方式合适的是（　　） A．调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据 B．调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据 C．调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量 D．调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数 5．有下列五个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④平分弦的直径一定平分弦所对的弧；⑤相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30 C． D． 7．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（　　） A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° 8．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 9．已知二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m，其中1＜m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是二次函数图象上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 10．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，，点D的坐标是（4，0），tan∠BDO，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．计算：　　． 12．截止4月2日《哪吒2》电影全球总票房约为15500000000元，该片距离全球影史票房第4名的《泰坦尼克号》仅差不到10亿元．数字15500000000用科学记数法表示为　　． 13．如图，已知点A（3，3），B（3，1），一次函数y＝﹣x+b图象经过线段AB的中点，则b的值为　　． 14．一组数据8，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是　　． 15．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了x名同学，可列方程为　　． 16．如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过12A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　　． 17．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为　　． 18．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB交BA延长线于点E，若AD，则点D到点E的最大距离为　　． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 20．（5分）先化简，再求值：，其中x满足x2+2x﹣6＝0． 21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF． （1）求证：EF＝EB； （2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 22．（9分）在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近　　（精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 23．（10分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是　　°； （2）n＝　　，并补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是　　分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 24．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，延长DE交⊙O于点G，延长CF分别交DG于点H，交⊙O于点M． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若tanA，求GH，HM的长． 25．（10分）如图，已知直线a、b及点P．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明） （1）当a∥b时，在图①、②中画出△PAB，使得两个三角形不全等． （2）当a与b不平行时，在图③、④中画出△PAB，使得两个三角形不全等． 26．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 27．（13分）某渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B． 已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h． （sin22°37′，cos22°37′，tan22°37′） （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据cos∠BPC，计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间． ②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 28．（13分）《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P（x，y）的坐标满足y＝x2+1，则称点P为“正气点”． （1）若点P（x，2）是反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式； （2）若函数y＝3x+p（p为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围； （3）若二次函数y1＝ax2+bx+2（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数b满足b≤2时，求一次函数与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（无锡专用） 考情速递 中考·新动向：《无锡市2025年中考改革方案》指出：“保留语文、数学、英语作为基础学科，并适当提高其难度和深度，以考查学生的核心素养和综合能力。” 中考·新情境：①以数学文化题的形式考查方程与不等式的实际应用，此类题多以《九章算术》中的文段为背景；②以跨学科融合题的方式出题，比如欧姆定律与反比例函数的实际应用综合；③结合时事热点出题，比如以《哪吒2》相关的材料进行数据分析。新情境问题，会增加学生阅读和理解题目的时间，在实际做题时，必须精准提炼要点。 命题·大预测：①弦图问题（第17题）是近几年的中考热点问题之一，涉及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似的判定与性质、锐角三角函数等知识点，综合性较强。近几年中考虽未涉及弦图问题，但在模考中经常出现，且极有可能在未来某一年的真题中考查。 ②尺规作图（第25题）是中考必考题型之一，属于实践操作类题目，非常符合新课标的主题。复习阶段，必须不断总结归纳尺规作图的方法和步骤，以便应对愈发变化多端的尺规作图题。 ③二次函数综合题（第28题）也是中考必考题型之一，而新定义也是几年的中考热点问题之一，二者的结合“新定义函数”很有可能称为压轴的新题型，且新定义函数可以将一次函数、反比例函数和二次函数串联起来，进行综合性的考查，同样非常符合新课标的主题。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+40m表示向东走40m，那么﹣100m表示（　　） A．向东走60m B．向西走60m C．向东走100m D．向西走100m 【答案】D 【分析】根据题意及相反意义的量可进行求解． 【详解】解：﹣100m表示向西走100m； 故选：D． 【点睛】本题主要考查相反意义的量，解题的关键是理解题意． 2．下列算式中，正确的是（　　） A．3a3﹣4a2＝﹣a B．2a+b＝3ab C．（﹣a2）3＝a6 D．a2÷a＝a 【答案】D 【分析】根据整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、3a3﹣4a2≠﹣a，故该选项错误，不符合题意； B、2a+b≠3ab，故该选项错误，不符合题意； C、（﹣a2）3＝﹣a6，故该选项错误，不符合题意； D、a2÷a＝a，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加减，幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键是掌握相关得到运算法则． 3．在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+b2 B．4m2﹣16m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+16 【答案】D 【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； B、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； C、不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意； D、﹣x2+16＝16﹣x2＝（4+x）（4﹣x），符合平方差公式的特征，能用平方差公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，比较简单，关键是要熟悉平方差公式的结构，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 4．下列调查样本选取方式合适的是（　　） A．调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据 B．调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据 C．调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量 D．调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数 【答案】C 【分析】抽取样本注意事项就是要考虑样本具有广泛性与代表性，所谓代表性，就是抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 【详解】解：A．调查某校七年级学生平均身高情况，随机抽取该校初中30名男生的身高数据，不具有代表性，不符合题意； B．调查某小区家庭月平均用水情况，随机抽取该小区某栋楼所有住户月用水数据，不具有代表性，不符合题意； C．调查一批零件的质量情况，随机抽取这批零件中的100件调查其质量，具有代表性，符合题意； D．调查某市市民晨练情况，随机抽取某月任意10天在体育馆晨练人数，不具有代表性，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了抽样调查的可靠性，样本具有代表性是指抽取的样本必须是随机的，即各个方面，各个层次的对象都要有所体现． 5．有下列五个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④平分弦的直径一定平分弦所对的弧；⑤相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】据弦的定义可判断①的正确性；根据经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断②的正确性；根据三角形的外心的定义和外心的性质可判断③的正确性；根据垂径定理④的正确性；根据圆周角定理可判断⑤的正确性． 【详解】解：直径是圆中最长的弦，①故正确； 经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，②故错误； 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点的距离相等，③故正确； 平分弦（不能是直径）的直径一定平分弦所对的弧，④故错误； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，⑤故错误． 正确的有2个． 故选：D． 【点睛】本题考查了对三角形的外接圆和外心，圆的认识，圆周角定理，垂径定理，确定圆的条件等知识点的应用，关键是能根据这些定理进行说理和判断． 6．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清，醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（　　） A．10x+3（5﹣x）＝30 B．3x+10（5﹣x）＝30 C． D． 【答案】A 【分析】根据共换了5斗酒，其中清酒x斗，则可得到醑酒（5﹣x）斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗， 由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，详解本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 7．“求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°．”用反证法证明这个命题时，应先假设（　　） A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45° 【答案】A 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，∠A，∠B中至少有一个不大于45°的反面是∠A＞45°，∠B＞45°． 【详解】解：求证：Rt△ABC的两个锐角∠A，∠B中至少有一个不大于45°， 用反证法证明这个命题时，应先假设∠A＞45°，∠B＞45°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8．一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】A 【分析】设该圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开图的圆心角为n°，将底面积和侧面积表示出来，找到r与R的数量关系，从而求出该圆锥侧面展开图的圆心角． 【详解】解：如图，设该圆锥的底面半径为r，母线长为R，侧面展开图的圆心角为n°． S底＝πr2，S侧R•2πrπR2， 根据题意，得R•2πrπR2＝4πr2， ∵R•2πr＝4πr2， ∴R＝4r， ∵πR2＝4πr2， ∴π（4r）2＝4πr2， ∴n＝90， ∴该圆锥侧面展开图的圆心角是90°． 故选：A． 【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 9．已知二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m，其中1＜m，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是二次函数图象上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2 【答案】A 【分析】根据题意确定对称轴的范围后可确定P、Q的位置，再根据增减性判断即可． 【详解】解：∵y＝x2+（2m﹣1）x+2m， ∴抛物线的对称轴为：xm， ∵1＜m， ∴﹣1m， ∵﹣3＜x1＜﹣2，x2＜0， ∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧， ∵a＝1＞0， ∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6， 当x＝0时，y2最大＝2m， 此时，y1﹣y2＝﹣4m+6， ∵1＜m， ∴﹣4m+6＞0， ∴y1＞y2， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 10．如图，在△BDE中，∠BDE＝90°，，点D的坐标是（4，0），tan∠BDO，将△BDE旋转到△ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质可知BD＝AB＝4，∠ABC＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠DBE，由勾股定理求出AD，取AD的中点O′，由旋转的性质、直角三角形的边角关系以及全等三角形的性质可得点O′是旋转中心，再根据直角三角形的边角关系求出BN，DN，由全等三角形的判定和性质得出AM，BM，进而得出点A的坐标，由线段中点坐标计算公式可求出答案． 【详解】解：如图，连接AD，取AD的中点O′，连接O′B，O′C，O′E，过点B作x轴的垂线交x轴于N，与过点A作y轴的垂线相交于点M，由旋转可知，BD＝AB＝4，∠ABC＝∠BDE＝90°，∠BAC＝∠DBE， ∴AD8， ∵点O′是AD的中点， ∴O′A＝O′B＝O′DAD＝4， ∴点O′是点A、点B的旋转中心，点O′也是点D、点B的旋转中心， ∵∠O′AC+∠BAC＝45°＝∠O′BE+∠DBE， ∴∠O′AC＝∠O′BE， 又∵O′A＝O′B，AC＝BE， ∴△O′AC≌△O′BE（SAS）， ∴O′C＝O′E， ∴点O′是点E、点C的旋转中心， 因此点O′是△BDE旋转到△ABC的旋转中心， ∵∠DBN+∠ABM＝180°﹣90°＝90°，∠DBN+∠BDN＝90°， ∴∠ABM＝∠BDN， ∵∠BND＝∠AMB＝90°，AB＝DB， ∴△ABM≌△BDN（AAS）， ∴AM＝BN，BM＝DN， 在Rt△BDN中，由于tan∠BDN， 设BN＝x，则DN＝3x，由勾股定理得，BN2+DN2＝BD2，即x2+（3x）2＝（4）2， 解得x（取正值），即BN＝AM， ∴DN＝BM＝3BN， ∴O′N＝4， ∴MN＝BN+MB， ∴点A（，） ∵点D（4，0） ∴AD中点O′的坐标为（，）， 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，直角三角形的边角关系、全等三角形的判定和性质以及线段中点坐标公式是正确详解的前提． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．计算：　　． 【答案】 【分析】利用二次根式的减法的法则进行运算可． 【详解】解：＝2． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，详解的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．截止4月2日《哪吒2》电影全球总票房约为15500000000元，该片距离全球影史票房第4名的《泰坦尼克号》仅差不到10亿元．数字15500000000用科学记数法表示为　　． 【答案】1.55×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：15500000000＝1.55×1010． 故答案为：1.55×1010． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．如图，已知点A（3，3），B（3，1），一次函数y＝﹣x+b图象经过线段AB的中点，则b的值为　　． 【答案】5 【分析】求出线段AB的中点，代入一次函数y＝﹣x+b，求出b的值即可． 【详解】解：∵A（3，3），B（3，1）， ∴线段AB的中点坐标为（3，2）， ∵一次函数y＝﹣x+b图象经过线段AB的中点， ∴2＝﹣3+b， ∴b＝5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 14．一组数据8，﹣2，3，x，3，﹣2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是　　． 【答案】3 【分析】根据众数的定义求出x，再计算平均数． 【详解】解：若每个数据都是这组数据的众数，则x＝8， 所以这组数据的平均数是：[8+8+3+3+（﹣2）+（﹣2）]÷6＝3． 故答案为：3． 【点睛】主要考查了众数的概念和平均数的计算，解题的关键是根据众数的定义得到x的值． 15．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了x名同学，可列方程为　　． 【答案】（1+x）2＝49 【分析】设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：1+x+（1+x）x＝49，即（1+x）2＝49， 故答案为：（1+x）2＝49． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意建立等量关系是关键． 16．如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过12A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是　　． 【答案】R≥3Ω 【分析】设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当I＝12A，R＝3Ω，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系为， 把点（12，3）代入中得，， ∴U＝36， ∴， 当I＝12A时，， 解得R＝3Ω， ∵36＞0， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过12A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是R≥3Ω， 故答案为：R≥3Ω． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键． 17．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连接CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为　　． 【答案】 【分析】过点G作GT⊥CF交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，设BE＝a，则AE＝2a，根据全等三角形的性质可知EM＝a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证△CMH∽△CTG，根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求的值． 【详解】解：过点G作GT⊥CF交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示： 设BE＝a，则AE＝2a， 根据题意，得EM＝a， ∵GT⊥CF，GD⊥DF， ∴∠T＝∠GDF＝90°， ∵∠TFD＝∠NFM＝90°， ∴四边形TFDG是矩形， ∵∠TFG＝∠MFE＝45°， ∴∠TGF＝45°， ∴TF＝TG， ∴四边形TFDG是正方形， ∵FD＝BE＝a， ∴TG＝a，CT＝3a， 根据勾股定理，得CG， ∵MH∥TG， ∴∠MHC＝∠TGC，∠HMC＝∠GTC， ∴△CMH∽△CTG， ∴MH：TG＝CM：CT＝1：3， ∴MH， ∴BH＝2a， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的综合，涉及正方形的性质和判定，全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理等，本题综合性较强． 18．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB交BA延长线于点E，若AD，则点D到点E的最大距离为　　． 【答案】6 【分析】延长AD至F，使AD＝FD＝2，连接BF，根据全等三角形的判定与性质可得AF的长，作△ABF的外接圆⊙O，连接OA、OB、OF，则OA＝OB＝OF，过点O作OM⊥AF于M，过点B作BN⊥AF于N，OB+OM≥BN，当B、O、M三点共线时，OB+OM＝BN，如图2，此时BN最大，点N与点M、D重合，然后根据等边三角形的判定与性质、勾股定理可得答案． 【详解】解：如图1，延长AD至F，使AD＝FD＝2，连接BF， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDF和△CDA中， ， ∴△BDF≌△CDA（SAS）， ∴∠BFD＝∠CAD， ∵∠BAC＝120°，∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BAD+∠BFD＝120°， ∴∠ABF＝180°﹣（∠BAD+∠BFD）＝180°﹣120°＝60°， AF＝AD+DF＝2， 作△ABF的外接圆⊙O，连接OA、OB、OF，则OA＝OB＝OF，过点O作OM⊥AF于M，过点B作BN⊥AF于N， ∴OB+OM≥BN， 当B、O、M三点共线时，OB+OM＝BN，如图2，此时BN最大，点N与点M、D重合， ∵AB＝BF， ∴△ABF为等边三角形，AB＝AF＝4， ∴BD6， 即BD的最大值为6， 连接DE， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∵点D是BC的中点， ∴DE＝BDBC， ∴DE的最大值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题考查的是勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外接圆，正确作出辅助线是解决此题的关键． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（8分）（1）计算：； （2）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【分析】（1）原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解． 【详解】解：（1）原式＝1﹣22+2＝4； （2）， 由①得：x≤1， 由②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 则不等式组的整数解为0，1． 【点睛】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．（5分）先化简，再求值：，其中x满足x2+2x﹣6＝0． 【分析】先计算分式的减法，再把除法化为乘法，约分后可得结果，再把x2+2x﹣6＝0化为x2＝﹣2（x﹣3），再整体代入进行计算即可． 【详解】解： ； ∵x2+2x﹣6＝0， ∴x2＝﹣2（x﹣3）， ∴原式． 【点睛】本题考查的是分式的化简求解，一元二次方程的解的含义，整体代入数学思想的应用，熟练的利用整体代入进行求值是解本题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF． （1）求证：EF＝EB； （2）若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论． 【分析】（1）由“AAS”证得△AEF≌△DEB，即可得出结论； （2）先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴EF＝EB； （2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下： ∵△AEF≌△DEB， ∴AF＝BD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∴AF＝DC， 又AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． 22．（9分）在一个不透明的袋子里装了只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数m 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频 a 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 （1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近　　（精确到0.1）； （2）某小组成员从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，请你用列表或树状图的方法求出随机摸出的两个球颜色不同的概率． 【分析】（1）根据频率的概念及表中频率稳定的数值求解即可； （2）根据列表法，得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6， 故答案为：0.6； （2）从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下： 黑 白 白 白 黑 ﹣ （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） ﹣ （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） ﹣ （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） ﹣ 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，列表法与树状图法，详解本题的关键是熟练掌握概率的求法． 23．（10分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动．首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x≤100．随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下： 笔试 展演 甲 92 89 乙 90 95 已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是　　°； （2）n＝　　，并补全图2中的频数分布直方图； （3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是　　分； （4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由． 【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可； （2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图； （3）根据中位数的定义即可求解； （4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案． 【详解】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°， 故答案为：54； （2）n＝9÷45%＝20， 展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4， 补全图2中的频数分布直方图： 故答案为：20； （3）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为85.5， 故答案为：85.5； （4）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下： 甲同学的总成绩为90.2（分）， 乙同学的总成绩为93（分）， ∵93＞90.2， ∴乙同学能获得“环保之星”称号． 【点睛】本题考查频数分布直方图、中位数、加权平均数，详解本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想详解． 24．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC＝10，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，延长DE交⊙O于点G，延长CF分别交DG于点H，交⊙O于点M． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若tanA，求GH，HM的长． 【分析】（1）连接OD，则∠ODA＝∠A，由AB＝BC，得∠C＝∠A，所以∠ODA＝∠C，则OD∥BC，所以∠ODF＝∠DFC＝90°，即可证明DF是⊙O的切线； （2）连接BD，由AB为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，得∠ADB＝∠AED＝∠DEB＝90°，OD＝OA＝OBAB＝5，由tanA，求得BE＝2，DE＝GE＝4，则OE＝3，所以tan∠EBH＝tan∠EOD，则HEBE，GH，HD，求得BH，再证明△MGH∽△DBH，得，求得HM． 【详解】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC于点F， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，AB＝10， ∴∠ADB＝∠AED＝∠DEB＝90°，DE＝GE，OD＝OA＝OBAB＝5， ∴∠BDE＝∠A＝90°﹣∠ADE， ∴tan∠BDE＝tanA， ∴DE＝2BE，AE＝2DE， ∴AE＝2×2BE＝4BE， ∴4BE+BE＝AB＝10， ∴BE＝2，DE＝GE＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵∠EBH＝∠EOD， ∴tan∠EBH＝tan∠EOD， ∴HEBE2， ∴GH＝GE﹣HE＝4，HD＝DE+HE＝4，BH， 连接GM，则∠M＝∠BDH，∠MGH＝∠DBH， ∴△MGH∽△DBH， ∴， ∴HM， ∴GH的长为，HM的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、勾股定理、同角的余角相等、锐角三角函数与解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 25．（10分）如图，已知直线a、b及点P．作等腰直角△PAB，使得点A、B分别在直线a、b上．（尺规作图，保留作图痕迹，并作简要说明） （1）当a∥b时，在图①、②中画出△PAB，使得两个三角形不全等． （2）当a与b不平行时，在图③、④中画出△PAB，使得两个三角形不全等． 【分析】（1）如图①中，过点P作PF⊥直线b于点F交直线a于点E，截取FB＝PE，EA＝PF，连接PA，PB，AB即可； 如图②中，过点P作PF⊥直线b于点F交直线a于点E，截取FB＝EF，连接PB，过点B作AB⊥PB，交直线a于点A，连接PA即可； （2）如图③中，作点P关于直线a的对称点P′，PP′交直线a于点E，以E为圆心，EP′为半径作弧交直线a于点F，作直线P′F交直线b于点B，连接PB，作线段PB的垂直平分线交直线a于点A，连接AP，AB，△PAB即为所求； 同法在图④中，得到△PAB即可． 【详解】解：（1）如图①②中，△PAB即为所求； （2）如图③④中，△PAB即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．（10分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元． （1）求甲、乙两种灯笼每对的进价； （2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元． ①求出y与x之间的函数解析式； ②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式； ②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对， 由题意得：，解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【点睛】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值． 27．（13分）某渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮B到海岸最近的点C的距离BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指挥中心立即制定三种救援方案（如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心33km的点D，然后再派冲锋舟前往B． 已知冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h． （sin22°37′，cos22°37′，tan22°37′） （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足cos∠BPC（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据cos∠BPC，计算出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间． ②在线段AC上任取一点M；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 【分析】（1）解直角三角形ABC，可得出AB、AC的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较； （2）①在Rt△BPC中求出BP、PC的长度，继而得出AP的长度，这样即可求出汽车行AP加上冲锋舟行BP的总时间； ②分两种情况讨论，1）当点M在AP上时，2）当点M在PC上时，过点M作MH⊥BP于点H，表示出tM、tP，根据cos∠BPC，可得PHMP，继而能判断出汽车行MP的时间＝冲锋舟行 PH的时间，转换后比较即可得出结论． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝20km，∠BAC＝22°37′， ∴AB52km，AC＝ABcos∠BAC＝5248km， 方案①需要用时：小时＝52分钟， 方案②需要用时：小时＝52分钟， 方案③需要用时：47分钟， ∴方案③较好； （2）①∵cos∠BPC， 设PC＝2x，BP＝3x，则BC20，解得：x＝4， 即可得PC＝8km，BP＝12km， ∴AP＝AC﹣PC＝（48﹣8）km， 故可得所用时间为：小时； ② 点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM， 汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP， 延长BP过M作MH⊥BP于H， ∵cos∠BPC， ∴PHMP， 又∵冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h， ∴汽车行MP的时间＝冲锋舟行PH的时间， ∴tP， ∵BM＞BH， ∴tM＞tP； 点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tP． 综上，汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行MP的时间＝冲锋舟行PH的时间是突破口，难度较大． 28．（13分）《正气歌》是南宋诗人文天祥写的一首五言古诗，“天地有正气，杂然赋流形．”诗的开头即点出浩然正气存乎天地之间，全诗感情深沉、气壮山河．我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点P（x，y）的坐标满足y＝x2+1，则称点P为“正气点”． （1）若点P（x，2）是反比例函数y（k为常数，k≠0）的图象上的“正气点”求这个反比例函数的解析式； （2）若函数y＝3x+p（p为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，且这两点都在第一象限，求p的取值范围； （3）若二次函数y1＝ax2+bx+2（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“正气点”，当常数b满足b≤2时，求一次函数与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围． 【分析】（1）根据新定义可得y＝x2+1，将P（±1，2）代入得即可求解； （2）根据题意联立两个方程，即x2﹣3x+1﹣p＝0有2个实数根，根据判别式的意义得出p，根据根与系数的关系得出p＜1，即可求解； （3）根据题意可得t2+1＝at2+bt+2有两个相等的实数根，进而得出，代入y2，可，根据题意得出一次函数与x轴的交点坐标，进而设一次函数与x轴，y轴所围成的三角形面积为S，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【详解】解：（1）∵点P（x，2）是反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上的“正气点”， ∴2＝x2+1，则x＝±1， 当x＝1时，P（1，2），代入，得k＝2， 当x＝﹣1时，P（﹣1，2），代入，得k＝﹣2， ∴或； （2）∵函数y＝3x+p（p为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为x1，x2， ∴，即x2﹣3x+1﹣p＝0有2个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4（1﹣p）＞0，解得：p， ∵这两点都在第一象限， ∴即，解得：p＜1， ∴p＜1； （3）设二次函数的图象上的“正气点”为（t，t2+1）， ∵二次函数（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“正气点”， ∴t2+1＝at2+bt+2有两个相等的实数根，即（a﹣1）t2+bt+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（a﹣1）＝0， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限， 当x＝0时，y＝b， 当y＝0时，， 设一次函数与x轴，y轴所围成的三角形面积为S， ∴， ∴， ∵， ∴当即b＝1时，取得最小值，最小值为2， ∴S的最大值为， 当b时，取得最大值，最大值为（2﹣1）2+2＝3， ∴S取得最小值为， ∴S． 【点睛】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质反比例函数的性质，一次函数与坐标轴交点问题，一元二次方程根的判别式的意义，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷（无锡专用） 数学·参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D C D A A A A D 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请把答案直接填写在横线上． 11． 12．1.55×1010 13．5 14．3 15．（1+x）2＝49 16．R≥3Ω 17． 18．6 三、解答题：本大题有10个小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（8分） 【答案】（1）4；（2）0，1． 【解析】解：（1）原式＝1﹣22+2＝4； （2）， 由①得：x≤1， 由②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1， 则不等式组的整数解为0，1． 20．（5分） 【答案】． 【解析】解： ； ∵x2+2x﹣6＝0， ∴x2＝﹣2（x﹣3）， ∴原式． 21．（8分） 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）四边形ADCF是菱形，证明过程详见解析． 【解析】（1）证明：∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）， ∴EF＝EB； （2）解：四边形ADCF是菱形，理由如下： ∵△AEF≌△DEB， ∴AF＝BD， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝DC， ∴AF＝DC， 又AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线， ∴AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形； 22．（9分） 【答案】（1）0.6；（2）． 【解析】（1）当n很大时，摸到黑球的频率将会趋近0.6， 故答案为：0.6； （2）从袋中拿出1个黑球，3个白球放入一个新的不透明袋子中，随机摸出两个球，列表如下： 黑 白 白 白 黑 ﹣ （白，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） ﹣ （白，白） （白，白） 白 （黑，白） （白，白） ﹣ （白，白） 白 （黑，白） （白，白） （白，白） ﹣ 由表知，共有12种等可能结果，其中随机摸出的两个球颜色不同的有6种结果， 所以随机摸出的两个球颜色不同的概率为． 23．（10分） 【答案】（1）54；（2）20；（3）85.5；（4）乙，理由详见解析． 【解析】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°， 故答案为：54； （2）n＝9÷45%＝20， 展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4， 补全图2中的频数分布直方图： 故答案为：20； （3）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为85.5， 故答案为：85.5； （4）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下： 甲同学的总成绩为90.2（分）， 乙同学的总成绩为93（分）， ∵93＞90.2， ∴乙同学能获得“环保之星”称号． 24．（10分） 【答案】（1）证明过程详见解析；（2）GH的长为，HM的长为． 【解析】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠A， ∵AB＝BC， ∴∠C＝∠A， ∴∠ODA＝∠C， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC于点F， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接BD， ∵AB为⊙O的直径，DE⊥AB于点E，AB＝10， ∴∠ADB＝∠AED＝∠DEB＝90°，DE＝GE，OD＝OA＝OBAB＝5， ∴∠BDE＝∠A＝90°﹣∠ADE， ∴tan∠BDE＝tanA， ∴DE＝2BE，AE＝2DE， ∴AE＝2×2BE＝4BE， ∴4BE+BE＝AB＝10， ∴BE＝2，DE＝GE＝4， ∴OE＝OB﹣BE＝5﹣2＝3， ∵∠EBH＝∠EOD， ∴tan∠EBH＝tan∠EOD， ∴HEBE2， ∴GH＝GE﹣HE＝4，HD＝DE+HE＝4，BH， 连接GM，则∠M＝∠BDH，∠MGH＝∠DBH， ∴△MGH∽△DBH， ∴， ∴HM， ∴GH的长为，HM的长为． 25．（10分） 【答案】（1）作图详见解析；（2）作图详见解析． 【解析】解：（1）如图①中，过点P作PF⊥直线b于点F交直线a于点E，截取FB＝PE，EA＝PF，连接PA，PB，AB即可； 如图②中，过点P作PF⊥直线b于点F交直线a于点E，截取FB＝EF，连接PB，过点B作AB⊥PB，交直线a于点A，连接PA即可； △PAB即为所求； （2）如图③中，作点P关于直线a的对称点P′，PP′交直线a于点E，以E为圆心，EP′为半径作弧交直线a于点F，作直线P′F交直线b于点B，连接PB，作线段PB的垂直平分线交直线a于点A，连接AP，AB，△PAB即为所求； 同法在图④中，得到△PAB即可． 26．（10分） 【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对； （2）①y＝﹣2x2+68x+1470； ②乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 【解析】解：（1）设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为（x+9）元/对， 由题意得：，解得x＝26， 经检验，x＝26是原方程的解，且符合题意， ∴x+9＝26+9＝35， 答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对． （2）①y＝（50+x﹣35）（98﹣2x）＝﹣2x2+68x+1470， 答：y与x之间的函数解析式为：y＝﹣2x2+68x+1470． ②∵a＝﹣2＜0， ∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x17， 物价部门规定其销售单价不高于每对65元， ∴x+50≤65， ∴x≤15， ∵x＜17时，y随x的增大而增大， ∴当x＝15时，y最大＝2040． 15+50＝65． 答：乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元． 27．（13分） 【答案】（1）方案③；（2）①小时；②说明过程详见解析． 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∵BC＝20km，∠BAC＝22°37′， ∴AB52km，AC＝ABcos∠BAC＝5248km， 方案①需要用时：小时＝52分钟， 方案②需要用时：小时＝52分钟， 方案③需要用时：47分钟， ∴方案③较好； （2）①∵cos∠BPC， 设PC＝2x，BP＝3x，则BC20，解得：x＝4， 即可得PC＝8km，BP＝12km， ∴AP＝AC﹣PC＝（48﹣8）km， 故可得所用时间为：小时； ② 点M为AP上任意一点，汽车开到M点放冲锋舟下水，用时tM， 汽车开到P放冲锋舟下水，用时tP， 延长BP过M作MH⊥BP于H， ∵cos∠BPC， ∴PHMP， 又∵冲锋舟在海上航行的速度为60km/h，汽车在海岸线上行驶的速度为90km/h， ∴汽车行MP的时间＝冲锋舟行PH的时间， ∴tP， ∵BM＞BH， ∴tM＞tP； 点M在PC上任意一点时，过M作MH⊥BP于H，同理可证：tM＞tP． 综上，汽车行AM加上冲锋舟行BM的时间比车行AP加上冲锋舟行BP的时间要长． 28．（13分） 【答案】（1）或；（2）p＜1；（3）S． 【解析】解：（1）∵点P（x，2）是反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上的“正气点”， ∴2＝x2+1，则x＝±1， 当x＝1时，P（1，2），代入，得k＝2， 当x＝﹣1时，P（﹣1，2），代入，得k＝﹣2， ∴或； （2）∵函数y＝3x+p（p为常数）图象上存在两个不同的“正气点”，设这两个点的横坐标分别为x1，x2， ∴，即x2﹣3x+1﹣p＝0有2个实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4（1﹣p）＞0，解得：p， ∵这两点都在第一象限， ∴即，解得：p＜1， ∴p＜1； （3）设二次函数的图象上的“正气点”为（t，t2+1）， ∵二次函数（a，b是常数，a＞1）的图象上有且只有一个“正气点”， ∴t2+1＝at2+bt+2有两个相等的实数根，即（a﹣1）t2+bt+1＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝b2﹣4（a﹣1）＝0， ∴， ∴， ∵， ∴一次函数的函数图象经过一、二、三象限， 当x＝0时，y＝b， 当y＝0时，， 设一次函数与x轴，y轴所围成的三角形面积为S， ∴， ∴， ∵， ∴当即b＝1时，取得最小值，最小值为2， ∴S的最大值为， 当b时，取得最大值，最大值为（2﹣1）2+2＝3， ∴S取得最小值为， ∴S． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$